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柯西不等式与排序不等式


一、二维形式的柯西不等式
定理1 (二维形式的柯西不等式 ) 若a , b, c , d都是 实数, 则 (a 2 ? b2 )(c 2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 当且仅当ad ? bc时, 等号成立.

证明: (a ? b )(c ? d ) ? a c ? b d ? a d ? b c ? (ac ? bd) ? (ad

? bc) ? (ac ? bd )
2 2 2

2

2

2

2

2 2

2 2

2 2

2 2

二维形式的柯西不等式的变式:
(1) a ? b ? c ? d ? ac ? bd ( 2) a 2 ? b2 ? c 2 ? d 2 ? ac ? bd
2 2 2 2

定理 2 ( 柯西不等式的向量形式 ) 设? , ? 是两个向量, 则 ? ? ? ? ? ? . 当且仅当? 是零向量, 或存在实数k , 使? ? k ? 时, 等号成立.
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例1 已知a, b为实数 , 证明 (a 4 ? b4 )(a 2 ? b2 ) ? (a 3 ? b3 )2
1 1 例2 设a , b ? R? , a ? b ? 1, 求证 ? ? 4 a b

例3 求函数 y ? 5 x ? 1 ? 10 ? 2 x的最大值

复习:
(1)二维形式的柯西不等式 (a 2 ? b 2 )(c 2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 (a , b, c , d ? R) 当且仅当ad ? bc时, 等号成立.

( 2) a ? b ? c ? d ? ac ? bd (3) a 2 ? b2 ? c 2 ? d 2 ? ac ? bd
(4)柯西不等式的向量形式? ? ? ? ? ? . 当且仅当? 是零向量, 或存在实数k , 使? ? k ? 时, 等号成立.

2

2

2

2

定 理3 (二 维 形 式 的三 角 不 等 ) 式 设x1 , y1 , x2 , y 2 ? R,
2 2 那 么 x1 ? y1 ? 2 2 x2 ? y2 ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2

2 2 2 2 2 证明 : ( x1 ? y1 ? x2 ? y2 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 ? x1 ? y1 ? 2 x1 ? y1 x2 ? y2 ? x2 ? y2 2 2 2 2 ? x1 ? y1 ? 2 x1 x2 ? y1 y2 ? x2 ? y2 2 2 2 2 ? x1 ? y1 ? 2( x1 x2 ? y1 y2 ) ? x2 ? y2 2 2 2 ? x1 ? 2 x1 x2 ? x2 ? y1 ? 2 y1 y2 ? y 2 2

? (x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2
2 2 ? x1 ? y1 ? 2 2 x2 ? y2 ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2

二维形式的三角不等式
2 2 x1 ? y1 ? 2 2 x2 ? y2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2

2 2 2 2 2 2 三维形式的三角不等式 x1 ? y1 ? z1 ? x2 ? y2 ? z2

? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? ( z1 ? z2 )2
一般形式的三角不等式
2 2 2 x1 ? x2 ? ? ? xn ? 2 2 2 y1 ? y2 ? ? ? yn

? ( x1 ? y1 ) 2 ? ( x 2 ? y2 ) 2 ? ? ( x n ? yn ) 2

a b 例1 已知x, y, a, b ? R? , 且 ? ? 1, 求x ? y的最小值 . x y a b 解 : ? x , y , a , b ? R? , ? ? 1, x y
? x ? y ? ( x) ? ( ?( a? 当且仅当 x ? b )2 b ? y y? b )2 a x ,即 ? x y a 时取等号. b

补充例题:

?

2

y)

2

?

?? ?? ?? ??

a x

? ? ? ?? ? ? ? ?

2

b y

? ? ? ? ? ? ?

2?

? ( x ? y )min ? ( a ?

