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四川省成都树德中学高2014级第一期10月阶段性考试数学试题


高 2014 级第一期 10 月阶段性考试数学试题
命题人:熊忠婕 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1、设集合 A ? { 2,3,5,8 }, B ? { 3,5,7,9 } ,则集合 A ? B ? ( )

10、已知函数 f(x)的定义域为 R,对任意实数 m,n 都满足 f(m+n)=f(m)+f(n)-1, 当 x>0 时,f(x)>1,则不等式 f (2 x ? 1) ? f ( ) ? 2 的解集是( A. ? ??, ?

1 x



? ?

1? ? 2?

? 0,1?

B.

? ??,0?

C.

?0, ???

D. ? ??, ?

? ?

1? ? 2?

A . { 2,3,5,7,8 }

B . { 5}

C . { 3,5}
b a

D . { 2,8,7,9 }


2、已知 a 、b 为实数,集合 M ? { ,1}, N ? {a, 0} ,若 M=N,则 a+b 等于( A.-1
2

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11、已知函数 f ? x ? ?

B.0 B.-1 D.0,1 或-1 ) B.[0,+∞)
2

C.1

D.± 1 )

3、已知集合 P={x|x =1},集合 Q={x|ax=1},若 Q?P,那么 a 的值是( A.1 C.1 或-1 A.R

2 x ? x 2 ,则其定义域为____________

2 12、已知集合 A ? x | ax ? 2 x ? 1 ? 0, a ? R ,有且只有一个真子集,则 a 的取值集合为

?

?

4、函数 y=x +2x+3(x≥0)的值域为(

C.[2,+∞) )

D.[3,+∞)

。 13、函数 y=|x|(1-x)的单减区间为_____________
2 14、若方程 x ? x ? a ? 1 ? 0 在 [ ?1,1] 上有 2 个不相等的实数根,则 a 的取值范围是_________

5、在区间(0,+∞)上不是增函数的函数是( A.y=2x+1 B.y=3x2+1

2 C.y= x

D.y=2x2+x+1

6、设集合 U={(x,y)|x∈R,y∈R}, A={(x,y)|2x-y+m>0}, B={(x,y)|x+y-n≤0}, 那么点 P(2,3)∈A∩(CuB)时, m,n 分别应该满足( A、m>-1, n<5 7、下列说法中错误的是(
2

15、下图展示了一个由区间 (0,1) 到实数集 R 的映射过程:区间 (0,1) 中的实数 m 对应数上的点 m ,如 图 1;将线段 AB 围成一个圆,使两端点 A, B 恰好重合,如图 2;再将这个圆放在平面直角坐标 系中,使其圆心在 y 轴上,点 A 的坐标为 (0,1) ,如图 3.图 3 中直线 AM 与 x 轴交于点 N (n,0) , 则 m 的象就是 n ,记作 f (m) = n .

) C、m>-1, n>5 D、m<-1, n>5

B、m<-1, n<5 )

A.若 f ( x) ? x ? 3, g( x) ?

f ( x) ,则 g(x)定义域为 x | x ? 3或x ? ? 3

?

?

B.若函数的定义域只含有一个元素,则该函数的值域也只含有一个元素 C.函数 y=2x(x∈N)的图象是一条直线 D. y ?

? x 2 ? 2 x ? 1 的值域为
下列说法中正确命题的序号是 ) ①方程 f (x) = 0 的解是 x = ③ f ? x ? 是奇函数;
1 ? ⑤ f ? x ? 的图象关于点 ? ? , 0 ? 对称. ?2 ?

? x 2 ? 2tx ? t 2 , x ? 0 ? 8、已知 f ( x) ? ? ,若 f (0) 是 f ( x) 的最小值,则 t 的取值范围为( 1 ? x ? ? t, x ? 0 x ?
(A)[-1,2] (B)[-1,0] (C)[1,2] (D) [0, 2] )

.(填出所有正确命题的序号) ② f ? ? ?1; ④ f ? x ? 在定义域上单调递增;

1 ; 2

?1? ?4?

1 9、函数 f(x)对于任意实数 x 满足条件 f(x+2)= ,若 f(1)=-5,则 f(f(5))= ( f(x) 1 1 A.-5 B.- C. D.5 5 5

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三、解答题(共 75 分) 16、 (12 分)求下列不等式的解集: ⑴ x 2 ? 3x ? 10 ? 0 ⑵

x?6 ?2 x ?1

20、(13 分)定义在 R 上的函数 f( x )满足:对任意 x1 , x2 ∈R,都有 f( 则称函数 f( x )是 R 上的凹函数. 已知二次函数 f( x )= (1)求证:函数 f( x )是凹函数. (2)求 f( x )在[-1,1]上的最小值 g ? a ? ,并求出 g ? a ? 的值域。

f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? x2 )? , 2 2

a x 2 + x ( a ∈R, a ? 0).

17、(12 分)销售甲、乙两种商品所得利润分别是 y1 , y2 万元,它们与投入资金 x 万元的关系分别为

y1 ? m x ?1 ? a , y2 ? bx ,(其中 m,a,b 都为常数),函数 y1 , y2 对应的曲线 C 、C 如图所示.
1 2

(1)求函数 y1 , y2 的解析式; (2)若该商场一共投资 4 万元经销甲、乙两种商品,求该商场所获利润的最大值.

2 21、(14 分)已知二次函数 y ? f ( x) ? x ? bx ? c 的图象过点(1,13) ,且函数 y ? f ( x ? ) 是偶

1 2

函数. (1)求 f ( x ) 的解析式; 18、(12 分)(1)已知集合 A= {x | x ? ax ? x ? a}, B ? {x || 2x ?1|? 1}, C ? {x | x ? bx ? c ? 0}
2 2

2 (2)已知 t ? 2 , g ?x? ? [ f ?x? ? x ? 13] ? x ,求函数 g ?x ? 在[ t ,2]上的最大值和最小值;

(1) A ? B, 求实数 a 的取值范围; (2)若 B∩C= ? ,B∪C=R,求实数 b,c 的值.

