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2012-2013学年江西省吉安一中高一上学期期中考试数学试题 Word版含答案


江西省吉安一中 2012-2013 学年度上学期期中考试 高一年级数学试卷
考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符 合题目要求的) 1. 已知全集 U ? ? 1, 2, 3, 4, 5, 6?,集合 A ? ? 1, 3, 4, 6?, B ? ?2, 4

, 5, 6?,则 A ? ?CU B? 等于 A. ? 1, 3?
x

B.

?2, 5?

C.

?4?

D. ?

2. 函数 f ?x? ? 2 ? 3x 的零点所在的一个区间是 A. ?? 2, ? 1? 3. 已知函数 f ? x ? ? ? B. ?? 1, 0? C. (0,1) D. (1,2)

?log3 x x ? 0 ?2
x

x?0
B.

,则 f ? f ? ?? ?

? ? 1 ?? ? ? 9 ??

A. 4

1 4

C. -4

D. ?

1 4

4. 已知幂函数 y ? f ?x ? 的图象过(4,2)点,则 f ? ? ?

?1? ?2?
1 4

A.

2

B.

1 2
的定义域为

C.

D.

2 2

5. 函数 y ?

ln?x ? 1? ? x 2 ? 3x ? 4

A. (-4,-1)

B. (-4,1)

C. (-1,1)

1, 1] D. (-

6. log2 25? log3 4 ? log5 9 的值为 A. 6 B. 8 C. 15 D. 30

7. 已知函数 f ?x ? 对任意的 x ? R 有 f ?x ? ? f ?? x ? ? 0 ,且当 x ? 0 时, f ?x ? ? ln?x ? 1? ,则函数 f ?x ? 的大致图象为

8. 用 min?a, b?表示 a, b 两个数中的最小值,设 f ?x ? ? min?x ? 2, 10 ? x??x ? 0? ,则 f ?x ? 的最大值 为 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

??a ? 2 ?x x ? 2 ? 9. 已知函数 f ? x ? ? ?? 1 ? x 是 R 上的单调递减函数,则实数 a 的取值范围是 ?? ? ? 1 x ? 2 ?? 2 ?
A.

?? ?, 2?

B. ? ? ?,

? ?

13? 8? ?

C. ?0, 2?

D. ? , 2 ? ?8 ?

?13

?

10. 设函数 y ? f ?x ? 在 ?? ?, ? ?? 内有定义, 对于给定的正数 K, 定义函数 f K ?x ? ? ? 取函数 f ?x ? ? 2

? f ?x ?, f ?x ? ? K , f ?x ? ? K ?K ,

?| x|

,当 K ?

1 时,函数 f K ?x ? 的单调递增区间为 2
C.

A.

?? ?, 0?

B. ?0, ? ? ?

?? ?,

? 1?

D. ?1, ? ??

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 ) 11. 已知点 ?x, y ? 在映射 f : A ? B 作用下的象是 ?x ? y, x ? y ? , x ? R , y ? R ,则点(3,1)的 原象是__________。 12. 已知函数 f ?x? ? ?k ? 2?x ? ?k ? 1?x ? 3 是偶函数,则 f ?x ? 的递减区间是_________。
2

13. 已知函数 f ?x ?, g ?x ? 分别由下表给出

x
f ?x ?

1 2

2 3

3 1

x
g ?x ?

1 3

2 2

3 1

(A 类)则当 g? f ?x ?? ? 2 时, x ? __________。 (B 类)则 f ?g ?2?? =__________。 14. 设 A、B 为非空集合,定义集合 A ? B ? ?x | x ? A或x ? B且x ? A ? B?, 若P ? x| y ?

?

x 2 ? 3x Q ? y | y ? 3 x ? 1 ,则 P ? Q ? __________。

?

?

?

15. 函数 f ?x ? 的定义域为 A,若 x1 , x2 ? A 且 f ?x1 ? ? f ?x2 ? 时总有 x1 ? x 2 ,则称 f ?x ? 为单函数。例

如,函数 f ?x ? ? 2 x ? 1?x ? R? 是单函数。下列命题: ①函数 f ?x ? ? x ?x ? R? 是单函数;
2

②指数函数 f ?x? ? 2 ?x ? R? 是单函数;
x

③若 f ?x ? 为单函数, x1 , x2 ? A且x1 ? x2 ,则 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ; ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数。 其中的真命题是__________。 (写出所有真命题的序号) 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤) 16. 已知集合 A ? ?x | a ? x ? a ? 3?, B ? ?x | x ? ?2或x ? 6?。 (1)若 A ? B ? ? ,求 a 的取值范围; (2)若 A ? B ? B ,求 a 的取值范围。

? x ? 2 ?x ? ?1? ? 17. 已知函数 f ?x ? ? ? x 2 ?? 1 ? x ? 2? ?2 x ?x ? 2? ?

(1)求 f ?? 4? 、 f ?3? 、 f ? f ?? 2?? 的值; (2)若 f ?a ? ? 10 ,求 a 的值。 18. 设 a 是实数,定义在 R 上的函数 f ? x ? ? a ? (1)若 f ?x ? 为奇函数,求 a 的值; (2)证明:对于 a 取任意实数, f ?x ? 是增函数。 19. (A 类)某自来水厂的蓄水池存有 400 吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水 60 吨,同时蓄水池又向 居民小区不间断供水, t 小时内供水总量为 120 6t 吨, ( 0 ? t ? 24 ) (1)从供水开始到第几小时,蓄水池中的存水量最少?最少水量是多少吨? (2)若蓄水池中水量少于 80 吨时,就会出现供水紧张现象,请问:在一天的 24 小时内,有几小时 出现供水紧张现象。 (B 类)某宾馆有客房 300 间,每间日房租为 100 元时,每天都客满,宾馆欲提高档次,并提高租金, 如果每间日房租每增加 10 元,客房出租数就会减少 10 间,若不考虑其他因素,该宾馆将房间租金提高到 多少元时,每天客房的租金总收入最高,并求出日租金的最大值? 20. (A 类)已知函数 f ? x ? ? log 2 (1)求函数 f ?x ? 的定义域;

2 , 2 ?1
x

x ?1 ? log 2 ?x ? 1? ? log 2 ? p ? x ? 。 x ?1

(2)解关于 x 的不等式: f ?x? ? log2 2 x ? 2x ? 4 ;
2

?

?

(3)求函数 f ?x ? 的值域。 (B 类)已知函数 f ? x ? ? log 2 (1)求函数 f ?x ? 的定义域; (2)求函数 f ?x ? 的值域。 21. 设 M 是由满足下列性质的函数 f ?x ? 构成的集合: 在定义域内存在 x0 , 使得 f ?x0 ? 1? ? f ?x0 ? ? f ?1? 成立。 (1)判断函数 f ? x ? ?

x ?1 ? log 2 ?x ? 1? ? log 2 ? p ? x ? 。 x ?1

1 是否是集合 M 中的元素,并说明理由; x a ? M ,试求 a 的取值范围; x ?1
2

(2)设函数 f ? x ? ? lg

x x 2 (3)设函数 y ? 2 的图象与函数 y ? ? x 的图象有交点,证明函数 g ?x? ? 2 ? x ? M 。

参考答案: 一、选择题 1~5 ABBDC 二、填空题 11. (2,1) 14.

6~10 BDCBC

12. [0, ? ?)

13. (A 类)1(B 类)3 15. ②③④

?x | x ? 0或1 ? x ? 3?

三、解答题 16. 解: (1)∵ A ? B ? ? ,∴ ?

?a ? ?2 ,∴ ? 2 ? a ? 3 ,∴ a 的取值范围是 ? 2 ? a ? 3 ?a ? 3 ? 6

(2)∵ A ? B ? B ,∴ A ? B ,∴ a ? 6或a ? 3 ? ?2 ,∴ a 的取值范围是 a ? 6或a ? ?5 17. 解: (1) f ?? 4? ? ?2 , f ?3? ? 6 , f ? f ?? 2?? ? f ?0? ? 0 (2)①当 a ? ?1 时, a ? 2 ? 10 ,得: a ? 8 ,不符合;
2 ②当 ? 1 ? a ? 2 时, a ? 10 ,得: a ? ? 10 ,不符合;

③当 a ? 2 时, 2a ? 10 ,得 a ? 5 , 综上: a ? 5 。

18. 解: (1)∵ f ?x ? 为奇函数,∴ f ?? x ? ? ? f ?x ? 又 f ?? x ? ? a ?

2 2 2 x ?1 ? a ? , ? f ?x ? ? ?a ? x 。 ?x x 2 ?1 2 ?1 1? 2

∴a ?

2 x ?1 2 2?a ? 1? 2 x ? 1 ? ? a ? ? 0 ,∴ a ? 1 ? 0。 ,即 1? 2x 2x ?1 2x ?1
2 为奇函数 2 ?1
x

?

?

∴当 a ? 1 时,此时 f ? x ? ? a ?

(另解:利用 f ?x ? 定义域为 x ? R 且为奇函数,则有 f ?0? ? 0 ,易得 a ? 1 )

2 ? ? 2 ? 2 2 x2 ? 2 x1 ? (2)设 x 2 ? x1 ,则 f ?x2 ? ? f ?x1 ? ? ? a ? x ? ? ? a ? x1 ?? 2 2 ? 1? ? 2 ? 1 ? 2 x2 ? 1 2 x1 ? 1 ?

?

?

??

?

?

∵ y ? 2 为增函数,且 2 ? 0
x
x

∴2

x2

? 2 x1 ? 0 , 2 x2 ? 1 2 x1 ? 1 ? 0 ,

?

??

?

∴ f ?x2 ? ? f ?x1 ? ? 0 ,即 f ?x2 ? ? f ?x1 ? 。 故对任何实数 a , f ? x ? ? a ?