变式引申: 2 2 若2 x ? 3 y ? 1, 求4 x ? 9 y 的最小值 , 并求最小值点 .
解 : 由柯西不等式(4 x 2 ? 9 y 2 )(12 ? 12 ) ? ( 2 x ? 3 y )2 ? 1, 1 2 2 ?4x ? 9 y ? . 2 当且仅当2 x ? 1 ? 3 y ? 1, 即2 x ? 3 y时取等号. ? x? ? ?2 x ? 3 y ? 由? 得? ?2 x ? 3 y ? 1 ? y ? ? ?
2 2

1 4 1 6

1 1 1 ? 4 x ? 9 y 的最小值为 , 最小值点为( , ) 2 4 6

补充练习
1.若a , b ? R, 且a 2 ? b 2 ? 10, 则a ? b的取值范围是( A )

? C .??

A. - 2 5 ,2 5 10 ,

? 10 ?

? D.??

B . ? 2 10 ,2 10 5, 5

?

?

2.已知x ? y ? 1, 那么2 x 2 ? 3 y 2的最小值是( B ) 5 A. 6 6 B. 5 25 C. 36 36 D. 25

3 3.函数 y ? 2 1 ? x ? 2 x ? 1的最大值为 ______
4.设实数x , y满足3 x 2 ? 2 y 2 ? 6, 则P ? 2 x ? y的最大
25 1 2 1 2 2 5.若a ? b ? 1, 则(a ? ) ? (b ? ) 的最小值是______ a b

值是 ______ 11

小结:
(1)二维形式的柯西不等式 (a 2 ? b 2 )(c 2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 (a , b, c , d ? R) 当且仅当ad ? bc时, 等号成立.

( 2) a ? b ? c ? d ? ac ? bd (3) a 2 ? b2 ? c 2 ? d 2 ? ac ? bd
(4)柯西不等式的向量形式? ? ? ? ? ? . 当且仅当? 是零向量, 或存在实数k , 使? ? k ? 时, 等号成立.

2

2

2

2

(5)二 维 形 式 的 三 角 不 等 式
2 x1

?

2 y1

?

2 x2

?

2 y2

? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )

2

2

(6) ( x1 ? x3 )2 ? ( y1 ? y3 )2 ? ( x2 ? x3 )2 ? ( y2 ? y3 )2 ? (x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2

从 平 面 向 量 的 几 何 背能 景得 到 ? ? ? ? ?? , 将 平 面 向 量 的 坐 标 代, 入化 简 后 得 二 维 形 式

2 2 2 2 的 柯 西 不 等( 式 : a1 ? a2 ) (b1 ? b2 ) ? (a1b1 ? a2b2 ) 当且仅当 a1b2 ? a 2 b1时, 等 号 成 立 .

类似地 ,从 空 间 向 量 的 几 何 背也 景能 得 到

? ? ? ? ? ? ,将 空 间 向 量 的 坐 标 代, 入
化简后得
2 (a1 2 ? a2 2 ? a3 ) 2 (b1 2 ? b2 2 ? b3 )

? (a1b1 ? a2b2 ? a3b3 )

当且仅当 ? , ?共 线 时 , 即? ? 0, 或 存 在 一 个 数 k, 使 得a i ? kbi ( i ? 1,2,3)时, 等 号 成 立 .

猜想柯西不等式的一般形式 2 2 2 2 2 (a1 ? a2 ? ? ? an )( b12 ? b2 ? ?bn ) ? (a1b1 ? a2b2 ? ?anbb )2
2 2 2 分析: 设A ? a1 ? a2 ? ?? an,B ? a1b1 ? a2b2 ? ?anbn

C ? b ? b ? ?? b , 则不等式就是 AC ? B 2
2 1 2 2 2 n

构造二次函数

2 2 2 f ( x ) ? (a1 ? a2 ? ? ? an ) x 2 ? 2(a1b1 ? a 2 b2 ? ? an bn ) x 2 2 ? (b12 ? b2 ? ? bn ) 又f ( x) ? (a1 x ? b1 )2 ? (a2 x ? b2 )2 ? ?? (an x ? bn )2 ? 0

? 二次函数f ( x )的判别式? ? 0, 即 4( a1b1 ? a2b2 ? ? anbn )
2 ? ( b1 2 ? b2 2 ? ? ? bn ) ? 2 2 ? 4( a1

2 ? a2

2 ? ? an )

