当前位置:首页 >> 数学 >>

我的收藏-2013届数学(文)第一轮第7章第42讲 导数的概念及运算


导数的运算
【例1】 求下列函数的导数:
(1)y=x2-2x+log3x; (2)y=(x2-2x+3)·x. 3

1 【解析】(1)y′=2x-2 ln2+xln3;
x

(2)y′=(x2-2x+3)′·x+(x2-2x+3)· x)′ 3 (3 =(2x-2)·x+(x2-2x+3)·xln3

. 3 3

本题2个小题分别考查了常见函数的导 数以及导数的四则运算法则,要求掌握导数 的公式以及导数的四则运算并能熟练运用.

1-x 【变式练习 1】求函数 y= 的导数. 2 ?1+x ?cosx

【解析】
?1-x?′?1+x2?cosx-?1-x?[?1+x2?cosx]′ y′= ?1+x2?2· 2x cos -?1+x2?cosx-?1-x?[?1+x2?′cosx+?1+x2??cosx?′] = ?1+x2?2cos2x -?1+x2?cosx-?1-x?[2xcosx-?1+x2?sinx] = ?1+x2?2cos2x ?x2-2x-1?cosx+?1-x??1+x2?sinx = . 2 2 2 ?1+x ? cos x

导数的几何意义
【例2】
(1)已知曲线y=1/3x3在P点处的切线方程为 12x-3y-16=0,求点P的坐标; (2)求过点P(3,8)且与抛物线y=x2 相切的直 线方程.

【解析】 设P( x0,y0 ),则在P点的切线方 (1) 1 3 2 程为y -y0 =f ?( x0 )( x-x0 ),即y - x0 =x0 ( x -x0 ), 3 2 3 则3y =3x0 ? x- 2x0 . 已知的切线方程为3 y ? 12 x ? 16, ?3 x0 2 ? 12 ? x0 ? ?2 比较得 ? 2 ,得 ? ? x0 ? 2 ?2 x0 ? 16 8 故x0=2,于是点P的坐标为(2, ). 3

(2)因为点P不在抛物线上,故设抛物线上点A(xA , yA)处的切线方程为y-yA=f '(xA)(x-xA), 即y-xA2=2xA(x-xA),所以y=2xA· xA2. x- 因为点P(3,8)在该直线上, 所以xA2 -6xA+8=0,解得xA=2或xA=4. 所以过点P(3,8)且与抛物线y=x2 相切的直线方程 为4x-y-4=0或8x-y-16=0.

函数在点(x0,y0)处的导数是函数图象在点(x0,y0) 处切线的斜率.已知切点求切线方程与已知切线方程 求切点坐标是两个不同的问题,前者直接应用导数的 几何意义,后者以导数的几何意义为基础,设出切点, 写出切线方程,由于两切线是同一条直线,对应的系 数相等,从而求出切点.这是本题第(1)问的解题思想; 第(2)问是相近的问题,当切线过曲线外一点时,处理 方法还是寻找切点.

【变式练习2】
(1)若曲线y=x2+1上点P处的切线与曲线y= -2x2-1也相切,求点P的坐标. (2)求过点P(0,2)且与曲线y=2x-x3相切的直 线方程.

【解析】1? 设P点的坐标为(a,a 2 +1),则在P点的 ? 切线方程为y -(a 2 +1)=2a( x-a),即y =2ax ? a 2 +1  ①,与曲线y =-2x 2 -1相切的切点为(b,-2b 2 -1), 对应的切线方程为y +2b 2 +1=-4b( x-b), 即y =-4bx+2b 2 -1 ②, ?2a ? ?4b 2 3 3 比较与②有 ? 2 ,所以a= ? , b= ? , 2 3 3 ??a ? 1 ? 2b ? 1 2 3 7 所以点P的坐标为( ? , ). 3 3

(2)设曲线上点A(x0,y0)处的切线方程为
y-y0=f ' (x0)(x-x0), 即y-(2x0-x03)=(2-3 x02)(x-x0), 即y=(2-3 x02)x+2 x03 . 因为点P(0,2)在该直线上,所以x03 =1,则x0= 1,所以切点的坐标为A(1,1). 所以过点P(0,2)且与曲线y=2x-x3 相切的直线 方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.

导数的物理意义
【例3】
质点作直线运动,起点为(0,0),路程s是时间t 的二次函数,且其图象过点(1,6),(2,16). (1)求质点在t=2秒时的瞬时速度; (2)求质点运动的加速度.

【解析】1? 设s=at 2+bt+c.因函数的图象经过原 ? 点,所以c=0.又函数图象经过点 ?1, 6 ?,2,16 ?, ? ? a?b ? 6 ?a ? 2 所以 ? , 解得 ? ?4a ? 2b ? 16 ?b ? 4 所以s=2t 2+4t.故s=4t+4, 则v=s? ? 2 ?=4 ? 2+4=12. 所以质点在t=2秒时的瞬时速度为12.

? 2 ?因为v(t )=4t+4,则a=v?(t )=4.
所以质点运动的加速度为4.

