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陕西省西工大附中2013届高三第三次适应性训练数学(文)试题


2013 年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第三次适应性训练

数 学(文科)
第Ⅰ卷 选择题(共 50 分)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)

1.复数 z =

i 在复平面上对应的点位于( ) 1+ i (A )第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限

(D)第四象限

2.若 a, b, c, d ∈ R, 且 a > b, c > d ,则下列结论正确的是( ) 1 1 (A) ac > bd (B) a + c > b + d (C) < (D) ac 2 > bc 2 a b 3 设函数 f ( x) = ? x + 2, x ∈ [?5,5] .若从区间 [?5,5] 内随机选取一个实数 x0 , 则所选取的实数

x0 满足 f ( x0 ) ≤ 0 的概率为(
(A) 0.5 (B) 0.4

) (C) 0.3 (D) 0.2 )

4.如果等差数列 {an } 中, a3 + a4 + a5 = 12 ,那么 a1 + a2 + ? + a7 = ( (A)14 (B)21 (C)28 ( D)35 )
[来源:学科网 ZXXK]

5.已知某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是( (A) 1 (B) 1 2 4 (C) 1 6 (D) 1 8

6.已知 m, n 是两条不同的直线, α , β , γ 是 三个不同的平面,下列命题正确的是( ) (A)若 m // α , n // α ,则 m // n . (B)若 α ⊥ β , α ⊥ γ ,则 β // γ . (C)若 m // α , m // β ,则 α // β . (D)若 m ⊥ α , m ⊥ β ,则 α // β . 7.过点 P(4 , 2) 作圆 x 2 + y 2 = 4 的两条切线,切点分别为 A 、 B , O 为坐标原点,则 ?PAB 的外接 圆方程是( ) 2 (A) ( x ? 2) + ( y ? 1)2 = 5 (B) ( x ? 4)2 + ( y ? 2)2 = 20 (C) ( x + 2)2 + ( y + 1)2 = 5 (D) ( x + 4) 2 + ( y + 2) 2 = 20

x2 y 2 + = 1 的左、右焦点,椭圆的弦 DE 过 焦点 F1 ,若直线 DE 的倾 16 9 斜角为 α (α ≠ 0) ,则 ?DEF2 的周长为( ) ( A)64 (B)20 (C)16 (D)随 α 变化而变化 π 9.已知函数 y = sin( 4 ? 2 x) ,则其图象的下列结论中,正确的是( )
8.已知 F1 、 F2 分别为椭圆 (A)关于点 ( ? π 8 ,1) 中心对称 (C)向左平移 π 8 后得到奇函数 (B)关于直线 x = π 8 轴对称 (D)向左平移 π 8 后得到偶函数

10. f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x > 0 时, ( x 2 + 1) f ' ( x) + 2 xf ( x) < 0 ,且 f ( ?1) = 0 ,则不等式

f ( x ) > 0 的解集是(
(A) (1,+∞ ) (C) (?∞ ,?1)

) (B) (?1,0) ∪ (1,+∞ ) (D) ( ?∞,?1) ∪ (0,1)
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第Ⅱ卷 非选择题(共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案填写在题中的横线上. 11.若集合 A = {?1 , 0 , 1} , B = { x x = m2 + 1 , m ∈ R} ,则 A ∩ B = ; 12.阅读程序框图,若输入 m = 4 , n = 6 ,则输出 a = ; ?| x ? 1 |≤ 1 ? 13.当 x, y 满足 ? y ≥ 0 时,则 t = x ? 2 y 的最小值是 ; ?y ≤ x +1 ? 14.观察下列不等式: 1 3 1 1 5 1 1 1 7 1 + 2 < , 1 + 2 + 2 < , 1 + 2 + 2 + 2 < ,……由以上不等式推测 2 2 2 3 3 2 3 4 4 1 1 1 到一个一般的结论:对于 n ∈ N * , 1 + 2 + 2 + ? + 2 < ; 2 3 n 15.(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评阅记分) A. (选修 4—5 不等式选讲)若任意实数 x 使 m ≥ x + 2 ? 5 ? x 恒成立,则实数 m 的取值范 围是___ ____;

B.(选修 4—1 几何证明选讲)如图:EB、EC 是⊙O 的两条切线, 0 0 B、C 是切点,A、D 是⊙O 上两点,如果∠E=46 ,∠DCF=32 ,则∠A 的度数是 ; C. (选修 4—4 坐标系与参数方程)极坐标系下,直线 ρ cos(θ ?

