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1牛顿运动定律


自然和自然规律隐藏在黑暗之中, 上帝说“让牛顿降生吧”, 一切就有了光明; 但是,光明并不久长,魔鬼又出现了, 上帝咆哮说:“让爱因斯坦降生吧”, 就恢复到现在这个样子。

三百年前,牛顿站在巨人的肩膀上,
建立了动力学三大定律和万有引力定律。

其实,没有后者,就不能充分显示前者
的光辉。海王星的发现,把牛顿力学推<

br />
上荣耀的顶峰。
魔鬼的乌云并没有把牛顿力学推跨,

她在更加坚实的基础上确立了自己的使
用范围。宇宙时代,给牛顿力学带来了 又一个繁花似锦的春天。

1-3 牛顿运动定律
一、牛顿运动定律的表述 牛顿第一定律(Newton first law)(惯性定律) 任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态, 直到受到力的作用迫使它改变这种状态为止。

包含两个重要概念:惯性和力 固有特性

牛顿第二定律(Newton second law)
在受到外力作用时,物体所获得的加速度的大 小与外力成正比,与物体的质量成反比;加速度的 方向与外力的矢量和的方向相同。

特点:

? ? F ? ma

瞬时性;迭加性;矢量性;定量的量度了惯性

1、瞬时性:

之间一一对应

i ? ? ? ? 2、迭加性: F ? F1 ? F2 ? ? ? FN ? ? Fi N ?1

3、矢量性:具体运算时应写成分量式 d? x Fx ? ma x ? m dt 直角坐标系中: F ? ma ? m d? y y y dt d? z Fz ? ma z ? m dt ?2 d? 自然坐标系中: Fn ? ma n ? m F? ? ma? ? m ? dt

4、定量的量度了惯性

m A aB ? mB a A

惯性质量:牛顿第二定律中的质量常被称为惯性质量 质量是物体平动惯性大小的量度

? m1 m 2 ? 引力质量: F ? ? G r0 2 r 式中 m1、m2 被称为引力质量
经典力学中不区分引力质量和惯性质量

牛顿第二定律的另一种形式(牛顿当年发表形式) 任一时刻物体动量的变化率总是等于物体 所受的合外力。

? ? ? ? dp d (mv ) F ? ? Fi ? ?


v

? ? ? dv F ?m ? ma dt

<<

c时:m=c o n s t


dt

dt

? a?

? ? Fi m

第三定律(Newton third law)

两个物体之间对各自对方的相互作用总是相等
的,而且指向相反的方向。

作用力与反作用力:

1、它们总是成对出现。它们之间一一对应。
2、它们分别作用在两个物体上。绝不是平衡力。 3、它们一定是属于同一性质的力。



惯性系与非惯性系

问 题
a=0时单摆和小球的状态符合牛顿定律 a≠0时单摆和小球的状态为什麽不符合牛顿定律? 结论:在有些参照系中牛顿定律成立,这些系称为惯 性系。相对惯性系作加速运动的参照系是非惯性系。 而相对惯性系作匀速直线运动的参照系也是惯性系。

惯性参照系——牛顿定律严格成立的参照系。根据天 文观察,以太阳系作为参照系研究行星运动时发现行 星运动遵守牛顿定律,所以太阳系是一个惯性系。 地球可以看作近似的惯性系

四、牛顿定律的应用 例:质量为m的小球,在水中受的浮力为常力F,当 它从静止开始沉降时,受到水的粘滞阻力为f=kv(k为 常数),证明小球在水中竖直沉降的速度v与时间t的 关系为 kt
? mg ? F v? (1 ? e m ) k

F f a x

式中t为从沉降开始计算的时间 证明:取坐标,作受力图。 根据牛顿第二定律,有

dv mg ? kv ? F ? ma ? m dt

mg

dv mg ? kv ? F ? ma ? m dt
初始条件:t=0 时 v=0

?

v

0

t dv ? ? dt ( mg ? kv ? F ) m 0

t m v d ( mg ? kv ? F ) ? ? ? ? dt 0 k 0 ( mg ? kv ? F )

kt ln( mg ? kv ? F ) 0 ? ? m
v

mg ? F v? (1 ? e k

?

kt m

)

1-4

动能定理

机械能守恒定律

一 、功和功率
1)恒力的功
定义:力在位移方向上的投影与该物体位移大小 的乘积。 ?

F

F ? ??

? ? ? W ? F// ?r ? F ?r cos? ? F ? ?r

? ?r

?

F ??

? F

2) 变力的功 dW ? F ? dr ? ?

? ? W ? F ? ?r dr ? ? F
b a

b

W ? ? dW ? ?
?

? ? F ? dr

?

a

??

b

a b

? F cos? dr

? ds ? dr

? ? F? ds
a

F? ? F cos?

