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2011年全国高中数学联合竞赛加试试题(A卷)--2011年10月16日


2011 年全国高中数学联合竞赛加试试题(A 卷)
考试时间:2011 年 10 月 16 日 9:40—12:10
一、 (本题满分 40 分)如图, P, Q 分别是圆内接四边形 ABCD的对角线 AC, BD 的中点.若 ?BPA? ?DPA,证明: ?AQB ? ?CQB . D

A

Q

>P B C

二、本题满分 40 分) ( 证明: 对任意整数 n ? 4 , 存在一个 n 次多项式 f ( x) ? x n ? a n?1 x n?1 ? ? ? a1 x ? a0 具有如下性质: (1) a 0 , a1 , ? , a n ?1 均为正整数; (2)对任意正整数 m ,及任意 k (k ? 2) 个互不相同的正整数 r1 , r2 , ?, rk ,均有 f (m) ? f (r1 ) f (r2 ) ? f (rk ) . 三、 (本题满分 50 分)设 a1 , a 2 , ? , a n (n ? 4) 是给定的正实数, a1 ? a 2 ? ? ? a n .对任意正实数 r , 满足
a j ? ai ak ? a j ? r (1 ? i ? j ? k ? n) 的三元数组 (i, j, k ) 的个数记为 f n (r ) .

证明: f n (r ) ?

n2 . 4

四、 (本题满分 50 分)设 A 是一个 3? 9 的方格表,在每一个小方格内各填一个正整数.称 A 中的 一个 m ? n (1 ? m ? 3, 1 ? n ? 9) 方格表为“好矩形”,若它的所有数的和为 10 的倍数.称 A 中的一个
1?1 的小方格为“坏格”,若它不包含于任何一个“好矩形”.求 A 中“坏格”个数的最大值.


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