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必修二同步练习2.1空间点、直线、平面之间的位置关系


2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
一、选择题 1. 下列四个命题中,真命题的个数为( )

①如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合 ②两条直线可以确定一个平面 ③若 M∈α,M∈β,α∩β=l,则 M∈l ④空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内 A. 1 B. 2 C. 3 ) D. 4

2. 以下四个命题

中,正确命题的个数是(

①不共面的四点中,其中任意三点不共线; ②若点 A、B、C、D 共面,点 A、B、C、E 共面,则 A、B、C、D、E 共面; ③若直线 a、b 共面,直线 a、c 共面,则直线 b、c 共面; ④依次首尾相接的四条线段必共面. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 )

3. 设 A、B、C、D 是空间四个不同的点,在下列命题中,不 正确的是( . A. 若 AC 与 BD 共面,则 AD 与 BC 共面 B. 若 AC 与 BD 是异面直线,则 AD 与 BC 是异面直线 C. 若 AB=AC,DB=DC,则 AD=BC D. 若 AB=AC,DB=DC,则 AD⊥BC

4. 正方体 AC1 中,E、F 分别是线段 BC、C1D 的中点,则直线 A1B 与直线 EF 的位置关系 是( ) B. 平行 C. 异面 D. 以上都有可能

A. 相交

5. 如图, 若 Ω 是长方体 ABCD-A1B1C1D1 被平面 EFGH 截去几何体 EFGHB1C1 后得到的几何体, 其中 E 为线段 A1B1 上异于 B1 的点, F 为线段 BB1 上异于 B1 的点,且 EH∥A1D1,则下列结论中不正 确的是( ) B. 四边形 EFGH 是矩形 D. Ω 是棱台

A. EH∥FG C. Ω 是棱柱 答案:D

二、填空题 6. a,b,c 是空间中的三条直线,下面给出三个命题: ①若 a∥b,b∥c,则 a∥c;②若 a 与 b 相交,b 与 c 相交,则 a 与 c 相交; ③若 a,b 与 c 成等角,则 a∥b. 上述命题中正确的命题是________(只填序号). 7. 如图所示,ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体,M、N 分别是下 a 底面的棱 A1B1、 B1C1 的中点, P 是上底面的棱 AD 上的一点, AP= , 3 过 P,M,N 的平面交上底面于 PQ,Q 在 CD 上,则 PQ=____. 8. 如图所示,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1⊥底面 ABC,AB=BC =AA1,∠ABC=90° ,点 E、F 分别是棱 AB、BB1 的中点,则直线 EF 和 BC1 所成的角是________. 三、解答题 9. A 是△BCD 平面外的一点,E,F 分别是 BC,AD 的中点. (1)求证:直线 EF 与 BD 是异面直线; (2)若 AC⊥BD,AC=BD,求 EF 与 BD 所成的角.

10. 如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,A1C 与截面 DBC1 交于 O 点,AC,BD 交于 M 点,求证:C1,O,M 三点共线.

参考答案及解析
一、选择题 1.答案:A 解析:①两个平面有三个公共点,若这三个公共点共线,则这两个平面相交,故①不 正确;两异面直线不能确定一个平面,故②不正确;在空间交于一点的三条直线不一定共 面(如墙角),故④不正确;据平面的性质可知③正确.

2. 答案:B 解析:①假设其中有三点共线,则该直线和直线外的另一点确定一个平面.这与四点 不共面矛盾,故其中任意三点不共线,所以①正确.②从条件看出两平面有三个公共点 A、 B、C,但是若 A、B、C 共线,则结论不正确;③不正确;④不正确,因为此时所得的四 边形的四条边可以不在一个平面上,如空间四边形. 3. 答案:C 解析:A 中,若 AC 与 BD 共面,则 A、B、C、D 四点共面,则 AD 与 BC 共面; B 中,若 AC 与 BD 是异面直线,则 A、B、C、D 四点不共面,则 AD 与 BC 是异面直 线; C 中,若 AB=AC,DB=DC,AD 不一定等于 BC; D 中,若 AB=AC,DB=DC,可以证明 AD⊥BC. 4. 答案:A 解析: 如图所示, 直线 A1B 与直线外一点 E 确定的平面 为 A1BCD1,EF?平面 A1BCD1,且两直线不平行,故两直 线相交. 5. 答案:D 解析:若 FG 不平行于 EH,则 FG 与 EH 相交,交点必然 在 B1C1 上,与 EH∥B1C1 矛盾,所以 FG∥EH;由 EH⊥平面 A1ABB1,得到 EH⊥EF,可以得到四边形 EFGH 为矩形,将 Ω 从正面看过去,就知道是一个五棱柱,C 正确;D 没能正确理解 棱台的定义与题中的图形.

二、填空题 6. 答案:① 解析:由基本性质知①正确;当 a 与 b 相交,b 与 c 相交时,a 与 c 可以相交、平行, 也可以异面,故②不正确;当 a,b 与 c 成等角时,a 与 b 可以相交、平行,也可以异面, 故③不正确. 2 2 7. 答案: a 3

解析:如图,连接 AC,易知 MN∥平面 ABCD,∴MN∥PQ. 又∵MN∥AC, ∴PQ∥AC. ∴ PQ DP 2 = = AC DA 3

2 2 2 ∴PQ= AC= a. 3 3 8.答案:60° 解析:连接 AB1,易知 AB1∥EF,连接 B1C 交 BC1 于点 G,取 AC 的中点 H,连接 GH, 则 GH∥AB1∥EF.故∠AGB(或其补角)即为 EF 和 BC1 所成角.设 AB=BC=AA1=a,连接 HB,在三角形 GHB 中,易知 GH=HB=GB= 2 a, 2

故两直线所成的角即为∠HGB=60° . 三、解答题 9. (1)证明:假设 EF 与 BD 不是异面直线,则 EF 与 BD 共面,从而 DF 与 BE 共面,即 AD 与 BC 共面,所以 A、B、C、D 在同一平面内,这与 A 是△ BCD 平面外的一点相矛盾.故直线 EF 与 BD 是异面直线. (2)解:如图,取 CD 的中点 G,连接 EG、FG,则 EG∥ BD,所以相交直线 EF 与 EG 所成的角,即为异面直线 EF 与 BD 所成的角. 1 在 Rt△EGF 中,由 EG=FG= AC,求得∠FEG=45° , 2 即异面直线 EF 与 BD 所成的角为 45° .

10. 证明:∵C1∈平面 A1ACC1, 且 C1∈平面 DBC1, ∴C1 是平面 A1ACC1 与平面 DBC1 的公共点. 又∵M∈AC,∴M∈平面 A1ACC1. ∵M∈BD,∴M∈平面 DBC1, ∴M 也是平面 A1ACC1 与平面 DBC1 的公共点, ∴C1M 是平面 A1ACC1 与平面 DBC1 的交线. ∵O 为 A1C 与截面 DBC1 的交点, ∴O∈平面 A1ACC1,O∈平面 DBC1, 即 O 也是两平面的公共点, ∴O∈直线 C1M,即 C1,O,M 三点共线.


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