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【师说】2015高考数学(理)一轮复习课后练习:1.5 函数的奇偶性与周期性


1.5 函数的奇偶性与周期性 1.已知 f(x)=ax2+bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么 a+b 的值是( ) 1 1 1 1 A.- B. C. D.- 3 3 2 2 1 1 解析:由题意得 a-1=-2a 且 b=0,故 a= ,a+b= ,选 B. 3 3 答案:B 2.已知 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,则下列函数中是奇函数的是( ) ①y=f(

|x|);②y=f(-x);③y=xf(x);④y=f(x)+x. A.①③ B.②③ C.①④ D.②④ 解析:由奇函数的定义验证可知②④正确,选 D. 答案:D x 3.若函数 f(x)= 为奇函数,则 a=( ) ?2x+1??x-a? 1 2 3 A. B. C. D.1 2 3 4 -1 1 1 解析:由题意,得 f(-1)=-f(1),即 =- ,解得 a= ,选 A. 2 -1×?-1-a? 3?1-a? 答案:A 4.已知 f(x)在 R 上是奇函数,且满足 f(x+4)=f(x),当 x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则 f(7) =( ) A.-2 B.2 C.-98 D.98 解析:由 f(x+4)=f(x),得 f(7)=f(3)=f(-1), 又 f(x)为奇函数,∴f(-1)=-f(1), f(1)=2×12=2,∴f(7)=-2.故选 A. 答案:A 5.若函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数 a=__________. 解析:由题意,得 f(-x)=f(x)?x∈R 恒成立,即 x2-|-x+a|=x2-|x+a|?x∈R 恒成 立. 故|x+a|=|x-a|?x∈R 恒成立. 所以(x+a)2=(x-a)2,即 4ax=0 对 x∈R 恒成立. 从而 a=0. 答案:0 判断下列函数的奇偶性,并说明理由. (1)f(x)=x2-|x|+1 x∈[-1,4]; 1+x (2)f(x)=(x-1) x∈(-1,1); 1-x 1 1 (3)f(x)= x + (a>0,a≠1); a -1 2
? ?x?1-x? ?x<0?, (4)f(x)=? ?x?1+x? ?x>0?. ? 解析:(1)由于 f(x)=x2-|x|+1,x∈[-1,4]的定义域不是关于原点对称的区间,因此, f(x)是非奇非偶函数. 1+x (2)∵f(x)=(x-1) ,已知 f(x)的定义域为-1<x<1,其定义域关于原点对称. 1-x

又 f(-x)=(-x-1) =-(x+1) 1-x 1+x

1-x 1+x

=-

?1+x?2?1-x? 1+x

=- ?1+x??1-x? ?1+x??1-x?2 =- 1-x =-(1-x) =(x-1) 1+x 1-x

1+x =f(x), 1-x 即 f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数. (3)∵f(x)的定义域为 x∈R,且 x≠0,其定义域关于原点对称,并且有 1 1 1 1 ax 1 f(-x)= -x + = + = x+ 2 1-a 2 a -1 2 1 -1 ax ?1-ax?-1 1 =- + 2 1-ax 1 1 =-1+ + 1- ax 2 1 1 =-?ax-1+2? ? ? =-f(x), 即 f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数. ?x?1-x? ?x<0? ? (4)∵f(x)=? 的定义域关于原点对称, ? ?x?1+x? ?x>0? ∵当 x>0 时,-x<0, ∴f(-x)=(-x)[1-(-x)]=-x(1+x) =-f(x)(x>0). 当 x<0 时,-x>0, ∴f(-x)=(-x)[1+(-x)]=-x(1-x) =-f(x)(x<0). ∴f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数. 点评:判断函数的奇偶性,一般有以下几种方法:(1)定义法:若函数的定义域不是关 于原点的对称区域, 则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数; 若函数的定义域是关 f?x? 于原点的对称区域,再判断 f(-x)是否等于± f(x)或判断 f(x)± f(-x)是否等于零,或判断 f?-x? (f(x)≠0)是否等于± 1 等. (2)图象法:函数是奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(或 y 轴)对称. (3)性质法:偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数的和、差仍为奇 函数;奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积 为奇函数.(注:利用上述结论时要注意各函数的定义域) 变式探究 1 判断下列函数的奇偶性. 4-x2 (1)f(x)= ; |x+3|-3 (2)f(x)=|x-a|(常数 a∈R). 解析:(1) ?4-x2≥0, ?-2≤x≤2 ? ? ∵? ?? , ?|x+3|-3≠0 ?x≠0且x≠-6 ? ? 得 f(x)的定义域为[-2,0)∪(0,2],关于原点对称, ∵x+3>0,

