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第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程


第九章
第一节

平面解析几何

直线的倾斜角与斜率、直线的方程
A 组 基础题组
. . .

1.直线 x+ 3y+1=0 的倾斜角是 2.过两点(0,3),(2,1)的直线方程为

3.过点 M(3,-4),且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 4.已知直线 l 的方程为(2m +m-3)x+(m -m)y=4m-1. (1)当 m= (2)当 m= (3)当 m= 时,直线 l 的倾斜角为 45°; 时,直线 l 在 x 轴上的截距为 1; 时,直线 l 在 y 轴上的截距为- .
2 3
2 2

5.在等腰三角形 AOB 中,AO=AB,点 O(0,0),A(1,3),点 B 在 x 轴的正半轴上,则直线 AB 的方程 为 .

6.一条直线经过点 A(-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面积为 1,求此直线方程.

7.根据所给条件求直线的方程. (1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为 10 ; (2)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为 12.
10

1

8.已知两点 A(-1,2),B(m,3). (1)求直线 AB 的方程; (2)已知实数 m∈ 3 3

-1, 3-1 ,求直线 AB 的倾斜角 α 的取值范围.

B 组 提升题组
1.若直线 l 与直线 y=1,x=7 分别交于点 P,Q,且线段 PQ 的中点坐标为(1,-1),则直线 l 的斜率 为 . . . .

2.过点(-5,2),且在 x 轴上的截距是在 y 轴上的截距的 2 倍的直线方程是 3.已知 A(3,0),B(0,4),直线 AB 上有一动点 P(x,y),则 xy 的最大值是


4.若直线 l: + =1(a>0,b>0)经过点(1,2),则直线 l 在 x 轴和 y 轴上的截距之和的最小值是 5.已知直线 l 过点 M(2,1),且与 x 轴,y 轴的正半轴分别相交于 A,B 两点,O 为坐标原点,求当 ||?||=-?取得最小值时,直线 l 的方程.

6.如图,射线 OA、OB 分别与 x 轴正半轴成 45°角和 30°角,过点 P(1,0)作直线 AB 分别交 OA、OB 于 A、 B 两点,当线段 AB 的中点 C 恰好落在直线 y=2x 上时,求直线 AB 的方程.
1

2

7.已知△ABC 的三个顶点分别为 A(-3,0),B(2,1),C(-2,3),求: (1)BC 边所在直线的方程; (2)BC 边上中线 AD 所在直线的方程.

3

答案全解全析 A 组 基础题组

1. 答案

5π 6 3 3 5π 6

解析 由直线的方程得直线的斜率为- 3 ,设倾斜角为 α ,则 tan α =- 3 ,又 α ∈[0,π ),所以 α = 2. 答案 x+y-3=0 解析 直线斜率为
3 -1 0 -2

.

=-1,其方程为 y=-x+3,即 x+y-3=0.

3. 答案 4x+3y=0 或 x+y+1=0 解析 ①若直线过原点,则其斜率 k=- ,
3 4

所以其方程为 y=-3x,即 4x+3y=0. ②若直线不过原点. 设其方程为 + =1,即 x+y=a.


4

则 a=3+(-4)=-1, 所以直线的方程为 x+y+1=0. 4. 答案 (1)-1 (2)2 或2

1 2

(3)-2 或

1 3

解析 (1)由 2m +m-3=-(m -m),解得 m=±1, 当 m=1 时,方程不表示直线,∴m=-1. (2)令 y=0,得 x= ∴2m -3m-2=0, 解得 m=2 或 m=-2,经验证均符合题意. (3)令 x=0,得 y=
2 2

2

4 -1

2 2 +m -3

=1,

1

4 -1

2 -m

=-2,
1 3

3

∴3m +5m-2=0,解得 m=-2 或 m= , 经验证均符合题意. 5. 答案 y=-3x+6

4

解析 因为 AO=AB,所以直线 AB 的斜率与直线 AO 的斜率互为相反数,所以 kAB=-kOA=-3,所以直线 AB 的点 斜式方程为 y-3=-3(x-1),即 y=-3x+6. 6. 解析 由题意知直线的斜率存在且不为 0, 设直线方程为 y-2=k(x+2),即 kx-y+2k+2=0. 该直线在 x 轴上的截距为长分别为|2k+2|, 2 +2 2 +2

,在 y 轴上的截距为 2k+2,所以该直线与坐标轴围成的三角形的两直角边

.

