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江苏省泰州中学2007-2008学年度第一学期期中考试高二数学


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江苏省泰州中学 2007-2008 学年度第一学期期中考试 高二数学试题
命题人:杨子圣 2007.11.8. 参考公式: 如果事件 A 、 B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P(B) .

r />n ? n ?? n ? n ? x y ? xi ?? ? y i ? ? i? i i ? i ?1 ?1 ? ?? i ?1 ? , a ? y ? b x 线性回归方程: y ? bx ? a ,其中 b ? 2 n ?n ? n ? xi2 ? ? ? xi ? i ?1 ? i ?1 ? 1 样本数据 x1 , x2 , ? , xn 的标准差 s? [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? ? ? ( xn ? x)2 ] n 中 x 为标本平均数



第Ⅰ卷(选择题

共 30 分)

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,有且只 有一项是符合题目要求的,请把答案填在答题卡上) 1.求 2+4+6+8+?+( )>2007 的最小正整数,写出它的算法伪代码必须用 ( ▲ ) C.输入,赋值语句 D.条件语句

A.“For”语句 B. “While”语句

2.将一个长与宽不等的长方形,沿对角线分成四个区域,如图涂上四种颜色,中间装个指针, 使其可以自由转动,对指针停留的可能性下列说法正确的是 A.一样大 C.红黄区域大 ( ▲ )

B.蓝白区域大 D.由指针转动圈数定

3.从一批产品中取出三件,设 A=“三件产品全不是次品” ,B=“三件产品全是次品” ,C=“三 件产品不全是次品” ,则下列结论正确的是 A.A 与 C 互斥 B.B 与 C 互斥 C.任两个均互斥 ( ▲ ) D.任两个均不互斥

4. 椭圆 7 x 2 ? 16y 2 ? 112 ? 0 上一点 P 到右焦点的距离是 5,则它到左焦点的距离为( ▲ ) A.2 B.3 C.4 D.5

5、下面有三个游戏规则,袋子中分别装有球,从袋中无放回地取球,问其中不公平的游戏 是 游戏 1 3 个黑球和一个白球 取 1 个球,再取 1 个球 取出的两个球同色→甲胜 游戏 2 一个黑球和一个白球 取 1 个球 取出的球是黑球→甲 ( ▲ ) 游戏 3 2 个黑球和 2 个白球 取 1 个球,再取 1 个球 取出的两个球同色→甲胜

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胜 取出的两个球不同色→乙 胜 A. 游戏 1 和游戏 3 取出的球是白球→乙 胜 B.游戏 3 C. 游戏 2 取出的两个球不同色→乙 胜 D. 游戏 1

6.下图l是某校参加2007年高考的学生身高条形统计图,从左到右的各条形表示的学生人数 依次记为 A 1 、 A2 、?、 Am (如 A2 表示身高(单位:cm )在[150, 155) 内的学生人数).图2是统计图l中 身高在一定范围内学生人数的一 个算法流程图.现要统计身高在 160 ~ 180 cm ( 含 160 cm , 不 含 180 cm )的学生人数,那么在流程 图中的判断框内应填写的条 件是 A B. i ? 8 C. i ? 7 D. i ? 6 . ( ▲ )

i?9

第Ⅱ卷(非选择题 共 130 分) 二、填空题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,把答案填在答题纸相应位置.) 7. 一个容量为 20 的样本数据,分组后组距与频数如下表: 组距 频数

?10,20? ?20,30? ?30,40? ?40,50? ?50,60? ?60,70?
2 3 4 5 4 2

则样本在区间 (??,50) 上的频率为__▲___. 8、某单位有老年人 28 人,中年人 54 人,青年人 81 人,为了调查他们的身体状况的某项指 标,需从他们中间抽取一个容量为 36 样本,则中年人应抽取的人数是_▲___ . 9.命题“任何有理数的平方仍是有理数”的否定用数学符号语言可以表示为 _▲ 10.根据下图所示的伪代码,可知输出结果为__▲_. I←1 While I<8 S←2I+3 I←I+2 End while Print S
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.

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(第 10 题)

(第 11 题 )

(第 12 题)

11. 某篮球学校的甲、乙两名运动员练习罚球,每人练习 10 组,每组罚球 40 个.命中个数 的茎叶图如上.则罚球命中率较高的是__ ▲ .

12.根据上面的算法流程图输出 y 的值为 0,则输入的 x 的值可能是___▲___(写出所有可能 的值).

13.若方程

x2 y2 ? ? ?1 表示椭圆,则实数 k 的取值范围是 k ?5 3?k



.

14.将一骰子连续抛掷三次,它落地时向上的点数依次 成等差数列的概率为___▲___. .. 15.已知命题 p :若实数 x, y 满足 x 2 ? y 2 ? 0 ,则 x, y 全为零.命题 q :若 a ? b ,则 给出下列四个复合命题:① p 且 q ② p 或 q ③非 p ④非 q ,其中真命题是 ▲

1 1 ? , a b
.

16. 在地上画一个正方形线框,其边长等于一枚硬币直径的 2 倍,向方框中投这枚硬币,若 硬币完全落在正方形外的情形不计,则硬币完全落入正方形内的概率为 ▲ . _____

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程) 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 中, a1 ? 2 ,且
开始

an ? n ? an?1 (n ? 2) ,求这个数列的第 m 项 am 的值 ( m ? 2) .
现给出此算法流程图的一部分如图 1, (1) 请将空格部分(两个)填上适当的内容; (2) 用“For”循环语句写出对应的算法; (3) 若输出 S=16,则输入的 m 的值是多少?
S←T+S

输入 m
S←2 , T←___

T←T+1

T≥___

N

Y 输出 m,S

18、(本小题满分 12 分)甲、乙两人在相同条件下各射靶 10 次,进

结束

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行射击水平测试,每次命中的环数分别是: 甲:8 6 7 乙:6 7 7 8 6 5 9 10 4 8 6 7 8 7 9 5 7

(1)分别计算以上两组数据的平均数; (2)分别求出两组数据的方差; (3)根据计算结果估计一下两人的射击情况,你认为应选拔那位参加射击比赛? 19. (本小题满分 12 分)设 a, b, c 为△ABC 的三边,求方程 x ? 2ax ? b ? 0 与
2 2

x2 ? 2cx ? b2 ? 0 有公共根的充要条件并给出证明.
20. (本小题满分 14 分)设有关于 x 的一元二次方程 x ? 2ax ? b ? 0 .
2 2

1 , 2, 3 四个数中任取的一个数, b 是从 0, 1 , 2 三个数中任取的一个数,求上述 (1)若 a 是从 0,
方程有实根的概率.

3] 任取的一个数, b 是从区间 [0, 2] 任取的一个数,求上述方程有实根 (2)若 a 是从区间 [0,
的概率.

21. (本小题满分 14 分)一台机器由于使用时间较长,生产的零件有一些会有缺损.按不同 转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下: 转速 x (转/s) 每小时生产有缺损零件数 y (件) (1)作出散点图; (2)如果 y 与 x 线性相关,求线性回归方程; (3) 如果实际生产中,允许每小时的产品中有缺损的零件最多为 10 个,那么机器运转速度 应控制在什么范围内? 16 11 14 9 12 8 8 5

22. (本小题满分 16 分)如图,椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上的点 M 与椭圆右焦点 F1 的连线 MF1 与 x a 2 b2

轴垂直,且 OM ( O 是坐标原点)与椭圆长轴和短轴端点的连线 AB 平行. (1)求椭圆的离心率; (2) F2 是椭圆的左焦点, C 是椭圆上的任一点,

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证明: ?F1CF2 ?

?
2



AB 垂直的直线交椭圆于 P 、 Q ,若△ PF2Q (3)过 F 1 且与
的面积是 20 3 ,求此时椭圆的方程.

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江苏省泰州中学 2007-2008 学年度第一学期期中考试 高二数学试题参考答案
一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 二、填空题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 7、 一个容量为 20 的样本数据,分组后组距与频数如下表: 组距 频数 BBBBBB

?10,20? ?20,30? ?30,40? ?40,50? ?50,60? ?60,70?
2 3 4 5 4 2

则样本在区间 (??,50) 上的频率为__0.7___. 8、某单位有老年人 28 人,中年人 54 人,青年人 81 人,为了调查他们的身体状况的某项指 标,需从他们中间抽取一个容量为 36 样本,则中年人应抽取的人数是_12___ . 9.命题“任何有理数的平方仍是有理数”的否定用数学符号语言可以表示为

?x ? Q, x2 ? Q .
10、根据下图所示的伪代码,可知输出结果为__17_. I←1 While I<8 S←2I+3 I←I+2 End while Print S (第 10 题) (第 11 题 ) (第 12 题)

11. 某篮球学校的甲、乙两名运动员练习罚球,每人练习 10 组,每组罚球 40 个.命中个数 的茎叶图如上.则罚球命中率较高的是__ 甲 .