功——力的空间积累 外力作功是外界对系统过程的一个作用量

? ? 微分形式 dW ? F ? dr ? F cos ?ds
直角坐标系中

W ? ? ?Fx dx ? Fy dy ? Fz dz ?
b a
x y z x0 y0 z0

? ? ? ? F ? Fx i ? Fy j ? Fz k ? ? ? ? dr ? dxi ? dyj ? dzk

? ? Fx dx ? ? F y d y ? ? Fz d z

3) 功的几何意义
F?
a

W ? ? F? ds
a

b

b

o

sa ds

sb

4) 合力的功
物体同时受
B

的作用

? ? ? W ?? A 1 ? F2 ? ? ? ? ? Fn ) ? dr ? ? ? B? ? ? B B ? ?A F1 ? dr ? ?A F2 ? dr ? ? ? ? ? ?A Fn ? dr
? W1 ? W2 ? ? ? ? ? Wn

? ? B ? F合 ? dr ? ?A ( F

结论:合力对物体所做的功等于其中各个分力分别 对该物体所做功的代数和。 注意:1、功是过程量,与路径有关。 2、功是标量,但有正负。 3、合力的功为各分力的功的代数和。

? ? ? 例1 作用在质点上的力为 F ? 2 yi ? 4 j ( N )
在下列情况下求质点从 x1 ? ?2(m ) 处运动到

x2 ? 3(m ) 处该力作的功:
1. 质点的运动轨道为抛物线

x ? 4y
2

2. 质点的运动轨道为直线

4y ? x ? 6
Y x2 ? 4 y

4y ? x ? 6

2.25

1
?2

O

3 X

W ??
a

B

? ? ?Fx dx ? F y dy ? Fz dz ?
b

A

? ? F ? dr

Y x2 ? 4 y
2.25

4y ? x ? 6
y2 y1

1

W1 ? ?

x2 , y2

x1 , y1

?2 ( Fx dx ? Fy dy ) ? ? 2 ydx ? ? 4dy
x2 x1

O

94 x2 ?? dx ? ? 4dy ? 10.8J ?2 2 1 3

W2 ? ?

x2 , y2

x1 , y1

( Fx dx ? F y dy ) ? ? 2 ydx ? ? 4dy
x1 y1

x2

y2

94 1 ?? ( x ? 6)dx ? ? 4dy ? 21.25J ?2 2 1 3

做 功 与 路 径 有 关

3 X

例2、一陨石从距地面高为h处由静止开始落向地面, 忽略空气阻力,求陨石下落过程中,万有引力的功 是多少? a 解:取地心为原点,引力与矢径方向相反 h b

Mm W ? F ? d r ? ? ? G 2 dr R? h R? h r

?

R

R

R
o

dr 1 ? ?1 ? ?GMm ? ? GMm ? ? ? 2 R? h r ? R R? h?
R

GMmh ? R( R ? h)

例3、质量为2kg的质点在力F=12t i (SI) 的作用下,从静止出发,沿x轴正向作直线运动。 求前三秒内该力所作的功。
解:(一维运动可以用标量)

W=? F ? d r ? ? 12tvdt
t 12t F v ? v0 ? ? adt ? 0 ? ? dt ? ? dt ? 3t 2 0 0 m 0 2 t t

?W ? ? 12t ? 3t dt ? ? 36t dt ? 9t ? 729J
2 3 4 0 0

3

3

5) 功率

力在单位时间内所作的功

平均功率:

?W P? ?t

?W dW ? 瞬时功率: P ? lim dt ?t ?0? ?t

? ? ? dW ? F ? dr

? ? ? dr ? ?P ? F ? ? F ?v dt

瞬时功率等与力与物体速度的标积

6) 作用力和反作用力做功之和

m1、m2组成一个封闭系

dr2
dr1 m1 r1 F1 F2 r12 r2

m2

m2

? r2

? ? F2 dr2
o

? ? ? F1 ? ? F2
在经典力学中,两质点的相对位移不随参考系改变。

二、势能和势能曲线 1、保守力的功
重力的功 m在重力作用下由a运动到b,取地面为坐标原点. b ? ? W ? ? mg ? dr

??

a b

a

? ? ? ? ( ? mg )k ? ( dxi ? dyj ? dzk )

? ? mgdz ? mgz a ? mgz b
zb ?za

Z
a?
O
?

? dr
? mg

?

b

初态量

末态量

Y

X

万有引力的功 两个质点之间在引力作用下相对运动时 ,以M所 在处为原点, M指向m的方向为矢径的正方向。m 受的引力方向与矢径方向相反。
W ? ??
rb ra
rb

Mm ? ? G 3 r ? dr r

? ? ? r ? dr ? r dr cos? ? rdr
? Mm ? F ? ?G 3 r r

b
dr
? dr

Mm ? ? ? G 3 rdr ra r Mm Mm ? ( ?G ) ? ( ?G ) ra rb

rb
r
? F

? r

初态量

末态量

M ra

m

a

弹力的功

? ? F ? ? kxi ? ? xb 1 1 2 2 W ? ? ? kxi ? dxi ? ?( kxb ? kxa ) xa 2 2 1 1 2 2 ? kxa ? kxb 2 2
初态量 末态量 弹簧振子
? ? ?

某些力对质点所做的功只与质点的始末位置有关, 而与路径无关。这种力称为保守力。

? ? W ? ? F ? dr ? 0
L

典型的保守力: 重力、万有引力、弹性力
与保守力相对应的是耗散力 典型的耗散力: 摩擦力

2、势能
B

在受保守力的作用下,质点 从A-->B,所做的功与路径无关, 而只与这两点的位置有关。可引 入一个只与位置有关的函数,A点

A

的函数值减去B点的函数值,定义
为从A -->B保守力所做的功,该函

数就是势能函数。

Wab ? E P (a ) ? E P (b)

定义了势能差

W重 ? ?(mgz b ? mgz a )
? Mm Mm ? W引 ? ? ?( ?G0 ) ? ( ?G0 )? rb ra ? ?

W保 ? ?

b

a

? ? F保 ? dr

W弹

1 2 1 2 ? ?( kxb ? kxa ) 2 2

? E p (a ) ? E p (b) ? ? ?E p

保守力做正功等于相应势能的减少; 保守力做负功等于相应势能的增加。

? ? E P (a ) ? E P (b) ? ? F保 ? dr
b a

选参考点(势能零点),设 E P (b) ? 0

Wab ? E P (a )

质点在某一点的势能大小等于在相应的保守力的作用 下,由所在点移动到零势能点时保守力所做的功。

E p (a ) ? ?

