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2015年高中数学 第二章 第12课时 圆的方程学案 苏教版必修2


第一节 圆的方程(1)
【学习导航】

x2 ? y 2 ? 144 ( x ? 4) ? y ? 4
2 2

(0, 0)

12 2

听课随笔

(4, 0)

知识网络
圆 的 标 准 方 程 概念

点评:本题考察了对圆的标准方程的认识,根 据圆的标准方程, 可以写出相应的圆的圆心与 半径. 例 2: (1)写出圆心为 A(2, ?3) ,半径长为 5 的 圆 的 方 程 , 并 判 断 点 M (5, ?7) ,

单位圆

N (? 5, ?1) 是否在这个圆上; (2)求圆心是 C (2, ?3) ,且经过原点的圆的
方程. 分析: 通过圆心, 半径可以写出圆的标准方程. 【解】 (1)∵圆心为 A(2, ?3) ,半径长为 5 , ∴该圆的标准方程为:

圆的标准方程的简单运用

学习要求
1.认识圆的标准方程并掌握推导圆的方程 的思想方法; 2.掌握圆的标准方程,并能根据方程写出 圆心的坐标和圆的半径; 3.能根据所给条件,通过求半径和圆心的 方法求圆的标准方程. 【课堂互动】

( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 25 . 把点 M (5, ?7) 代入方程的左边, (5 ? 2)2 ? (?7 ? 3)2 ? 32 ? 42 ? 25 =右边, 即点 M (5, ?7) 的坐标适合方程, ∴点 M (5, ?7) 是这个圆上的点;
把点 N (? 5, ?1) 的坐标代入方程的左边,

自学评价
1. 以 ( a, b) 为圆心,r 为半径的圆的标准方 程: ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 (r ? 0) . 2. 圆心在原点 (0, 0) ,半径为 r 时,圆的方 程则为: x2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) ; 3. 单位圆:圆心在原点且半径为1的圆; 其方程为: x ? y ? 1.
2 2

(? 5 ? 2)2 ? (?1? 3)2 ? 13 ? 4 5 ? 25 .
即点 N (? 5, ?1) 坐标不适合圆的方程, ∴点 N 不在这个圆上. (2)法一:∵圆 C 的经过坐标原点, ∴圆 C 的半径为:

r ? (2 ? 0) 2 ? (?3 ? 0) 2

? 22 ? 32 ? 13 ,
因此所求的圆的方程为:

注意:交代一个圆时要同时交代其圆心与半 径. 【精典范例】 例 1:分别说出下列圆方程所表示圆的圆心 与半径: ⑴ ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 7 ;
2 2

( x ? 2)2 ? ( y ? (?3))2 ? 13 , 2 2 即 ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 13 . 法二:∵圆心为 C (2, ?3) ,
∴设圆的方程为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? r 2 , ∵原点在圆上即原点的坐标满足圆方程 即 (0 ? 2)2 ? (0 ? 1)2 ? r 2 ,所以 r ? 13 , ∴所求圆的标准方程为:
2

⑵ ( x ? 5) ? ( y ? 4) ? 18
2 2

⑶ x ? ( y ? 1) ? 3
2 2

⑷ x ? y ? 144
2 2

( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 13 .
点评:本题巩固了对圆的标准方程的认识,第 二小题的解题关键在于求出半径, 这里提供了 两种方法. 例 3: (1) 求以点 A(1, 2) 为圆心, 并且和 x 轴 相切的圆的方程; (2)已知两点 P(4,9) , Q(6,3) ,求以线段

⑸ ( x ? 4) ? y ? 4 【解】 (如下表)
2 2

方程

圆心
2 2

半径

( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 7 ( x ? 5)2 ? ( y ? 4)2 ? 18 x2 ? ( y ? 1)2 ? 3

(2,3)
(?5, ?4)

7
3 2 3

PQ 为直径的圆的方程.
分析: (1)已知与圆心坐标和该圆与 x 轴相 切即可求出半径. (2)根据 PQ 为直径可以 得到相应的圆心与半径.
1

(0, ?1)

【解】 (1)∵圆与 x 轴相切 ∴该圆的半径即为圆心 A(1, 2) 到 x 轴的距 离2 ; 所以圆的标准方程为:

( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 . (2)∵ PQ 为直径, ∴ PQ 的中点 M 为该圆的圆心即 M (5,6) ,
又因为

(2) ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 41. 2.求以点 C (?1, ?5) 为圆心,并且和 y 轴相 切的圆的方程. 【解】由题意:半径 r ? 1 , 所以圆的方程为: ( x ? 1)2 ? ( y ? 5)2 ? 1 . 3. 圆的内接正方形相对的两个顶点为 A( 5 , 6 , ) C (3, ?4) ,求该圆的方程. 【解】由题意可得 AC 为直径, 所以 AC 的中点 M 为该圆的圆心即 M (4,1) 又因为

听课随笔

| PQ |? (6 ? 4) ? (3 ? 9) ? 4 ? 36
2 2

? 2 10 ,所以 r ?

| PQ | ? 10 , 2

| AC |? (5 ? 3) 2 ? (6 ? 4) 2 ? 4 ? 100

∴圆的标准方程为:

( x ? 5)2 ? ( y ? 6)2 ? 10 .
点评:本题的解题关键在于由已知条件求出 相应的圆心与半径.对圆的标准方程的有一 个加深认识的作用. 例4: 已知隧道的截面是半径为 4 m 的圆的 半圆,车辆只能在道路中心线的一侧行驶, 车辆宽度为 3m , 高为 3.5m 的货车能不能驶 入这个隧道? 分析:建立直角坐标系,由图象可以分析, 关键 在于 写出 半圆的方程, 对应求出当 x ? 3 时的值, 比较得出结论. 【解】以某一截面半圆的 圆心为原点,半圆的直径 AB 所在的直线为 x 轴, 建立直角坐标系,如图所示,那么半圆的方 程为: x ? y ? 16( y ? 0)
2 2

? 2 26 ∴ r ?

| AC | ? 26 , 2

∴圆的标准方程为:

( x ? 4)2 ? ( y ?1)2 ? 26 . 4.求过两点 A(0, 4) , B(4, 6) ,且圆心在 直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 上的圆的标准方程. 【解】设圆心坐标为 ( a, b) ,圆半径为 r , 则圆方程为 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 , ∵圆心在直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 上, ∴ a ? 2b ? 2 ? 0 ① 又∵圆过两点 A(0, 4) , B(4, 6) ,
∴ (0 ? a)2 ? (4 ? b)2 ? r 2
2 2 2



且 (4 ? a) ? (6 ? b) ? r ③ 由①、②、③得: a ? 4, b ? 1, r ? 5 , ∴圆方程为 ( x ? 4) ? ( y ?1) ? 25 .
2 2

思维点拔: 由圆的标准方程即可写出由圆心坐标及圆的 半径,反之,由圆心坐标及圆的半径即可写出 圆的标准方程.在解具体的题目时,要灵活运 用平面几何及前面所学直线的有关知识.

将 x ? 3 代入得

y ? 16 ? 32 ? 7 ? 9 ? 3 ? 3.5 ,
即离中心线 3m 处,隧道的高度低于货车的 高度,因此,该货车不能驶入这个隧道. 点评:本题的解题关键在于建立直角坐标 系,用解析法研究问题. 思考:假设货车的最大的宽度为 am ,那么 货车要驶入高隧道,限高为多少? 解:将 x ? a 代入得 y ? 16 ? a 2 , 即限高为 16 ? a2 m . 追踪训练一 1.写出下列各圆的方程: (1)圆心在原点,半径为 6 ; (2)经过点 P(6,3) ,圆心为 C (2, ?2) . 【解】 (1) x ? y ? 36 ;
2 2

2

听课随笔 学生质疑

教师释疑

3


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