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椭圆、双曲线、抛物线的概念和性质


专项热点训练 21、椭圆、双曲线、抛物线的概念和性质
考纲解读:理解圆锥曲线的有关概念,掌握圆锥曲线的标准方程及其有关几何性质。这部 分内容解析几何的主要内容,也是高考的热点内容,因此,要能根据条件准确地求出曲线 方程,并能运用几何性质解答一些问题。 高考预测: 解析几何内容高考分值一般占 20%左右, 三种题型都有, 保持每题一型的特点, 而本节内容则是以选择题和填空

题的形式出现,以对圆锥曲线的基本概念和性质的测试来 加强分析、解决问题能力的考查。 课时测试(时间:60 分钟,满分 100 分) 一、选择题(本题包括 6 个小题,每小题 6 分共 18 分) 1.设 ? 是三角形的一个内角, 且 sin ? ? cos ? ?

1 , 则方程 x 2 sin ? ? y 2 cos? ? 1 表示的 5
( )

曲线是 A. 焦点在 x 轴上的双曲线;B.焦点在 x 轴上椭圆; C.焦点在 y 轴上的双曲线;D.焦点在 y 轴上的椭圆。 2.如果双曲线 离是 A.10;B.

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到双曲线右焦点的距离为 8, 那么点 P 到右准线的距 64 36
( )

32 32 7 ;C. 2 7 ;D. 。 5 7 x y x2 y2 ? ? 1(a, b 均为正实数)所表示的曲线只可 3.在同一坐标系中,方程 ? ? 1 和 a b a b
能是下列图 21-1 四个图形中的 ( )

4.将抛物线 y ? 4 x 绕着焦点逆时针方向旋转 90°后所得的抛物线的准线方程为( )
2

A. x ? 2 ;B. y ? ?2 ;C. x ? 5.设 ? ? ? 0,

1 1 ;D. x ? 。 16 8
( )

? ?? 2 2 ? ,则二次曲线 x cot? ? y tan? ? 1 的离心率的取值范围是 ? 4? ?1 2 ? ? 2 ? ? 1? ? ;C. ? ? ;D. 2 ,?? 。 , 2 A. ? 0, ? ;B. ? , ?2 2 ? ? 2 ? ? 2? ? ? ? ?

?

?

6.某宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心 F 为左焦点的椭圆,测得近地点 A 距离地面

m km,远地点 B 距离地面 n km,地球半径为 k km,关于椭圆有以下四种说法: n?m ① 焦距长为 n ? m ;②短轴长为 ?m ? k ??n ? k ? ;③离心率 e ? ;④ m ? n ? 2k 2?m ? k ??n ? k ? 以 AB 方向为 x 轴正方向,F 为坐标原点,则左准线方程为 x ? ? 。 n?m
以上正确的说法有 A.①③;B.②④;C.①③④;D.①②④。 二、填空题(本题包括 3 个小题,每小题 6 分,共 18 分) 7.抛物线 y ? 2 x 2 的焦点坐标是__; 8.若双曲线 ( )

x2 y2 ? ? 1 的一条准线恰好是圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 0 的一条切线, 则实数 b = 16 b
3 n

__; 9.有 一 系 列 中 心 在 原 点 , 以 坐 标 轴 为 对 称 轴 的 椭 圆 , 它 们 的 离 心 率 分 别 为

1 ?2? ?1? ?1? ,且都以 x ? 1 为准线,则所有这些椭圆的长 , ? ? , ? ? ,?? ? ,?(n 为正整数) 2 ?2? ?2? ?2?
半轴长的和为__。 三、解答题(本题包括 3 个小题,共 46 分) 10. (本题满分 14 分) M 为抛物线 y ? 2 px 上的一个定点,P、Q 是抛物线上满足 MP ? MQ 的两点,证明: 直线 PQ 必过一点 M’,并求出 M’的坐标。 11. (本题满分 15 分) 已知大西北某荒漠上 A、B 两点相距 2km,现准备在荒漠上围垦出一片区域建成农艺园。 按照规划,围墙总长为 8km。 (1) 试求四边形另两个顶点的轨迹方程; (2) 问农艺园的最大面积能达到多少? (3) 该荒漠上有一条直线型小溪 l 刚好通过点 A,且与 l 成 45°角。现要对整条小溪进 行改造,但考虑到小溪可能被农艺园围进去的部分今后要重新设计改造,因此对该 部分暂不改造。问暂不改造的部分有多长? 12. (本题满分 17 分) 设点 P 到点 M(-1,0) 、N(1,0)距离之差为 2 m ,到 x 轴、 y 轴距离之比为 2。求 m 的 取值范围。 答案与选讲: 一、选择题:1-6、DDDADC;
2

2

二、填空题:7、 ? 0, ? ;8、48;9、1; 三、解答题:

? 1? ? 8?

0 1 2 10 、 设 M ? , 则 由 MP ? MQ 得 , ? 2 p , y1 ? ?, Q? ? 2 p , y2 ? ?, ( y 0 是 常 数 ) ? 2 p , y0 ? ? ,P ? ? ? ? ? ? ?

? y2

?

? y2

?

? y2

?

y1 ? y 0 y ? y0 2 ? 22 ? ?1 ,由此得 y1 y2 ? ?? y1 ? y2 ?y0 ? y0 ? 4 p 2 ?① 2 2 2 y0 y 2 y0 y1 ? ? 2p 2p 2p 2p 又 由 两 点 式 得 直 线 PQ 的 方 程 为 ? y1 ? y 2 ?y ? 2 px ? y1 y 2 ?② , 将 ① 代 入 ② 得 ,
2 2 ? ? ? ? y0 y0 ? y1 ? y 2 ?? y ? y0 ? ? 2 p? ?x ? 2p ? 2p ? ? ,由此可知直线过定点 ? ? 2 p ? 2 p ,? y 0 ? ?。 ? ? ? ? 11、 (1)以 AB 所在直线为 x 轴,A、B 的中点为原点建

立 坐 标 系 , 如 图 21-2 。 则 点 P 的 轨 迹 方 程 为

x2 y2 ? ? 1? y ? 0? 。 4 3 (2)当点 P 位于 B1 或 B2 的位置时,农艺园的面积最大,
最大值为 S ? 2 3 km2 ; (3)直线 l : y ? x ? 1 与椭圆交于 C、D 两点。由弦长公

?

?

24 24 ,即暂不改造部分的长就为 km。 7 7 ? 5? 5 ? ? ?。 ? ? ? 0, , 0 12、 m 的取值范围是 ? ? ? 5 ? ? ? ? ? ? ?
式得|CD|=


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