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辽宁省沈阳二中2016届高三数学上学期12月月考试题 文


沈阳二中 2015—2016 学年度上学期 12 月份小班化学习成果 阶段验收 高三(16 届)数学(文科)试题
说明:1.测试时间:120 分钟 总分:150 分 2.客观题涂在答题纸上,主观题答在答题纸的相应位置上 第Ⅰ卷 (60 分) 第Ⅱ卷 (90 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的)

B? 1. 若全集 U ? R, 集合 A ? { x | x2 ? 4 x ? 3 ? 0 } , { x | log3 (2 ? x) ? 1 } , 则 C ( A ? B) ?
U

( ) A. { x | x ? ?1 或 x ? 2 } C. { x | x ? ?1 或 x ? 2 } 2. 复数 z 满足 z ? A. 2

B. { x | x ? ?1 或 x ? 2 } D. { x | x ? ?1 或 x ? 2 } ) C. 5 D. 10 )

2?i ? i ,则 z ? ( i
B.2

3. 如图,在△ABC 中,已知 BD ? 2DC 则 AD =( ,

??? ?

??? ?

????

? 3 ??? ? 1 ??? AB ? AC 2 2 ??? ? ??? 1 2 ? C. AB ? AC 3 3
A. ?

B.

? 3 ??? ? 1 ??? AB ? AC 2 2 ??? ? ? 1 2 ??? D. AB ? AC 3 3

4. 设 f ?x ? 是定义在 R 上的周期为 3 的函数,当 x ? ?? 2,1? 时, f ?x ? ? ?

?4 x 2 ? 2,?2 ? x ? 0, ? x,0 ? x ? 1,

则 f ? ? =(

?5? ?2?



A.0
5. 给出下列命题:

B. ? 1

C.

1 2

D.1

①若给定命题 p : ?x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R , 均有 x ? x ? 1 ? 0 ;
2

2

②若 p ? q 为假命题,则 p, q 均为假命题;
2 2 ③命题“若 x ? 3 x ? 2 ? 0 ,则 x ? 2 ”的否命题为“若 x ? 3 x ? 2 ? 0, 则 x ? 2 ,

其中正确的命题序号是( A.① B. ①②

) C. ①③ D. ②③

6. 已知倾斜角为θ 的直线,与直线 x-3y+l=0 垂直,则

2 =( 3sin ? - cos 2 ?
2

)
-1-

A.

10 3

B.一

10 3

C.

10 13

D.一

10 13

7. 某几何体的三视图如右图,若该几何体的所有顶点都 在一个球面上,则该球面的表面积为 ( A. 4? C. )
2 3 正视图 1 1 俯视图 侧视图 2

28 ? B. 3
D. 20?

44 ? 3

8. 已知函数 f ( x) ? 2sin ??x ? ? ? ?? ? 0, 0 ? ? ? ? ? 的图象上相邻两个最高点的距离为 ? .若将函数 f ( x ) 象向左平移

的 图

? 个单位长度后, 6 所得图象关于 y 轴对称.则函数 f ( x ) 的解析式为( ) ?? ?? ? ? A. f ( x) ? 2sin ? x ? ? B. f ( x) ? 2sin ? x ? ? 6? 3? ? ? ?? ?? ? ? C. f ( x) ? 2sin ? 2 x ? ? D. f ( x) ? 2sin ? 2 x ? ? 6? 3? ? ?
9. 运行如图所示的程序框图,则输出的 结果是( A. ?2 C.5 ) B.2 D.7

10. 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 是 侧面 BB1C1C 内一动点,若 P 到直线 BC 与直 线 C1D1 的距离相等,则动点 P 的轨迹所在的 曲线是( ) A. 椭圆 C. 双曲线 B. 抛物线 D. 圆

11. 右图可能是下列哪个函数的图象 A. y ? 2 ? x ? 1
x 2

B. y ?

x ln x
2 x

C. y ?

2x sin x 4x ? 1

D. y ? ( x ? 2 x)e

-2-

12. 过曲线 C1 :

x2 y 2 设切点 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F 作曲线 C2 : x2 ? y 2 ? a2 的切线, 2 a b

为 M,延长 FM 交曲线 C3 : y 2 ? 2 px( p ? 0) 于点 N,其中曲线 C1 与 C3 有一个共同的焦点,若点

M 为线段 FN 的中点,则曲线 C1 的离心率为
A. 5 B.

5 2

C. 5 +1

D.