π ) = 2 与圆 ρ = 2 的公 4

共点个数是__ ___. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) ?? ? 已知 ?ABC 的角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c ,设向量 m = ( a, b) , n = (sin B,sin A) , ? ? p = (b ? 2, a ? 2) . ?? ? (1)若 m // n ,判断 ?ABC 的形状; ?? ? ? (2)若 m ⊥ p ,边长 c = 2 ,角 C = π 3 ,求ΔABC 的面积.
[来源:学|科|网]

17.(本小题满分 12 分 ) 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S n =2an ? 3 ( n = 1, 2,?) . (1)证明:数列 {an } 是等比数列; (2)若数列 {bn } 满足 bn =an + 2n (n =1,2, ???) ,求数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn . 18.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,其中 PA = PD = AD = 2 , ∠BAD = 60° , Q 为 AD 的中点. (1)求证: AD ⊥ 平面PQB ; (2)若平面 PAD ⊥ 平面 ABCD,且 PM = 1 2 PC ,求四棱锥

M ? ABCD 的体积.

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19.(本小题满分 12 分) 某企业员工 500 人参加“学雷锋”志愿活动,按年龄分组:第 1 组[25,30),第 2 组[30, 35),第 3 组[35,40),第 4 组 [40,45),第 5 组[45,50],得到的频率分 布直方图如右图所示.

(1)上表是年龄的频数分布表,求正整数 a, b 的值; (2)现在要从年龄较小的第 1,2,3 组中用分层抽样的方法抽取 6 人,年龄在第 1,2,3 组的人数 分别是多少? (3)在(2)的前提下,从这 6 人中随机抽取 2 人参加社区宣传交流活动,求至少有 1 人年龄在第 3 组的概率. 20.(本小题满分 13 分) 在平面直角坐标系中,已知曲线 C 上任意一点 P 到两个定点 F1 ? 3, 0 和 F2

(

)

(

3, 0 的距离

)

之和为 4. (1)求曲线 C 的方程; (2)设过 ( 0, ?2 ) 的直线 l 与曲线 C 交于 A 、 B 两点,以线段 AB 为直径作圆. 试问:该圆 能否经过坐标原点? 若能,请写出此时直线 l 的方程,并证明你的结论;若不是,请说 明理由. 21.(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) = x 2 ? m ln x , h( x) = x 2 ? x + a . (1)若曲线 y = f ( x ) 在 x = 1 处的切线为 y = x ,求实数 m 的值; (2)当 m = 2 时,若方程 f ( x) ? h( x) = 0 在 [1,3] 上恰好有两个不同的实数解,求实数 a 的取 值范围; (3)是否存在实数 m ,使函数 f ( x) 和函数 h( x) 在公共定义域上具有相同的单调性?若存 在,求出 m 的值,若不存在,说明理由.

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2013 年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第三次适应性训练

数 学(文科)参考答案
第Ⅰ卷(选择题 一.选 择题: 题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 C 5 C 共 50 分) 6 D 7 A 8 C 9 C 10 D

第Ⅱ卷 (非选择题 共 100 分) 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案填写在题中的横线上. 2n ? 1 11. {1} 12. 12 13. -4 14. n 0 15.A. [ 7, +∞ ) B. 99 C. 1 三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) ?? ? (1)由 m // n 得 a sin A = b sin B 所以 a = b 故此三角形为等腰三角形. ?? ? ? (2) m ⊥ p 得 a (b ? 2) + b(a ? 2) = 0 ? a + b = ab 又由余弦定理知 c 2 = a 2 + b 2 ? 2ab cos 600 ? 4 = (a + b) 2 ? 3ab ? ab = 4 所以 S ?ABC = 1 3. 2 ab sin C = 17.(本小题满分 12 分). (1)证明:因为 Sn =2an ? 3 ( n = 1, 2,?) , 则 Sn -1 =2an -1 ? 3 ( n = 2,3,?) …… 1 分 所以当 n ≥ 2 时, an =S n ? S n -1 =2an ? 2an -1 , 整理得 an =2an -1 . 由 S n =2an ? 3 ,令 n = 1 ,得 S1 =2a1 ? 3 ,解得 a1 = 3 . 所以 {an } 是首项为 3,公比为 2 的等比数列. (2)解:因为 an =3 ? 2n ?1 , 由 bn =an + 2n (n =1,2, ???) ,得 bn =3 ? 2n ?1 + 2n . 所以 Tn = 3(1+ 21 + 2 2 + ??? + 2n ?1 ) + 2(1+ 2 + 3 + ??? + n ) 1(1 ? 2 ) n(n+1) +2 ? 1? 2 2 n 2 =3 ? 2 +n +n ? 3 所以 Tn =3 ? 2 n +n 2 +n ? 3 . 18. (本小题满分 12 分) (1)∵ PA = PD , Q 为中点,∴ AD ⊥ PQ 又∵ ∠BAD = 60° ,底面 ABCD 为菱形, Q 为中点 ∴ AD ⊥ BQ 所以 AD ⊥ 平面 PQB . (2)连接 QC ,作 MH ⊥ QC 于 H . ∵ PA = PD = AD = 2 , Q 为 AD 的中点 ∴ PQ ⊥ AD =3
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n
[来源:学科网] [来源:Zxxk.Com][来源:学科网]

