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初二期末复习大纲+资料(1)


二次根式:
重难点知识点梳理: 1、二次根式非负数的性质: 总结:如果几个非负数的和为零,那么这几个非负数都为零。 【例题】(1)已知 | x ? 3 | ? 求 yx 的值. 【解析】 (1 ) ?
3 5

y ? 5 ? 0 ,求

x y

的值;(2)已知 y ? 4 y ? 4 ?

/>2

x ? y ?1 ? 0,

(2)-2

2、二次根式化简: 【例题】若 ab≠0,则等式 ? (A)a>0,b>0 【解析】B
? a
5

b

? a ?
3

?

1 ab

成立的条件是(

) (D)a<0,b<0

(B)a<0,b>0

(C)a>0,b<0

一元二次方程:
重难点知识点梳理: 1、一元二次方程解法: (直接开平方、配方法、公式法、因式分解法) 2、一元二次方程整数根: 【例题】已知关于 x 的方程(k+1)x2+(3k-1)x+2k-2=0. (1)讨论此方程根的情况; (2)若方程有两个整数根,求正整数 k 的值; 【解析】 (1)当 k ? ? 1 时,方程 ? 4 x ? 4 =0 为一元一次方程,此方程有一个实数根; 当 k ? ? 1 时,方程 ( k ? 1) x ? (3 k ? 1) x ? 2 k ? 2 =0 是一元二次方程,
2

△=(3k-1)2-4(k+1)(2k-2)=(k-3)2. 2 ∵(k-3) ≥0,即△≥0, ∴ k 为除-1 外的任意实数时,此方程总有两个实数根. 综上,无论 k 取任意实数,方程总有实数根. (2) x ?
1 ? 3 k ? ( k ? 3) 2 ( k ? 1)

? 2分

,x1=-1,x2=

4 k ?1

?2.

∵ 方程的两个根是整数根,且 k 为正整数, ∴ 当 k=1 时,方程的两根为-1,0; 当 k=3 时,方程的两根为-1,-1. ∴ k=1,3. 3、一元二次方程的应用 【例题】合肥百货大搂服装柜在销售中发现:“宝乐”牌童装平均每天可售出 20 件,每件盈

利 40 元.为了迎接“十· 一”国庆节, 商场决定采取适当的降价措施, 扩大销售量, 增加盈利, 减少库存.经市场调查发现: 如果每件童装降价 1 元, 那么平均每天就可多售出 2 件.要想平 均每天销售这种童装上盈利 1200 元,那么每件童装因应降价多少元? 【解析】10,20

函数综合:
一次函数与反比例函数的综合试题: 试题分析:此类型题每年北京中考必考,经常在 17 题或是 23 题出现,而在中考中出现的此 类题型的难度正好是我们初二学生期末考试的难度, 所以我相信今年的期末必然会出现一次 函数与反比例函数的综合题。 【例题 1】如图,P 是反比例函数 y ? P
k x

( x >0)的图象上的一点,PN 垂直 x 轴于点 N, M

垂直 y 轴于点 M,矩形 OMPN 的面积为 2,且 ON=1,一次函数 y ? x ? b 的图象经过点 P. (1)求该反比例函数和一次函数的解析式; (2)设直线 y ? x ? b 与 x 轴的交点为 A,点 Q 在 y 轴上,当 △QOA 的面积等于矩形 OMPN 的面积的 点 Q 的坐标.
1 4

时,直接写出

【解析】 (1)∵PN 垂直 x 轴于点 N,PM 垂直 y 轴于点 M,矩形 OMPN 的面积为 2 ,且 ON=1, ∴PN=2. ∴点 P 的坐标为(1,2). ?????????1 分 ∵反比例函数 y ?
k x
y ? x ? b 的图象都经过点 P,

( x >0)的图象、一次函数

由2 ?

k 1

,2 ? 1 ? b 得 k ? 2 ,b ? 1 .
2 x

∴反比例函数为 y ?

, ?????????????????????2 分

一次函数为 y ? x ? 1 . ?????????????????????3 分 (2)Q1(0,1) 2(0,-1). ????????????????????5 分 ,Q

【例题 2】如图,已知直线 y 的横坐标为 4 .

?

1 2

x

与双曲线 y

?

k x

(k ? 0)

交于 A, B 两点,且点 A

y

A
O

x

B

(1)求 k 的值; (2)若双曲线 y
? k x k x (k ? 0)



上一点 C 的纵坐标为 8,求 △ A O C 的面积;

(3)过原点 O 的另一条直线 l 交双曲线 y

?

(k ? 0)

于 P , Q 两点( P 点在第一

象限) ,若由点 A, B, P, Q 为顶点组成的四边形面积为 24 ,求点 P 的坐标. 解: (1)? 点 A 横坐标为 4 ,? 当 x ? 4 时, y
?点A

? 2



的坐标为 ( 4, ) . 2
y ? 1 2

?

点 A 是直线

x

与双曲线

y ?

k x

( k ? 0 ) 的交

y
C

点,
? k ? 4? 2 ? 8 .

N

D

A
O

(2)解法一:如图 12-1,
?