5 ?1 2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题纸 上.) ... 13. 若 a ? 0.32 , b ? 20.3 , c ? log 0.3 2 ,则 a, b, c 由大到小的关系是 14. 设平面区域 D 是由双曲线 y ﹣
2 2



=1 的两条渐近线和抛物线 y =﹣8x 的准线所围成的三 。

角形区域(含边界) ,若点(x,y)∈D,则 z ? 3x ? 4 y ? 5 的最大值是 15. 已知 Sn是数列 {an }的前n 项和,向量 a ? (an ?1, ?2), b ? (4, Sn ) 满足 a ? b , 则 a2015 = 。

?

?

?

?

16. 设函数 y ? f ( x) 图像上不同两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 处的切线的斜率分别是 k A , kB , 规定

? ( A, B) ?

| k A ? kB | 叫做曲线 y ? f ( x) 在点 A 与点 B 间的“弯曲度” ,给出以下命题: | AB |

①函数 y ? x3 ? x2 ? 1 图像上两点 A 与 B 的横坐标分别为 1, 2 ,则 ? ( A, B) ? 3; ②存在这样的函数,图像上任意两点之间的“弯曲度”为常数; ③设点 A 、 B 是抛物线 y ? x ? 1 上不同的两点,则 ? ( A, B) ? 2 ;
2

④设曲线 y ? e x 上不同两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,且 x1 ? x2 ? 1 ,若 t ? ? (A, B) ?1 恒成立, 则实数 t 的取值范围是 (??,1) . 以上正确命题的序号为 。

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)当 x ? ? ?

3 1 sin 2 x ? cos2 x ? ( x ? R) 2 2

? ? 5? ? , ? 时,求函数 f ( x ) 的最小值和最大值; ? 12 12 ?

(Ⅱ)设 ? ABC 的内角 A, B, C 的对应边分别为 a, b, c ,且 c ?

3 , f (C ) ? 0 ,若向量

m ? (1, sinA) 与向量 n ? (2, sinB) 共线,求 a , b 的值.
-3-

18. (本小题满分 12 分)已知递增的等差数列 ?an ? 的前三项和为 6,前三项的积为 6。 (Ⅰ)求等差数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n 。记 bn ?

1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 。 Sn

19. (本小题满分 12 分)如图,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AD ? AA 1 ? 1, AB ? 2 ,

P 为线段 AD1 上的动点,
(Ⅰ)当 P 为 AD1 中点时, 求证: PD ? 平面 ABC1D1 ; (Ⅱ)求证:无论 P 在何处,三棱锥 D ? PBC1 的体积恒为定值;并求出这个定值.

D1 A1 P D A
第 19 题图

C1 B1 C B

20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C1 、抛物线 C2 的焦点均在 x 轴上,C1 的中心和 C2 的顶点 均为原点 O ,从每条曲线上取两个点,将其坐标记录于下表中:

x
y

3

?2
0

4

2
2 2

?2 3

?4

(Ⅰ)求 C1、C2 的标准方程; (Ⅱ)请问是否存在直线 l 满足条件:①过 C2 的焦点 F ;②与 C1 交不同两点 M、N , 且 满足 OM ? ON ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? (2 ? a ) ln x ? (Ⅰ)当 a ? 2 时,求函数 f ( x) 的极值; (Ⅱ) 当 a ? 0 时,讨论 f ( x) 的单调性; (Ⅲ)若对任意的 a ? (?3, ?2), x1 , x2 ? ?1.3? 恒有 (m ? ln 3) a ? 2 ln 3 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,求 实数 m 的取值范围.

???? ?

????

1 ? 2ax . x

x2 x2 y 2 ? y 2 ? 1 的离心率互 22. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 与双曲线 a b 3
为倒数,且直线 x ? y ? 2 ? 0 经过椭圆的右顶点. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)设不过原点 O 的直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 两点 依次成等比数列,求△ OMN 面积的取值范围.
-4-

,且直线 OM 、 MN 、 ON 的斜率

沈阳二中 2015—2016 学年度上学期 12 月份小班化学习成果 高三(16 届)数学(文科)试题答案 一. 选择题: 1 D 2 A 3 C 4 B 5 A 6 C 7 B 8 C 9 C 10 B 11 D 12 D

二. 填空题: 13. b ? a ? c 14. 15
2015 15. 2

16. ②③
-5-

三. 解答题: 17.解: (Ⅰ) f ( x) ?

