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高三数学二轮专题数形结合思想


高考调研

高考总复习· 二轮专题· 数学· 理

第一部分 论方法

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第一部分

论方法

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专题2

数形结合思想

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第一部分

专题2

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数形结合思想 就是根据问题的需要,可以把数量关系的问题转化成图形的 性质问题去讨论,或者把图形的性质转化为数量关系来研究.(偏 重数对形的转化)

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第一部分

专题2

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类型一

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函数零点问题

1x 3 ? ?? ? + ,x≥2, 4 典例 1 已知函数 f(x)=? 2 若函数 g(x)=f(x) ? ?log2x,0<x<2. -k 有两个不同的零点,则实数 k 的取值范围是________.

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第一部分

专题2

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【解析】

画出函数 f(x)的图像如图.

要使函数 g(x)=f(x)-k 有两个不同零点, 只需 y=f(x)与 y=k 3 的图像有两个不同的交点,由图像易知 k∈( ,1). 4
【答案】 3 (4,1)

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第一部分

专题2

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典例 2

|x2-1| (2012· 天津)已知函数 y= 的图像与函数 y=kx x-1

-2 的图像恰有两个交点,则实数 k 的取值范围是__________.

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第一部分

专题2

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【解析】 根据绝对值的意义,

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?x+1,x>1或x<-1, |x2-1| ? y= =? x-1 ? ?-x-1,-1≤x<1.

在直角坐标系中作出该函数的图像,如下图中实线所示.根 据图像可知,当 0<k<1 或 1<k<4 时有两个交点.

【答案】

(0,1)∪(1,4)

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第一部分

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典例 3

已知关于 x 的方程(m+3)x2-4mx+2m-1=0 的两

根异号,且负根的绝对值比正根大,则实数 m 的取值范围为 ________.

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第一部分

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【解析】

设 f(x)=(m+3)x2-4mx+2m-1. ? ?m+3<0, ?f?0?>0, 或? ? 2m <0, ? m + 3 ?

? ?m+3>0, ?f?0?<0, 由题意知? ? 2m <0 ? m + 3 ? 解得-3<m<0.

【答案】

-3<m<0

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第一部分

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类型二
典例 1

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不等式问题

使 log2(-x)<x+1 成立的 x 的取值范围是________.

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【解析】

在同一坐标系中,分别作出 y=log2(-x),y=x+1 的图像, 由图可知,x 的取值范围是(-1,0).

【答案】

(-1,0)

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第一部分

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典例 2

设奇函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数,且 f(2)=0, ) B.(-∞,-2)∪(0,2) D.(-2,0)∪(0,2)

f?x?-f?-x? 则不等式 <0 的解集为( x A.(-2,0)∩(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞)

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第一部分

专题2

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【解析】

由已知条件可以画出函数 f(x) 的草图,如图所

f?x?-f?-x? 2f?x? 示.由函数 f(x)为奇函数可化简不等式 <0 为 x <0.若 x x>0, 则需有 f(x)<0, 结合图像可知 0<x<2; 若 x<0, 则需有 f(x)>0, 结合图像可知-2<x<0.综上可知, 不等式的解集为(-2,0)∪(0,2).

【答案】 D

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第一部分

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典例 3

已知函数 y=f(x)在(0,1)内的一段图像是如图 1 所示 )

的一段曲线,若 0<x1<x2<1,则(

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f?x1? f?x2? A. < x1 x2 f?x1? f?x2? B. x = x 1 2 f?x1? f?x2? C. > x1 x2 D.不能确定

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第一部分

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【解析】 如图 2,设曲线上两点 P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2)), f?x1?-0 f?x1? f?x2?-0 f?x2? kOP1= = x ,kOP2= = x ,由于 0<x1<x2<1, x1-0 x - 0 1 2 2 f?x1? 根据斜率与倾斜角之间的关系,显然有 kOP1 >kOP2,即 > x1 f?x2? x2 ,故选 C. 【答案】
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C
第一部分 专题2

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【讲评】 斜率公式由于其具备与几何背景结合的概念,因 而“天然”具备将代数问题几何化的特殊功能;数形结合就是利 用图形的形象直观来简化解题过程,由图想数,利用数的精确计 算,使问题的解决更有说服力.

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第一部分

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典例 4

(2013· 四川)已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数, 当 x≥0

时,f(x)=x2-4x.那么,不等式 f(x+2)<5 的解集是________.

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第一部分

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【解析】 当 x≥0 时,f(x)=x2-4x<5 的解集为[0,5),又 f(x) 为偶函数,所以 f(x)<5 的解集为(-5,5).所以 f(x+2)<5 的解集为 (-7,3).

【答案】 (-7,3)

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类型三

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确定函数图像

cos6x 典例 1 (2012· 山东)函数 y= x 的图像大致为( 2 -2-x

)

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【解析】 函数 y=cos6x 为偶函数,函数 y=2x-2 x 为奇函


数,故原函数为奇函数,排除 A.又函数 y=2x-2-x 为增函数,当 cos6x x→+∞时,2 -2 →+∞且|cos6x|≤1,∴y= x - →0(x→ + 2 -2 x
x
-x

∞),排除 C.