∴原函数化简为 f(x)=

4-x2 (-2≤x<0 或 0<x≤2), x

4-x2 ∴f(-x)= =-f(x), -x ∴f(x)为奇函数; (2)f(x)的定义域为 R(很容易看出需要分 a=0 和 a≠0 讨论), ①当 a=0 时,f(x)=|x|, ∴f(-x)=f(x), ∴当 a=0 时,f(x)为偶函数; ②当 a≠0 时,∵f(a)=0,f(-a)=2|a|, ∴f(-a)+f(a)=2|a|≠0, ∴f(x)不是奇函数, 而 f(-a)-f(a)=2|a|≠0, ∴f(x)不是偶函数. ∴当 a≠0 时,f(x)既不是奇函数也不是偶函数. 抽象函数奇偶性的判定 题型二



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(2014· 衡水调研)已知函数 f(x)对一切 x、y∈R,都有 f(x+y)=f(x)+f(y). (1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)若 f(-3)=a,用 a 表示 f(12). 解析:(1)显然 f(x)的定义域是 R,它关于原点对称.令 y=-x,得 f(0)=f(x)+f(-x), 又∵f(0)=0. ∴f(x)+f(-x)=0,即 f(-x)=-f(x), ∴f(x)是奇函数. (2)由 f(-3)=a, f(x+y)=f(x)+f(y)及 f(x)是奇函数,得 f(12)=f(6)+f(6)=2f(6) =2[f(3)+f(3)] =4f(3)=-4f(-3)=-4a. 点评:抽象函数奇偶性的判断方法 ①利用函数奇偶性的定义,找准方向(想办法出现 f(-x)、f(x));②巧妙赋值,合理、灵 活地变形配凑;③找出 f(-x)与 f(x)的关系,得出结论. 变式探究 2 函数 f(x)的定义域为{x|x∈R,x≠0},对一切 x、y∈R,都有 f(xy)=f(x)+ f(y). (1)判断函数的奇偶性,并说明; (2)如果 f(4)=1,且 f(x)在(0,+∞)上是增函数,解不等式 f(3x+1)+f(2x-6)≤3. 解析:(1)函数 f(x)为偶函数. 证明:在 f(xy)=f(x)+f(y)中, 令 x=y=1,得 f(1)=f(1)+f(1),∴f(1)=0, 令 x=y=-1,得 f(1)=f(-1)+f(-1), ∴f(-1)=0, 令 y=-1 得,f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x), 因此该函数为偶函数. (2)依题意得:2=1+1=f(4)+f(4)=f(16), 3=1+2=f(4)+f(16)=f(64), 又∵f(3x+1)+f(2x-6)≤3,

f[?3x+1??2x-6?]≤f?64?, ? ? ∴?3x+1>0, ? ?2x-6>0, 又∵f(x)在(0,+∞)上是增函数, ?3x+1??2x-6?≤64, ? ? ∴?3x+1>0, ? ?2x-6>0, 解得:3<x≤5,

