当前位置:首页 >> 数学 >>

2.2.1综合法和分析法


2.2.1综合法和分析法(一) ——综合法

学习目标:
1.结合前面学过的数学实例,了解直接证明 的两种基本方法---综合法和分析法,归纳 综合法的思考过程和特点,会用综合法证 明问题。 2. 借助实例充分认识综合法的特点,体会转 化和数形结合的数学思想方法。

一、复习引入
合情推理 归纳
(特殊到一般



推 理
演绎推理

类比 三段论 (特殊到特殊) (一般到特殊)

合情推理得到的结论是不可靠的,需要经过严格 的证明才可以使用。数学中证明的方法有哪些呢?
? ?综合法 ?直接证明 ? 证明的方法? ?分析法 ? ?间接证明(反证法)

二、自主探究——综合法(顺推证法或由因导果法)
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等, 经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论 成立,这种证明方法叫做综合法。其特点是:“由因导 果” 用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理 等,Q表示所要证明的结论.
则综合法用框图表示为:

P ? Q1

Q1 ? Q 2

Q2 ? Q3



Qn ? Q

例.已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc 分析: 首先,分析待证不等式的特点:不 等式的右端是3个数a,b,c乘积的4倍, 左端为两项之和,其中每一项都是一个 数与另两个数的平方和之积.据此,只要 把两个数的平方和转化为这两个数的积 的形式,就能使不等式左、右两端具有 相同的形式. 其次,寻找转化的依据及证明中要用的 其他知识:应用不等式x2+y2≥2xy就能实 现转化,不等式的基本性质是证明的依 据.

证明:

∵ b2+c2 ≥ 2bc,a>0

∴ a(b2+c2) ≥2abc. 又∵ c2+a2 ≥ 2ac,b>0
∴ b(c2+a2) ≥ 2abc.

∴ a(b2+c2)+b(c2+a2) ≥ 4abc.

.在△ABC中,三个内角A、B、C对应的边分别为a、 b、c,且A、B、C成等差数列,a、b、c成等比数列, 求证△ABC为等边三角形.

分析

?将A,B,C成等差数列,转化为符号 语言就是2B=A+C; ?A,B,C为△ABC的内角,这是一个隐含 条件,即A+B+C=180°; ?a,b,c成等比数列转化为符号语言就是

此时,如果能把角和边统一起来,那么就可以进一 步寻找角和边之间的关系,进而判断三角形的形状,余 弦定理正好满足要求.于是,可以用余弦定理进行证明.

b = ac.

2

证明: 由A,B,C成等差数列,有

2B=A+C. ①

因为A,B,C为△ABC的内角,所以 A+B+C=180°. ②

π 由① ① ②,得 B = . 3
2



由a,b,c成等比数列,有

b = ac.



注:解决数学问题时,学会语言转换;还要细致,找出隐含条件。

文字语言 图形语言 符号语言

由余弦定理及③,可得

b = a + c - 2accosB = a + c - ac.
再由④,得 即 因此 从而

2

2

2

2

2

a + c - ac = ac, 2 (a - c) = 0.
a=c.
A=C. ⑤

2

2

π 由 ② ③ ⑤ ,得 A = B = C = . 3 所以△ABC为等边三角形.

【巩固练习】

1、 求 证 : cos ? ? sin ? ? cos 2? 2、 已 知 tan? ? sin? ? a , tan? ? sin? ? b 求 证: (a ? b ) ? 16ab
2 2 2

4

4

3、 已 知a , b, c ? R , a ? b ? c ? 1 1 1 1 求 证( : ? 1)( ? 1)( ? 1) ? 8 a b c

?

课堂小结
1.在数学证明中,综合法最常用的数学方法,若从已 知入手能找到证明的途径,则用综合法. 2.综合法的每步推理都是寻找必要条件,在解题表述 中要注意语言的规范性和逻辑性.