点 C 在双曲线上,当 y 的坐标为 (1,) . 8
x

?8

时, x ? 1

M

x

? 点C

图 12-1

过 点 A, C 分 别 做
M,N

轴, y 轴的垂线,垂足为

,得矩形 D M O N . , S △ CDA
?9

S 矩 形 ONDM ? 3 2 , S △ ONC ? 4

, S △ OAM

? 4

. .
y
C

S △ AOC ? S 矩 形 ONDM ? S △ ONC ? S △ CDA ? S △ OAM ? 3 2 ? 4 ? 9 ? 4 ? 1 5

解法二:如图 12-2, 过点 C , A 分别做 x 轴的垂线,垂足为 E , F ,
?

点 C 在双曲线 y

?

8 x

上,当 y

?8

时, x

?1.

A
O E

F

x

? 点C

8 的坐标为 (1,) .

B

图 12-2

?

点 C , A 都在双曲线 y

?

8 x

上,
? S 形C 梯 ? S ?S

? S △ COE ? S △ AOF ? 4

? S△C

O

E

E

F

A △

C

O△ A



A

O

F

? S △ COA ? S 梯 形 CEFA .
1 2

? S 梯 形 CEFA ?

? (2 ? 8) ? 3 ? 15

,? S △ C O A

? 15 .

(3)? 反比例函数图象是关于原点 O 的中心对称图形,
? OP ? OQ

, O A ? O B .? 四边形 A P B Q 是平行四边形.
S 平 行 四 边 形 APBQ ? 1 4 ? 24 ? 6 .

? S △ POA ?

1 4

设点 P 横坐标为 m ( m

8 ? 0 且 m ? 4 ) ,得 P ( m , ) m



y P A
O E F
x

过点 P, A 分别做 x 轴的垂线,垂足为 E , F ,
?

点 P, A 在双曲线上,? S △ P Q E

? S △ AOF ? 4


B
Q

若 0 ? m ? 4 ,如图 12-3,
? S △ POE ? S 梯 形 PEFA ? S △ POA ? S △ AOF

, .

图 12-3
? S 梯 形 PEFA ? S △ POA ? 6

.∴

1? 8 ? · ?2? ? (4 ? m ) ? 6 2? m ?
P ( 2, ) . 4

解得 m ? 2 , m ? ? 8 (舍去) ? . 若m
? 4

,如图 12-4,? S △ A O F .?

? S 梯 形 AFEP ? S △ AOP ? S △ POE ,
? ? ?( m ? 4 ) ? 6 ?

y

? S 梯 形 PEFA ? S △ POA ? 6

1? 8 ?2? 2? m


Q

A P
O

1) 解得 m ? 8 , m ? ? 2 (舍去) ? P (8, . .
?点P

F

E

x

B

4 1) 的坐标是 P ( 2, ) 或 P (8, .

图 12-4

四边形:
重难点知识点梳理: (一)四边形由一般到特殊的演变示意图

(二)特殊四边形的一些重要性质 边 平行 四 边形 矩 形 菱 形 正 方 形 等腰 梯形 对边平行; 对边相等。 对边平行; 对边相等。 对边平行; 四边相等。 对边平行; 四边相等。 两底平行; 两腰相等。 角 对角相等; 邻角互补。 四个角 都是直角 对角相等; 邻角互补。 四个角 都是直角 1、同一底上的两角相等; 2、同一腰上的两角互补。 对角线 对称性

互相平分

中心对称

相等且互相平分 1、互相垂直且平分; 2、各自平分一组对角。 1、相等且互相垂直平分; 2、各自平分一组对角。

中心对称 轴对称(2) 中心对称 轴对称(2) 中心对称 轴对称(4)

相等

轴对称(1)

(三)特殊四边形的判定


平行 四 边形 矩 形



对角线
5、四边形+对角线互相 平分。 3、平行四边形+对角线 相等 4、四边形+对角线相等 且互相平分

1、四边形+两组对边分别平行; 2、四边形+两组对边分别相等; 4、四边形+两组对角相等; 3、四边形+一组对边相等且平行; 1、四边形+三个直角; 2、平行四边形+一个直角;

菱 形 正 方形 等腰 梯形

1、四边形+三边相等; 2、平行四边形+一组邻边相等;

3、平行四边形+对角线 互相垂直; 4、四边形+对角线互相 垂直且平分。 2、菱形+一个直角; 2、梯形+同一底上两角相等 3、四边形+对角线相等 且互相垂直平分; 3、梯形+对角线相等。

1、矩形+邻边相等; 1、梯形+两腰相等;

(四)四边形中常出现题型 1、中点问题: 出现“中点”常做辅助线: (1)倍长中线或类中线构造全等三角形。如图:
A

A
B M C

D B M E C

D

(2)三角形中位线定理 (3)已知直角三角形斜边中点,可以考虑构造斜边中线。 (4)已知等腰三角形底边中点,可以考虑与顶点连接用三线合一。 注意:如果题目当中出现“中点”两字,有的时候要同时构造以上辅助线。 【三线合一例题】 (1)如图 1,在矩形 ABCD 中,AB=2BC,M 是 AB 的中点.直接写出∠BMD 与∠ADM 的倍数关系; (2)如图 2,若四边形 ABCD 是平行四边形, AB=2BC,M 是 AB 的中点,过 C 作 CE ⊥AD 与 AD 所在直线交于点 E. 若∠A 为锐角,则∠BME 与∠AEM 有怎样的倍数关系,并证明你的结论;
E

D

C
D C M
图2

A

M
图1

B

A

B

E F D
4 1 2 3

(1)∠BMD= 3 ∠ADM …… 2 分 (2)联结 CM,取 CE 的中点 F,联结 MF,交 DC 于 N ∵M 是 AB 的中点,∴MF∥AE∥BC,

C

A

M

B

∴∠AEM=∠1,∠2=∠4, ……… 3 分 ∵AB=2BC,∴BM=BC,∴∠3=∠4. ∵CE⊥AE,∴MF⊥EC,又∵F 是 EC 的中点, ∴ME=MC,∴∠1=∠2. ……….4 分 ∴∠1=∠2=∠3. ∴∠BME =3∠AEM. ………. 5 分 【斜边中线+倍长中线例题】已知:△ABC 和△ADE 是两个不全等的等腰直角三角形,其中 BA=BC,DA=DE,联结 EC,取 EC 的中点 M,联结 BM 和 DM. (1)如图 1,如果点 D、E 分别在边 AC、AB 上,那么 BM、DM 的数量关系与位置关系 是 ;

(2)将图 1 中的△ADE 绕点 A 旋转到图 2 的位置时,判断(1)中的结论是否仍然成立,并 说明理由.

B

B E M A D C
D E A M C

.解: (1)BM=DM 且 BM⊥DM. ………2 分 (2)成立. ……………3 分 理由如下:延长 DM 至点 F,使 MF=MD,联结 CF、BF、BD. 易证△EMD≌△CMF.………4 分 ∴ED=CF,∠DEM=∠1.
9

∵AB=BC,AD=DE,且∠ADE=∠ABC=90°, ∴∠2=∠3=45°, ∠4=∠5=45°. ∴∠BAD=∠2+∠4+∠6=90°+∠6. ∵∠8=360°-∠5-∠7-∠1,∠7=180°-∠6-∠9, ∴∠8=360°-45°-(180°-∠6-∠9)-(∠3+∠9) =360°-45°-180°+∠6+∠9- 45°-∠9 =90°+∠6 . ∴∠8=∠BAD.………5 分 又 AD=CF. ∴△ABD≌△CBF. ∴BD=BF,∠ABD=∠CBF.………6 分 ∴∠DBF=∠ABC=90°. ∵MF=MD, ∴BM=DM 且 BM⊥DM..…………7 分 【应用 6 种方法】已知△ABC 中,AB=AC,CE 是 AB 边上的中线,延长 AB 到点 D, 使 BD=AB.求证:CD=2CE.

C

A

E

B
? BD

D
,故 B F
? BD

【解析】 解法一:如图所示,延长 C E 到 F ,使 E F ? C E . 容易证明 ? E B F ≌ ? E A C ,从而 B F ? A C ,而 A C ? A B 注意到 ? C B D ? ? B A C ? ? A C B ? ? B A C ? ? A B C , ?CBF ? ?ABC ? ?FBA ? ?ABC ? ?CAB , 故 ? C B F ? ? C B D ,而 B C 公用,故 ? C B F ≌ ? C B D , 因此 C D ? C F ? 2 C E .



C

A

E

B

D

F
解法二:延长 CE 到点 F,使得 EF=CE,连接 AF. 容易证明△EAF≌△EBC,从而 AF=BC,而 A C ? A B 注意到, , 故△FAC≌△CBD, 因此 C D ? C F ? 2 C E .

解法一图

? BD



C

A

E

B

D

F

解法二图

解法三:延长 BC 到点 F,使 CF=CB,如解法三图. 由题意可知 A C ? A B ? B D . 注意到, , 故△FAC≌△DCB,因此 CD=AF, 又 C、E 分别为 AB、BF 的中点,故 CE 为△ABF 的中位线, 因此 CD=AF=2CE.

F

C

A

E

B

D

解法三图

解法四:如图所示,取 C D 的中点 F,连接 BF. 因为 F 是 C D 的中点, B 是 A D 的中点, 故 BF 是 ? D A C 的中位线,从而 由 BF∥AC 可得, ,故 从而 EC=FC, C D ? 2 C E . ,
C F D



A

E

B 解法四图

解法五:延长 AC 到 F,使得 CF=AC.连接 BF、DF. ∵AF=2AC=2AB=AD. 易得△ABF≌△ACD. ∴BF=CD. ∵E 是 AB 中点, ∴CE 是△ABF 的中位线. ∴CD=BF=2CE.

F

C

A

E

B

D

解法五图
解法六:证明:取 AC 的中点 F,连接 BF, ∵AB=AC,点 E,F 分别是 AB,AC 的中点, ∴AE=AF, ∵∠A=∠A,AB=AC, ∴△ABF≌△ACE(SAS) ,

C F D

A

E

B 解法六图

∴BF=CE, ∵BD=AB,AF=CF, ∴DC=2BF, ∴DC=2CE.

2、梯形常做辅助线:

【例题 1】如图所示.梯形 ABCD 中,AD∥BC,M 是腰 DC 的中点,MN⊥AB 于 N,且 MN = b,AB = a.求梯形 ABCD 的面积.

A N

D M

B

C

解:延长 AM 交 BC 延长线上点 G,过点 G 作 GH⊥NM,交 NM 的延长线上于点 H,

∵AD∥BC,M 是 DC 中点, ∴△ADM≌△GCM,

∴AM=MG,即点 M 也是 GA 的中点, ∵∠H=∠ANM=90°, ∴AB∥HG, ∵点 M 也是 GA 的中点, ∴△ANM≌△BHG, ∴MN=MH=b,AN=HG, ∴GH+BN=BN+AN=AB=a, ∴梯形 ABCD 与梯形 HGBN 的面积相等,

∵S 梯形 HGBN= ∴S 梯形 ABCD=ab.

(GH+BN)?HN=

×a×2×b=ab,

【例题 2】如图,梯形 ABCD,AD∥BC,CE⊥AB,△BDC 为等腰直角三角形,CE 与 BD 交于 F,连接 AF,G 为 BC 中点,连接 DG 交 CF 于 M. 证明: (1)CM=AB; (2)CF=AB+AF.

(1) 解∵BD⊥CD,∠DCB=45° ,∴∠DBC=∠DCB=45° , ∴CD=DB=2,∴CB= DB2+CD2=2 2, 1 ∵CE⊥AB 于 E,点 G 为 BC 中点,∴EG= CB= 2. 2

(2)证明:证法一:延长 BA、CD 交于点 H,∵BD⊥CD,∴∠CDF=∠BDH=90° , ∴∠DBH+∠H=90° ,∵CE⊥AB 于 E,∴∠DCF+∠H=90° , ∴∠DBH=∠DCF,又 CD=BD,∠CDF=∠BDH,∴△CDF≌△BDH(ASA), DF=DH, CF= BH=BA+AH,∵AD∥BC,∴∠DBC=∠ADF=45° ,

∠HDA=∠DCB=45° ,∴∠ADF=∠HAD,又 DF=DH,DA=DA, ∴△ADF≌△ADH(SAS),∴AF=AH, 又 CF=BH=BA+AH ,∴CF=AB+AF. 证法二:在线段 DH 上截取 CH=CA,连结 DH.

∵BD⊥CD,BE⊥CE,∴∠EBF+∠EFB=90° ,∠DCF+∠DFC=90° . 又∠EFB=∠DFC,∴∠EBF=∠DCF. 又 BD=CD,BA=CH,∴△ABD≌△HCD. ∴AD=HD,∠ADB=∠HDC. 又 AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC=45° . ∴∠HDC=45° .∴∠HDB=∠BDC-∠HDC=45° . ∴∠ADB=∠HDB. 又 AD=HD, DF=DF,∴△ADF≌△HDF,∴AF=HF. ∴CF=CH+HF=AB+AF. 【例题 3】如图所示.梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠A+∠B=90°,AB=p,CD=q,E,F 分别为 AB,CD 的中点. 求 EF.

解:过点 F 分别作 FG∥AD,FH∥BC 交 AB 于 G,H, (如图)

∴∠A=∠FGH,∠B=∠FHG, ∵∠B+∠A=90°,

∴∠FGH+∠FHG=90°, ∴△FGH 是直角三角形, ∵FG∥AD,FH∥BC,AB∥CD, ∴四边形 ADFG、FHBC 都是平行四边形, 又∵E、F 分别是两底的中点, ∴AE=EB,BH=AG, ∴GE=EH, ∴DF=AG= ,FC=HB= ,FG=AD,FH=BC, 在 Rt△EGH 中,即 EF 是 Rt△FGH 斜边的中线,

∴EF=

GH=

(AB﹣CD)=



3、几何三大变换 a)平移 平移模型: ①相等相交型: 【例题1】已知线段AB、CD相交于点O,其中AB ??CD,?AOD ??120??,求证:AD ??BC ≥ AB .

D

A

C

B

【解析】过点C作CE∥AD,且CE = AD,连接AE,BE. 故四边形ADCE为平行四边形,△ ABE为顶角为120° 的等腰三角形,故BE =AB,AD + BC = CE + BC,∴ AD + BC ≥AB,当 且仅当点 B,C,E三点共线时,等号成立 .
D

A

C

B

E

②相等不相交型: 【例 2】已知:如图,在四边形 A B C D 中, A D ? B C , ? A 、 ? B 均为锐角. (1) 当 ? A ? ? B 时, C D 与 A B 的位置关系是 C D 则 大小关系是 C D AB , (2) 当 ? A ? ? B 时, (1)中 C D 与 A B 的大小关系是否还成立, 证明你的结论. D [解析](1)答:如图 1, C D ∥ A B ,CD ? AB . (2)答: C D ? A B 还成立. 如图 2,分别过点 D 、 B 作 B C 、 C D 的平行线,两线交于 F 点. A ∴ 四边形 D C B F 为平行四边形. ∴ FD ? BC , DC ? FB . ∵ AD ? BC , ∴ AD ? FD . …………4 分 作 ? A D F 的平分线交 A B 于 G 点,连结 G F . ∴ ?ADG ? ?FDG . 在 ?ADG 和?FDG 中
? AD ? FD , ? ? ? ADG ? ? FDG , ? DG ? DG , ?
AB ;

C

B

D

C

A

图1

B

D C
…………5 分 …………6 分 …………7 分

∴ ?ADG ? ?FDG . ∴ AG ? FG . ∵在 ? B F G 中, FG ? BG ? BF . ∴ AG ? BG ? DC . ∴ DC ? AB .