即不等式的解集为:{x|3<x≤5}. 函数奇偶性的应用 题型三



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sinx (1)(2014· 佛山统考)若函数 f(x)= 是奇函数,则实数 a 的值等于______. ?x+2??x+a? ? 1 ?? (2)已知函数 f(x)是奇函数,当 x>0 时,f(x)=lnx,则 f? ) ?f?e2??的值为( 1 1 A. B.- ln2 ln2 C.ln2 D.-ln2 解析:(1)方法一:因为 f(x)是奇函数, 所以 f(-1)=-f(1), sin?-1? sin1 即 =- ,于是 a-1=3(a+1), a-1 3?a+1? sinx 解得 a=-2,且这时 f(x)= 2 , x -4 容易验证 f(x)是奇函数. 方法二:∵y=sinx 是奇函数,f(x)是奇函数, ∴y=(x+2)(x+a)=x2+(2+a)x+2a 是偶函数, ∴2+a=0,即 a=-2. 1? 1 (2)由已知可得 f? ?e2?=lne2=-2, ? 12??=f(-2). 所以 f? f ? ?e ?? 又因为 f(x)是奇函数, ? 1 ?? 所以 f? ?f?e2??=f(-2)=-f(2)=-ln2,故选 D. 答案:(1)-2 (2)D 点评:已知函数的奇偶性求解析式中参数值的时候,一般可用两种方法:一是根据奇偶 函数的定义,对定义域中所有 x 的值进行分析求解,另一种是采用取特殊值的办法,尤其是 当函数是奇函数且在 x=0 处有定义时,可利用 f(0)=0 进行求解. 变式探究 3 已知 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2-2x,则在 R 上 f(x)的表达式为( ) A.-x(x-2) B.x(|x|-2) C.|x|(x-2) D.|x| (|x|-2) 解析:设 x<0,则-x>0. ∵f(x)为奇函数, ∴f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x.

2 ? ?x -2x, ?x≥0?, ∴f(x)=? 2 ?-x -2x. ?x<0?, ?

即 f(x)=x(|x|-2).故选 B. 答案:B 函数的周期性及其应用 题型四



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1 已知函数 f(x) 满足: f(1) = , 4f(x)f(y) = f(x + y) + f(x - y)(x , y ∈ R) ,则 f(2 010) = 4 __________. 1 答案: 2 点评:本题已知函数 f(x)是抽象函数,所求 f(2010)的值与已知函数值的变量相差距离较 大,可能与函数的周期性有关,因此可由归纳得出结论求值,需要求出多个函数值才发现规 律;也可据递推关系推导出周期函数的结论,进而解决问题. 3? 变式探究 4 已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=-f? ?x+2?,且 f(-2)=f(-1)=-1, f(0)=2,则 f(1)+f(2)+?+f(2005)+f(2006)=( ) A.-2 B.-1 C.0 D.1 3? ? ? 3 3?? 解析:∵f(x)=-f? ?x+2?=-?-f?x+2+2?? =f(x+3), ∴f(x)的周期为 3.又 f(1)=f(-2+3)=f(-2)=-1,f(2)=f(-1+3)=f(-1)=-1,f(3) =f(0+3)=f(0)=2,从而 f(1)+f(2)+f(3)=0.故 f(1)+f(2)+?+f(2005)+f(2006)=f(2005)+ f(2006)=f(3×668+1)+f(3×668+2)=f(1)+f(2)=-2.故选 A. 答案:A 函数性质的综合应用 题型五



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(2014· 辽宁质检)已知 f(x)是定义在 R 上的函数, 对任意 x∈R 都有 f(x+4)=f(x)+2f(2), 若函数 f(x-1)的图象关于直线 x=1 对称,且 f(1)=2,则 f(2011)等于( ) A.2 B.3 C.-2 D.-3 解析:由于函数 f(x-1)的图象关于直线 x=1 对称,所以函数 f(x)的图象关于直线 x=0 对称,即函数 f(x)是偶函数,所以 f(2)=f(-2),在 f(x+4)=f(x)+2f(2)中,令 x=-2 得 f(2) =f(-2)+2f(2),所以 f(2)=0,于是 f(x+4)=f(x),即函数 f(x)的周期等于 4,于是 f(2011)= f(-1)=f(1)=2.故选 A. 答案:A 点评:求解这类函数性质的综合问题时,一般是先根据题目条件推出函数的周期,然后 利用周期将欲求函数值转化为自变量较小且函数值已知(或解析式已知,或函数值可求)的函 数值,其中要注意奇偶性的应用. 变式探究 5 已知偶函数 y=f(x)在区间[-1,0]上单调递增, 且满足 f(1-x)+f(1+x)=0, 给出下列判断: ①f(5)=0;②f(x)在[1,2]上是减函数;③f(x)的图象关于直线 x=1 对称;④f(x)在 x=0 处

取得最大值;⑤f(x)没有最小值. 其中正确的判断序号是__________. 解析:由 f(1-x)+f(1+x)=0 可得 f(1+x)=-f(1-x),即得 f(x+2)=-f(-x)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),从而得函数 f(x)是周期为 4 的函数. 令 x=0,可由 f(1-x)+f(1+x)=0 得 f(1)=0, ∴f(5)=f(1)=0. 又由 f(1+x)=-f(1-x)可知函数 f(1+x)为奇函数,点(1,0)为函数 f(x)的对称中心,即得 f(x)在[1,2]上与其在[0,1]上有相同的单调性,而已知偶函数 y=f(x)在区间[-1,0]上单调递增, 可得函数 f(x)在[1,2]上是减函数. 由上面的分析可得函数 f(x)在 x=0 处取得最大值,在 x=-2 处取得最小值.故应填① ②④. 答案:①②④ 名师归纳 ?方法与技巧 1.函数的定义域关于原点对称是函数成为奇(偶)函数的必要条件. 2.若函数 f(x)是奇函数,且在 x=0 处有定义,那么 f(0)=0. 3.任何一个定义域关于原点对称的函数,都可以写成一个偶函数加一个奇函数的形 f?x?+f?-x? f?x?-f?-x? 式.例如 y=f(x)的定义域关于原点对称,则 g(x)= 为偶函数,h(x)= 为 2 2 奇函数,且 f(x)=g(x)+h(x). ?失误与防范 1.判断函数的奇偶性,首先应该判断函数定义域是否关于原点对称. 2.判断函数 f(x)是奇函数,必须对定义域的每一个 x,均有 f(-x)=-f(x),才能说明函 数是奇函数,不能只有一个 x0 使 f(-x0)=-f(x0)成立就判断函数 f (x)是奇函数;对于偶函数 以此类推. 3.利用函数图象判断函数奇偶性时,首先应该判断图象是函数的图象,而不是方程对 应的曲线. 4.分段函数奇偶性判断时,要整体观察判断,不可以利用在定义域某一区间上不是奇 偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性. 随堂检测 1 1.(2013· 山东卷)已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x2+ ,则 f(-1)=( ) x A.-2 B.0 C.1 D.2 2 1? 解析:因为 f(x)是奇函数,故 f(-1)=-f(1)=-? ?1 +1?=-2,应选 A 项. 答案:A 2 2. (2014· 江西联考)设 f(x)=lg?1-x+a?是奇函数, 则使 f(x)<0 的 x 的取值范围是( ) ? ? A.(-1,0) B.(0,1) C.(-∞,0) D.(-∞,0)∪(1,+∞) 2 解析:因为函数 f(x)=lg?1-x+a?为奇函数,且在 x=0 处有定义,故 f(0)=0,即 lg(2 ? ? +a)=0, 2 1+x 1+x ∴a=-1.故函数 f(x)=lg?1-x-1?=lg .令 f(x)<0 得 0< <1,即 x∈(-1,0). ? ? 1-x 1-x 答案:A

3.(2014· 琼海一模)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=ax-a x +2(a>0 且 a≠1),若 g(2)=a,则 f(2)=( ) 17 A.2 B. 4 15 C. D.a2 4 - - 解析:由题意得:f(-x)+g(-x)=g(x)-f(x)=a x-ax+2,联立 f(x)+g(x)=ax-a x+2, - 求解得:g(x)=2,f(x)=ax-a x. 1 15 - 故 a=2,f(2)=22-2 2=4- = . 4 4 答案:C 4.(2014· 邹城模拟)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=2x+2x+b(b 为常 数),则 f(-1)=( ) A.3 B.1 C.-1 D.-3 解析:因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数,因此 f(-x)+f(x)=0.当 x=0 时,可得 f(0)=0, 可得 b=-1,此时 f(x)=2x+2x-1,因此 f(1)=3.又 f(-1)=-f(1), 所以 f(-1)=-3. 答案:D 5.(2013· 四川卷)已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=x2-4x,那么,不 等式 f(x+2)<5 的解集是__________. 解析:当 x≥0 时,令 x2-4x<5,解得,0≤x<5. 又因为 f(x)为定义域为 R 的偶函数,则不等式 f(x+2)<5 等价于-5<x+2<5,即-7 <x<3;故解集为(-7,3). 答案:(-7,3)


一、选择题 1.设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( ) A.|f(x)|-g(x)是奇函数 B.|f(x)|+g(x)是偶函数 C.f(x)-|g (x)|是奇函数 D.f(x)+|g(x)|是偶函数 解析: 设 F(x)=f(x)+|g(x)|, 由 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数, 得 F(-x)=f(- x)+|g(-x)|=f(x)+|g(x)|=F(x), ∴f(x)+|g(x)|是偶函数,又可判断其他选项不恒成立. 答案:D 2.对于函数 y=f(x),x∈R,“y=|f(x)|的图象关于 y 轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:函数 y=|f(x)|的图象关于 y 轴对称,说明对任意 x 恒有|f(-x)|=|f(x)|,由此得 f(- x)=-f(x)或者 f(-x)=f(x),此时说明 y=f(x)可以是奇函数也可以是偶函数,条件不充分; 而当 f(x)是奇函数时,|f(-x)|=|-f(x)|对于任意 x 恒成立,即函数 y=|f(x)|的图象关于 y 轴对 称,故条件是必要的. 答案:B 3.若定义在 R 上的偶函数 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=ex,则 g(x)=( ) 1 x -x -x x A.e -e B. (e +e ) 2

1 - 1 - C. (e x-ex) D. (ex-e x) 2 2 - 解析:由 f(x)+g(x)=ex 可得 f(-x)+g(-x)=e x,又 f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,可得 -x x e -e - f(x)-g(x)=e x,则两式相减可得 g(x)= ,选 D. 2 答案:D 1? 4.已知函数 f(x)是定义在(-2,2)上的奇函数,当 x∈(0,2)时,f(x)=2x-1,则 f? ?log23?的 值为( ) 2 A.-2 B.- 3 3 C.2 D. 2-1 - 解析:当 x∈(-2,0)时,-x∈(0,2),又∵当 x∈(0,2)时,f(x)=2x-1,∴f(-x)=2 x-1, - 又因为函数 f(x)是定义在(-2,2)上的奇函数,∴f(-x)=-f(x)=2 x-1,∴x∈(-2,0)时,f(x) 1 1 1 1 =1- x.∵-2<log2 <0,∴f(log2 )=1- =-2.故选 A. 2 3 3 1 2log2 3 答案:A 5.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2+2x,若 f(2-a2)>f(a),则实 数 a 的取值范围是( ) A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-1,2) C.(-2,1) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)

解析:∵f(x)是奇函数, ∴当 x<0 时,f(x)=-x2+2x,作出 f(x)的大致图象如图所示.结合图象,可知 f(x)是 R 上的增函数, 由 f(2-a2)>f(a),得 2-a2>a,即-2<a<1. 答案:C 6.定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x)=f(x+2),当 x∈[3,4]时,f(x)=x-2,则( ) 1 1 ? ? ? A.f? ?sin2?<f?cos2? π? ? π? B.f? ?sin3?>f?cos3? C.f(sin1)<f(cos1) 3? ? 3? D.f? ?sin2?>f?cos2? 解析:∵f(x)=f(x+2),∴f(x)是周期函数且 2 为它的一个周期,又 f(x)是偶函数,由 f(x) 在区间[3,4]上是增函数知,f(x)在区间[-1,0]上是增函数,f(x)在区间[0,1]上是减函数. 1 1 ∵0<sin <cos <1, 2 2 1 ? ? 1? ∴f? ?sin2?>f?cos2?; π π ∵1>sin >cos >0, 3 3 π ? ? π? ∴f? ?sin3?<f?cos3?;

∵1>sin1>cos1>0, ∴f(sin1)<f(cos1); 3 3 ∵1>sin >cos >0, 2 2 3 ? ? 3? ∴f? ?sin2?<f?cos2?. 答案:C 二、填空题 7.已知 f(x)是定义在 R 上的函数,且满足 f(x+1)+f(x)=3,当 x∈[0,1]时,f(x)=2-x, 则 f(-2 005.5)=__________. 解析:由 f(x+1)+f(x)=3 得 f(x)+f(x-1)=3,两式相减得 f(x+1)=f(x-1),所以 f(x+ 2)=f(x), 所以函数 f(x)是周期为 2 的周期函数, 所以 f(-2 005.5)=f(-1.5)=f(-2+0.5)=f(0.5) =1.5. 答案:1.5 8.已知 f(x)为奇函数,g(x)=f(x)+9,g(-2)=3,则 f(2)=__________. 解析:根据已知 g(-2)=f(-2)+9,即 3=-f(2)+9,即 f(2)=6. 答案:6 9.设函数 f(x)=x3cosx+1.若 f(a)=11,则 f(-a)=__________. 解析: 观察可知, f (x)=x3cosx 为奇函数, 且 f(a)=a3cosa+1=11, ∴a3cosa=10, 则 f(- 3 a)=-a cosa+1=-10+1=-9. 答案:-9 三、解答题 1 + 10.已知函数 f(x)=( )|x m|+a,且 f(x)为偶函数. 2 (1)求 m 的值; (2)若方程 f(x)=0 有两个实数解,求 a 的取值范围. 解析:(1)∵f(x)为偶函数, ∴f(-x)=f(x)恒成立, 1 + 1 -+ 即( )|x m|+a=( )| x m|+a, 2 2 ∴|x+m|=|x-m|恒成立,故必有 m=0; 1 (2)f(x)=( )|x|+a, 2 1 1 1 方程 f(x)=0 即为( )|x|+a=0, ( )|x|=-a, 方程 f(x)=0 有两个实数解, 即函数 g(x)=( )|x| 2 2 2 的图象与 y=-a 的图象有两个交点,画出 y=g(x)的图象(如图),可知当 0<-a<1,即-1 <a<0 时,两图象有两个交点,

即方程 f(x)=0 有两个实数解. 11.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x). 当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+2)2. 当-1≤x<3 时,f(x)=x,求 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2014)的值. 解析:∵f(x+6)=f(x),x∈R, ∴函数 f(x)是周期为 6 的周期函数. 又∵-1≤x<3 时,f(x)=x, ∴f(1)=1,f(2)=2. 又∵-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+2)2,

∴f(3)=f(3-6)=f(-3)=-1, f(4)=f(4-6)=f(-2)=0, f(5)=f(5-6)=f(-1)=-1, f(6)=f(6-6)=f(0)=0. 又∵2 014=335×6+4, ∴由函数的周期性得 f(1) + f(2) + f(3) + ? + f(2 014) = 335[f(1) + f(2) + ? + f(6)] + f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = 335×1+1+2+(-1)+0=337. 12.(2014· 合肥质检)已知 f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且 f(1)=1,若对任意的 a、b f?a?+f?b? ∈[-1,1],当 a+b≠0 时,总有 >0. a+b (1)判断函数 f(x)在[-1,1]上的单调性,并证明你的结论; 1 (2)解不等式:f(x+1)<f?x-1?. ? ? 解析:(1)f(x)在[-1,1]上是增函数,证明如下: f?x1?-f?x2? f?x1?+f?-x2? 任取 x1、x2∈[-1,1],且 x1<x2,则 x1-x2<0,于是有 = >0, x1-x2 x1+?-x2? 而 x1-x2<0,故 f(x1)<f(x2), 故 f(x)在[-1,1]上是增函数. (2)由 f(x)在[-1,1]上是增函数知:

?-1≤ 1 ≤1, ? x-11 ?x+1<x-1.

-1≤x+1≤1,

?-2≤x≤0, ? 解得?x≥2或x≤0, ? ?x<- 2或1<x< 2.
即-2≤x<- 2, 故不等式的解集为{x|-2≤x<- 2}.


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