函数的导数的物理意义:位移函数对 时间的导数等于速度,速度函数对时间的 导数等于加速度.一般设位移是时间的函 数s=s(t),则s′=s'(t)=v(t)是速度函数,而 v=v(t)的导数v′=v'(t)=a(t)是加速度函数.

【变式练习3】
1 2 已知自由落体的运动方程S ? gt ,求: 2 ?1? 落体在t0到t0+?t这段时间内的平均速度;

? 2 ? 落体在t0时的瞬时速度; ? 3? 落体在t0=2秒到t1=2.1秒这段时间内的平均速度; ? 4 ? 落体在t=2秒时的瞬时速度.

【解析】1? 落体在t0到t落体在t0到t0 ? ?t这段时间 ? 内路程的增量为 1 1 2 1 ?s= g (t0+?t )2- gt0 = g (2t0 ?t+?t 2 ), 2 2 2 因此,落体在这段时间内的平均速度为: ?s 1 v? ? g (2t0 ? ?t 2 ). ?t 2 ?s ? 2 ? 落体在t0时的瞬时速度为v ? ,当?t ? 0时, ?t ?s ? gt0,所以v=gt0; ?t

? 3? 落体在t 0=2秒到t1=2.1秒时,其时间增 量?t=t1-t0=0.1秒,由?1? 知平均速度为
1 v ? g (2 ? 2 ? 0.1) ? 2.05 g=20.09(米 / 秒) 2 ? 4 ?由? 2 ? 知落体在t 0=2秒时的瞬时速度为 v=g ? 2=19.6(米 / 秒).

导数的基本应用
【例4】
x2 已知函数f ( x)=ln( x-2)- (a为常数). 2a ?1? 求f ? ? 3?的值;

? 2 ?当x=3时,曲线y=f ( x)在点(3,y0 )处的切
线经过点(-1,-1),求a的值.

1 x 3 【解析】1?因为f ?( x)= - ,所以f ? ? 3?= 1 ? x?2 a a 2 x0 ? 2 ?因为f ( x)=ln( x0-2)- ,所以曲线在点(3,y0 ) 2a 9 3 的切线方为 y -[ln(3 ? 2) ? ] ? (1 ? )( x ? 3), 2a a 3 9 即y ? (1 ? ) x ? 3 ? ,因为该切线经过点(-1,-1), a 2a 3 9 5 所以 ? 1 ? ( ? 1) ? 3 ? , 解得a ? . a 2a 2

求曲线的切线的关键是找出切点, 要注意区分切线所经过的点是不是切 点.本题切线经过的点(-1,-1)不是 切点,因此先要假设切点,再求出切线 方程,然后由点(-1,-1)在曲线的切 线上,求出a的值.

【变式练习4】
1 3 已知函数f ( x)= x -2x 2+ax(a ? R ),在曲线y=f ( x) 3 的所有切线中,仅有一条切线l与直线y=x垂直.

?1? 求a的值和切线l的方程; ? 2 ? 设曲线y=f ( x)上任意点的切线的倾斜角为?,
求?的取值范围.

【解析】1? 设切点坐标为( x0,y0 ), ? 1 3 其中y0 = x0 -2x0 2 +ax0 3 由于y?=x 2 -4x+a,故得x 2 -4x =a =-1. 依题意,该方程有且只有一个实数根,于是 2 ?=16-4(a+1)=0,得a=3,从而x=2,即x0 =2,y0 = 3 2 故切线l的方程为y ? ? ?( x ? 2), 3 即3x+3y -8=0.

? 2 ? 设曲线上任意一点( x,y)处的切线的斜率为k.
因为y?=x 2-4x+3=( x-2)2-1 ? -1, 所以k ? -1. 由正切函数的单调性可得倾斜角?的取值范围 3? 为[0, ) ? [ ,? ). 2 4

?

1.曲线 y=x3 -2x+4 在点(1,3)处的切线的倾斜角为 45° .

π 【解析】y′=3x -2?y′|x=1=1?tanθ=1?θ=4.
2

2.抛物线y=4x2 上到直线y=2x-4的距离最短 1 1 ( , ) 的点P的坐标是___________. 4 4
【解析】因为y=4x 2,所以y?=8x,所以曲线上任一 1 点的切线斜率为k=8x,令8x=2,所以x= 代入抛 4 1 1 1 物线方程得:y= ,所以所求的点为 P ( , ) 4 4 4

3. 已 知 f(x) = x2 + 2xf '(1) , 则 f '(0) = ______. -4

【解析】因为f '(x)=2x+2f '(1), 令x=1得f '(1)=-2,所以f '(0)=2f '(1)=-4.

15 4.若存在过点(1,0)的直线与曲线 y=x 和 y=ax + 4
3 2

25 x-9 都相切,则 a= -1 或-64 .

【解析】设过(1,0)的直线与 y=x3 相切于点(x0,x3), 0
所以切线方程为:y-x3=3x2(x-x0). 0 0 即 y=3x2x-2x3,又(1,0)在切线上,则 0 0
2

3 x0=0 或 x0=-2,

15 25 当 x0=0 时,由 y=0 与 y=ax + 4 x-9 相切可得 a=-64, 3 27 27 15 2 当 x0=-2时,由 y= 4 x- 4 与 y=ax + 4 x-9 相切可得 a =-1, 25 所以-1 或-64.

b 5.设函数f ( x)=ax- ,曲线y=f ( x )在点(2,f ? 2 ?) x 处的切线方程为7x-4y-12=0.