F A G
图2

B

③当题当中出现了两条相等的线段并且相等线段共线或平行时,可选择平移。 E 如图, 已知 ? A B C ⑴请你在 B C 边上分别取两点 D 、 ( B C 的中点除外), 连结 A D 、A E , 写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件,并表示出面积相等的三角形; ..... ⑵请你根据使⑴成立的相应条件,证明 A B
? AC ? AD ? AE



A

A

B

B C

D (1)

E

C

F

A

G B D (2) E C

B G

D

O

E

C

(3) F

⑴如图⑴相应的条件是: B D ? C E ? D E ; 两对面积相等的三角形分别是: ? A B D 和 ? A C E , ? A B E 和 ? A C D . ⑵(方法 1):如图⑵,分别过点 D 、 B 作 C A 、 E A 的平行线,两线交于 F 点, D F 与 A B 交于 G 点. 所以 ? A C E ? ? F D B , ? A E C ? ? F B D 在 ? A E C 和 ? F B D 中,又 C E ? B D ,可证 ? A E C ≌ ? F B D 所以 A C ? F D , A E ? F B 在 ? A G D 中, A G ? D G ? A D 在 ? B F G 中, B G ? F G ? F B 所以 A G ? D G ? B G ? F G ? A D ? F B 即 AB ? FD ? AD ? FB 所以 A B ? A C ? A D ? A E (方法 2):如图⑶取 B C 中点 O ,连结 A O 并延长 A O 至 F , O F ? A O , 连结 B F , D F ,延长 A D 交 B F 于 G 可证得 ? B O F ≌ ? C O A , ? D O F ≌ ? E O A 所以 A C ? B F , A E ? D F 在 ? B G A 中, B G ? A B ? G D ? A D 在 ? G F D 中, G D ? G F ? F D 所以 B G ? A B ? G D ? G F ? G D ? A D ? F D 所以 B G ? A B ? G F ? A D ? F D 即 BF ? AB ? AD ? FD 所以 A B ? A C ? A D ? A E 练习题:在 R t ? A B C 中, ? C ? 9 0 ? , D , E 分别为 C B , C A 延长线上的点, B E 与 A D 的交点为 P . (1)若 B D ? A C , A E ? C D ,在图 1 中画出符合题意的图形,并直接写出 ? A P E 的 度数; [解析] (2)若 A C ? 3 B D , C D ?
3 AE

,求 ? A P E 的度数.

[解析] (1)如图 2, ? A P E =

45

°. ……………………2 分 ……………………3 分

C B P D

(2)解法一:如图 3,将 A E 平移到 D F ,连接 B F , E F . 则四边形 A E F D 是平行四边形.

A

图2

E

∴ AD ∥ EF , AD ? EF . ∵ AC ? 3BD , CD ? ∴ ∴
AC BD ? 3

3 AE
?

, .



CD AE

?

CD DF

3

AC BD

?

CD DF

.……………………………………………………4 分

C

∵ ? C ? 90? , ∴
? BD F ? 180? ? ? C ? 90? .

B A P 1 D

∴ ?C ? ?BDF . ∴ ? A C D ∽ ? D B F .………………5 分 ∴ ∴
AD BF EF BF ? ? AC BD AD BF ? 3 ? 3

, ?1 ? ? 2 . .

E 2
图3

F

∵ ?1 ? ? 3 ? 9 0 ? , ∴ ? 2 ? ? 3 ? 90? . ∴ BF ? AD . ∴ B F ? E F .…………………………………………………………6 分 ∴ 在 R t ? B E F 中, ta n ? B E F ?
BF EF ? 3 3



∴ ? A P E ? ? B E F ? 3 0 ? .…………………………………………7 分 解法二:如图 4,将 C A 平移到 D F ,连接 A F , B F , E F .………………3 分 则四边形 A C D F 是平行四边形. ∵ ? C ? 90? , ∴ 四边形 A C D F 是矩形, ? A F D ? ? C A F ? 9 0 ? , ? 1 ? ? 2 ? 9 0 ? . C ∵ 在 R t ? A E F 中, ta n ? 3 ? 在 R t ? B D F 中, ta n ? 1 ? ∴
? 3 ? ?1 ? 3 0 ?

AE AF

? BD AC

AE CD ?

? 3 3

3 3



BD DF

?



A

B 4 P D


? ?