又该直线与坐标轴围成的三角形的面积为 1, 所以 |2k+2|? 2 1 2 +2

=1,即

2( +1) | |

2

=1,

即 2(k+1) =±k. 当 2(k+1) =k,即 2k +3k+2=0 时,方程无解; 当 2(k+1) =-k,即 2k +5k+2=0 时,解得 k=-2 或 k=-2. 故所求的直线方程为 y-2=-2(x+2)或 y-2=- (x+2),即 2x+y+2=0 或 x+2y-2=0.
2 1
2 2 2 2

2

1

7. 解析 (1)由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点斜式. 设倾斜角为 α ,则 sin α = 10 (0≤α <π ). 从而 cos α =±
3 10 10 10

,则 tan α =± .
3 1 3

1

故所求直线方程为 y=± (x+4), 即 x+3y+4=0 或 x-3y+4=0. (2)由题设知截距均不为 0,设直线方程为 + 又直线过点(-3,4), 从而 +
-3 4 12 - 12 -

=1,

=1,解得 a=-4 或 a=9.

故所求直线方程为 4x-y+16=0 或 x+3y-9=0. 8. 解析 (1)当 m=-1 时,直线 AB 的方程为 x=-1; 当 m≠-1 时,直线 AB 的方程为 y-2= +1(x+1). (2)①当 m=-1 时,α = 2 ; ②当 m≠-1 时,m+1∈ 3 3 π 1

,0 ∪(0, 3],
5

∴k= +1∈(-∞,- 3]∪ ∴α ∈
π 6

1

3 3

,+∞ ,

,

π 2



π 2

,

2π 3

.
π 6

综合①②知,直线 AB 的倾斜角 α ∈

,

2π 3

.

B 组 提升题组
1. 答案 1 3

解析 由直线 l 与直线 y=1,x=7 分别交于点 P,Q,可设 P(x1,1),Q(7,y1),再由线段 PQ 的中点坐标为 (1,-1),可解得 x1=-5,y1=-3,即直线 l 上有两点 P(-5,1),Q(7,-3),代入斜率公式可解得直线 l 的斜率为 k=
1+3 -5-7

=- .
3

1

2. 答案 x+2y+1=0 或 2x+5y=0 解析 当直线不过原点时,设所求直线方程为2 + =1, 将(-5,2)代入所设方程,解得 a=- ,
2 1

此时直线方程为 x+2y+1=0. 当直线过原点时,斜率 k=- ,
5 2

直线方程为 y=-5x,即 2x+5y=0. 综上可知,所求直线方程为 x+2y+1=0 或 2x+5y=0. 3. 答案 3 解析 直线 AB 的方程为3 +4 =1,P(x,y)为直线 AB 上一动点,则 x=3-4y, ∴xy=3y- y =- (y-2) +3≤3.
4 4 3
2

2



3

3

2

4. 答案 3+2 2 解析 直线 l 在 x 轴上的截距为 a,在 y 轴上的截距为 b.求直线 l 在 x 轴和 y 轴上的截距之和的最小值 即求 a+b 的最小值.由直线 l 经过点(1,2)得 + =1.于是 a+b=(a+b)?1=(a+b)?
1 2 1

+

2

=3+ + ,因为


2

a>0,b>0,所以 + ≥2

2



×

2

=2 2 当且仅当 = 时取等号 ,所以 a+b≥3+2 2.

2

5. 解析 设 A(a,0),B(0,b),则 a>0,b>0, 直线 l 的方程为 + =1,所以 + =1.
6
2 1

故 ||?||=-?=-(a-2,-1)?(-2,b-1)=2(a-2)+b-1=2a+b-5=(2a+b) 1-5=2+2≥22?2=4, 当且仅当 a=b=3 时取等号, 此时直线 l 的方程为 x+y-3=0. 6. 解析 由题意可得 kOA=tan 45°=1,kOB=tan(180°-30°)=- ,所以射线
3 3 2

+

lOA:y=x(x≥0),lOB:y=- 3 x(x≥0). 设 A(m,m),B(- 3n,n), 所以线段 AB 的中点 C 的坐标为
1 2 - 3n 2

3

,

+ 2

,

由点 C 在直线 y= x 上,且 A、P、B 三点共线得
+ 2 -0 -1

= ? =

1

- 3n 2

2 -0

- 3n -1

,

, 解得 m= 3,所以 A( 3, 3).
3 3 -1 3+ 3 2

又 P(1,0),所以 kAB=kAP= 所以 lAB:y=
3+ 3 2

=

,

(x-1),

即直线 AB 的方程为(3+ 3)x-2y-3- 3=0. 7. 解析 (1)因为直线 BC 经过 B(2,1)和 C(-2,3)两点,由两点式得 BC 所在直线的方程为 x+2y-4=0. (2)设 BC 边的中点 D 的坐标为(m,n), 则 m=
2 -2 2 -1 -2 3 -1 -2 -2

=

,即

=0,n=

1+3 2

=2.
-3

BC 边的中线 AD 过 A(-3,0),D(0,2)两点,由截距式得 AD 所在直线的方程为 +2 =1,即 2x-3y+6=0.

7


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