综合法用框图表示为:
P ? Q1
Q1 ? Q 2
Q2 ? Q3



Qn ? Q

5. 设 a >

ex a 0, f ( x ) ? ? x a e

是 R上的偶函数。

(1)求 a 的值;
(2) 证明 f(x) 在(0,+∞)上是增函



2.2.1综合法和分析法(二) ——分析法

学习目标:
1.结合前面学过的数学实例,了解分析法的 思考过程和特点,会用分析法证明问题。 2. 通过实例充分认识综合法和分析法的区别, 能够根据问题特点,灵活选择适当的证明 方法,或者把不同的证明方法结合使用。

回顾复习——综合法(顺推证法或由因导果法)
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等, 经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论 成立,这种证明方法叫做综合法。其特点是:“由因导 果” 用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理 等,Q表示所要证明的结论.
则综合法用框图表示为:

P ? Q1

Q1 ? Q 2

Q2 ? Q3



Qn ? Q

综合法是由一个个推理组成的

自主探究——分析法(逆推证法或执果索因法)
一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求推证过程中,使 每一步结论成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为 判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为 止,这种证明的方法叫做分析法。其特点是:执果索因,即

要证结果Q,只需证条件P.
类似于综合法,我们也可以用框图来表示分析法。 用Pi表示使所要证明结论成立的充分条件,Q表示所要证明的 结论.则分析法的思路过程,特点用框图表示为:

Q ? P1

P1 ? P2

P2 ? P3



得到一个明显 成立的结论

注意:证明最后面的明显成立的条件可以是: 已知条件、定理、定义、公理等

a+b ? 练习:证明不等式: 2

ab

(a>0,b>0).

综合法

证法1: 因为;( a ? b ) ? 0
2

a+b 证法2:要证; ? ab 2 只需证;a + b ? 2 ab

分析法

所以 a + b ? 2 ab ? 0 所以 a + b ? 2 ab
a+b ? ab 成立 所以 2

只需证;a + b ? 2 ab ? 0 只需证;( a ? b )2 ? 0

a+b ? 所以 2

因为;( a ? b )2 ? 0 成立

ab成立

思考:上述两种证法有什么异同?
相同
不同

都是直接证明 证法1 从已知条件出发,以已知的定义、公理、 定理为依据,逐步下推,直到推出要证明的结论 为止 综合法 证法2 从问题的结论出发,追溯导致结论成立的 条件,逐步上溯,直到使结论成立的条件和已知 条件吻合为止 分析法

综合法和分析法的推证过程如下: 综合法
已知条件

分析法
结论

????? 结论

?????已知条件

例4.求证:3 ? 7 ? 2 5
证明:因为 3 ? 7和2 5都是正数,所以要证

3? 7 ?2 5
( 3 ? 7) ? (2 5) 只需证, 只需证: 10 ? 2 21 ? 20
2 2

只需证: 21 ? 5

只需证: 21 ? 25

因为21 ? 25显然成立,所以

3 ? 7 ? 2 5成立

例4.求证:3 ? 7 ? 2 5
证明:因为 3 ? 7和2 5都是正数,所以要证

( 3 ? 7) ? (2 5) ? 10 ? 2 21 ? 20 ? 21 ? 25 ?21 ? 5 ?
2 2

3? 7 ?2 5

因为21 ? 25显然成立,所以

3 ? 7 ? 2 5成立

反思
在本例中,如果我们从“21<25”出发, 逐步倒推回去,就可以用综合法证出结论.但 由于我们很难想到从“21<25”入手,所以 用综合法比较困难.

? [点评] ? (1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、 已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论; ? 2)分析法证明思路为:从求证的结论出发,逐步 寻求使结论成立的充分条件,直至把证明的结论 归结为一个明显成立的条件即可。 ? (3) 用分析法证明数学命题时,一定要恰当地用好 “要证”、“只需证”、“即证”等关联词语.

