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随机分析 (B)参考答案及评分标准


湖 北 师 范 学 院 研究生课程考核试题参考答案及评分标准
(B)
2012 — 2013 学年第 1 学期
课程名称: 任课教师: 测度与概率 潘继斌 考核方式: 开课院(系) :

闭卷
数学与统计学院

注:标准答案需写清题号;每小题得分、共得分;参考答案要点;评分标准等。

一、证明题(共 2 小题,共计 16 分) 证明:1、随机开区间 ??? , ??? 的示性函数是左连右极过程;
2、若 ? 为停时 ? ? ?? 0,? ?? ? , ?? , ? ? ? P(可料 ? 代数)。

?

?

二、证明题(共 1 小题,共计 8 分)
L L 设 p ??1, ?), G 为 F 的子 ? 代数,若 X n ?? ? E[? G] ? ? , 则 E[ X n G] ??
q
P

三、证明题(共 1 小题,共计 10 分)
2 . 证明:若 M ? M 0 ? H ?H 2 M , X ? I M H , 则 ? X 2 ? ?M 2 , 且

H2 ?

d ?M 2

d ?X 2

a.e. ? ? ?M 2 ? ?.

四、证明题(共 1 小题,共计 10 分)
2 2 设 s ? t ,及 F ? F S , M ? M 0 及 H ? HM ,证明

( s ,t ]

?1

F

H u dM u ? 1F ??

( s ,t ]

?

H u dM u ;进一

步证明,对任一有界 F S 可测随机变量 ? 有:

( s ,t ]

? ? H dM
u

u

( s ,t ]

?

H u dM u .

五、证明题(共 2 小题,每题 8 分,共计 16 分) 证明: (1)设 A 为可料集,则 M (2)M
2 c 2 A

为稳定子空间;

及M

2 d

均为稳定子空间。
1

六、证明题(共 1 小题,共计 10 分) 设 X 为伊藤过程 X t ? X 0 ? ? b ? s ? ds ? ? ? ? s ? dWs , f ? t , x ? ? C 1,2 ? R? ? R m ? ,
t t 0 0

求 dX ? dX ? 及 f ? t , X t ? 的伊藤微分公式。
T

七、证明题(共 1 小题,共计 10 分) 设 M 为 d 维连续局部鞅, M 0 ? 0 ,且存在 d ? d 矩阵值过程
d d H ? ? H ij ? ? L2 loc ? R ? R ? ,对 ?t ? R? 有 det ? ? H ? t ?? ? ? 0, a.s.



i j ij ? ?M , M ? ?t ? ?0 ? ? s ?ds, a.s. ? i, j ? 1, 2,

t

, d ? ,其中 ? ? HH T ,

则存在使 M t ? ? H s dWs
0

t

a.s.; t ? R? .

八、证明题(共 1 小题,共计 10 分) 设 f ? L2 ?0, T ? ,证明: X t ? x exp{? f ? s ? dWs ?
t 0

1 t 2 f ? s ? ds}, 0 ? t ? T 为 ? 2 0

伊藤方程 dX t ? f ?t ? X t dWt , X 0 ? x ? R,0 ? t ? T 唯一的强解。 九、证明题(共 1 小题,共计 10 分)
2 c 设 M ? M loc , H ? L loc ? M ? ,则随机积分 X ? ? H dM 为唯一满足下式的连续
c 局部鞅:对 ?t ? R? 及 N ? M loc 有 ? X , N ?t ? ? H s d ? M , N ?s .

2


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