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高一不等式恒成立专题


不等式的恒成立
一. 什么叫不等式的恒成立? 这个概念起源于函数的最大值和最小值的定义。 关于 x 的不等式 f(x)≥0 对于 x 在某个范围内的每个值不等式都成立, 就叫不等式在这个范围内恒成 立。常见的有:

(1) x 2 ? 0, x ? R;(2)a x ? 0, x ? R;(3) x ? 0, x ? 0

等等。。。其形式与函数的最值关系如下:

1. f ( x ) ? m对?x ? D恒成立 ? f ( x) min ? m; 2. f ( x ) ? m对?x ? D恒成立 ? f ( x) max ? m 变形方法:分离参量即将主变量与参变量分在不等号的两侧。
其几何形式为:一个函数图像在另一个函数图像的上方或下方 练习:1.下列哪些关系是恒成立的? (1)当 x ? R 时 x
2

? 6 x ? 10 ? 0 ,
x

(2)当 x ? 0 时, 2 (3)当 x (4)若

?1

? 1 时 log a x ? ? (a ? 0, a ? 1)

f ( x) ? x ? log 2 x 对任意的 x1 ? x2 ? ? ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 。

例题一: 1.已知函数

f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 , 求证当 x ? ? ??, ?2? 时, f(x)的最小值为 f(-2)

; 说明

f ( x) ? f (?2)

是否恒成立?

2.对x ? ? ?1, 3? ,不等式x2 +2x+1 ? p恒成立.求p的取值范
变式: 对x ? R, 不等式x2 +px+1 ? ?恒成立.求p的取值范

例题二:

1.当x ? ?1, 2?时,不等式ax-2 ? 0恒成立.求a的取值范围。
变式:若函数

f ( x) ? 2 x ? m

在区间

?1, ?? ? 上有意义,求常数 m 的取值范围。

思考:变式与“

f ( x) ? 2 x ? m

的定义域为

?1, ?? ? ,求常数 m 的取值”有什么不同?

2..已知函数

y ? x?

1 x

(1)判断函数在 x ?

? 0 ? ? ? 上的单调性。

(2)若不等式 x

2

?1 ? ? ax-1 ? 0 对任意的 x ? ? , 2? 恒成立,求常数 a 的取值范围。 ?2 ?

3.若函数

y ? kx 2 图像恒在函数 y ? 1 ? kx 图像的下方,求常数 k 的取值范围。

变式:二次函数的图像顶点为 A(1,16) ,且图像在 x 轴上截得的线段长 8. (1)求这个二次函数的解析式; ( (2)在区间[-1,1]上, y 围。 m ? 14 ) ( 二.练习: 1.求证:当 0 ? a ? ? 时,不等式 ax
2

f ( x) ? ?( x ? 1) 2 ? 16 )

? f (x) 的图象恒在一次函数 y ? 2 x ? m 的图象上方,试确定实数 m 的范

? ax ? 1 ? 0 对于一切的实数 x 恒成立。

2.不等式 2 x ? 1 ? m(3 ? x) 对

m ? 2 恒成立,求 x 的取值范围。

3.已知函数

y ? 1 ? k ? 3x

。①若函数的定义域为

?1, ?? ? ,求 k 的值。

②若函数在区间

?1, ?? ? 上有意义,求 k 的取值范围。

4. 已知函数 的取值范围。

f ( x) ? 2 x , g ( x) ? x 2 ? 2 x ? a 对任意的 x1 , x2 ? ? ?1,1? 恒有 g ( x1 ) ? f ( x2 ), 求 a

5.若函数

1 f ( x) ? x 2 ? ax, (a >0) 对区间 ( ,1) 内任意两个相异的实数 x1、x2 恒有 2
,求常数 a 的取值范围.

f ( x1 ) ? f ( x2 ) >2 x1 ? x2
观摩题

20.(本小题满分 10 分)11-12 南京市 2011-2012 学年度第一学期高一期末调研 设函数 f(x)=x2-2tx+2,其中 t∈R.

(1)若 t=1,求函数 f(x)在区间[0,4]上的取值范围; (2)若 t=1,且对任意的 x∈[a,a+2],都有 f(x)≤5,求实数 a 的取值范围. (3)若对任意的 x1,x2∈[0,4],都有|f(x1)-f(x2)|≤8,求 t 的取值范围.

20. (本小题 16 分) 定义在 D 上的函数 则称

f (x) ,如果满足:对任意 x ? D ,存在常数 M ? 0 ,都有 | f ( x) |? M 成立,
称为函数 ,

f ? x ? 是 D 上的有界函数,其中 M
?1? ?1? f ? x? ? 1? a ?? ? ? ? ? ?2? ?4?
x x

f ? x ? 的上界.

已知函数

(1)当 a ? 1 时,求函数 请说明理由; (2)若函数

f ? x ? 在 ? ??,0 ? 上的值域,并判断函数 f ? x ? 在 ? ??,0 ? 上是否为有界函数,

f ? x ? 在 ?0,?? ? 上是以 3 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围;

解: (1)当 a ? 1 时,

?1? ?1? f ( x) ? 1 ? ? ? ? ? ? ?2? ?4?

x

x

1 1 3 令t ? ( ) x , t ? 1 , f (t ) ? t 2 ? t ? 1 ? (t ? )2 ? 2 2 4 ? f (t )在(1,?)上单调递增, + ? f (t ) ? f (1) ,即 f (x) 在 ? ??,1? 的值域为 ? 3, ?? ? ???5 分 故不存在常数 M ? 0 ,使 | f ( x) |? M 成立

所以函数

f ? x ? 在 ? ??,1? 上不是有界函数。
x

??6 分

(2)由题意知,

f ( x) ? 3 在 ?1, ?? ? 上恒成立。???7 分
?1? ?1? ?1? ? 4 ? ? ? ? a ?? ? ? 2 ? ? ? ?4? ?2? ?4?
x x x x

? 3 ? f ( x) ? 3 ,


?1? ?1? ? 4 ? 2 x ? ? ? ? a ? 2 ? 2 x ? ? ? 在 ?0,?? ? 上恒成立???9 分 ?2? ?2? x x ? ? ?1? ? ?1? ? x x ∴ ?? 4 ? 2 ? ? ? ? ???11 分 ? a ? ?2 ? 2 ? ? ? ? ? 2 ? ? m ax ? 2 ? ? m in ? ? ? ? ? ? 1 1 x 设 2 ? t , h(t ) ? ?4t ? , p(t ) ? 2t ? ,由 x? ? 0,?? ? 得 t≥1, t t
设 1 ? t1

? t2 , h(t1 ) ? h(t2 ) ?

? t2 ? t1 ?? 4t1t2 ? 1?
t1t2

?0

p(t1 ) ? p(t 2 ) ?
所以 h(t ) 在

?t1 ? t 2 ??2t1t 2 ? 1?
t1 t 2

?0

?1, ?? ? 上递减, p (t ) 在 ?1, ?? ? 上递增,???14 分(单调性不证,不扣分) h(t ) 在 ?1, ?? ? 上的最大值为 h(1) ? ?5 , p (t ) 在 ?1, ?? ? 上的最小值为 p(1) ? 1 ? ?5,1? 。?????????????16 分

所以实数 a 的取值范围为


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