2 在 R 上均为增函数。 2 ?1
x

19. (A 类)解: (1)设 t 小时后蓄水池中的水量为 y 吨,则 y ? 400? 60t ? 120 6t ; 令 6t ? x ,则 x ? 6t ,即 y ? 400? 10x 2 ? 120x ? 10?x ? 6? ? 40 ;
2

2

∴当 x ? 6 ,即 t ? 6 时, y min ? 40 ,即从供水开始到第 6 小时时,蓄水池水量最少只有 40 吨。 (2)依题意 400? 10x ? 120x ? 80 ,得 x ? 12x ? 32 ? 0 ;
2 2

解得 4 ? x ? 8 ,即 4 ?

8 32 32 8 6t ? 8 , ? t ? ;即由 ? ? 8 ,所以每天约有 8 小时供水紧张。 3 3 3 3

(B 类)解:设宾馆客房租金每间日租金提高 x 个 10 元,将有 10 x 间客房空出。 客房租金总收入为 y 。 由题意可得: y ? ?100 ? 10x ??300 ? 10x ? ( 0 ? x ? 30 且 x 是整数)

? 100 ? x 2 ? 20x ? 300 ? ?100?x ? 10? ? 40000
2

?

?

当 x ? 10 时, y max ? 40000 因此每间租金 100 ? 10 ? 10 ? 200 元时,客房租金总收入提高,日租金 40000 元。

?x ?1 ? x ?1 ? 0 ? x ? 1或x ? ?1 ? ?x ? 1 ? ?? 20. 解: (1)由 ? x ? 1 ? 0 ? ? x ? 1 ?x ? p ? p ? x ? 0 ?x ? p ? ? ?
∵函数的定义域不能为空集,故 p ? 1 ,函数的定义域为 ?1, p ? (2)若 1 ? P ? 2 ,解集 ? ,若 P ? 2 ,解集 ? 2,

? ?

4? p? ? 3 ?

(3) f ?x ? ? log2 ?

? x ?1 ? ? ?x ? 1? ? ? p ? x ?? ? log2 ?x ? 1?? p ? x ? ? x ?1 ?

? log2 ? x 2 ? ? p ? 1?x ? p , x ? ?1, p?

?

?

? p ? 1? ? g ?x? p ?1? ? 令 t ? ? x ? ? p ? 1?x ? p ? ?? x ? ? ? 2 ? 4 ?
2 2 2

? p ?1 ?1 ? ①当 ? 2 ,即 1 ? p ? 3 时, t 在 ?1, p ? 上单调减, g ? p ? ? t ? g ?1? ,即 0 ? t ? 2 p ? 2 , ? ?p ?1
∴ f ?x ? ? 1 ? log2 ? p ? 1? ,函数 f ?x ? 的值域为 ?? ?, 1 ? log2 ? p ? 1?? ;

p ?1 p ?1 ? ? ? p ? 1?2 ?1 ? ? p ?1? p ? 3 ②当 ? 即 时, ,即 ? ? 0 ? t ? g p ? t ? g ? ? 2 2 4 2 ? ? ? ?p ?1
∴ f ?x ? ? 2 log2 ? p ? 1? ? 2 ,函数 f ?x ? 的值域为 ?? ?, 2 log2 ? p ? 1? ? 2? 。 综上:当 1 ? p ? 3 时,函数 f ?x ? 的值域为 ?? ?, 1 ? log2 ? p ? 1?? ; 当 p ? 3 时,函数 f ?x ? 的值域为 ?? ?, 2 log2 ? p ? 1? ? 2? 21. 解: (1)若 f ? x ? ?

1 1 1 ? M ,则在定义域内存在 x0 ,使 ? ?1 x x0 ? 1 x0 1 ?M x

2 即 x0 ? x0 ? 1 ? 0 ,此方程无解,∴ f ? x ? ?

(2)∵ f ? x ? ? lg

a a a a ? M ,则 lg ? lg 2 ? lg 2 x ?1 2 x ?1 ?x ? 1? ? 1
2

? ?a ? 2?x 2 ? 2ax ? 2?a ? 1? ? 0

当 a ? 2 时, x ? ?

1 ; 2

当 a ? 2 时,由 △? 0 ? a 2 ? 6a ? 4 ? 0 ? a ? 3 ? 5, 2 ? 2, 3 ? 5 , ∴ a ? 3 ? 5, 3 ? 5
x

?

? ?

?

?

?
2

(3)∵ g ?x ? ? 2 ? x ,
2
2 ∴ g ?x0 ? 1? ? g ?x0 ? ? g ?1? ? 2 x0 ?1 ? ?x0 ? 1? ? 2 x0 ? x0 ?3

? 2 x0 ? 2?x0 ? 1? ? 2 2 x0 ?1 ? ?x0 ? 1?

?

?

x 又∵函数 y ? 2 的图象与函数 y ? ? x 的图象有交点,设交点的横坐标为 a ,
x ?1 则 2 ? ?a ,则 2 ? a ? 0 ,令 x0 ? 1 ? a ,则 2 0 ? ?x0 ? 1? ? 0 ,
a a

∴ g ?x0 ? 1? ? g ?x0 ? ? g ?1? ? 0 ,即 g ?x0 ? 1? ? g ?x0 ? ? g ?1? , 故函数 g ?x? ? 2 ? x ? M
x 2


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