3 1 ? sin 2 x ? cos2 x ? 1 ? sin(2 x ? ) ? 1 (5 分) 2 2 6 ? ? 2? 由已知得 ? ? 2 x ? ? 3 6 3
3 ?1 2
2 2

? f ( x) 最大值为 0,最小值为 ?
(Ⅱ)由 f (C ) ? 0 得 C=

????????5 分

?
3

由余弦定理的 a ? b ? ab ? 3

由 m , n 共线得 2 sin A ? sin B ,即 b ? 2a

? a ? 1, b ? 2

?????10 分

18.解: (Ⅰ)依题意得 ?an ? 的前三项为 a2 ? d , a2 , a2 ? d ,则

?3a 2 ? 6 ? ?a 2 (a 2 ? d )(a 2 ? d ) ? 6
? an ? 2 ? (n ? 2) ?1 ? n
(Ⅱ) S n ?

?a 2 ? 2 ?? ?d ? 1或d ? ?1(舍)
????????6 分

a1 ? a n 1? n ?n ? ?n 2 2

? bn ?

2 1 1 ? 2( ? ) n(n ? 1) n n ?1

???8 分

? Tn ? 2(1 ?

1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ? ? ? ??? ? ? 2(1 ? )? 2 2 3 3 4 n n ?1 n ?1 n ?1

??12 分

19. 证明: (Ⅰ) 在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? 平面 AA1D1D 又 PD ? 平面 AA1D1D ∴ AB ? PD ???????2 分

? 四边形 AA1D1D 为正方形, 且 P 为对角线 AD1 的中点,∴ PD ? AD1 ????4 分 又∵ AB ? AD1 ? A , AB ? 平面 ABC1D1 , AD1 ? 平面 ABC1D1 ∴ PD ? 平面 ABC1D1 ?????6 分 D1 (Ⅱ)在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AD ? AA1 ? 1, AB ? 2 , A1 ∵ AD1 // BC1 , P 为线段 AD1 上的点 P ∴三角形 PBC1 的面积为定值 D 1 即 S ?PBC1 ? ? 2 ? 2 ? 2 2 A 又∵ CD / / AB , CD ? 平面 ABC1D1 , AB ? 平面 ABC1D1 ∴ CD // 平面 ABC1D1 ∴点 D 到平面 PBC1 的距离 h 为定值
由(Ⅰ)知: P 为 AD1 的中点时, PD ? 平面 ABC1D1 ,即 h ? PD ?

∵ AD ? AA 1

C1 B1 C B
???8 分

2 2

???10 分

-6-

1 1 2 1 ? S?PBC1 ? h ? ? 2 ? ? 3 3 2 3 1 也即无论 P 在线段 AD1 上的何处,三棱锥 D ? PBC1 的体积恒为定值 ???12 分 3 y2 20. 解: (Ⅰ)设抛物线 C2 : y 2 ? 2 px( p ? 0) ,则有 ? 2 p ( x ? 0) ,据此验证 4 个点 x
∴三棱锥 D ? PBC1 的体积为定值,即 VD ? PBC1 ? 知 (3, ? 2 3 ) 、 (4, ? 4)在抛物线上,易求 C2 : y 2 ? 4 x 设C C : 12: ??????2 分

2 x2 y2 ( 2, )代入得: ? 2 ? (a ? b ? 0) ,把点( ? 2,0) 2 2 a b
2 ? x2 ?a ? 4 ∴ 方程为 ? y 2 ? 1 ????????5 分 C 1 2 4 ? ?b ? 1

?4 ?1 ? ?a2 ? ? 2 ? 1 ?1 ? ? a 2 2b 2

解得 ?

(Ⅱ)容易验证直线 l 的斜率不存在时,不满足题意;???????????6 分 当直线 l 斜率存在时,假设存在直线 l 过抛物线焦点 F (1, 0) ,设其方程为 y ? k ( x ? 1) , 与 C1 的交点坐标为 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 )

? x2 2 ? 2 2 2 2 由 ? 4 ? y ? 1 消掉 y ,得 (1 ? 4k ) x ? 8k x ? 4(k ?1) ? 0 , ????8 分 ? ? y ? k ( x ? 1)
于是 x1 ? x2 ?

8k 2 4(k 2 ? 1) , x x ? 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2



y1 y2 ? k ( x1 ?1) ? k ( x1 ?1) ? k 2[ x1x2 ? ( x1 ? x2 ) ?1]
即 y1 y2 ? k (
2

4(k 2 ? 1) 8k 2 3k 2 ? ? 1) ? ? 1 ? 4k 2 1 ? 4 k 2 1 ? 4k 2

② ??????????10 分

由 OM ? ON ,即 OM ? ON ? 0 ,得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0(*) 将①、②代入(*)式,得

???? ?