?1? 求y=f ( x)的解析式; ? 2 ? 证明:曲线y=f ( x)上任意一点处的切线与直
线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值, 并求此定值.

7 【解析】1? 方程7x-4y-12=0可化为y= x-3. ? 4 1 b 当x=2时,y= 又f ?( x) ? a ? 2 , 2 x b 1 ? ? 2a ? 2 ? 2 ?a ? 1 3 ? 于是 ? ,解得 ? ,故f ( x) ? x ? x ?b ? 3 ?a ? b ? 7 ? ? 4 4

? 2 ? 设P( x0,y0 )为曲线y=f ( x)上任意一点.由y? ? 1+

3 x2

3 知曲线在点P ( x0,y0 )处的切线方程为y -y0 ? (1+ 2 )( x-x0 ), x0 3 3 即y ? ( x0 ? ) ? (1+ 2 )( x-x0 ) x0 x0

6 令x=0,得y ? ? , 从而得切线与直线x=0的交 x0 6 点坐标为(0, ? ) x0 令y=x,得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点 坐标为(2x0 , 2x0 ), 所以点P( x0,y0 )处的切线与直线x=0, 1 6 y=x所围成的三角形面积为 | - || 2x0 | =6 2 x0 故曲线y=f ( x)上任一点处的切线与直线x=0, y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.

1.导数的物理意义 如果y=f(x)表示位移s对时间t的函数, 则其在t=t0 处的导数的意义是物体在时 刻t=t0时的瞬时速度v=s'(t0).

2.导函数 函数y=f(x)在区间(a,b)内每一点的导数 都存在,则函数y=f(x)在(a,b)内可导,其导 数也是(a,b)上的函数,称为y=f(x)的导函数, 记为f ′(x).函数y=f(x)的导函数f '(x)在x=x0处 的函数值f '(x0)就是f(x)在x0处的导数,即f '(x0) =f '(x)|x=x0(注意并非所有的函数都有它的导 函数).

3.函数f(x)在点x0 处有导数, 则函数f(x)在该点处必有切线,且 导数值等于该切线的斜率,但函数 f(x)在点x0 处有切线,函数f(x)在该 点处不一定可导.


相关文章:
...一轮复习讲练测:专题3.1导数的概念及其运算(讲).doc...
2017高考数学(文)一轮复习讲练测:专题3.1导数的概念及其运算().doc_数学_高中教育_教育专区。2017 年高考数学讲练测【新课标版】 【讲】 第三章 导数 ...
高三文科数学第一轮复习进度
高三文科数学备课组 2012 高三数学第一轮复习计划...充分考虑文、理科考生的思维水平与不同的学习要求,...第四章 平面向量的概念及其线性运 平面向 二课时 ...
...(理科)人教A版 课时作业 第3章 第1讲 导数的概念及运算
2016版《创新设计》数学一轮复习(理科)人教A版 课时作业 第3章 第1讲 导数的概念及运算_数学_高中教育_教育专区。第1讲 导数的概念及运算 基础巩固题组 (...
【领先课程】第七讲 导数的概念与运算(理)
【领先课程】第七讲 导数的概念运算(理)_数学_高中教育_教育专区。导数的概念运算适用学科 适用区域数学 全国 适用年级 课时时长(分钟) 高三 120 分钟 知识...
...第三章 导数及其应用 第1讲 导数的概念及运算习题 ...
【创新设计】(山东专用)2017版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第1讲 导数的概念及运算习题 理_数学_高中教育_教育专区。第三章 导数及其应用 第 1 讲...
...一轮复习第三章导数及其应用3.1导数的概念及运算课...
全国通用2018版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.1导数的概念及运算课时作业文_数学_高中教育_教育专区。第三章 第1讲 导数及其应用 导数的概念及运算基础巩固...
【第1-8张42份】2017版高考数学(文)人教A版(全国)一轮...
第 1-8 章 42 份】 2017 版高考数学 (文) 人教 A 版(全国)一轮复习配套文档 目录 第1章 第2章 第3章 第4章 第5章 第6章 第7章 第8章 集合...
...数学一轮复习第三章导数及其应用第1讲导数的概念与...
浙江专用2018版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第1讲导数的概念与导数的计算练习_数学_高中教育_教育专区。第三章 导数及其应用 第 1导数的概念与导数的...
...函数、导数及其应用 第讲 导数的概念及运算(理)习题...
【走向高考(新课标)高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第讲 导数的概念及运算(理)习题-课件_数学_高中教育_教育专区。2017 高考数学一轮复习 第二章...
...轮复习第三章导数及其应用第1讲导数的概念及运算练...
创新设计全国通用2018版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第1讲导数的概念及运算练习理新人教A版_数学_高中教育_教育专区。第三章 导数及其应用 第 1 讲 导数...
更多相关标签: