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我的收藏-2013届数学(文)第一轮第6章第39讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题


求目标函数的最值 (截距)
?2x+y≤40 ? ?x+2y≤50 【例 1】若变量 x,y 满足? ?x≥0 ? ?y≥0

,则 z=3x+2y

的最大值是__________.

【解析】作出可行域如图所示.目标函数化为:y
3 z 3 =-2x+2,令 z=0,画直线 y=-2x,及其

平行线,如 图,当它经过两直线的交点时,取得取大值.

?2x+y=40 ?x=10 解方程组? ,得? . ?x+2y=50 ?y=20

所以 zmax=3×10+2×20=70.

求最优解,画出可行域,将目标函数化为斜截式, 再令z=0,画它的平行线,看y轴上的截距的最值,就 是最优解.

【变式练习1】 ?x ? y ? z ? 1 ?3 y ? z ? 2 ? 设x,y,z满足约束条件 ? ,求u ?0 ? x ? 1 ?0 ? y ? 1 ? =2x+6y+4z的最大值与最小值.

【解析】将z=1-x-y代入 ?? x ? 2 y ? 1 ? 约束条件得:0 ? x ? 1 , ? ?0 ? y ? 1 ? 目标函数为:u=-2x+2y+4,作出可行域, 当目标函数经过点B ?1,1?时,umin=4. 当目标函数经过点C ? 0,1?时,umax=6.

求目标函数的最 值(距离、斜率)
【例2】 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 已知实数x、y满足 ? x ? 2 y ? 4 ? 0, ?3 x ? y ? 3 ? 0 ? 求z=x 2+y 2的最大值和最小值.

【解析】根据条件作出可行域(如图). ?x ? 2 y ? 4 ? 0 解? , ?3 x ? y ? 3 ? 0 ?2 x ? y ? 2 ? 0 解? , ?3 x ? y ? 3 ? 0

得A点的坐标为? 2,3?.

得C点的坐标为?1,0 ?. ?x ? 2 y ? 4 ? 0 解? , ?2 x ? y ? 2 ? 0 得B点的坐标为? 0, 2 ?.

求z=x 2+y 2的最大值和最小值就是求可 行域内的点与原点的距离的平方的最大 值和最小值.显然,原点到A点的距离 的平方最大,而到直线2 x+y-2=0的距 离的平方最小. 所以z的最大值为 OA =22+32=13,最小 ? | 2 ? 0 ? 1? 0 ? 2 | ? 4 值为d =? ? ? . 5 22 ? 12 ? ?
2 2 2

在线性规划中,形如z=(x-a)2 +(y -a)2型的(或可以化为此类型的)目标函数 都可以转化为求可行域内的点(x,y)与点 (a,b)的距离的平方(特别提醒:是“距离 的平方”,而非“距离”)的最值问题,通 过点与点的距离或点到直线的距离公式求 y ?b 解.而形如 型的则转化为可行域内的 x?a 点(x,y)与点(a,b)连线的斜率来求.

【变式练习2】 ?3 x ? 4 y ? 12 ? 已知变量x,y满足不等式组 ? x ? 3 y ? 9 ? 0 , ?4 x ? y ? 16 ? 0 ? y ?1 求x +y 和 的取值范围. x ?1
2 2

【解析】作出可行域如右图中的阴影部分 △ABC,图中各点的坐标分别为 A(4,0), B(3,4),C(0,3),D(-1,1).由图可知x2 +y2 的最小值是原点到直线AC:3x+4y-12=0 的距离的平方,最大值是线段OB的长度的 平方;

y ?1 的最小值是直线AD的斜率,最大值是直 x ?1 线CD的斜率. 12 因为原点到直线AC的距离为d= ,线段OB 5 的长度为 OB =5, 144 所以x +y 的取值范围是[ , . 25] 25 1? 0 1 因为直线AD的斜率为k1= =- , ?1 ? 4 5 1? 3 直线CD的斜率为k2= =2, ?1 ? 0 y ?1 1 所以 的取值范围是[- ,. 2] x ?1 5
2 2

【例3】 某厂拟生产甲、乙两种试销产品,每件销售收 入分别为3千元、2千元.甲、乙产品需要在A、 B两种设备上加工,在每台设备A、B上加工一 件甲产品所需工时分别为1小时、2小时,加工 一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时,A、 B两种设备每月有效使用时数分别为400和500, 如何安排生产可使收入最大?

利用线性规划 解决实际问题

【解析】设甲、乙两种产品每月产量分别 为x、y件,收入为z元. ?x ? 0 ?y ? 0 ? 则x、y满足 ? , ? x ? 2 y ? 400 ?2 x ? y ? 500 ? 目标函数z=3x+2y.作出可行域, 如图的阴影部分.  

? x ? 2 y ? 400 解方程组 ? , ?2 x ? y ? 500 得交点A的坐标为? 200,100 ?. 作直线l: +2y=0,将直线l向上平移到过 3x A点时,z取得最大值3 ? 200+2 ? 100=800. 即甲、乙两种产品每月产量分别为200件、 100件时,可使收入最大,为800元.

本题是利用线性规划的基础知识 和图解法解决生活中的实际问题.首 先要弄清题意,找出变量的约束条件, 列出目标函数,然后由约束条件画出 可行域,最后在一组平行线中,找出 在可行域内过A点的直线,把点代入 可得到最大值(即收入最大).

【变式练习3】 两种大小不同的钢板可按下表截成A、B、C三 种规格成品.

钢板 规格 第一种钢板 第二种钢板

A规格 2 1

B规格 1 2

C规格 1 3

某建筑工地需A、B、C三种规格的成品分别为 15、18、27块,问怎样截这两种钢板,可得所 需三种规格成品,且所用钢板张数最少?

【解析】设需截第一种钢板x张,第二种钢板y张. ?2 x ? y ? 15 ? x ? 2 y ? 18 ? 由题意知,约束条件为 ? , ? x ? 3 y ? 27 ? x,y ? N * ? 目标函数(钢板总数)为z=x+y. 作出可行域,如右图所示.

? x ? 3 y ? 27 18 39 解? ,得交点A( , ). 5 5 ?2 x ? y ? 15 作直线l:x+y=0.将直线l向上平移, 18 39 经过A点时,可使z最小,但 , 不 5 5 是整数,不合要求.

通过在可行域内画网格发现,经过可行域 内的整点且与原点距离最近的是B(3,9)和 C(4,8),它们都是最优解,所以,要截得所 需三种规格的钢板,且使所截两种钢板的 张数最少,有下面两种方法:①截第一种 钢板3张,第二种钢板9张,②截第一种钢 板4张,第二种钢板8张,两种方法都最少 要截两种钢板共12张.

1.表示图中阴影部分的二元一次不等式

?x ? 0 组为_________________ ? ? y ? ?1 ?x ? y ? 1 ?

【解析】B、C所在的直线方程是x=0, A、C所在的直线方程是y=-1, A、B所在的直线方程是x+y=1. 图中阴影部分表示的区域都包括边界,且是在 直线AC上方( y ? -1),直线AB下方( x+y ? 1), 直线BC右边( x ? 0). ?x ? 0 ? 所以图中阴影部分表示的不等式组为 ? y ? ?1 ?x ? y ? 1 ?

2.已知平面区域如图所示, 若z=mx+y(m>0),在平面区 域内取得最大值的最优解有 7 无数多个,则m= ________ 20

【解析】由题意得 22 7 3? ? 5 = 5 =- 7 , -m=k AC= 5 ?1 4 20 7 所以m= . 20

3.不等式|x-1|+|y-1|≤2 表示的平面区域的面积为

8

.

?x≥1 ? 【解析】 |x-1|+|y-1|≤2 可化为?y≥1 ? ?x+y≤4 ?x≤1 ? 或?y≥1 ? ?-x+y≤2 ?x≤1 ? 或?y≤1 ? ?x+y≥0

?x≥1 ? 或?y≤1 ? ?x-y≤2

其平面区域如图:

1 所以面积 S=2×4×4=8.

?y ? 0 ? 4.若A为不等式组 ? x ? 0 表示的平 ?y ? x ? 2 ? 面区域,则当a从-2连续变化到1时, 动直线x+y=a扫过A中的那部分区域 的面积为多少?

【解析】作出可行域(如图). A是一个边长为2的直角三角形PON, 其面积为2,P(0,2).

?y ? x ? 2 1 3 解? ,得交点M(- , ). 2 2 ?x ? y ? 1 1 1 1 所以三角形MPQ的面积为 ? ? 1= , 2 2 4 则动直线x+y=a扫过A中的那部分区域 1 7 的面积为2- = . 4 4

本节内容考查数形结合的数学思想,主要 以三种方式进行: 一是直接给出线性约束条件和线性目标函 数,求区域的面积和线性目标函数在区域内的 最值; 二是要求按给出的二元一次不等式组和画 出的几个图象,判断哪一个是正确的,或要求 按给出图象写出所表示的二元一次不等式组; 三是利用线性规划知识解决实际问题.

1.二元一次不等式(组)表示的区域 的判定方法 (1)函数y=kx+b表示的直线将平面 分成上下两部分,则 不等式 y>kx+b 表示区域 表示直线y=kx+b上方的半平面(不包括边界)

y≥kx+b 表示直线y=kx+b上方的半平面(包括边界) y≤kx+b 表示直线y=kx+b下方的半平面(包括边界)

(2)方程x=a表示的直线将平面分成 左右两部分,则 不等式 表示区域 x≥a 表示直线x=a右边的半平面(包括边界) x<a 表示直线x=a左边的半平面(不包括边界) x≥0 表示y轴右边的半平面(包括边界) x<0 表示y轴左边的半平面(不包括边界) (对于y=a的情形参照上表)

(3)方程Ax+By+C=0(B≠0)表示的直线 将平面分成上下两部分,则

不等式

表示区域 B>0 B<0

Ax+By+ 表示直线上方的半平 表示直线下方的半平 C>0 面区域(不包括边界) 面区域(不包括边界) Ax+By+ 表示直线下方的半平 表示直线上方的半平 C≤0 面区域(包括边界) 面区域(包括边界) (4)特殊点判别法:将原点(0,0)代入二元 一次不等式(组),若成立,则表示包含原点 的区域;若不成立,则表示另外的区域.

2.解线性规划应用问题的一般步骤: (1)设变量,分析题意,写出约束条件和 目标函数; (2)作出相应的图象,找出可行域(注意 边界),求出交点坐标; (3)作出直线l0:ax+by=0; (4)找出最优解,确定直线l0的平移方向, 依可行域判断取得最优解的点; (5)求出目标函数的最大值、最小值.

3.运用线性规划解题时需注意的几点: (1)正确画出可行域,交点一定要求准; (2)明确目标函数的几何意义,即要明白 做什么事; (3)一般情况下,最优解在可行域的顶点 (有些实际问题可能在附近的整点)或边界取 得,要注意边界的虚实.


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