????

4(k 2 ? 1) 3k 2 k2 ? 4 ? ? ? 0 ,解得 k ? ?2 ; 1 ? 4k 2 1 ? 4 k 2 1 ? 4 k 2

所以存在直线 l 满足条件,且 l 的方程为: y ? 2 x ? 2 或 y ? ?2 x ? 2 .???12 分 21. (Ⅰ)函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) . f ?( x) ? ? 得 x1 ?

1 1 ? 4 ,令 f ?( x) ? ? 2 ? 4 =0 , 2 x x

1 1 ; x2 ? ? (舍去) . 2 2

????2 分

-7-

当 x 变化时, f ? ? x ? , f ( x) 的取值情况如下:

x

1 (0, ) 2
— 减

1 2
0 极小值

1 ( , ??) 2

f ?? x?

?


f ( x)

1 ????4 分 2 2?a 1 (2 x ? 1)(ax ? 1) 1 1 (Ⅱ) f ?( x) ? ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? , x2 ? ? , ? 2 ? 2a ? 2 x x x 2 a
所以,函数 f ( x) 的极小值为 f ( ) ? 4 ,无极大值. 当 a ? ?2 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 的在定义域 (0, ??) 单调递增; ????5 分 当 ?2 ? a ? 0 时,在区间 (0, ) , (?

1 2

1 , ??) ,上 f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减, a
???? 7 分

在区间 ( , ? ) ,上 f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增;

1 2

1 a

当 a ? ?2 时,在区间 (0, ? ) , ( , ??) ,上 f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减, 在区间 (?

1 a

1 2

1 1 , ) ,上 f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增. a 2

?????? 8 分

( Ⅲ) 由(Ⅱ )知当 a ? (?3, ?2) 时,函数 f ( x) 在区间 ?1.3? 单调递减;所以,当 x ? ?1.3? 时,

1 f ( x) max ? f (1) ? 1 ? 2a , f ( x) min ? f (3) ? (2 ? a) ln 3 ? ? 6a 3

10 分

问题等价于: 对任意的 a ? (?3, ?2) , 恒有 (m ? ln 3) a ? 2 ln 3 ? 1 ? 2a ? (2 ? a) ln 3 ? 立,即 am ?

1 ? 6a 成 3

2 2 2 ? 4a ,因为 a<0,? m ? ? 4 ,? m ? ( ? 4) min 所以,实数 m 的取值范 3 3a 3a 13 围是 (??,? ??????12 分 ?. 3
2 3 c 3 ,所以椭圆的离心率 e ? ? , 3 a 2
??2 分

22.(Ⅰ)∵双曲线的离心率为

又∵直线 x ? y ? 2 ? 0 经过椭圆的右顶点, ∴右顶点为 ?2,0? ,即 a ? 2 ∴c ?

3, b ? 1

∴椭圆方程为

x2 ? y2 ? 1 4

??4 分

(Ⅱ)由题意可设直线 l 的方程为: y ? kx ? m ? (k ? 0, m ? 0), M ( x1 , y1 )、N ( x2 , y2 )

-8-

? y ? kx ? m ? 联立 ? x 2 消去 y 并整理得: (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kmx? 4(m 2 ? 1) ? 0 ??5 分 2 ? ? y ?1 ?4
则 x1 ? x 2 ? ?

8km 4(m 2 ? 1) , x x ? 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
????? 6 分

于是 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 又直线 OM 、MN 、ON 的斜率依次成等比数列

?

y1 y 2 k 2 x1 x1 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 8k 2 m 2 ? ? ? k 2? ? ? ? ? m 2 ? 0 ???8 分 x1 x2 x1 x2 1 ? 4k 2
2

由 m ? 0 得: k ?

1 1 ?k ?? 4 2
2

又由 ? ? 64k 2 m 2 ? 16(1 ? 4k 2 )(m 2 ? 1) ? 16(4k 2 ? m 2 ? 1) ? 0 ,得: 0 ? m ? 2 显然 m ? 1(否则: x1 x2 ? 0 ,则 x1 , x 2 中至少有一个为 0,直线 OM 、ON 中至少有一
2

个斜率不存在,与已知矛盾) 设原点 O 到直线 l 的距离为 d ,则

??????10 分

S ?OMN ?

1 1 m 1 MN d ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? m ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? ? (m 2 ? 1) 2 ? 1 2 2 1? k 2 2
?????12 分

? 故由 m 的取值范围可得 ?OMN 面积的取值范围为 (0,1)

-9-


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