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第一部分

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cos6x 2x· cos6x ∵y= x 为奇函数,不妨考虑 x>0 时函数值的 -x= x 2 -2 4 -1 情况,当 x→0+时,4x→1,4x-1→0+,2x→1,cos6x→1, ∴y→+∞,故排除 B,综上知选 D.

【答案】 D

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典例 2

(2013· 安徽)函数 y=f(x)的图像如图所示,在区间[a,
1 2

f?x1? f?x2? b]上可找到 n(n≥2)个不同的数 x1, x2, ?, xn, 使得 x = x =? f?xn? = ,则 n 的取值范围是( xn A.{3,4} C.{3,4,5} )

B.{2,3,4} D.{2,3}

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f?x? 【解析】 利用 x 的几何意义, 将所求转化为直线与曲线的 交点个数问题并利用数形结合求解.

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f?x? 由题意,函数 y=f(x)上的任一点坐标为(x,f(x)),故 表示 x 曲线上任一点与坐标原点连线的斜率. f?x1? f?x2? f?xn? 若 = =?= ,则曲线上存在 n 个点与原点连线的 x1 x2 xn 斜率相等,即过原点的直线与曲线 y=f(x)有 n 个交点. 如图,数形结合可得 n 的取值可以为 2,3,4.

【答案】 B

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第一部分

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类型四

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线性规划问题

?x+y-4≥0, ? 典例 1 已知变量 x,y 满足的约束条件?x-y+2≥0, ?2x-y-5≤0, ? x+2y f(x,y)= 的取值范围是________. 2x+y 【思路】



作出可 对f?x,y?变形,转化为 数形结合,求得 ―→ ―→ 行域 与斜率有关的式子 f?x,y?的取值范围
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第一部分

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【解析】 作出不等式组表示的平面区域,如下图所示(阴影 y x+2y 1+2· x 部分),f(x,y)= = . y 2x+y 2+x

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第一部分

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1+2k y 3 令 =k,g(k)= =2- . x 2+k 2+k

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y 而 k=x表示可行域内的点 P(x,y)与坐标原点 O 的连线的斜 率,观察图形,可知 kOA≤k≤kOB, 1-0 1 3-0 而 kOA= = ,k = =3, 3-0 3 OB 1-0 1 5 7 所以3≤k≤3,即7≤f(x,y)≤5. 5 7 【答案】 7≤f(x,y)≤5
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第一部分

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典例 2

?x-y+2≥0, ? 实数 x,y 满足不等式组?2x-y-5≤0, ?x+y-4≥0, ?

则 z=|x

+2y-4|的最大值为________.

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第一部分

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【解析】 方法一 作出不等式组表示的平面区域,如下图 |x+2y-4| 中阴影部分所示. z=|x+2y-4|= · 5, 即其几何含义为 5 阴影区域内的点到直线 x+2y-4=0 的距离的 5倍.

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第一部分

专题2

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? ?x-y+2=0, 由? ? ?2x-y-5=0,

得 B 点坐标为(7,9),显然点 B 到直线 x

+2y-4=0 的距离最大,此时 zmax=21.

【答案】 21

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第一部分

专题2

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典例 3

(2013· 江苏)抛物线 y=x2 在 x=1 处的切线与两坐标

轴围成三角形区域为 D(包含三角形内部和边界).若点 P(x,y)是 区域 D 内的任意一点,则 x+2y 的取值范围是________.

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第一部分

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【解析】 先利用导数的几何意义求出切线方程,然后得到 可行域,再利用线性规划问题的一般解法进行求解. 由于 y′=2x,所以抛物线在 x=1 处的切线方程为

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第一部分

专题2

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y-1=2(x-1),即 y=2x-1. 画出可行域(如图). 1 1 设 x+2y=z,则 y=- x+ z, 2 2

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1 1 1 可知当直线 y=- x+ z 经过点 A( ,0),B(0,-1)时,z 分 2 2 2 1 别取到最大值和最小值,此时最大值 zmax= ,最小值 zmin=-2, 2 1 故取值范围是[-2, ]. 2 1 【答案】 [-2,2]
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第一部分

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类型五 求最值

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典例 1 已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的动点, B(-1,1), 点P 1 到直线 l:x=- 的距离为 d,求 d+|PB|的最小值. 2

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第一部分

专题2

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【解析】

1 如图所示,由题意得抛物线 y =2x 的焦点 F( , 2
2

0),直线 l 是抛物线的准线,所以 d=|PF|,则 d+|PB|=|PF|+ |PB|≥|BF|= 12 13 2 ?-1- ? +?1-0? = ,当且仅当 B,P,F 三 2 2

13 点共线时取等号,∴d+|PB|的最小值为 2 .

【答案】

13 2

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第一部分

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典例 2

(2013· 江西)过点( 2, 0)引直线 l 与曲线 y= 1-x2相

交于 A,B 两点,O 为坐标原点,当△AOB 的面积取最大值时, 直线 l 的斜率等于( 3 A. 3 3 C.± 3 ) 3 B.- 3 D.- 3

第37页

第一部分

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【解析】

根据三角形的面积公式和圆的弦的性质求解.

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由于 y= 1-x2, 即 x2+y2=1(y≥0), 直线 l 与 x2+y2=1(y≥0) 1 1 交于 A,B 两点,如图所示,S△AOB=2· sin∠AOB≤2,且当∠AOB =90° 时,S△AOB 取得最大值,此时 AB= 2,点 O 到直线 l 的距 2 离为 2 ,则∠OCB=30° ,所以直线 l 的倾斜角为 150° ,则斜率 3 为- . 3

【答案】 B

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第一部分

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典例 3

抛物线 y=-x2 上的点到直线 4x+3y-8=0 距离的

最小值是________.

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【解析】

对 y=-x2,有 y′=-2x.

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第一部分

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如图,设与直线 4x+3y-8=0 平行且与抛物线 y=-x2 相切 的直线与抛物线的切点是 T(m,-m2),则切线斜率 k=y′|m=- 4 2 2 4 2m=- ,所以 m= ,即切点 T( ,- ),点 T 到直线 4x+3y-8 3 3 3 9 8 4 |3-3-8| 4 =0 的距离 d= =3,由图知抛物线 y=-x2 上的点到直 16+9 4 线 4x+3y-8=0 的距离的最小值是 d= . 3 4 【答案】 3
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第一部分

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典例 4

若点 P(x,y)在直线 x+y=12 上运动,则 x2+1+ ) B. 2+ 137 D.1+4 10

y2+16的最小值为( A. 37+2 13 C.13

第43页

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【解析】

x2+1 +

y2+16 =

?x-0?2+?0+1?2 +

?x-12?2+?0-4?2表示点(x,0)到点 A(0,-1)与点 B(12,4)的距离 之和,最小值|AB|=13.

【答案】 C

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典例 5

(2011· 辽宁)若 a,b,c 均为单位向量,且 a· b=0,(a )

-c)· (b-c)≤0,则|a+b-c|的最大值为( A. 2-1 C. 2 B.1 D.2

第45页

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【解析】

→ → → 设OA=a,OB=b,OC=c,

因为|a|=|b|=|c|=1,所以点 A,B,C 在以 O 为圆心、1 为 → → → 半径的圆上.易知CA=a-c,CB=b-c,|c|=|OC|. π → → 由(a-c)· (b-c)≤0, 可知CA· CB≤0, 则2≤∠BCA<π(因为 A, B,C 在以 O 为圆心的圆上,所以 A,B,C 三点不能共线,即∠ BCA≠π),故点 C 在劣弧 AB 上.

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→ → → 由 a· b=0,得OA⊥OB,设OD=a+b,如右图所示,因为 a → → → → +b-c=OD-OC=CD,所以|a+b-c|=|CD|,即|a+b-c|为点 D 与劣弧 AB 上一点 C 的距离, 显然, 当点 C 与 A 或 B 点重合时, CD 最长且为 1,即|a+b-c|的最大值为 1.

【答案】 B
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类型六 求参数范围

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1 典例 1 若不等式|x-2a|≥ x+a-1 对 x∈R 恒成立, a 的取 2 值范围是________.

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1 【解析】 作出 y=|x-2a|和 y= x+a-1 的简图, 依题意知 2 1 应有 2a≤2-2a,故 a≤2.
【答案】 1 (-∞, ] 2

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典例 2

关于 x 的方程 1-x2=kx+2 有唯一解,求实数 k

的取值范围.

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【解析】

令 y1= 1-x2,y2=kx+2,它们分别表示 x 轴上方的半圆及 过定点(0,2)的直线系(不包括直线 x=0),欲使方程有一个解,只 需保证直线与曲线有一个公共点,如图所示,可得 k 的取值范围 是 k>2 或 k<-2 或 k=± 3.

第52页

第一部分

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典例 3

(2013·新 课 标 全 国 Ⅰ ) 已 知 函 数 f(x) = 若|f(x)|≥ax,则 a 的取值范围是( B.(-∞,1] D.[-2,0] )

2 ? ?-x +2x,x≤0, ? ? ?ln?x+1?,x>0.

A.(-∞,0] C.[-2,1]

第53页

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【解析】

画出函数的图像,数形结合求解.

作出函数 y=|f(x)|的图像, 如图, 当|f(x)|≥ax 时, 必有 k≤a≤0,

第54页

第一部分

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其中 k 是 y=x2-2x(x≤0)在原点处的切线斜率, 显然, k=- 2. ∴a 的取值范围是[-2,0].

【答案】 D

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专题集训?作业(word)

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第一部分

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