12.根据上面的算法流程图输出 y 的值为 0,则输入的 x 的值可能是___-3,0,1_(写出所有 可能的值).

x2 y2 ? ? ?1 表示椭圆,则实数 k 的取值范围是 3<k<5 且 k≠4 . 13.若方程 k ?5 3?k
14、将一骰子连续抛掷三次,它落地时向上的点数依次 成等差数列的概率为___ ..

1 ___. 12
1 1 ? , a b

15.已知命题 p :若实数 x, y 满足 x 2 ? y 2 ? 0 ,则 x, y 全为零.命题 q :若 a ? b ,则

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给出下列四个复合命题:① p 且 q ② p 或 q ③非 p ④非 q ,其中真命题是 (2) (4)

.

16. 在地上画一个正方形线框,其边长等于一枚硬币直径的 2 倍,向方框中投这枚硬币,若 硬币完全落在正方形外的情形不计,则硬币完全落入正方形内的概率为 _____ .

4 32 ? ?

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程) 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 中, a1 ? 2 ,且
开始

an ? n ? an?1 (n ? 2) ,求这个数列的第 m 项 am 的值 ( m ? 2) .
现给出此算法流程图的一部分如图 1, (4) 请将空格部分(两个)填上适当的内容; (5) 用“For”循环语句写出对应的算法; (6) 若输出 S=16,则输入的 m 的值是多少? 解: (1) 2,m+1; (2) Read m S ←2
For T From 2 To m Step 1 S←T+S

输入 m
S←2 , T←___

S←T+S

4分 (3)m=5 12 分
T←T+1

T≥___

N

End For Print m,S

Y

8分

输出 m,S

结束

18、(本小题满分 12 分)甲、乙两人在相同条件下各射靶 10 次,进 行射击水平测试,每次命中的环数分别是: 甲:8 6 7 乙:6 7 7 8 6 5 9 10 4 8 6 7 8 7 9 5 7

(1)分别计算以上两组数据的平均数; (2)分别求出两组数据的方差; (3)根据计算结果估计一下两人的射击情况,你认为应选拔那位参加射击比赛? 解: (1) x甲 ?

1 1 (8 ? 6 ? ? ? 7) ? 7, x乙 ? (6 ? 7 ? ? ? 5) ? 7 10 10

4分

(2)将已知各数据减去 7

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2 s甲 ?

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1 1 [(1 ? 1 ? 0 ? 1 ? 1 ? 4 ? 4 ? 9 ? 9 ? 0) ? 10 ? 0 2 ] ? ? 30 ? 3 10 10 1 1 2 s乙 ? [(1 ? 0 ? 0 ? 1 ? 1 ? 0 ? 1 ? 0 ? 4 ? 4) ? 10 ? 0 2 ] ? ? 12 ? 1.2 10 10
2 2 (3)? s甲 ? s乙 ,?乙较甲稳定,应该选乙 .

8分

12 分
2 2

19. (本小题满分 12 分)设 a, b, c 为△ABC 的三边,求方程 x ? 2ax ? b ? 0 与

x2 ? 2cx ? b2 ? 0 有公共根的充要条件并给出证明.

2

先由题意求出条件: 设 α 是两方程的公共根, 显然 α ≠0, 则 α +2aα +b =0①,
2 2

2

2

α +2cα -b =0②. ①②相加得 2α +2α (a+c)=0。 ∴α =-(a+c)代入①得(a+c) -2a(a+c)+b =0 即a =b +c 。 以上求条件的过程事实上就是必要性的证明过程。
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

6分
2

再证明充分性:∵a =b +c . ∴方程x +2ax+b =0 可化为x +2ax+a - c =0,它的解为x1=-(a+c) ,x2=c-a。 同理方程x +2cx-b =0 可化为x +2cx+c -a =0,它的解为x3=-(a+ c) ,x4=a-c。∵x1=x3,∴方程x +2ax+b =0 与x +2cx-b =0 有公共根。 综上,方程x +2ax+b =0 与x +2cx-b =0 有公共根的充要条件是a =b +c 。 12 分 20. (本小题满分 14 分)设有关于 x 的一元二次方程 x ? 2ax ? b ? 0 .
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 , 2, 3 四个数中任取的一个数, b 是从 0, 1 , 2 三个数中任取的一个数,求上述 (1)若 a 是从 0,
方程有实根的概率. (2)若 a 是从区间 [0, 3] 任取的一个数, b 是从区间 [0, 2] 任取的一个数,求上述方程有实根 的概率. 解:设事件 A 为“方程 a ? 2ax ? b ? 0 有实根”.
2 2 2 2 当 a ? 0 , b ? 0 时,方程 x ? 2ax ? b ? 0 有实根的充要条件为 a ≥ b .

(Ⅰ)基本事件共 12 个:

(0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 0) (0 1) (0 2) (1 0) (11) (1 2) (2 0) (2 1) (2 2) (3 0) (31) (3 2) .其中第一个数表示 a 的取
值,第二个数表示 b 的取值. 事件 A 中包含 9 个基本事件,事件 A 发生的概率为 P( A) ?

9 3 ? . 12 4

7分

0≤b≤2 . (Ⅱ)试验的全部结束所构成的区域为 ( a,b) | 0 ≤ a ≤ 3,
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?

?

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0 ≤ b ≤ 2,a ≥ b . 构成事件 A 的区域为 (a,b) | 0 ≤ a ≤ 3,

?

?

1 3 ? 2 ? ? 22 2 2 所以所求的概率为 ? ? . 3? 2 3
转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下: 转速 x (转/s) 每小时生产有缺损零件数 y (件) (1)作出散点图; (2)如果 y 与 x 线性相关,求线性回归方程; (3) 如果实际生产中,允许每小时的产品中有缺损的零件最多为 10 个,那么机器运转速度应控制在什么范围内? (1)散点图如下: 3分
?

14 分

21. (本小题满分 14 分)一台机器由于使用时间较长,生产的零件有一些会有缺损.按不同

16 11

14 9

12 8

8 5

(2) 设 线 性 回 归 方 程 为 y ? bx ? a . 由 题 意 可 得 x ? 12.5 , y ? 8.25 ,

?x
i ?1

4

2

i

? 660 ,

? yi 2 ? 291 , ? xi yi ? 438 .所以 b ?
i ?1 i ?1

4

4

438 ? 4 ?12.5 ? 8.25 ? 0.73 , a ? 8.25 ? 0.73 ? 660 ? 4 ?12.52
11 分 ,故机器运转速度控制在 15 转/s 范围内. 14

12.5 ? ?0.857 .? y ? 0.73x ? 0.857 . 15 (3)令 0.73x ? 0.857 ? 10 ,得 x ? 14.9 ?
分 22. (本小题满分 16 分)如图,椭圆

?

x2 y 2 ? ? 1 上的点 M 与椭圆右焦点 F1 的连线 MF1 与 x a 2 b2

轴垂直,且 OM ( O 是坐标原点)与椭圆长轴和短轴端点的连线 AB 平行. (1)求椭圆的离心率; (2) F2 是椭圆的左焦点, C 是椭圆上的任一点, 证明: ?F1CF2 ?

?
2



AB 垂直的直线交椭圆于 P 、 Q ,若△ PF2Q (3)过 F 1 且与
的面积是 20 3 ,求此时椭圆的方程.

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22. (1) M (c,

b2 b2 b b2 b c 2 ), kOM ? , k AB ? ,? ? ? b ? c ? a ? 2c,? e ? ? . 4分 a ac a ac a a 2
2 2 2 | FC 1 | ? | F2C | ? | F 1 F2 | 2 | FC 1 || F2C |

(2)证:由椭圆定义得: | FC 1 | ? | F2C |? 2a,cos ?FCF 1 2 ?

?

4a 2 ? 4c2 ? 2 | FC 2b2 1 || F2C | ? ? 1. 2 | FC | FC 1 || F2C | 1 || F2C |
| F1C | ? | F2C | 2 2b2 2c 2 ? ) ? a 2 ,? cos ?F1CF2 ? 2 ? 1 ? 2 ? 1 ? 0,??F1CF2 ? . 2 a 2c 2
a ( x ? c),即y ? ? 2( x ? c) .代入椭圆方程消去 x b

| F1C || F2C |? (
9分

(3)解:设直线 PQ 的方程为 y ? ?

(1 ?
得 :

1 y ? c) 2 y2 2 ? 2 ?1 a2 b











5 y 2 ? 2 2cy ? 2c 2 ? 0,? y1 ? y2 ?


2 2c 2c 2 , y1 ? y2 ? ? . 5 5

( y1 ? y2 )2 ? (
2

2 2c 2 8c 2 48c 2 1 4 3c 2 ) ? ? .S?PF2Q ? ? 2c? | y1 ? y2 |? ? 20 3, c 2 ? 25, 5 5 25 2 5
2

因此 a =50, b =25, 所以椭圆方程为 分

x2 y 2 ? ? 1. 50 25

16

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