∴ ? 3 ? ? 2 ? ? 1 ? ? 2 ? 9 0 ,即 ? E F B ? 9 0 . ∴ ? A F D ? ? E F B . …………………4 分 又∵
DF BF ? AF EF ? 3 2

3 E 5
图4

2 1 F



∴ ? A D F ∽ ? E B F . ……………5 分 ∴ ? 4 ? ? 5 .……………………6 分 ∵ ?APE ? ? 4 ? ?3 ? ?5 , ∴ ? A P E ? ? 3 ? 3 0 ? .………………7 分 b)旋转

总结:1.当题当中出现了两条相等线段共顶点并且夹角是(60 度,90 度,180 度)时,可 选择旋转夹角。 2.图形旋转后我们需要证明旋转全等,而旋转全等中的难点实际上是倒角,下面给出 旋转常用倒角,只要是旋转,必然存在这两个倒角模型。

O

A D
D

O

C A B

B

C

【例1】 请阅读下列材料: 已知:如图 1 在 R t ? A B C 中,? B A C ? 9 0 ? , A B ? A C ,点 D 、 E 分别为线段 B C 上 两动点,若 ? D A E ? 4 5 ? .探究线段 B D 、 D E 、 E C 三条线段之间的数量关系. 小明的思路是:把 ? A E C 绕点 A 顺时针旋转 9 0 ? ,得到 ? A B E ? ,连结 E ?D , 使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题: ⑴ 猜想 B D 、D E 、E C 三条线段之间存在的数量关系式, 并对你的猜想给予证明; ⑵ 当动点 E 在线段 B C 上,动点 D 运动在线段 C B 延长线上时,如图 2,其它条件 不变,⑴中探究的结论是否发生改变?请说明你的猜想并给予证明.
A
A

B

D 图1

E

C

D

B

E 图2

C

[解析]

⑴ DE 2 ? BD 2 ? EC 2 证明:根据 ? A E C 绕点 A 顺时针旋转 9 0 ? 得到 ? A B E ? ∴ ?AEC ≌ ?ABE ? ∴ B E ? ? E C , A E ? ? A E , ? C ? ? A B E ? , ? E A C ? ? E ?A B 在 R t? A B C 中 ∵ AB ? AC ∴ ? ABC ? ? AC B ? 45? ∴ ? ABC ? ? ABE ? ? 90? 即 ? E ?B D ? 9 0 ? ∴ E ?B 2 ? B D 2 ? E ?D 2 又∵ ? D A E ? 4 5 ? ∴ ? BAD ? ? EAC ? 45? ∴ ? E ?A B ? ? B A D ? 4 5 ? 即 ? E ?A D ? 4 5 ? ∴ ? A E ?D ≌ ? A E D ∴ DE ? DE? ∴ DE 2 ? BD 2 ? EC 2

A F

A

E'

B

D

E

C

D

B

E

C

⑵ 关系式 D E 2 ? B D 2 ? E C 2 仍然成立 证明:将 ? A D B 沿直线 A D 对折,得 ? A F D ,连 F E ∴ ?AFD ≌ ?ABD ∴ AF ? AB , FD ? DB ?FAD ? ?BAD , ?AFD ? ?ABD 又∵ A B ? A C ,∴ A F ? A C ∵ ? F A E ? ? F A D ? ? D A E ? ? F A D ? 45? ? EAC ? ? BAC ? ? BAE ? 90? ? ? ? D AE ? ? D AB ? ? 45? ? ? D AB ∴ ?FAE ? ?EAC 又∵ A E ? A E ∴ ?AFE ≌ ?ACE ∴ FE ? EC , ?AFE ∴ ? DFE ? ? AFD ∴在 R t ? D F E 中
DF
2

? ? AC E ? 45?

? AFD ? ? ABD ? 180? ? ? ABC ? 135?
? ? A F E ? 135? ? 45? ? 90?

即 DE 2 ? BD 2 ? EC 2 【例2】 已知, ? A B C 中,? A C B 为锐角,D 是射线 B C 上一动点( D 与 C 不重合), A D 在 以 为一边向右侧作等边 ? A D E ( C 与 E 不重合),连接 C E . ⑴ 若 ? A B C 为等边三角形,当点 D 在线段 B C 上时(如图 1 所示),则直线 B D 与直 线 C E 所夹锐角为 度; ⑵ 若 ? A B C 为等边三角形,当点 D 在线段 B C 的延长线上时(如图 2 所示),你在 ⑴中得到的结论是否仍然成立?请说明理由; ⑶ 若 ? A B C 不是等边三角形, B C ? A C (如图 3 所示). 且 试探究当点 D 在线段 B C 上时,你在⑴中得到的结论是否仍然成立?若成立,请说明理由;若不成立, 请指出当 ? A C B 满足什么条件时,能使⑴中的结论成立,并说明理由.
? FE ? DE
2 2

E A E A A

B

D 图1

C

F

B

C 图2

F D

B 图3

C

F

A E B
[解析] ⑴
60?

G


D

C

F

⑵ 成立. ∵ ? A B C 是等边三角形,∴ A B ? A C ,? B A C ∵ ? A D E 是等边三角形,∴ A D ? A E ,? D A E ∴ ?BAD
? ?CAE

? 60? , ? 60?



,∴ ? B A D ≌

?C AE ?SAS ? ,

∴ ? AC E ? ? ABD ? 60? , ∵ ? A C D ? 1 2 0 ? ,∴ ? E C F ? 6 0 ? , 即直线 B D 与直线 C E 所夹锐角为 6 0 ? . ⑶ 原结论不成立.当 ? A C B ? 6 0 ? 时,才能使⑴中的结论成立. 当 ? A C B ? 6 0 ? 时,在 B C 上取一点 G ,使得 C G ? A C , 则 ? A G C 是等边三角形,∴ A G ? A C ,? G A C ? 6 0 ? , ∵ ? A D E 是等边三角形,∴ A D ? A E ,? D A E ? 6 0 ? , ∴ ?GAD
? ?CAE

,∴ ? G A D ≌

?CAE ?SAS ? ,
60?

∴ ? AC E ? ? AG D ? 60? , ∴ ? E C F ? 180? ? ? A C G ? ? A C E ? 180? ? 60? ? 60? ? ∴当 ? A C B ? 6 0 ? 时,能使⑴中的结论成立.



【例 3】如图,在等腰 △ A B C 中, A B ? A C , ? A B C ? ? ,在四边形 B D E C 中, D B ? B D E ? 2 ? , M 为 C E 的中点,连接 A M , D M . ⑴ 在图中画出 △ D E M 关于点 M 成中心对称的图形; ⑵ 求证: A M ? D M ; ⑶ 当 ? ? ___________时, A M ? D M . [解析]⑴ 如图所示; ⑵ 在⑴的基础上,连接 A D , A F 由⑴中的中心对称可知, △ D E M ≌ △ F C M , ∴ DE ? FC ? BD , DM ? FM , ? DEM ? ? FCM , ∵ ? ABD ? ? ABC ? ? C BD ? ? ? 360? ? ? BD E ? ? D EM ? 360? ? ? ? ? D EM ? ? BC E , ∴ ?ABD ? ?ACF , ∴ △ A B D ≌ △ A C F ,∴ A D ? A F , ∵ D M ? F M ,∴ A M ? D M . ⑶ ? ? 45? .

? DE


A

B
? ?BCE

C M

? AC F ? 360? ? ? AC E ? ? FC M ? 360? ? ? ? ? BC E ? ? FC M



A

D E

B

C M D E

F

c)轴对称 给出几种常见考虑要用或作轴对称的基本图形 (1)线段或角度存在 2 倍关系的,可考虑对称。 (2)有互余、互补关系的图形,可考虑对称。 (3)角度和或差存在特殊角度的,可考虑对称。 (4)路径最短问题,基本上运用轴对称,将分散的线段集中到两点之间,从而运用两点之 间线段最短,来实现最短路径的求解。所以最短路径问题,需考虑轴对称。几何最值问题的 几种中考题型及解题作图方法如下所示。 探索 1:如图,在 l 上找一点 P,使 PA??PB 最小.

【解析】直线 AB 与 l 的交点即为所求点 P,PA??PB 最小值为 AB. 探索2:如图,在l上找一点P,使PA??PB最小.

【解析】做点 B 关于直线 l 的对称点 B',直线 AB'与 l 的交点即为所求点 P,PA??PB 最小值为 AB'.

探索 3:如图,在 l 上找一点 P,使∣PA??PB∣最大.

【解析】直线 AB 与 l 的交点即为所求点 P,∣PA??PB∣最大值为 AB.

探索 4:如图,在 l 上找一点 P,使∣PA??PB∣最大.

【解析】做点 B 关于直线 l 的对称点 B',直线 AB'与 l 的交点即为所求点 P,∣PA??PB∣最大 值为 AB.

探索5:如图,在l上找一点P,使∣PA??PB∣最小.

【解析】直线 AB 的中垂线与 l 的交点即为所求点 P,∣PA??PB∣最小值为 0. 探索 6:如图,点 P 在锐角?AOB 的内部,在 OB 边上求作一点 D,在 OA 边上求作一点 C, 使△PCD 的周长最小.

【解析】做点 P 关于直线 OA、OB 的对称点 P1、P2,P1P2 与直线 OA、OB 的交点为所求点 C、 D.△PCD 的周长最小值为 P1P2 长度. 探索 7:如图,点 P 在锐角?AOB 的内部,在 OB 边上求作一点 D,在 OA 边上求作一点 C, 使 PD??CD 最小.

【解析】 做点 P 关于直线 OB 的对称点 P'、 P'向直线 OA 作垂线、 OB 的交点为所求点 D, 过 与 垂足即为点 C.PD??CD 的最小值为 PC 长度.

探索 8:如图,点 C、D 在锐角?AOB 的内部,在 OB 边上求作一点 F,在 OA 边上求作一点 E,使四边形 CEFD 周长最小.

【解析】如图所示,作 C、D 两点分别关于直线 OA、OB 的对称点 C?、D??,连接 C?、D??分别 交 OA、OB 于 E、F,实线所示即为所求. 【例 1】 (1)如图(a), 正方形 ABCD 中, 是 BC 的中点, M CM=2, P 是 BD 上一动点, PM+PC 点 则 的最小值是

(2)如图(b),若将(1)中的正方形换成菱形且∠ABC=60°,其它条件均不变,则 PM+PC 的最小 值是

A P

D

A

D P

B

M (a)

C

B

M (b)

C

(1)2

(提示:求线段和的最小值,可以考虑利用对称性,点 C 关于 BD 的对称点为点 A,连

接 AM,与 BD 的交点即为 P 点,PM+PC 最小值就是线段 AM 的长,由勾股定理可求得长为 2 (2)2 .) (提示:方法同(1),连接 AM、AC,△ABC 是等边三角形,即 AM⊥BC.)

【例题 2】请阅读下列材料: 问题:如图 1,在四边形 A B C D 中, M 是 B C 边的中点,且 ? A M D ? 9 0 ? ,试判断 A B ? C D 与 A D 之间的大小关系. 小雪同学的思路是:作 B 点关于 A M 的对称点 E ,连接 A E 、 M E 、 D E ,构造全等 三角形,经过推理使问题得到解决.
D D A A A D

B

M 图1

C

B

M 图2

C

B

M 图3

C

请你参考小雪同学的思路,探究并解决下列问题: ⑴ 写出上面问题中 A B ? C D 与 A D 之间的大小关系; ⑵ 如图 2,若将 ? A M D 的度数改为 1 2 0 ? ,原问题中的其他条件不变, 证明: A B
? 1 2 BC ? CD ≥ AD


? 1 , B C ? 2 2 ,C D ? 2

⑶ 如图 3,若 ? A M D [解析] ⑴ AB ⑵ 作
? CD ≥ AD

? 135?

, AB

,求 A D 的最大值.


F

A E、 E 、 F

点 关 于 AM 的 对 称 点 E , 作 C 点 关 于 DM 的 对 称 点 D. F 由轴对称的性质可知 △ A E M ≌ △ A B M , △ D F M ≌ △ D C M , ∴ A E ? A B ,D F ? C D , E M ? B M ? F M ? C M ,
B

,连接

? A M E ? ? A M B ,? F M D ? ? C M D


1 2 BC

F

∴ ?EM F

? 60?

,∴ E F

? EM ? FM ?



E

D

∴ A E ? E F ? F D ? A D ,当 A E 、 E F 、 F D 共线的时候等号成立,A 即 AB
? 1 2 BC ? CD ≥ AD


2 2 BC ? CD ≥ AD 2? 2 2

B

M

C

⑶ 由⑵的结论可得到 A B ∴ AD


?

, ,

AB ?

2 2

BC ? CD ? 1 ? 2

? 2 ? 5

∴ A D 的最大值为 5 .

代几综合:
函数与四边形的结合题型: 【例题】已知:如图,直线 y ? ? 3 x ? 4 3 与 x 轴交于点 A ,与直线 y ? 3 x 相交 于点 P . (1)求点 P 的坐标. (2)请判断 ? O P A 的形状并说明理由. (3) 动点 E 从原点 O 出发, 以每秒 1 个单位的速度沿着 O → P → A 的路线向点 A E 与点 O 、A 重合) 过点 E 分别作 E F ? x 轴于 F ,E B ? y 轴于 B . 匀速运动 ( , 设 运动 t 秒时,矩形 E B O F 与 ? O P A 重叠部分的面积为 S .求: ① S 与 t 之间的函数关系式. ②当 t 为何值时, S 最大,并求 S 的最大值. 【答案】⑴
? y ? ? 3x ? 4 3 ? ? ? y ? 3x ?

,解得 ?
3

?x ? 2 ? ?y ? 2 3 ?


y

∴点 P 的坐标为 ? 2 ,2 ⑵ 将y
? 0

?.


代入 y

? ? 3x ? 4 3

P

得 ? 3x ? 4 3 ? 0 ∴ x ? 4 ,即 O A ? 4 做 P D ? O A 于 D ,则 O D ∵ ta n ? P O A ∴ ? POA ∵OP
?

? 2

, PD

? 2 3

B

E x

?

2 3 2

?

3

O

F

A

? 60?

2 ? 2 3
2

?

?

2

? 4

∴ ? P O A 是等边三角形.

y

y

P
C

P

B

B

E

E D x
O F A x

O

F

A

(3) ① 当0

? t ? 4 时,如图

在 Rt?EOF ∴ EF ∴S
?
? 3 2

1 中,∵ ? E O F ,OF
? 1 2 t
2

? 60? , O E ? t

t

1 2

? OF ? EF ?

3 8

t

当 4 ? t ? 8 时,如图 2 设 E B 与 O P 相交于点 C 易知: C E ? P E ? t ? 4 , A E ∴ AF ∴OF ∴S
?
? 4? 1 2 t

?8?t

, EF

?

3 2

?8 ? t ?

1 ? 1 ? ? OA ? AF ? 4 ? ? 4 ? t ? ? t 2 ? 2 ?

1 2

?CE

? OF ? ? EF

?

1? 1 ? 3 ?8 ? t ? ?t ? 4 ? t?? 2? 2 ? 2
3 8 3t ? 4 3t ? 8 3 t
2
2

? ?

② 当0 当4
t ?

? t ? 4 时, S ?

3 8

t

2

,t
2

? 4

时, S 最 大

? 2 3

? t ?8

时, S
?

? ?
8 3

3 8

3t ? 4 3t ? 8 3 ? ?

3 8

16 ? 8 ? 3?t ? ? ? 3 ? 3 ?

2

3

16 3

时, S 最 大
3 ? 2 3

3
? 16 3



8 3

,∴当 t

时, S

?最大

8 3

3


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