零势能点

ra

? ? F保 ? dr

重力势能(以地面为零势能点)

E P ? ? ? mgdy ? ? mg (0 ? y ) ? mgy
y

0

弹性势能(以弹簧原长为零势能点)

1 2 1 2 E p ? ? ? kx ? dx ? ?(0 ? kx ) ? kx x 2 2
0

引力势能(以无穷远为零势能点)

势 能 只 具 有 相 对 意 义

Mm 1 EP = ?r -G r 2 dr ? ?GMm r
?

注意:
1、计算势能必须规定零势能参考点。势能是相对量, 其量值与零势能点的选取有关。 2、势能函数的形式与保守力的性质密切相关,对应于 一种保守力的函数就可以引进一种相关的势能函数。 3、势能是属于以保守力形式相互作用的物体系统所共 有的。 4、一对保守力的功等于相关势能增量的负值。因此, 保守力做正功时,系统势能减少;保守力做负功时, 系统势能增加。

?保守力势能和的关系:
势能是保守力对路径的线积分

? F
A

E p (a ) ? ?

零势能点

a

? ? F保 ? dl

? dl

?

Fl

? l

保守力所做元功

? dEP ? F ? d l ? F cos ?dl ? Fl dl
dEP ? Fl ? ? dl
保守力沿某一给定的l方向的分量等于与此保守 力相应的势能函数沿l方向的空间变化率。

dEP ? Fl ? ? dl
势能是位置的函数,用EP ( x,y,z)表示,称为势函数

Fx ? ?

?E p ?x

, Fy ? ?

?E p ?y

, Fz ? ?

?E p ?z

? ? ? ? ? ?E p ? ?E p ? ?E p F ? Fx i ? Fy j ? Fz k ? ?? ? ?x i ? ?y j ? ?z ? ? ? ? ? ? ? ? ?( i ? j ? k ) E p ? ? grdE p ? ??E p ?x ?y ?z
那勃勒算符

?? k? ? ?

质点所受保守力等于质点 势能梯度的负值

势能曲线
Ep(h) Ep(l) 势能曲线:势能随 位置变化的曲线 (a)重力势能曲线
) b)弹性势能曲线 (

O

O

( a) 1 2 E p Ep(r) r

h

O l 2 ( b) Ep(r) r0
O

(c)引力势能曲线

r (d)原子相互作用 势能曲线

( d) (c) 几种典型的势能曲线

势能曲线提供的信息
1、质点在轨道上任意位置所具有的势能值。 2、势能曲线上任意一点的斜率 表示质点在该处所受的保守力 的负值,

3、势能曲线有极值, 质点处于平衡位置。
设系统机械能守恒, 由此势能曲线可分析 系统状态的变化。

Ep

E
ra
势阱

势垒

?B

?A

rb

rc

X

三、动能

动能定理

1) 质点的动能定理

1 2 质点的动能 E k ? mv 2 b b b dv ds ? ? mvdv W ? ? F? ds ? ?b m a a dt b 1 1 1 2 2 ? d ( mv ) ? mv b ? mv a 2 a 2 2 2 1 1 2 2 W ? mv b ? mv a ? E Kb ? E Ka ? ?E k 2 2 末态动能 初态动能 合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。

?

外力做正功等于相应动能的增加; 外力做负功等于相应动能的减少。

比 保守力做正功等于相应势能的减少; 较 保守力做负功等于相应势能的增加。
功是质点动能变化的量度

过程量

状态量
运动状态变化 动能变化

物体受外力作用

2)质点系的动能定理
质点系统的动能

1 2 E k ? ? E ki ? ? mi v i i i 2

i ? 1,2,? , n

因为 作用力和反作用力做功之和 所以一对内力 做功之和不一定为零 因此

W外 ? W内 ? Ek末 ? Ek初

质点系的动能定理: 对质点系作的总功等于质点系总动能的增量。

四、 机械能守恒定律
1)质点系的功能原理
质点系的动能定理

W外 ? W非保守内力 ? W保守内力 ? E K ? E K 0 W保守内力 ? ?( E P ? E P 0 ) ? ??E P W外 ? W非保守内力 ? ( E K ? E K 0 ) ? ( E P ? E P 0 ) W外 ? W非保守内力 ? E ? E0
质点系在运动过程中,它所受外力的功与系统内非保 守力的功的总和等于其机械能的增量。 称为功能原理

2)机械能守恒定律

W外 ? W非保守内力 ? 0 或W外 ? 0 和 W非保守内力 ? 0
系统的机械能保持不变 在只有保守内力做功的情况下, 质点系的机械能保持不变。

1-5

冲量与动量

一、动量 (描述质点运动状态,矢量)
质点的动量 质点系的动量

? ? p ? mv ? ? ? p ? ? pi ? ? mi vi
元冲量

二、质点的动量定理
? ? ? d (mv ) dp F? ? dt dt

动量定理的微分形式

动量定理的微分形式

其中令

? t2 ? I ? ? Fdt 称为力的冲量.
t1

动量定理的积分形式
作用于物体上的合外力的冲量等于物体动量的增量 ——质点的动量定理

I x ? ? Fx dt ? mv 2 x ? mv 1 x
t1

t2

分量表示式

I y ? ? Fy dt ? mv 2 y ? mv 1 y
t1

t2

I z ? ? Fz dt ? mv 2 z ? mv 1 z
t1

t2

平均冲力: 定义:在相同时间内,若有一恒力的冲量与一变力 的冲量相等。则这一个恒力称为这一变力的平均冲 力。即当恒力与变力满足:

? F恒力?t ?
则定义平均冲力
? ? F 平 ? F恒力 ?
__

?
?

t2

t1

? F变 ( t ) ? dt
? ? p2 ? p1 ? t 2 ? t1

t2

t1

? F变 ( t ) ? dt t 2 ? t1

? ? ? 动量定理变为: F 平均冲力?t ? m v 2 ? m v1

三、质点系的动量定理
设有两个质点系m1、m2 受外力:
受内力: m1 m2

? ? dp2 ? 对质点“2” ? F2 ? f ? 对质点 dt “1” ? ? ? ? ? ? d ( p1 ? p2 ) ? F1 ? F2 ? f ? f ?

dt ? ? d ( p1 ? p2 ) ? ? ? F1 ? F2 dt

一般言之:设有N个质点,则:

? ? ? ? p ? p1 ? p2 ? ? ? pn ? ? ? 令: ? 则有: F ? F1 ? F2 ? ? Fn ? ? ? dP ? ? F 或: Fdt ? dP dt
动量定理的微分形式.

? ? ? d ? ? ? ( p1 ? p2 ? ? ? pn ) ? F1 ? F2 ? ? Fn dt

? ? ? d ? ? ? ( p1 ? p2 ? ? ? pn ) ? F1 ? F2 ? ? Fn dt
? ? ? ? t2 P2 ? ? ( F1 ? F2 ? ? Fn )dt ? ?? dP t1 P1

?

t2

t1

? ? ? ? ? Fi外dt ? ? dP ? ? pi 2 ? ? pi1
i i i

? P2 ? P1

? ? ? ? Ii ? P2 ? P1
n i ?1

质点系的动量定理.

质点系的动量定理:质点系所受外力的总冲量等于质

点系的总动量的增量 n
i ?1

? ? ? ? Ii ? P2 ? P1

注意:只有质点系的外力才能改变质点系的总动量.内 力虽能改变质点系个别质点的动量,但不能改变质 点系的总动量。

四、质点系的动量守恒定理

如果

? ? F ? ? Fi外 ? 0
? ? ? p ? ? mi vi ? c
i ?1 n

? dP ? ?F dt

则有:

若质点系所受合外力为零, 则质点系的总动量保持不变。

注意1)使用时要注意定理的条件:

? ? ? Fi外 ? 0
ix

?惯性系

2)常用分量式:

?F
i

?0
?0 ?0

?m v

i ix

? 恒量 ? 恒量 ? 恒量

?F
i

iy

?F
i

iz

?m v ?m v

i iy

i iz

这说明哪个方向所受的合力为零, 则哪个方向的动量守恒。

动量守恒定律 三大 守恒定律 动能转换与守恒定律 角动量守恒定律 物理学大厦 的基石

? 例一、如图,车在光滑水平面上运动。已知m、M、l v 0
人逆车运动方向从车头经t 到达车尾。 求:1、若人匀速运动,他到达车尾时车的速度; 2、车的运动路程; 3、若人以变速率运动, 上述结论如何? 解:以人和车为研究 系统,取地面为参照 系。水平方向系统动 量守恒。

? ? ? ? ( M ? m)v0 ? Mv ? m(u ? v )

? o

x

? m ? v0 u M

?

l

? v

( M ? m )v0 ? Mv ? m(? u ? v )

m m l 1、 v ? v 0 ? u ? v0 ? M?m M?m t

m l m 2、 s ? vt ? (v0 ? )t ? v 0 t ? l M?m t M?m
3、
t

m v ? v0 ? u M?m
t

mu ? s ? ? vdt ? ? (v 0 ? )dt 0 0 M ?m m ? v0 t ? l M ?m

o

x

m ? ? v0 u M

?

l

? v

例二、 质量为2.5g的乒乓球以 10m/s的速率飞来,被板推挡后,又 以20m/s的速率飞出。设两速度在垂 直于板面的同一平面内,且它们与 板面法线的夹角分别为45o和30o,求: (1)乒乓球得到的冲量;(2)若 撞击时间为0.01s,求板施于球的平 均冲力的大小和方向。

v2 30o
45o v1 n

解:取挡板和球为研究对象,由于作用时间很短, 忽略重力影响。设挡板对球的冲力为 则有:

? ? ? ? I ? ? F ? dt ? mv 2 ? mv1

取坐标系,将上式投影,有:
I x ? ? Fx dt ? mv 2 cos 30 ? ( ? mv 1 cos 45 )
? ?

y
O

v2 30o

? Fx ? t

I y ? ? F y dt ? mv 2 sin 30 ? mv 1 sin 45
?

?

45o x
v1

n

? F y ?t

?t ? 0.01s v1 ? 10m/s v2 ? 20m/s m ? 2.5g ? ? ? ? ? I ? I x i ? I y j ? 0.061i ? 0.007 j N ? s
Fx ? 6.1N Fy ? 0.7N F ? F ? F ? 6.14N
2 x 2 y

tan? ? Fy Fx ? 0.1148

? ? 6.54?

?为平均冲力与x方向的夹角。

此题也可用矢量法解 ? ? I =F ?t
? m v ? m v ? 2m v1v 2 cos105
2 2 1

y
2 ?

v2 30o

? ? I F ? ? 6.14N ?t

? 6.14 ? 10 Ns

2 2 2 ?2

O

45o x
v1

n

mv 2 F ?t ? ? sin ? sin 105

?t

v2

sin? ? 0.7866
?

? ? 51.86
?

? ?

v1 v1

?? ? 51.86 ? 45 ? 6.86

x

例三、 一质量均匀分布的柔软细绳 铅直地悬挂着,绳的下端刚好触到水平 桌面上,如果把绳的上端放开,绳将落 在桌面上。试证明:在绳下落的过程中, 任意时刻作用于桌面的压力,等于已落 到桌面上的绳重量的三倍。

o

x

证明:取如图坐标,设t时刻已有x长的柔绳落至桌 面,随后的dt时间内将有质量为?dx(Mdx/L)的柔 绳以dx/dt的速率碰到桌面而停止,它的动量变化率 为: dx

dp ? dt

? ?dx ? dt

dt

根据动量定理,桌面对柔绳的冲力为:

dx ? ?dx ? dp 2 dt ? F= ? =-?v dt dt
柔绳对桌面的冲力F=F'即:

M 2 2 F ? ?v ? v 而v ? 2 gx ? F ? 2Mgx / L L
2

而已落到桌面上的柔绳的重量为mg=Mgx/L

所以F总=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg

五、碰撞
物体在短时间内发生相互作用的过程。

碰撞过程的特点:1、各个物体的动量明显改变。
2、系统的总动量(总角动量)守恒。 弹性碰撞:?Ek=0 碰撞过程中两球的机械能(动能)完全没有损失。 非弹性碰撞: ?Ek<0 碰撞过程中两球的机械能(动能)要损失一部分。 完全非弹性碰撞: ?Ek<0且绝对值最大 两球碰后合为一体,以共同的速度运动。

正碰:两球碰撞前的速度在两球的中心连线上。 那么,碰撞时相互作用的力和碰后的速度也

都在这一连线上。(对心碰撞)
斜碰:两球碰撞前的速度不在两球的中心连线上。

二维弹性碰撞 两个质量相同的粒子,发生弹性碰撞 碰前一个粒子静止,碰后两个粒子的速度相互垂直

? ? ? v0 ? v1 ? v 2
1 1 1 2 2 2 mv 0 ? mv 1 ? mv 2 2 2 2

? v ? 0

? v1
?

? ? ? ? ? ? v0 ? v0 ? ?v1 ? v2 ? ? ?v1 ? v2 ? ? ? 2 2 2 v0 ? v1 ? v 2 ? 2(v1 ? v 2 ) ? ? v1 ? v2 ? 0

? v2

例:质量 M 的沙箱,悬挂在线的下端,质量 m, 速率 v 的子弹水平地射入沙箱,并与沙箱一起摆
0

至某一高度 h 为止。试从高度 h 计算出子弹的速

率 v ,并说明在此过程中机械能损失。
0

解:从子弹以初速击中沙箱到获 得共同速度可看作在平衡位置完 成的完全非弹性碰撞。水平方向

受外力为0,由动量守恒有

v0
m M

mv 0 ? (m ? M )v

h

子弹射入沙箱后,只有重力作功,子弹,沙箱、 地球组成的系统机械能守恒。

1 (m ? M )v 2 ? (m ? M ) gh 2 (m ? M ) 2 gh ? v0 ? m
碰撞过程中机械能不守恒。机械能损失为:

1 1 M 2 2 ? ? mv 0 ? (m ? M )v ? ( m ? M ) gh ?E k m 2 2

例 一炮弹发射后在其运行轨道上的最高点h=19.6m 处炸裂成质量相等的两块。其中一块在爆炸后 1秒钟 落到爆炸点正下方的地面上,设此处与发射点的距 离S1=1000米,问另一块落地点与发射点的距离是多 少?(空气阻力不计,g=9.8m/s2) y v2 解:知第一块方向竖直向下

1 2 ? h ? v1t ? gt ' 2 v1 ? v1 y ? ?14.7 m / s t ?为第一块落地时间

h v1 S1

x

炮弹到最高点v y ? 0 ? ?t ? 2 s ?s1 ? v x t ?? ? 2 2 gh ? v ( v ? gt ) v ? 500 m / s ? y x ? y ?
爆炸中系统动量守恒

1 mv2 x ? mvx 2 1 1 mv2 y ? mv1 y ? 0 2 2 ? v2 x ? 2v x ? 1000m / s v2 y ? ?v1 y ? 14.7 m / s

y h v1 S1

v2

x

第二块作斜抛运动

mv2/2 mvx

x2 ? s1 ? v2 x t 2 1 y2 ? h ? v2 y t ? gt 2 2
落地时,y2=0 所以t2=4s
mv1/2

t’2=-1s(舍去)
x2=5000m

v10

v 20

恢复系数
f1 f2 m1 m 2
v 2 ? v1 e? v 20 ? v10

v1
m1

v2
m2

m1

m2

碰撞时系统动量守恒

m1v1 ? m2v2 ? m1v10 ? m2v20
恢复系数

(1 ? e )m 2 (v10 ? v 20 ) v1 ? v1 0 ? m1 ? m 2 (1 ? e )m2 (v10 ? v 20 ) v2 ? v20 ? m1 ? m2

(1 ? e 2 )m1m2 ?E k ? (v10 ? v 20 )2 2( m1 ? m2 )

e ?1 e?0

弹性碰撞
完全非弹性碰撞

0 ? e ? 1 一般的非弹性碰撞

六、火箭飞行原理 火箭推力的计算: 设在t时刻, 火箭的质量为M, 速度为 v
经过dt时间, 火箭向后喷出质量为dm的燃气 其喷出速度相对于火箭为 u

在t+dt时刻, 火箭质量减为M-dm, 速度增为 v ? dv
则燃气对地速度为 v ? dv ? u 则燃气动量变化

(v ? dv ? u)dm ? vdm ? ?udm ? dmdv ? ?udm 由动量定理, 火箭受到的推力为: F ? u dm dt

火箭速度公式 忽略重力和阻力, 则系统动量守恒

Mv ? ( M ? dm )( v ? dv ) ? dm(v ? dv ? u) dm 化简得: 0 ? Mdv ? udm dv ? u M 由于喷出燃气的质量dm等于火箭质量的减小, 即 dm ? ?dM , 所以上式变为 dM dv ? ? u M 设开始发射时, 火箭质量为 M 0 , 初速为 0, 则:
dM ?0 dv ? ?u?M 0 M
v M

M0 v ? u ln M

dM dv ? ? u 火箭的质量比分别为 N 1 , N 2 ,?, N n M 并设各级火箭的喷气速度分别为 u1 , u2 ,?, un v i ?1 M i ?1 dM vi ?1 ? vi ? ui ?1 ln N i ?1 ?vi dv ? ?u?M i M v0 ? 0 i ? 0,1,2,?, n ? 1 v1 ? u1 ln N1 最后火箭达到的速度为: v ? v ? u ln N
2 1 2 2

设各级火箭工作时,

v3 ? v3 ? u3 ln N 3 vn ? vn?1 ? un ln N n

v n ? ? ui ln N i
i

????

若 u1 ? u2 ? ? ? un
则 v n ? u? ln N 1 N 2 ? N n
i

§1--6角动量定理、角动量守恒
一 、 力矩 角动量 角动量(对一定点的)

? v

? ? ? L?r? p

?

? L

0

? r

? p

m

? r
角动量方向

角动量大小 L ? rp sin ? ? rmv sin ?

? ? ? ? L ? ? Li ? ? ( ri ? pi )
i i

系统的总角动量

? L
o

?m r

θ

? v

质点作圆周运动

? ? ? L ? r ? mv 2 L ? mvr sin? ? r mv ? mr ?
Z O Y

? ? L r

? mv

质点作直线运动

? L

?

? r
X

? ? mv d
? L ? ?mvd k

L ? mvr sin? ? ? mvd
或:

例 一质量为m的质点沿着一条空间曲线运动,该曲 ? ? ? 线在直角坐标下的矢径为: r ? a cos ?ti ? b sin ?tj
其中a、b、?皆为常数,求该质点对原点的角动量。

? ? ? 解:已知 r ? a cos ?ti ? b sin ?tj

? ? dr v?

? ? ? L ? r ? mv

dt

? ? ? ?a? sin ?ti ? b? cos ?tj

? ? 2 2 ? mab ? cos ?tk ? mab ? sin ?tk ? ? mab ?k

力矩:力对某点O的力矩等于力的作用点的矢 r ? 径 ? 与力 F 的矢量积.

? M

o? d

? ? F r ?
m

? ? ? M ? r ?F

d ? r sin ?

? 注意: 2)方向: r ? F 的方向

1)大小 M

? rF sin ? ? dF ?

力矩为零的情况: ? (1)力F 等于零; ? ? (2)力 F 的作用线与矢径 r 共线(即 sin ? ? 0 ) ? (3)力 的作用点在O点,即 r 等于零;
有心力: 物体所受的力始终指向(或背离)某一固定点 力心

二、角动量定理
1)角动量定理的微分形式
对一个质点:

? dL ? ? ? ? r ? F ? M ?M ? dt 此称质点的角动量定理

? ? ? r dL d ? ? ? ?r ? P ? mv ? dt dt m g Y ? ? ? dr ? dP ? ? ? ? ? ?P?r? ? v ?P?r ?F dt dt ?

? ? ? L?r?P

Z ? ? L M
O X

Z

? F1
m1

? F12
? m F21 2

对多个质点而言: (以两个质点为例) 如图设有质点m1 、 m2

? r1
Y

d

? 分别受外力 F2 外力矩

O

? r2

X

? ? 内力矩 M10 M 20

M1 M 2 ? ? 内力 F12 F21

? ? F1 F2 ? ?

对质点(2): ? ? ? ? dL2 ? ? dL1 M 2 ? M 20 ? M 1 ? M 10 ? dt dt ? ? ? ? ? ? d 两式相加: M 1 ? M 10 ? M 2 ? M 20 ? ( L1 ? L2 ) dt

对质点(1):

? ? ? ? d ? ? M 1 ? M 10 ? M 2 ? M 20 ? ( L1 ? L2 ) ? ? dt 内力矩 M 10 ? M 20 ? 0

? ? ? 令: M ? M1 ? M 2 质点系所受的合的外力矩
? 质点系的总角动量 ? dL 则: M ? dt 推广到n个质点的质点系:
质点系角动量定理:系统角动量对时间的变化率等 于系统所受合外力矩。

? ? ? d ? M1 ? M 2 ? ( L1 ? L2 ) dt

? ? ? L ? L1 ? L2

2)角动量定理的积分形式 ? ? ? ? dL ?M ? ? Mdt ? dL dt
设:在合外力矩M的作用下, 时间内 系统的角动量从
t2 ? L2 ? L1

t1 ? t2

称为力矩的角 冲量或冲量矩

? ? L1 ? L2

对上式积分:

? ? ? ? ? Mdt ? ? dL ? L2 ? L1
t1

角动量定理(积分形式)

