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湖北省黄冈市浠水县实验高中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析


湖北省黄冈市浠水县实验高中 2014-2015 学年高二上学期期中数 学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)某中学 2014-2015 学年高二年级的一个研究性学习小组拟完成下列两项调查: ①从某社区 430 户高收入家庭,980 户中等收入家庭,290 户

低收入家庭中任意选出 170 户调 查社会购买力的某项指标; ②从本年级 12 名体育特长生中随机选出 5 人调查其学习负担情况; 则该研究性学习小组宜采用的抽样方法分别是() A.①用系统抽样,②用随机抽样 B. ①用系统抽样,②用分层抽样 C. ①用分层抽样,②用系统抽样 D.①用分层抽样,②用简单随机抽样 2. (5 分)过定点 P(2,1) ,且倾斜角是直线 l:x﹣y﹣1=0 的倾斜角两倍的直线方程为() A.x﹣2y﹣1=0 B.2x﹣y﹣1=0 C.y﹣1=2(x﹣2) D.x=2 3. (5 分)已知两直线 l1:x+(1+m)y=2﹣m,l2:2mx+4y=﹣16,若 l1∥l2 则 m 的取值为() A.m=1 B.m=﹣2 C.m=1 或 m=﹣2 D.m=﹣1 或 m=2 4. (5 分)已知点 A(1,2) ,B(3,2) ,以线段 AB 为直径作圆 C,则直线 l:x+y﹣3=0 与 圆 C 的位置关系是() A.相交且过圆心 B. 相交但不过圆心 C. 相切 D.相离 5. (5 分)在空间直角坐标系中点 P(1,3,﹣5)关于 xoy 对称的点的坐标是() A.(﹣1,3,﹣5) B.(1,﹣3,5) C.(1,3,5) D.(﹣1,﹣3,5) 6. (5 分)如图,程序框图的输出结果为﹣18,那么判断框①表示的“条件”应该是()

A.i>10?

B.i>9?
2 2

C.i>8?

D.i>7?

7. (5 分)直线 y=k(x+1)与圆(x+1) +y =1 相交于 A,B 两点,则|AB|的值为() A.2 B. 1 C. D.与 k 有关的数值
2 2

8. (5 分)已知两点 A(﹣1,0) 、B(0,2) ,若点 P 是圆(x﹣1) +y =1 上的动点,则△ ABP 面积的最大值和最小值之和为() A. + B. 4 C. 3 D.

9. (5 分)随机地向曲线 y= 所确定的直线的倾斜角小于 A. + B.

与直线 y=0 所围成的封闭区域内掷一点,则该点与原点 的概率为() C. D. +

10. (5 分)在由数字 1,2,3,4,5 组成的所有没有重复数字的 5 位数中,大于 23145 且小 于 43521 的数共有() A.56 个 B.57 个 C.58 个 D.60 个

二、填空题本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中横线上. 2 2 11. (5 分)一个以原点为圆心的圆与圆 x +y +8x﹣4y=0 关于直线 l 对称,则直线 l 的方程为. 12. (5 分)执行如图所示的程序框图,如果输入的 N 是 6,那么输出的 p=.

13. (5 分)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛,若每人都选择其中两个项目,则有 且仅有两人选择的项目完全相同的概率是(结果用最简分数表示) . 14. (5 分)在△ AOB 的边 OA 上有 5 个点,边 OB 上有 6 个点,加上 O 点共 12 个点,以这 12 个点为顶点的三角形有 个. 15. (5 分)下列说法中,正确的是 (填上所有正确的序号) ①数据 4、6、7、7、9、4 的众数是 4; ②一个人打靶时连续射击两次,则事件“至少有一次中靶”与事件“两次都不中靶”互为对立事 件; ③如果数据 x1、x2、…、xn 的平均数为 3,方差为 0.2,则 3x1+5,3x2+5,…,3xn+5 的平均数 和方差分别为 14 和 1.8; ④数据 4、6、7、7、9、4 的中位数是 6.5; ⑤把四进制数 1000(4)化为二进制数是 1000000(2) .

三、解答题本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (12 分)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行 试销,得到如下数据: 单价 x(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量 y(件) 90 84 83 80 75 68 (Ⅰ)求回归直线方程 =bx+a,其中 b=﹣20,a= ﹣b ; (Ⅱ)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(I)中的关系,且该产品的成本是 4 元/件, 为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入﹣成本) 17. (12 分)某高校在 2012 年的自主招生考试成绩中随机抽取 40 名学生的笔试成绩,按成绩 共分成五组:第 1 组[75,80) ,第 2 组[80,85) ,第 3 组[85,90) ,第 4 组[90,95) ,第 5 组 [95,100],得到的频率分布直方图如图所示,同时规定成绩在 85 分以上(含 85 分)的学生 为“优秀”,成绩小于 85 分的学生为“良好”,且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格. (1)求出第 4 组的频率,并补全频率分布直方图; (2)根据样本频率分布直方图估计样本的中位数;

(3)如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中选出 5 人,再从这 5 人中选 2 人,那 么至少有一人是“优秀”的概率是多少?

18. (12 分)有 A、B、C、D、E 五位工人参加技能竞赛培训.现分别从 A、B 二人在培训期 间参加的若干次预赛成绩中随机抽取 8 次.用右侧茎叶图表示这两组数据 (1)A、B 二人预赛成绩的中位数分别是多少? (2)现要从 A、B 中选派一人参加技能竞赛,从平均状况和方差的角度考虑,你认为派哪位 工人参加合适?请说明理由; (3)若从参加培训的 5 位工人中选 2 人参加技能竞赛,求 A、B 二人中至少有一人参加技能 竞赛的概率.

19. (12 分)已知动点 M(x,y)到定点 F1(﹣1,0)与到定点 F2(1,0)的距离之比为 3. (Ⅰ)求动点 M 的轨迹 C 的方程,并指明曲线 C 的轨迹; (Ⅱ)设直线 l:x=x+b,若曲线 C 上恰有两个点到直线 l 的距离为 1,求实数 b 的取值范围. 20. (13 分)已知关于 x 的一次函数 y=mx+n. (1)设集合 P={﹣2,﹣1,1,2,3}和 Q={﹣2,3},分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作 为 m 和 n,求函数 y=mx+n 是增函数的概率;

(2)实数 m,n 满足条件

求函数 y=mx+n 的图象经过一、二、三象限的概率.

21. (14 分)已知圆心为 C 的圆经过点 A(1,4) ,B(3,6) ,且圆心 C 在直线 4x﹣3y=0 上. (1)求圆 C 的方程; (2)已知直线 l:y=x+m(m 为正实数) ,若直线 l 截圆 C 所得的弦长为 ,求实数 m 的值. 2 2 (3)已知点 M(﹣4,0) ,N(4,0) ,且 P 为圆 C 上一动点,求|PM| +|PN| 的最小值.

湖北省黄冈市浠水县实验高中 2014-2015 学年高二上学期 期中数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)某中学 2014-2015 学年高二年级的一个研究性学习小组拟完成下列两项调查: ①从某社区 430 户高收入家庭,980 户中等收入家庭,290 户低收入家庭中任意选出 170 户调 查社会购买力的某项指标; ②从本年级 12 名体育特长生中随机选出 5 人调查其学习负担情况; 则该研究性学习小组宜采用的抽样方法分别是() A.①用系统抽样,②用随机抽样 B. ①用系统抽样,②用分层抽样 C. ①用分层抽样,②用系统抽样 D.①用分层抽样,②用简单随机抽样 考点: 收集数据的方法. 专题: 概率与统计. 分析: 分别根据分层抽样,系统抽样和简单抽样的定义进行判断即可. 解答: 解:①由于三种收入的家庭差异比使用较明显,故①应用分层抽样. ②由于 12 名特长生人数比较少,可以使用简单随机抽样即可, 故选:D 点评: 本题主要考查随机抽样的应用,利用三种抽样的定义是解决本题的关键,比较基础. 2. (5 分)过定点 P(2,1) ,且倾斜角是直线 l:x﹣y﹣1=0 的倾斜角两倍的直线方程为() A.x﹣2y﹣1=0 B.2x﹣y﹣1=0 C.y﹣1=2(x﹣2) D.x=2 考点: 直线的倾斜角. 专题: 直线与圆. 分析: 先求出 x﹣y﹣1=0 的斜率 k=1 即 tanα=1 得到 α=45°,所以得到所求直线的倾斜角为 90°即和 x 轴垂直,且过 P(2,1)得到直线方程即可. 解答: 解: 可设直线 l 的倾斜角为 α, 根据 x﹣y﹣1=0 求出直线的斜率为 1, 根据斜率 k=tanα=1 得到 α=45°; 因为所求直线的倾斜角为 2α=90°,所以得到该直线与 x 轴垂直且过(2,1) ,所以该直线方程 为 x=2 故选:D. 点评: 考查学生理解直线的倾斜角的正切即为直线的斜率,会求特殊直线的方程. 3. (5 分)已知两直线 l1:x+(1+m)y=2﹣m,l2:2mx+4y=﹣16,若 l1∥l2 则 m 的取值为() A.m=1 B.m=﹣2 C.m=1 或 m=﹣2 D.m=﹣1 或 m=2 考点: 直线的一般式方程与直线的平行关系.

专题: 直线与圆. 分析: 由题意可得得 解答: 解:由题意可得 由得 = = = ≠ ≠ ,解方程注意验证即可. ,

可得 m=1,或 m=﹣2, ≠ ,

当 m=﹣2 时,不满足

故选 A 点评: 本题考查直线的一般式方程与直线的平行关系,属基础题. 4. (5 分)已知点 A(1,2) ,B(3,2) ,以线段 AB 为直径作圆 C,则直线 l:x+y﹣3=0 与 圆 C 的位置关系是() A.相交且过圆心 B. 相交但不过圆心 C. 相切 D.相离 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 找出圆心坐标与半径,利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离,与半 径比较大小即可判断出直线与圆的位置关系. 解答: 解:∵点 A(1,2) ,B(3,2) , ∴AB 的中点 C 的坐标为(2,2) ,且|AB|= 故线段 AB 为直径的圆 C 圆心坐标为(2,2) ,半径为 1, ∵圆心到直线 x+y﹣3=0 的距离 d= = <1,且 d≠0, =2,

故直线 l:x+y﹣3=0 与圆 C 相交但不过圆心, 故选:B 点评: 此题考查了直线与圆的位置关系,直线与圆的位置关系由 d 与 r 大小来判断,当 d> r 时,直线与圆相离;当 d<r 时,直线与圆相交;当 d=r 时,直线与圆相切(其中 d 为圆心到 直线的距离,r 为圆的半径) . 5. (5 分)在空间直角坐标系中点 P(1,3,﹣5)关于 xoy 对称的点的坐标是() A.(﹣1,3,﹣5) B.(1,﹣3,5) C.(1,3,5) D.(﹣1,﹣3,5) 考点: 空间中的点的坐标. 专题: 阅读型. 分析: 利用空间直角坐标系中任一点 P(a,b,c) 关于坐标平面 yOz 的对称点为(﹣a,b, c)即可得出正确选项. 解答: 解:过点 A(1,3,﹣5)作平面 xOy 的垂线,垂足为 H,并延长到 A′,使 AH′=AH, 则 A′的横坐标与纵坐标不变,竖坐标变为原来纵坐标的相反数,即得:A′(1,3,5) . 故选 C.

点评: 本题考查空间向量的坐标的概念,向量的坐标表示,空间点的对称点的坐标的求法, 记住某些结论性的东西将有利于解题. 6. (5 分)如图,程序框图的输出结果为﹣18,那么判断框①表示的“条件”应该是()

A.i>10?

B.i>9?

C.i>8?

D.i>7?

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 执行程序框图,写出每次循环得到的 m,s,i 的值,当 s=﹣18 时 i=9 根据题意,此 时应该满足条件,退出执行循环体,输出 s 的值为﹣18,故判断框①表示的“条件”应该是 i> 8? 解答: 解:执行程序框图,有 s=6,i=1 第 1 次执行循环体,有 m=4,s=10,i=2 不满足条件,第 2 次执行循环体,有 m=2,s=12,i=3 不满足条件,第 3 次执行循环体,有 m=0,s=12,i=4 不满足条件,第 4 次执行循环体,有 m=﹣2,s=10,i=5 不满足条件,第 5 次执行循环体,有 m=﹣4,s=6,i=6 不满足条件,第 6 次执行循环体,有 m=﹣6,s=0,i=7 不满足条件,第 7 次执行循环体,有 m=﹣8,s=﹣8,i=8 不满足条件,第 8 次执行循环体,有 m=﹣10,s=﹣18,i=9 根据题意,此时应该满足条件,退出执行循环体,输出 s 的值为﹣18. 故判断框①表示的“条件”应该是 i>8? 故选:C. 点评: 本题主要考察了程序框图和算法,属于基础题. 7. (5 分)直线 y=k(x+1)与圆(x+1) +y =1 相交于 A,B 两点,则|AB|的值为() A.2 B. 1
2 2

C.

D.与 k 有关的数值

考点: 直线与圆相交的性质. 专题: 直线与圆. 分析: 由圆的方程求出圆心和半径,再由直线 y=k(x+1)恰好经过圆心,可得弦长即为圆 的直径,从而求得弦长. 解答: 解:由于圆(x+1) +y =1 的圆心为(﹣1,0) ,半径等于 1. 2 2 而直线 y=k(x+1)恰好经过圆心,且与圆(x+1) +y =1 相交于 A,B 两点, 则弦|AB|的值等于圆的直径 2, 故选 A. 点评: 本题主要考查直线和圆的位置关系,直线经过定点问题,属于中档题. 8. (5 分)已知两点 A(﹣1,0) 、B(0,2) ,若点 P 是圆(x﹣1) +y =1 上的动点,则△ ABP 面积的最大值和最小值之和为() A. + B. 4 C. 3 D.
2 2 2 2

考点: 点与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由两点 A(﹣1,0) 、B(0,2) ,利用两点间的距离公式可得|AB|,利用截距式可得 直线 AB 的方程为: =1,利用点到直线的距离公式可得圆心 C 到直线 AB 的距离 d.利

用点 P 到直线 AB 的最大距离 dmax=d+r;点 P 到直线 AB 的最小距离 dmin=d﹣r.可得△ ABP 面积的最大值和最小值之和= 解答: 解:由两点 A(﹣1,0) 、B(0,2) , ∴|AB|=
2 2



,直线 AB 的方程为:

=1 即 2x﹣y+2=0.

由圆(x﹣1) +y =1 可得圆心 C(1,0) ,半径 r=1. 则圆心 C 到直线 AB 的距离 d= ∵点 P 是圆(x﹣1) +y =1 上的动点, ∴点 P 到直线 AB 的最大距离 dmax=d+r= 点 P 到直线 AB 的最小距离 dmin=d﹣r= ∴△ABP 面积的最大值和最小值之和= = =4. ; .
2 2

=



故选:B. 点评: 本题考查了点到直线的距离公式、截距式、三角形的面积计算公式、圆上的点到直 线的距离的最值,属于中档题.

9. (5 分)随机地向曲线 y= 所确定的直线的倾斜角小于 A. + B.

与直线 y=0 所围成的封闭区域内掷一点,则该点与原点 的概率为() C. D. +

考点: 专题: 分析: 比值. 解答:

几何概型. 概率与统计. 由题意,所求概率是几何概型的概率求法,只要明确基本事件集合的面积,然后求 解:根据条件,可知曲线是以(2,0)为圆心,2 为半径的半圆, 与直线 y=0 所围成的封闭区域内掷一点, 则该点与原点所确定的直 的概率等于 S1 与半圆的面积的比,如图,

随机地向曲线 y= 线的倾斜角小于

原点与该点的连线与 x 轴的夹角小于

的点应在 S1 区域内,

S1 的面积和半圆面积的比值即为落在 S1 内的概率 S1=S△ AOC+S 扇形 ABC= 半圆面积是 S 半圆= =2π, + =2+π,

由几何概型的公式得 P=

=



故选 B. 点评: 本题考查了几何概型的运用,关键是明确所求概率是基本事件的集合的面积比.

10. (5 分)在由数字 1,2,3,4,5 组成的所有没有重复数字的 5 位数中,大于 23145 且小 于 43521 的数共有() A.56 个 B.57 个 C.58 个 D.60 个 考点: 排列、组合的实际应用. 专题: 压轴题;分类讨论. 分析: 根据题意,按从首位依次向后,各位数字从小到大的顺序分析,可得大于 23145 且 小于 43521 的数有 7 种情况,依次求得其情况数目,进而由加法原理,计算可得答案. 解答: 解:根据题意,大于 23145 且小于 43521 的数有以下几种情况, ①前三位为 231,有 1 个,即 23154, ②前三位为 234、235,有 2×A2 =4 个, 3 ③前两位是 24、25,有 2×A3 =12 个, 4 ④首位是 3,有 A4 =24 个, 3 ⑤前两位是 41、42,有 2×A3 =12 个, 2 ⑥前三位为 431、432,有 2×A2 =4 个, ⑦前三位为 435,有 1 个,即 43512; 综合可得,共有 1+4+12+24+12+4+1=58 个, 故选 C. 点评: 本题考查排列的应用,但涉及数字大小的分类讨论问题,注意按从首位依次向后, 数字从小到大,或从大到小的顺序分析. 二、填空题本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中横线上. 2 2 11. (5 分)一个以原点为圆心的圆与圆 x +y +8x﹣4y=0 关于直线 l 对称,则直线 l 的方程为 2x﹣y+5=0. 考点: 专题: 分析: 解答: 关于点、直线对称的圆的方程. 直线与圆. 求出圆的圆心坐标,然后求出中点坐标,求出对称轴的斜率,即可求解对称轴方程. 2 2 解:圆 x +y +8x﹣4y=0 的圆心坐标(﹣4,2) ,原点与圆心的中点坐标(﹣2,1) , =2,
2

对称轴的斜率为:

直线 l 的方程为:y﹣2=2(x+2) ,即 2x﹣y+5=0. 故答案为:2x﹣y+5=0; 点评: 本题考查直线与圆的位置关系,对称轴方程的求法,考查计算能力. 12. (5 分)执行如图所示的程序框图,如果输入的 N 是 6,那么输出的 p=15.

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 执行程序框图,写出每次循环得到的 s,i 的值,当 i=7 时不满足条件 i<N,输出 s 的值为 15. 解答: 解:执行程序框图,有 N=6,i=1,s=1 满足条件 i<N,s=1,i=3 满足条件 i<N,s=3,i=5 满足条件 i<N,s=15,i=7 不满足条件 i<N,输出 s 的值为 15. 故答案为:15. 点评: 本题主要考察了程序框图和算法,属于基础题. 13. (5 分)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛,若每人都选择其中两个项目,则有 且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 (结果用最简分数表示) .

考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: 先求出三个同学选择的所求种数,然后求出有且仅有两人选择的项目完全相同的种 数,最后利用古典概型及其概率计算公式进行求解即可. 解答: 解:每个同学都有三种选择:跳高与跳远;跳高与铅球;跳远与铅球 三个同学共有 3×3×3=27 种 有且仅有两人选择的项目完全相同有 其中 × × =18 种 表示从三种组合中选一个, 表示剩下

表示 3 个同学中选 2 个同学选择的项目,

的一个同学有 2 中选择 故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 故答案为: =

点评: 本题主要考查了古典概型及其概率计算公式,解题的关键求出有且仅有两人选择的 项目完全相同的个数,属于基础题. 14. (5 分)在△ AOB 的边 OA 上有 5 个点,边 OB 上有 6 个点,加上 O 点共 12 个点,以这 12 个点为顶点的三角形有 165 个. 考点: 计数原理的应用. 专题: 计算题. 分析: 构成三角形的三个点不共线,所以在 12 个点中任意取 3 个点构成三角形的情况中把 在同一直线上的点除外即可 解答: 解析:C 12﹣C 6﹣C 7=165. 故答案为:165 点评: 此题既考查了计数原理的知识,又复习了构成三角形的条件,是一道较容易的题目 15. (5 分)下列说法中,正确的是②③④⑤ (填上所有正确的序号) ①数据 4、6、7、7、9、4 的众数是 4; ②一个人打靶时连续射击两次,则事件“至少有一次中靶”与事件“两次都不中靶”互为对立事 件; ③如果数据 x1、x2、…、xn 的平均数为 3,方差为 0.2,则 3x1+5,3x2+5,…,3xn+5 的平均数 和方差分别为 14 和 1.8; ④数据 4、6、7、7、9、4 的中位数是 6.5; ⑤把四进制数 1000(4)化为二进制数是 1000000(2) . 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据众数和中位数的定义,可判断①④;根据对立事件的定义,可判断②;根据平 均数与方差的变化规律,可判断③;根据进制之间的转化关系,可判断⑤ 解答: 解:①数据 4、6、7、7、9、4 的众数是 4 和 7,故①错误; ②一个人打靶时连续射击两次,则事件“至少有一次中靶”与事件“两次都不中靶”互为对立事 件,故②正确; ③如果数据 x1、x2、…、xn 的平均数为 3,方差为 0.2,则 3x1+5,3x2+5,…,3xn+5 的平均数 2 和方差分别为 3×3+5=14 和 3 ×0.2=1.8,故③正确; ④数据 4、6、7、7、9、4 的中位数是 =6.5,故④正确;
3 3 3

⑤把四进制数 1000(4)化为二进制数是 1000000(2) ,故⑤正确; 故正确的命题有:②③④⑤, 故答案为:②③④⑤ 点评: 本题以命题的真假判断为载体考查了众数和中位数的定义,对立事件的定义,平均 数与方差的变化规律,进制之间的转化,难度不大,属于基础题. 三、解答题本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (12 分)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行 试销,得到如下数据:

单价 x(元) 销量 y(件)

8 90

8.2 84

8.4 83

8.6 80

8.8 9 75 68

(Ⅰ)求回归直线方程 =bx+a,其中 b=﹣20,a= ﹣b ; (Ⅱ)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(I)中的关系,且该产品的成本是 4 元/件, 为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入﹣成本) 考点: 回归分析的初步应用;线性回归方程. 专题: 计算题. 分析: (I)计算平均数,利用 b=﹣20,a= ﹣b ,即可求得回归直线方程; (II)设工厂获得的利润为 L 元,利用利润=销售收入﹣成本,建立函数,利用配方法可求工 厂获得的利润最大. 解答: 解: (I) ∵b=﹣20,a= ﹣b , ∴a=80+20×8.5=250 ∴回归直线方程 =﹣20x+250; (II)设工厂获得的利润为 L 元,则 L=x(﹣20x+250)﹣4(﹣20x+250)=﹣ 20 ∴该产品的单价应定为 元,工厂获得的利润最大. , =

点评: 本题主要考查回归分析,考查二次函数,考查运算能力、应用意识,属于中档题. 17. (12 分)某高校在 2012 年的自主招生考试成绩中随机抽取 40 名学生的笔试成绩,按成绩 共分成五组:第 1 组[75,80) ,第 2 组[80,85) ,第 3 组[85,90) ,第 4 组[90,95) ,第 5 组 [95,100],得到的频率分布直方图如图所示,同时规定成绩在 85 分以上(含 85 分)的学生 为“优秀”,成绩小于 85 分的学生为“良好”,且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格. (1)求出第 4 组的频率,并补全频率分布直方图; (2)根据样本频率分布直方图估计样本的中位数; (3)如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中选出 5 人,再从这 5 人中选 2 人,那 么至少有一人是“优秀”的概率是多少?

考点: 茎叶图;分层抽样方法;频率分布表.

专题: 概率与统计. 分析: (1)根据频率分步直方图的性质,根据所给的频率分步直方图中小矩形的长和宽, 求出矩形的面积,即这组数据的频率,根据各小组的频率之和为 1 求出第四组的频率,进一 步补全频率分布直方图. (2)第一、二两组的频率和为 0.4,第三组的频率为 0.3,所以中位数落在第三组,由此能求 出笔试成绩的中位数. (3)根据概率公式计算,事件“5 位同学中抽两位同学”有 10 种可能,而且这些事件的可能性 相同,其中事件“至少有一人是“优秀””可能种数是 9,那么即可求得事件 M 的概率. 解答: 解: (1)其它组的频率为 (0.01+0.07+0.06+0.02)×5=0.8, 所以第 4 组的频率为 0.2, 频率分布图如图:…(3 分) (2)设样本的中位数为 x,则 5×0.01+5×0.07+(x﹣85)×0.06=0.5,…(5 分) 解得 , …(6 分)

所以样本中位数的估计值为

(3)依题意良好的人数为 40×0.4=16 人,优秀的人数为 40×0.6=24 人 优秀与良好的人数比为 3:2,所以采用分层抽样的方法抽取的 5 人中有优秀 3 人,良好 2 人 …(8 分) 记“从这 5 人中选 2 人至少有 1 人是优秀”为事件 M, 将考试成绩优秀的三名学生记为 A,B,C,考试成绩良好的两名学生记为 a,b 从这 5 人中任选 2 人的所有基本事件包括: AB,AC,BC,Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,ab 共 10 个基本事件 …(9 分) 事件 M 含的情况是:AB,AC,BC,Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,共 9 个…(10 分) 所以 …(12 分)

点评: 本题考查频率分步直方图的性质,考查等可能事件的概率,本题是一个概率与统计 的综合题目. 18. (12 分)有 A、B、C、D、E 五位工人参加技能竞赛培训.现分别从 A、B 二人在培训期 间参加的若干次预赛成绩中随机抽取 8 次.用右侧茎叶图表示这两组数据 (1)A、B 二人预赛成绩的中位数分别是多少? (2)现要从 A、B 中选派一人参加技能竞赛,从平均状况和方差的角度考虑,你认为派哪位 工人参加合适?请说明理由; (3)若从参加培训的 5 位工人中选 2 人参加技能竞赛,求 A、B 二人中至少有一人参加技能 竞赛的概率.

考点: 古典概型及其概率计算公式;茎叶图. 专题: 概率与统计. 分析: (1)从小到大排列位置处于中间的数是中位数,中间两个数时,取平均值; (2)根据所给的数据做出两个人的平均数和方差,把平均数和方差进行比较,得到两个人的 平均数相等,然后根据方差是反映稳定程度的,比较方差,越小说明越稳定; (3)从 5 人中任意派两人的可能情况有 10 种,每种结果出现的可能性相同,记“A、B 二人 中至少有一人参加技能竞赛”为事件 M,则 M 包含的结果有 7 种,由等可能事件的概率可求. 解答: 解: (1)A 的中位数是(83+85)/2=84,B 的中位数是: (84+82)/2=83; (2)派 B 参加比较合适.理由如下: =
2 2 2

= =85,
2 2 2

=85,

S B= [(78﹣85) +(79﹣85) +(80﹣85) +(83﹣85) +(85﹣85) +(90﹣85) +(92 ﹣85) +(95﹣85) ]=35.5 S A= [(75﹣85) +(80﹣85) +(80﹣85) +(83﹣85) +(85﹣85) +(90﹣85) +(92 ﹣85) +(95﹣85) ]=41; ∵ = ,S B<S A,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

∴B 的成绩较稳定,派 B 参加比较合适. (3)任派两个(A,B) , (A,C) , (A,D) , (A,E) , (B,C) , (B,D) , (B,E) , (C,D) , (C,E) , (D,E)共 10 种情况; A、B 两人都不参加(C,D) , (C,E) , (D,E)有 3 种. 至少有一个参加的对立事件是两个都不参加,所以 P=1﹣ = .

点评: 对于两组数据,通常要求的是这组数据的方差和平均数,用这两个特征数来表示分 别表示两组数据的特征,即平均水平和稳定程度. 19. (12 分)已知动点 M(x,y)到定点 F1(﹣1,0)与到定点 F2(1,0)的距离之比为 3. (Ⅰ)求动点 M 的轨迹 C 的方程,并指明曲线 C 的轨迹; (Ⅱ)设直线 l:x=x+b,若曲线 C 上恰有两个点到直线 l 的距离为 1,求实数 b 的取值范围. 考点: 轨迹方程;直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: (Ⅰ)直接由动点 M(x,y)到定点 F1(﹣1,0)与到定点 F2(1,0)的距离之比 为 3 列式整理求曲线方程;

(Ⅱ)求出圆心到直线 l 的距离 d,由圆 C 上恰有两个点到直线 l 的距离为 1 得到 d 的范围, 求解不等式组得 b 得范围. 解答: 解: (Ⅰ)由动点 M(x,y)到定点 F1(﹣1,0)与到定点 F2(1,0)的距离之比 为 3, 得 ,

整理得: ∴曲线 C 的轨迹是以

, 为圆心,以 为半径的圆; 时, 圆 C 上恰有两个点到直线 l 的距离为 1.

(Ⅱ) 设圆心到直线 l 的距离为 d, 则当

由 l:y=x+b,即 l:x﹣y+b=0,∴





,得 <

< .

解 <

得,b<

或 b>﹣





< 得, ∪ .

∴实数 b 的取值范围是

点评: 本题考查了轨迹方程的求法,考查了直线和圆锥曲线的关系,考查了数学转化思想 方法, 关键是把曲线 C 上恰有两个点到直线 l 的距离为 1 转化为圆心到直线的距离范围, 是中 档题. 20. (13 分)已知关于 x 的一次函数 y=mx+n. (1)设集合 P={﹣2,﹣1,1,2,3}和 Q={﹣2,3},分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作 为 m 和 n,求函数 y=mx+n 是增函数的概率;

(2)实数 m,n 满足条件

求函数 y=mx+n 的图象经过一、二、三象限的概率.

考点: 几何概型;古典概型及其概率计算公式. 专题: 计算题;作图题. 分析: (1)本小题是古典概型问题,欲求函数 y=mx+n 是增函数的概率,只须求出满足: 使函数为增函数的事件空间中元素有多少个,再将求得的值与抽取的全部结果的个数求比值 即得.

(2)本小题是几何概型问题,欲求函数 y=mx+n 的图象经过一、二、三象限的概率,只须求 出满足使函数图象过一、二、三象限的区域的面积,再将求得的面积值与整个区域的面积求比 值即得. 解答: 解: (1)抽取的全部结果所构成的基本事件空间为: Ω={(﹣2,﹣2) , (﹣2,3) , (﹣1,﹣2) , (﹣1,3) , (1,﹣2) , (1,3) , (2,﹣2) , (2,3) , (3,﹣2) , (3,3)}共 10 个基本事件(2 分) 设使函数为增函数的事件空间为 A: 则 A={(1,﹣2) , (1,3) , (2,﹣2) , (2,3) , (3,﹣2) , (3,3)}有 6 个基本事件(4 分) 所以, (6 分)

(2)m、n 满足条件 m+n﹣1≤0,﹣1≤m≤1,﹣1≤n≤1 的区域如图所示: 使函数图象过一、二、三象限的(m,n)为区域为第一象限的阴影部分

∴所求事件的概率为

. (12 分)

点评: 本小题主要考查古典概型、几何概型等基础知识.古典概型与几何概型的主要区别 在于:几何概型是另一类等可能概型,它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个,几何 概型的特点有下面两个: (1)试验中所有可能出现的基本事件有无限多个. (2)每个基本事件 出现的可能性相等. 21. (14 分)已知圆心为 C 的圆经过点 A(1,4) ,B(3,6) ,且圆心 C 在直线 4x﹣3y=0 上. (1)求圆 C 的方程; (2)已知直线 l:y=x+m(m 为正实数) ,若直线 l 截圆 C 所得的弦长为 ,求实数 m 的值. 2 2 (3)已知点 M(﹣4,0) ,N(4,0) ,且 P 为圆 C 上一动点,求|PM| +|PN| 的最小值. 考点: 圆的标准方程;点到直线的距离公式. 专题: 直线与圆. 2 2 2 分析: (1)设圆 C 的方程为(x﹣a) +(y﹣b) =r ,由条件可得

,解得 a、b、c 的值,可得圆 C 的方程.

(2)根据圆心 C 到直线 l 的距离

,求得 m 的值.

(3)不妨设 P(x,y) ,则|PM| +|PN| =2(x +y )+32.再根据 x +y 表示的意义以及|OP|min=3, 2 2 求得|PM| +|PN| 的最小值. 2 2 2 解答: 解: (1)设圆 C 的方程为(x﹣a) +(y﹣b) =r ,由条件可知:

2

2

2

2

2

2



解得:

,故圆 C 的方程为: (x﹣3) +(y﹣4) =4.

2

2

(2)圆心 C 到直线 l:y=x+m 的距离为



即:|m﹣1|=1,解得 m=2 或 0. ∵m 是正实数,∴m=2. 2 2 2 2 (3)不妨设 P(x,y) ,则|PM| +|PN| =2(x +y )+32. 2 2 ∵x +y 表示圆上动点 P(x,y)与原点 O 的距离的平方,且|OP|min=3, 2 2 2 ∴|PM| +|PN| 的最小值为 2×3 +32=50. 点评: 本题主要考查用待定系数法求圆的方程,点到直线的距离公式、弦长公式的应用, 属于中档题.


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