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两条直线的位置关系


两条直线的位置关系
A组 一、选择题 1.已知点 A(1,-2),B(m,2)且线段 AB 的垂直平分线的方程是 x+2y-2 =0,则实数 m 的值是( A.-2 B.-7 C ) C.3 D.1 基础训练

【答案】

2.直线 mx+4y-2=0 与直线 2x-5y+n=0 垂直,垂足为(1,p),则 n 的 值为( ) B.-2 A ) C.0 D.10

A.-12

【答案】

1 3. 当 0<k<2时, 直线 l1: kx-y=k-1 与直线 l2: ky-x=2k 的交点在( A.第一象限 【解析】 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

?kx-y=k-1, 2k-1 k 解方程组? 得交点为( , ). k-1 k-1 ?ky-x=2k, B

2k-1 1 k 因为 0<k<2,所以 <0, >0.故交点在第二象限. 【答案】 k-1 k-1

4.从点(2,3)射出的光线沿与向量 a=(8,4)平行的直线射到 y 轴上,则反 射光线所在的直线方程为( A.x+2y-4=0 C.x+6y-16=0 【答案】 A ) B.2x+y-1=0 D.6x+y-8=0

5.设 a、b、c 分别是△ABC 中∠A、∠B、∠C 所对边的边长,则直线 xsin A +ay+c=0 与 bx-ysin B+sin C=0 的位置关系是( A.平行 【解析】 B.重合 C.垂直 )

D.相交但不垂直

a b 由sin A=sin B,得 bsin A-asin B=0. 【答案】 C

∴两直线垂直. 二、填空题

6.过直线 l1:x-2y+3=0 与直线 l2:2x+3y-8=0 的交点,且到点 P(0, 4)距离为 2 的直线方程为________. 【答案】 y=2 或 4x-3y+2=0

7.已知直线 l1:(3+m)x+4y=5-3m,l2:2x+(5+m)y=8,l1∥l2,则实数 m 的值为________. . 【答案】 -7

1 1 8.(2014· 泰安调研)已知a+b=1(a>0,b>0),点(0,b)到直线 x-2y-a=0 的距离的最小值为________. 【答案】 三、解答题 9.已知两直线 l1:ax-by+4=0 和 l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件 的 a,b 的值. (1)l1⊥l2,且直线 l1 过点(-3,-1); (2)l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等. 【解】 (1)∵l1⊥l2,∴a(a-1)-b=0. 3 5+2 10 5

又∵直线 l1 过点(-3,-1),∴-3a+b+4=0. 故 a=2,b=2. (2) 2 a=2,b=-2 或 a=3,b=2.

10.已知直线 l:(2a+b)x+(a+b)y+a-b=0 及点 P(3,4). (1)证明直线 l 过某定点,并求该定点的坐标. (2)当点 P 到直线 l 的距离最大时,求直线 l 的方程. 【解】 (1)证明 直线 l 的方程可化为 a(2x+y+1)+b(x+y-1)=0,

?2x+y+1=0, ?x=-2, 由? 得? ?x+y-1=0, ?y=3, ∴直线 l 恒过定点(-2,3). (2)设直线 l 恒过定点 A(-2,3),当直线 l 垂直于直线 PA 时,点 P 到直线 l 的距离最大. 又直线 PA 的斜率 kPA= 4-3 1 = , ∴直线 l 的斜率 kl=-5. 3+2 5

故直线 l 的方程为 y-3=-5(x+2),即 5x+y+7=0. B组 能力提升)}

图 8-2-1 1.如图 8-2-1,已知 A(4,0)、B(0,4),从点 P(2,0)射出的光线经直线 AB 反射后再射到直线 OB 上,最后经直线 OB 反射后又回到 P 点,则光线所经 过的路程是( A.3 3 ) B.6 C.2 10 D.2 5

【解析】

直线 AB 的方程为 x+y=4,点 P(2,0)关于直线 AB 的对称点为

D(4,2),关于 y 轴的对称点为 C(-2,0). 则光线经过的路程为|CD|= 62+22=2 10. 【答案】 C

2.将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(m, n)重合,则 m+n=________. 【解析】 设 A(0,2),B(4,0),则线段 AB 的中点为(2,1),直线 AB 的斜 率 kAB= 0-2 1 =-2. 4-0 则线段 AB 的垂直平分线方程为 y-1=2(x-2),

即 2x-y-3=0. 又点(7,3)与点(m,n)重合,则有 n-3 1 ? ?m-7=-2, ? 7+m 3+n ? ?2× 2 - 2 -3=0, ?m+2n-13=0, 即? ?2m-n-5=0.

23 21 44 解之得 m= 5 且 n= 5 ,∴m+n= 5 . 【答案】 44 5

3.在直线 l:3x-y-1=0 上求一点 P,使得 P 到 A(4,1)和 B(0,4)的距离 之差最大.

【解】 如图所示,设点 B 关于 l 的对称点为 B′,连接 AB′并延长交 l 于 P, 此时的 P 满足|PA|-|PB|的值最大. 设 B′的坐标为(a,b), b-4 则 kBB′·kl=-1, 即 a ·3=-1. ∴a+3b-12=0.① ?a b+4? ?,且在直线 l 上, 又由于线段 BB′的中点坐标为? , 2 ? ?2 a b+4 ∴3×2- 2 -1=0, 即 3a-b-6=0.② ①②联立,解得 a=3,b=3,∴B′(3,3). 于是 AB′的方程为 y-1 x-4 = , 即 2x+y-9=0. 3-1 3-4

?3x-y-1=0, ?x=2, 解? 得? ?2x+y-9=0, ?y=5, 即 l 与 AB′的交点坐标为 P(2,5).


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