又∵ 平面 PAD ⊥ 平面 ABCD, ∴ PQ ⊥ QC ∴ PQ ⊥ 平面ABCD 又 MH ⊥ QC ,∴ PQ ? MH .于是 MH ⊥ 平面ABCD , 1 1 3 3 PQ = × ×2 = , 2 2 2 2 1 1 1 3 所以, M ? ABCD = × AC × BD × MH = × 2 × 2 3 × =1 3 2 6 2 19. (本小题满分 12 分) 解:(1)由题设可知, a = 0.08 × 5 × 500 = 200 , b = 0.02 × 5 × 500 = 50 . (2) 因为第 1,2,3 组共有 50+50+200=3 00 人, 利用分层抽样在 300 名学生中抽取 6 名学生,每组抽取的人数分别为: 50 50 第 1 组的人数为 6 × = 1 ,第 2 组的人数为 6 × = 1, 300 300 200 第 3 组的人数为 6 × = 4, 300 所以第 1,2,3 组分别抽取 1 人,1 人,4 人. (3)设第 1 组的 1 位同学为 A ,第 2 组的 1 位同学为 B ,第 3 组的 4 位同学为 C1 , C2 , C3 , C4 , 则从六位同学中抽两位同学有: ( A, B ), ( A, C1 ), ( A, C2 ), ( A, C3 ), ( A, C4 ), ( B, C1 ), ( B, C2 ), ( B , C3 ), (B , C4 ), (C1 , C2 ), 又 PM = 1 2 PC ,∴ MH = (C1 , C3 ), (C1 , C4 ), (C2 , C3 ), (C2 , C4 ), (C3 , C4 ), 共 15 种可能. 其中 2 人年龄都不在第 3 组的有: ( A, B ), 共 1 种可能, 1 14 所以至少有 1 人年龄在第 3 组的概率为 1 ? = . 15 15 20. (本小题满分 13 分) 解: (1)根据椭圆的定义,可知动点 M 的轨迹为椭圆, 其中 a = 2 , c = 3 ,则 b = a 2 ? c 2 = 1 . x2 所以动点 M 的轨迹方程为 + y 2 = 1 . 4 (2)当直线 l 的斜率不存在时,不满足题意. 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y = kx ? 2 ,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , ??? ? ??? ? 若 OAiOB = 0 ,则 x1 x2 + y1 y2 = 0 . ∵ y1 = kx1 ? 2 , y2 = kx2 ? 2 ,∴ y1 y2 = k 2 x1 ? x2 ? 2k ( x1 + x2 ) + 4 . ∴ (1 + k 2 ) x1 x2 ? 2k ( x1 + x2 ) + 4 = 0 . ………… ① ? x2 ? + y 2 = 1, 由方程组 ? 4 ? y = kx ? 2. ? 得 (1 + 4k 2 ) x 2 ? 16kx + 12 = 0 . ∴k2 > 3 ………… ② 4

? = 162 k 2 ? 4 × 12 × (1 + 4k 2 ) > 0 , 则 x1 + x2 =

16k 12 , x1 ? x2 = ,代入①,得 2 1 + 4k 1 + 4k 2 16k ? 2k ? + 4 = 0 .即 k 2 = 4 ,∴ k = 2 或 k = ?2 ,满足②式. (1 + k 2 ) ? 1 +12 2 4k 1 + 4k 2
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所以,存在直线 l ,其方程为 y = 2 x ? 2 或 y = ?2 x ? 2 . 21.(本小题满分 14 分) m 解:(1)切点为 (1,1) f '( x) = 2 x ? , ∴ k = f '(1) = 1 ,即 m = 1 x 2 (2) f ( x ) ? h ( x ) = 0 ? x ? 2 ln x = x 2 ? x + a ? a = x ? 2 ln x x ?2 令 g ( x) = x ? 2 ln x ∵ g ' ( x) = 1 ? 2 x = 2 得:函数 g ( x ) = x ? 2 ln x 在 [1, 2] 内单调递减;函数

g ( x) = x ? 2 ln x 在 [ 2,3] 内单调递增。
又因为 g (1) = 1, g (2) = 2 ? 2 ln 2, g (3) = 3 ? 2 ln 3 故 2 ? 2 ln 2 < a ≤ 3 ? 2 ln 3 1 (3)∵ h( x) = x 2 ? x + a 在 (0, 1 2 ) 单调递减; ( 2 , +∞ ) 单调递增
1 ∴ f ( x) = x 2 ? m ln x 也应在 (0, 1 2 ) 单调递减; ( 2 , +∞ ) 单调递增

f ' ( x) = 2 x ? m x =

2 x 2 ?m x
2



当 m ≤ 0 时, f ( x) = x ? m ln x 在 (0, +∞) 单调递增,不满足条件. 1 1 所以当 m > 0 且 m . 2 = 2 即m = 2

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