巩固练习 :求证: 2 ? 7 ? 3 ? 6
证法一:要证

2 ? 7 ? 3 ? 6 成立

因为

2 ? 7和 3 ? 6都是正数 ,
9 ? 2 14 ? 9 ? 2 18 2 14 ? 2 18 14 ? 18 14 ? 18
证法二: ?14 ? 18

所以只需证明 ( 2 ? 7 )2 ? ( 3 ? 6 )2 成立 展开得 即

? 14 ? 18
2 14 ? 2 18 9 ? 2 14 ? 9 ? 2 18

因为 14 ? 18 成立,所以

( 2 ? 7 )2 ? ( 3 ? 6 )2 ? 2? 7 ? 3? 6

2 ? 7 ? 3 ? 6 成立

例5.如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E
作SC的垂线,垂足为F,求证

证法一:要证AF⊥SC
只需证:SC⊥平面AEF

AF⊥SC S E A B F C

只需证:AE⊥SC
只需证:AE⊥平面SBC 只需证:AE⊥BC

只需证:BC⊥平面SAB 只需证:BC⊥SA
只需证:SA⊥平面ABC 因为:SA⊥平面ABC成立 所以. AF⊥SC成立

分析:本题条件较多,而 且垂直关系较多,我们不 容易发现如何使用这些垂 直条件,因此利用综合法 比较困难,我们采用分析 法,

证法二:∵ SA⊥平面ABC ∴BC⊥SA 又∵AB⊥BC,且AB∩SA=A ∴ BC⊥平面SAB ∴ AE⊥BC 又∵AE⊥SB,且BC∩SB=B ∴ AE⊥平面SBC ∴ AE⊥SC 又∵EF⊥SC,且AE∩EF=E ∴ SC⊥平面AEF ∴ AF⊥SC

请结合上述例子和自己感受,说说综合法和分析法的各自特点 和它们的适用情况。 已知条件 (1)综合法:

????? 结论

由因导果,当条件明确,思路清晰时适用; (2)分析法:结论 已知条件 ?????

执果索因,当条件多,入手难,思路乱时适用。 (3)综合法是分析法的逆过程。

拓展:综合应用: 在解决问题时,我们经常把综合法和分析法结合起来使用 (即两面夹攻): 根据条件结构特点去转化结论,得到中间结论Q; 根据结论的结构特点去转化条件,得到中间结论P, 若P可以推出Q,就可以证明结论成立 用P表示已知条件,定义,定理,公理等,用Q表示要证的结论,则 上述过程可用框图表示为:

P

P1

P1

P2 …

Pn-1 Qm-1

Pn Qm

… Q1

Q2 Q

Q1

例6.已知 ? , ? ? k? ?

?

2 sin ? ? cos ? ? 2 sin ? , sin ? cos ? ? sin 2 ?

(k ? z ), 且

1 ? tan 2? 1 ? tan 2 ? 求证: = 2 1 ? tan ? 2(1 ? tan 2 ? )

分析:证明式中没有?,因此我们要将?消掉,如何消掉?? 而且在条件中只有弦,而在证明结果里面只有切, 因此我们要弦化切。

证明:
2 因为(sin 2θ + cos 2θ) - 2sinθcosθ = 1,

所以将(1)(2)代入,可得

( 3) 4sin 2α - 2sin 2β = 1.
另一方面要证 1 - tan 2α 1 - tan 2β = , 2 2 1 + tan α 2(1 + tan β) 即证
2 sin β sin α 112 2 cos β cos α = , 2 2 sin α sin β 1+ 2(1 + ) 2 2 cos α cos β 2

即证 1 cos α - sin α = (cos 2β - sin 2β), 2
2 2

即证 1 1 - 2sin α = (1 - 2sin 2β), 2
2

即证 4sin 2α - 2sin 2β = 1.

由于上式与③相同,于是问题得证.

1.综合法:

∵(sinθ+cosθ)2-2sinθcosθ=1 ∴(2sinα)2-2sin2β=1 ∴4sin2α-2sin2β=1

(二倍角公式) ∴2(cos2α-sin2α)=cos2β-sin2β
即: 2(cos2α-sin2α) cos2α+sin2α
2


2

cos2β-sin2β
cos2β+sin2β

1 ? tan ? 1 ? tan ? ? = 2 2 1 ? tan ? 2(1 ? tan ? )

2.分析法:

1 ? tan2? 1 ? tan2 ? = 要证: 2 1 ? tan ? 2(1 ? tan2 ? )
只要证: 2(cos2α-sin2α) cos2α+sin2α =

cos2β-sin2β

cos2β+sin2β

只要证:2(cos2α-sin2α)=cos2β-sin2β
只要证: 4sin2α-2sin2β=1

只要证: (sinθ+cosθ)2-2sinθcosθ=1 这是三角函数的基本性质

1 ? tan2? 1 ? tan2 ? = 2 1 ? tan ? 2(1 ? tan2 ? )

巩固练习

1 ? tan a 已知 ? 1, 求证: 3 sin 2a ? ?4 cos 2a 2 ? tan a

课堂小结
综合法
特点 条件 格式
由因索果 充分条件 P→Q1→Q2→...→Qn→Q

分析法
由果索因 不要条件 Q←P1←P2←...←Pn←P

关系

解答个一般方式

解法的探讨

实际证题过程,分析与综合是统一运用的 P→Q1→Q2→...→Qn→ Q←Pn←... ←P2 ←P1←P


相关文章:
更多相关标签: