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2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第4讲 定积分的概念与微积分基本定理


第 4 讲 定积分的概念与微积分基本定理
一、选择题 1. ?1(ex+2x)dx 等于( ?0 A.1 C.e 解析 ∵(ex+x2)′=ex+2x, ) B.e-1 D.e+1

1 ∴?1(ex+2x)dx=(ex+x2)|0 ?0

=(e1+ 12)-(e0+0)=e. 答案 C ( ).

2.已知

f(x)=2-|x|,则?2-1f(x)dx 等于 ? A.3 B.4 7 C.2 9 D.2

?2-x?x≥0?, 解析 f(x)=2-|x|=? ?2+x?x<0?, x2?? x2?? 2 3 ? ? 2 x - ? ? = ∴ ?2 - 1f(x)dx = ?0 - 1(2 + x)dx + ?2 (2 - x)dx = ?2x+ 2 ?? 0 + 2? ? ?? -1 ? ?? 0 2 ? ? ?
0

7 +2=2. 答案 C 3.函数 f(x)满足 f(0)=0,其导函数 f′(x)的图象如图所 示,则 f(x)的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积为 ( 1 A.3 C.2 4 B.3 8 D.3 ).

解析 由导函数 f′(x)的图象可知函数 f(x)为二次函数,且对称轴为 x=-1, 开口方向向上. 设函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0), 由 f(0)=0, 得 c=0.f′(x)=2ax

?2a×?-1?+b=0, ?a=1, +b,因过点(-1,0)与(0,2),则有? ∴? ∴f(x)=x2 ?2a×0+b=2, ?b=2. +2x,则 f(x)的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积为 S=?0-2(-x2-2x)dx ? 4 ? 1 ??0 1 = ?-3x3-x2??- = ×(-2)3+(-2)2=3. ? ?? 2 3 答案 B 1? ? 4.若?a?2x+x?dx=3+ln 2(a>1),则 a 的值是 ? ?1? ( A.2 解析 ? ? ?1? 答案 A 2 5.曲线 y=x 与直线 y=x-1 及 x=4 所围成的封闭图形的面积为( A.2-ln 2 C.4-ln 2 B.4-2ln 2 D.2ln 2 ) ). B.3
a?2x+

C.4
a

D.6

1? ? 2 ? ? =a2+ln a-1=3+ln 2,即 a=2. d x = ( x + ln x ) x? ?1

2 解析 y=x 与直线 y=x-1 及 x=4 所围成的面积为如图所示的阴影部分, [来

2 ? ?y= 联立? x ? ?y=x-1

得在第一象限的交点为(2,1),

2? ? 故所求面积为?4?x-1-x?dx ? ?2? ?1 ?? = ?2x2-x-2ln x??4 =4-2ln 2. ? ??2 答案 B

6.如图所示,在一个边长为 1 的正方形 AOBC 内,曲线 y=x2 和曲线 y= x围 成一个叶形图(阴影部分),向正方形 AOBC 内随机投一点(该点落在正方形 AOBC 内任何一点是等可能的),则所投的点落在叶形图内部的概率是 ( ).

1 A.2

1 B.6

1 C.4

1 D.3

解析 依题意知,题中的正方形区域的面积为 12=1,阴影区域的面积等于?1 ?0 1 ?2 3 1 ??1 1 ( x-x2)dx= ?3x2-3x3??0 =3,因此所投的点落在叶形图内部的概率等于3, ? ?? 选 D. 答案 D 二、填空题 7.设 a>0,若曲线 y= x与直线 x=a,y=0 所围成封闭图形的面积为 a2,则 a =________. 2 3?a 2 3 4 解析 S=?a xdx= 3x2?0 =3a2=a2,∴a=9. ? ?0 4 答案 9 ?2x+1,x∈[-2,2], 40 8.已知 f(x)=? 若?3f(x)dx= (k<2).则 k=________. 2 3 ?k ?1+x ,x∈[2,4] 40 解析 ?3f(x)dx=?2(2x+1)dx+?3(1+x2)dx= 3 ,所以得到 k2+k=0,即 k=0 ?k ?k ?2 或 k=-1. 答案 0 或-1 1? ? 9.设 f(x)=xn+ax 的导函数为 f′(x)=2x+1 且?2f(-x)dx=m,则?mx+6?12 展开 ? ? ?1

式中各项的系数和为________. 解析 因为 f(x)=xn+ax 的导函数为 f′(x)=2x+1.故 n=2,a=1.所以?2f(- ?1 1 ??2 5 1? ?1 ? x)dx=?2(x2-x)dx=?3x3- 2x2??1 =6=m 所以?mx+6?12 展开式中各项的系数 ?? ? ? ? ?1 ?5 1? 和为?6+6?12=1. ? ? 答案 1 10.设函数 f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对于任意 x∈[-1,1],都有 f(x)≥0 成立,则实数 a 的值为________. 解析 (构造法)若 x=0,则不论 a 取何值,f(x)≥0 显然成立;

3 1 3 当 x>0,即 x∈(0,1]时,f(x)=ax3-3x+1≥0 可化为 a≥x2-x3.设 g(x)=x2- 3?1-2x? 1 3,则 g′(x)= x x4 , 1? ? ?1 ? 所以 g(x)在区间?0,2?上单调递增,在区间?2,1?上单调递减, ? ? ? ? ?1? 因此 g(x)max=g?2?=4,从而 a≥4.[来源:学§科§网] ? ? 3 1 当 x<0,即 x∈[-1,0)时,同理 a≤x2-x3. g(x)在区间[-1,0)上单调递增, ∴g(x)min=g(-1)=4,从而 a≤4,综上可知 a=4. 答案 4

三、解答题 17 f?x? 11.已知 f(x)是一次函数,且?1f(x)dx=5,?1xf(x)dx= 6 ,求?2 x dx 的值. ?0 ?0 ?1 解 ∵f(x)是一次函数,∴可设 f(x)=ax+b(a≠0). 1 ?1 ?? ∴? f(x)dx=? (ax+b)dx=?2ax2+bx?? =2a+b. ? ??0 ?0 ?0
1 1 1

1 ∴2a+b=5.① 又?1xf(x)dx=?1x(ax+b)dx ?0 ?0

1 1 ?1 3 1 2?? =?3ax +2bx ?? =3a+2b. ? ??0 1 1 17 ∴3a+2b= 6 .② 解①②得 a=4,b=3,∴f(x)=4x+3, 4x+3 3? f?x? ? ∴?2 x dx=?2 x dx=?2?4+ x?dx ? ?1 ?1 ?1? ? =(4x+3ln x)? =4+3ln 2. ?1 12.如图所示,直线 y=kx 分抛物线 y=x-x2 与 x 轴所围图形为面积相等的两部 分,求 k 的值. 解 抛物线 y=x-x2 与 x 轴两交点的横坐标为 x1= 0,x2=1, 所以,抛物线与 x 轴所围图形的面积
2 ?x 1 ??1 1 S=?1(x-x2)dx= ? 2 -3x3??0 = . ? ?? 6 ?0 2

1

又抛物线 y=x-x2 与 y=kx 两交点的横坐标为 x3=0,x4=1-k,所以, ? 1-k 2 1 3??1-k S 1-k 2 =∫ x -3x ??0 0 (x-x -kx)dx=? 2 ?? ? 2 1 =6(1-k)3. 1 1 又知 S=6,所以(1-k)3=2, 3 3 1 4 于是 k=1- 2=1- 2 . 13.已知 f(x)为二次函数,且 f(-1)=2,f′(0)=0,?1f(x)dx=-2, ?0 (1)求 f(x)的解析式; (2)求 f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值. 解 (1)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则 f′(x)=2ax+b. 由 f(-1)=2,f′(0)=0,

?a-b+c=2, ?c=2-a, 得? 即? ?b=0, ?b=0, ∴f(x)=ax2+2-a. 又?1f(x)dx=?1(ax2+2-a)dx ?0 ?0 2 ?1 ?? = ?3ax3+?2-a?x??1 =2-3a=-2, ? ??0 ∴a=6,从而 f(x)=6x2-4. (2)∵f(x)=6x2-4,x∈[-1,1]. ∴当 x=0 时,f(x)min=-4;当 x=± 1 时,f(x)max=2. 14.已知 a>0,b∈R,函数 f(x)=4ax3-2bx-a+b. (1)证明:当 0≤x≤1 时, ①函数 f(x)的最大值为|2a-b|+a; ②f(x)+|2a-b|+a≥0. (2)若 -1≤f(x)≤1 对 x∈[0,1]恒成立,求 a+b 的取值范围. 解 b? ? (1)证明:①f′(x)=12ax2-2b=12a?x2-6a?. ? ?

当 b≤0 时,有 f′(x)≥0,此时 f(x)在[0,+∞)上单调递增. ? 当 b>0 时,f′(x)=12a?x+ ? ? 此时 f(x)在?0, ? b ?? ?? 6a??x- b? ?, 6a? b ? ?上单调递增. 6a,+∞?

b? ? ?上单调递减,在? 6a? ?

所以当 0≤x≤1 时,f(x)max=max{f(0),f(1)} ?3a-b,b≤2a, =max{-a+b,3a-b}=? =|2a-b|+a. ?-a+b,b>2a ②由于 0≤x≤1,故当 b≤2a 时, f(x)+|2a-b|+a=f(x)+3a-b =4ax3-2bx+2a≥4ax3-4ax+2a =2a(2x3-2x+1). 当 b>2a 时,f(x)+|2a-b|+a=f(x)-a+b =4ax3+2b(1-x)-2a>4ax3+4a(1-x)-2a =2a(2x3-2x+1).

设 g(x)=2x3-2x+1,0≤x≤1,则 ? 3?? 3? g′(x)=6x2-2=6?x- ??x+ ?, 3 ?? 3? ? 于是 g′(x),g(x)随 x 的变化情况如下表: x g′(x) g(x) 1 0 ? 3? ? 0, ? 3? ? - 减[ 3 3 0 极小值 ? 3 ? ? ,1? ?3 ? + 增 1 1

4 3 ? 3? 所以,g(x)min=g? ?=1- >0. 9 ?3? 所以当 0≤x≤1 时,2x3-2x+1>0. 故 f(x)+|2a-b|+a≥2a(2x3-2x+1)≥0. (2)由①知,当 0≤x≤1,f(x)max=|2a-b|+a, 所以|2a-b|+a≤1. 若|2a-b|+a≤1,则由②知 f(x)≥-(|2a-b|+a)≥-1. ?|2a-b|+a≤1, 所以-1≤f(x)≤1 对任意 0≤x≤1 恒成立的充要条件是? 即 ?a>0,

?2a-b≥0, ?3a-b≤1, ?a>0
不包括线段 BC.

?2a-b<0, 或?b-a≤1,?*? ?a>0.

在直角坐标系 aOb 中,(*)所表示的平面区域为如图所示的阴影部分,其中

作一组平行直线 a+b=t(t∈R),得-1<a+b≤3. 所以 a+b 的取值范围是(-1,3].


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