作用在质点系的角冲量等于系统角动量的增量。

三、角动量守恒定律

角动量守恒定律:若对某一参考点, 系统(质点)所 受合外力矩恒为零时,则此质点系(质点)对该参考 点的角动量将保持不变。 注意:1、角动量守恒定律是宇宙中普遍成立的定律, 无论在宏观上还是微观领域中都成立。 2、守恒定律表明尽管自然界千变万化,变换 无穷,但决非杂乱无章,而是严格地受着某种规律 的制约,变中有不变。这反映着自然界的和谐统一。

? 若 M 合外力矩 ? 0 ? ? d L 则: ? 0 ? L ? 恒矢量 dt

? 例题2)一质量为m的质点以速度 v 从参考点平抛出 0 去,用角动量定理求质点所受的重力对参考点的力矩。 ? ? ? ? L 解: Z ? ? ? v ? v0 i ? g t j M ? X v0 ? ? 1 2? O
? L ? r ? mv
? r ? v0 t i ? g t j ? ? ?2

1 2? ?? ? ? ? (v0 ti ? gt j ) ? m(v0 i ? gt? j) Y mg 2 1 2? ? ) ? 1 mgv t 2 k ? ? mgv 0 t k ? ( ? mgv 0 t 2 k 0 ? 2 2

? r

? mv

? dL ? ?M ? ? m g v0 t k dt

半径为R的地球表面水平切向向右飞出(如图)地轴 ? OO’与 v0 平行,小球A的轨道与轴OO’相交于 3R的C 点,不考虑地球的自转与空气阻力,求小球A在C点 ? ? 的 v 与 v? 之间的夹角?。 0 已知: M , m, R, v0 , Z v0 求:? m ? 解:以M,m C r1 0 Y 为研究对象。 O O’ ? M地 X 系统只受万有引力(保守力)故机械

? 例4)质量为m的小球A,以速度 v0 沿质量为M的,

? r

? v

能守恒。因引力是有心力,则角动量守恒。 以无穷远为势能零点,则:

Z

? r0
X

? v0
m O M地 O’

? r1

C

r0 ? R
Y

?? v

r1 ? 3R

? ? ? ? r0 ? m v0 ? r1 ? m v ?(2)
2

1 mM 1 mM 2 2 mv0 ? G ? mv ? G ?(1) 2 R 2 3R

4GM 由(1)式: v ? v0 ? ?(3) 3R
由(2)式:? Rmv

? ? i ? ? 3 Rmv sin ? i ?(4) 0

Z

? r0
X

? v0
m O M地 O’

? r1

?? v

4GM v ? v0 ? ?(3) 3R C Y
2

? ? ?3Rmv sin ?i ??(4) ? Rmv0i
v0 v0 sin ? ? ? 2 3v 9v0 ? 12GM / R v0 ?? ? arcsin 2 9v0 ? 12GM / R

1-7 相对运动 力学相对性原理
一、相对运动
运动描述具有相对性

车上的人观察

地面上的人观察

位置的相对性

? ? ? rps ? rps? ? rs?s
伽利略位矢变换式

y S S’

y’

x ? x ? ? ut ? y ? y? z ? z?
速度的相对性

? r ps

? v s?s
? r ps ?
x

p

? o rs?s o’

x’

? drps

? drs?s ? ? dt dt dt

? drps?

t ? t?
? ? ? v ps ? v ps? ? v s?s

? ? v AB ? ?v BA
加速度的相对性

A,B,C三个质点相互间有相对运动

? ? ? v AC ? v AB ? v BC

? ? ? a AC ? a AB ? a BC

两个相互做匀速直线运动的坐标系的 伽利略位矢变换式

x ? x ? ? ut ? y ? y? z ? z? t ? t?

v x ? v? x ?u v y ? v?y ? vz ? vz

a x ? a? x a y ? a? y ? az ? az

1.河水自西向东流动,速度为10 km/h,一轮船在 水中航行,船相对于河水的航向为北偏西30o,航速 为20km/h。此时风向为正西,风速为10km/h。试

求在船上观察到的烟囱冒出的烟缕的飘向。(设
烟离开烟囱后即获得与风相同的速度)

解:设水用S;风用F;船用C;岸用D 已知: vcs v sd ? 10 正东

v fd ? 10
v cs

正西

? 20

北偏西30o

vfd

vsd

v cd ? v cs ? v sd
vcd ? 10 3 km / h 方向正北

vcs
vfd vfc

vcd

? v fd ? v fc ? v cd ? v fc ? v fd ? v cd
? v fd ? ? v sd ? v fc ? v cs ? 20km / h
方向为南偏西30o。

vsd

vcd

vfd

vsd

2.一男孩乘坐一铁路平板车,在平直铁路上匀加速 行驶,其加速度为a,他沿车前进的斜上方抛出一球,

设抛球时对车的加速度的影响可以忽略,如果使他
不必移动他在车中的位置就能接住球,则抛出的方 向与竖直方向的夹角应为多大?

解:抛出后车的位移: 1 2 ?x1 ? v0 t ? at 2 球的位移:

?

a
V0

?x2 ? (v0 ? v sin? )t 1 2 ' ?y2 ? (v0 cos? )t ? gt 2
' 0

小孩接住球的条件为:?x1=?x2; ?y=0

1 2 ? at ? v0 ' (sin ? )t 2
1 2 gt ? v0 ' (cos ? )t 2
两式相比得:

a ? tg? g

?a? ? ? tg ? ? g? ? ? ?
?1

练习:有人以 ? ? 3ms ?1 的速率向东奔跑, 他感到风从北 方吹来,当他奔跑的速率加倍时, 则感到风从东北方向 吹来, 求风的速度.
? 风地 ? ? 风人 ? ? 人地 ? ? ? ? ? ? 人地 ? ? 风地 ? ? 风人 ? ? ? ? 2? 人地 ? ? 风人
? ? ?