(3)函数 y ? f ( x) 的图象上是否存在这样的点,其横坐标是正整数,纵坐标是一个完全平方数?如果 存在,求出这样的点的坐标;如果不存在,请说明理由.

19、(12 分)已知函数 f(x)=

x (a,b 为常数,且 a≠0),满足 f(2)=1,方程 f(x)=x 有唯一实数解, ax+b

(1)求函数 f(x)的解析式 (2)判断 f(x)在(1,3)上的单调性,并证明. (3) 若 f ( x) ? 3a ? 1 ? 0 在(1,3)上恒成立,求 a 的取值范围。
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班级: 姓名: 考号: 座位号: …………………………………………密…………………………………………封……………………………线………………………………………

高 2014 级第一期 10 月阶段性考试数学试题答题卷
二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11、 12、 13、 三、解答题 16、 (12 分) 14、 15、

18、 (12 分)

19、 (12 分) 17、 (12 分)

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20、 (13 分)

21、 (14 分)

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高 2014 级第一期 10 月阶段性考试数学试题参考答案
1~5.CCDDC 11. 16.⑴ 17.解:(1)由题意 ? 12. 6~10.ACDBB 13. , ⑵[-8,-1) 14. ?1, ? 15.①④⑤ ? 4?



在(1,3)上恒成立

? 5?

?m ? a ? 0 4 4 4 4 ? x ? 1 ? ? x ? 0? 8 ,解得 m ? , a ? ? , y1 ? 5 5 5 5 3m ? a ? ? 5 ? 8 1 1 又由题意 8b ? 得 b ? ? y2 ? x ( x ≥0) 5 5 5 (2)设销售甲商品投入资金 x 万元,则乙投入(4﹣ x )万元 4 4 1 x ? 1 ? ? ? 4 ? x ?? 0 ? x ? 4 ? 由(1)得 y ? 5 5 5 1 2 4 1 1 2 令 x ? 1 ? t , 1 ? t ? 5 ,则有= y ? ? t ? t ? ? ? ? t ? 2 ? ? 1, 1 ? t ? 5 , 5 5 5 5 y 当 t =2 即 x =3 时, 取最大值 1.

2 5 解得 a ? ? 3a ? 1 ? f ?1? ? 3 9 2 x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 f( ) ? a? , ? ? 2 2 2 ? ? 20.(1)证明: 1 1 2 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? ax12 ? x1 ? ax2 ? x2 ? 2 2 2 x1 ? x2 1 ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 1 2 ?f( ) ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? a ? ? ax12 ? x1 ? ax2 ? x2 ? ? 2 2 2 2 2 ? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

答:该商场所获利润的最大值为 1 万元 18.解:(1)由题,B= A=

?当a ? 1时,A ? ?, 满足题意 当a ? 1时,A ? ? x 1 ? x ? a? , 若A ? B, 则不符合题意 当a ? 1时,A ? ? x a ? x ? 1? , 若A ? B, a ? 0 综上, 0 ? a ?1
(2) 若 B∩C=φ,B∪C=R ? C ? x x ? 1或x ? 0

x ? x2 1 ?x ?x ? ?x ?x ? )≤ [f(X 1 ) ? f ( x 2 ) ) ? ?a ? 1 2 ? , a ? 0,??a ? 1 2 ? ? 0 即 f( 1 2 2 ? 2 ? ? 2 ? ? 函数 f(X)是凹函数. 1 2 ?0 (2) 对于函数y ? ax ? x, 其对称轴是x=2a 1 1 ? ?1,即0 ? a ? ,此时 f ? x ?min ? f ? ?1? ? a ?1 ①当 2a 2 1 1 1 ? 1 ? ? 0 ,即 a ? ,此时 f ? x ?min ? f ? ? ? ? ? ②当 -1 ? 2a 2 4a ? 2a ?
1 ? a ? 1, 0 ? a ? ? 2 综上: g ? a ? ? ? ? 1 1 ?? , a ? ? 2 ? 4a
21、

2

2

g ? a ? 的值域为(-1,0) ?3?由分段函数的图像可知,

?

?
?b ? ?1 ?? ?c ? 0

2 即 0,1 是方程 x ? bx ? c =0 的两根? ?

?0 ? 1 ? ?b ?0 1 ? c

x 19. 解:⑴∵f(x)= 且 f(2)=1,∴2=2a+b. ax+b 又∵方程 f(x)=x 有唯一实数解. ∴ax2+(b-1)x=0(a≠0)有唯一实数解. 1 x 2x 故(b-1)2-4a× 0=0,即 b=1,又上式 2a+b=2,可得:a= ,从而 f(x)= = , 2 1 x+2 x+1 2 (2) f ? x ? 在(1,3)上单调递增,下面进行证明:设任意 1 ? x1 ? x2 ? 3 则 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?

1 ? x1 ? x2 ? 3? x1 ? x2 ? 0, ? x1 ? 2? ? 0, ? x2 ? 2? ? 0
? f ? x ? 在(1,3)上单调递增
(3)由题(2) f ?1? ? f ? x ? ? f ?3? 即 f ? x1 ? ? f ? x2 ?

4 ? x1 ? x2 ? 2 x1 2 x2 2 x x ? 4 x1 ? 2 x1x2 ? 4 x2 ? ? 1 2 ? x1 ? 2 x2 ? 2 ? x1 ? 2?? x2 ? 2? ? x1 ? 2?? x2 ? 2?

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