? 人地
45 0

?

? ? 人地

?

45 0

风向为西北风
? 风地 ? ?人地 cos 450
? ? 2?人地 ? 4.23( m ? s ?1 )

? ? 风人

?

? 风人

?

? 风地

?

?

?

练习:河水流速为? ? 3ms ?1 ,河面宽D=1km,一渡船相对 于水的速度 u ? 2ms ?1,如果船的航向与上游成 ? ? 300 角.求(1)船到达对岸所需时间,到达对岸时位于正对岸 的下游何处?(2)如果要使船到达对岸的时间最短,船 头应与河岸成多大角度?最短时间 tmin ? ? (3) )如果 要使船相对于正对岸航行的距离最短,船头应与河岸 成多大角度?距离最短 smin ? ? B ? (1)设船相对于岸的速度为? ? ? ? ? ? 由速度合成得: ? ? ? u ? ? u cos? ? ? cos ? ? ? ?? ? ? ? ? cos ? ? u cos ? u ? ? ? cos ? ? ? ? u cos ? ? 3 ? 3 ? o ? ? ? sin ? ? u sin? ? 1

? ? cos ? ? ? ? u cos ? ? 3 ? 3 ? ? sin ? ? u sin? ? 1 船到达B点所需时间:
OB D t? ? ? D ? 1000( s ) ? ? ? ? sin ?

A
? u
u cos? ? ? cos ? ?

D

?

B

?

??

AB两点的距离:

o

?

?

D cos ? ? D( 3 ? 3 ) ? 1268( m ) S ? Dctg? ? sin ?

(2)如果要使船到达对岸的时间最短,船头应与河岸成 多大角度?最短时间 tmin ? ? 由 t ? OB ?
??
D D ? ? ? sin ? u sin ?

知 ? ? ? 2时, 航时最短.
D ? ? 500( s ) u

故船头应与岸垂直时, 航时最短. tmin

(3) )如果要使船相对于正对岸航行的距离最短, 船头 应与河岸成多大角度?距离最短 smin ? ? A B ? ? ? cos ? ? ? ? u cos ? ? 3 ? 3 D ? ? sin ? ? u sin? ? 1 u cos? ? ? cos ? ? ? ?? u 设 OB ? l 则 ? ? o ? 2 2 ? ?D D D u ? ? ? 2u? cos ? ? l? ? ? sin ? ? sin ? u sin?
dl 欲使 l 最短,应满足极值条件 d? ? 0 2 2 13 u ? ? 2 2 ? cos ? ? cos ? ? 1 ? 0 即 cos ? ? cos ? ? 1 ? 0 6 u? ? cos? ? 2 3 ? ? 48.20 故船头与岸成 48.20 ,则航距最短.

D u ? ? ? 2u? cos ? l? u sin?
2 2

A
? u
u cos? ? ? cos ? ?

D

?

B

cos? ? 2 3
lmin

D u 2 ? ? 2 ? 2u? cos ? ? ? 1.5km u sin?

?

??

o

?

?

2 2 s ? l ? D ? 1.12km AB两点最短距离: min min

二、力学的相对性原理 ? ? ? 如果 a BC ? 0, 则 a AC ? a AB
同一质点的加速度在两个相互间作匀速直 线运动的参照系中是相同的
?在牛顿力学中,力与参考系无关,质量与运动无关

? ? ?F? ? F 牛顿第二定律在S系和S’系的数学表达式 ? ? ? ? F ? ? m?a? F ? ma

表明牛顿第二定律在一切惯性系中具有 相同的数学形式

推 论
在一切惯性系中力学规律都具有相同的数学形式。

——力学的相对性原理或伽利略相对性原理
(Galileo principle of relativity)

对于力学规律来说,一切惯性系都是等价的。 或 牛顿力学规律在伽利略变换下形式不变 或 牛顿力学规律是伽利略不变式

三、牛顿绝对时空观的局限性
根据伽利略变换,我们可得出牛顿的绝对时 空观,也称之为经典时空观。
2 2 2 L ? ( x ? x ) ? ( y ? y ) ? ( z ? z ) 在S系内,米尺的长度为 2 1 2 1 2 1

? ? x1?)2 ? ( y2 ? ? y1?)2 ? ( z2 ? ? z1?)2 在S’系内,米尺的长度为 L? ? ( x2

利用伽利略变换式得 L ? L?

结论:空间任意两点之间的距离对于任何的惯性系而
言都是相等的,与惯性系的选择或观察者的相对运动 无关。即:长度是“绝对的”,或称之为“绝对空 间”。

再有

?t ? ?t ?

时间也与惯性系的选择或观察者的相对运动无关 “绝对空间”、“绝对时间”和“绝对质量”这

三个概念的总和构成了经典力学的所谓“绝对时空
观”: 空间、时间和物质的质量与物质的运动无关

而独立存在,空间永远是静止的、同一的,时间永
远是均匀地流逝着的。

如果把随惯性系而变的看成是“相对”的,
把不随惯性系而变的看成是“绝对”的,

那么经典力学中:
物体的坐标和速度 是相对的

“同一地点”
时间、长度、质量

“同时性”和力学定律的形式

是绝对的

近代物理学发展表明:经典的、与物 质运动无关的绝对时空观是错误的,并揭 示出时间、空间与物质运动密切相关的相 对性时空观;而力学相对性原理则得到改 造发展为物理学中更为普遍的相对性原理


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