0

定 理(一 般 形 式 的 柯 西 不 等 ) 式
(a ? a ? ? ? a )( b ? b ? ?b ) ? (a1b1 ? a2b2 ? ?anbb )
2 1 2 2 2 n 2 1 2 2 2 n

设a1 , a 2 , a 3 , ? , a n , b1 , b2 , b3 , ? , bn是 实 数 ,则

2

当且仅当 bi ? 0( i ? 1,2, ? , n)或 存 在 一 个 数 k , 使 得a i ? kbi ( i ? 1,2, ? , n)时, 等 号 成 立 。

例1 已 知a1 , a2 ,? , an都 是 实 数 ,求 证 1 2 2 2 2 (a1 ? a2 ? ? ? an ) ? a1 ? a2 ? ? ? an n

证 明: (1 ? 1 ? ? ? 1 )(a ? a ? ? ? a )
2 2 2 2 1 2 2 2 n

? (1 ? a1 ? 1 ? a2 ? ? ? 1 ? an )

2

2 2 2 ? n(a1 ? a2 ? ?? an ) ? (a1 ? a2 ? ?? an )2 1 2 2 2 2 ? (a1 ? a2 ? ? ? a n ) ? a1 ? a2 ? ? ? a n n

例2 已 知a , b, c , d是 不 全 相 等 的 正 数 ,证明 a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? ab ? bc ? cd ? da
证明 : (a ? ? c ? d )(b ? c ? d ? a ) ? (ab ? bc ? cd ? da )2 a b c d ? a , b, c , d是不全相等的正数,? ? ? ? 不成立 b c d a ? (a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 )2 ? (ab ? bc ? cd ? da )2 即 a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? ab ? bc ? cd ? da
2 2 2 2 2 2 2 2

例3 已知x ? 2 y ? 3z ? 1, 求x ? y ? z 的最小值
2 2 2

证 明: ( x 2 ? y 2 ? z 2 )(12 ? 2 2 ? 3 2 ) ? ( x ? 2 y ? 3 z ) 2 ? 1 1 2 2 2 ?x ? y ?z ? 14 x y z 1 1 3 当 且 仅 当 ? ? 即x ? , y ? , z ? 时 1 2 3 14 7 14 1 2 2 2 x ? y ? z 取最小值 14

P 41 6. 设x1 , x 2 ,?xn ? R ? , 且x1 ? x2 ? ? ? xn ? 1,
2 2 2 x1 x2 xn 1 求 证: ? ? ?? ? 1 ? x1 1 ? x2 1 ? xn n ? 1
2 2 2 x1 x2 xn 证 明: ( n ? 1) ? ( ? ? ?? ) 1 ? x1 1 ? x2 1 ? xn 2 2 x1 x2 ? (1 ? x1 ? 1 ? x2 ? ? ? 1 ? xn ) ? ( ? ? 1 ? x1 1 ? x2 2 xn x1 x2 ?? ) ? ( 1 ? x1 ? ? 1 ? x2 ? 1 ? xn 1 ? x1 1 ? x2

xn ? ? ? 1 ? xn ? )2 ? ( x1 ? x2 ? ? ? xn )2 ? 1 1 ? xn 2 2 2 x1 x2 xn 1 ? ? ? ?? ? 1 ? x1 1 ? x2 1 ? xn n ? 1

补充 例1 已知实数a , b, c , d , e满足a ? b ? c ? d ? e ? 8, 例题 2 2 2 2 2
a ? b ? c ? d ? e ? 16, 求e的取值范围.

解 : ? 4(a2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ) ? (1 ? 1 ? 1 ? 1)(a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ) ? (a ? b ? c ? d) 2 即4(16 ? e 2 ) ? (8 ? e )2 , 即64 ? 4e 2 ? 64 ? 16e ? e 2 16 ? 5e ? 16e ? 0, 故 0 ? e ? 5
2

1 4 9 例2 已知x, y, z ? R? , 且x ? y ? z ? 1, 求证 ? ? ? 36 x y z
证法一 : 用柯西不等式 1 4 9 1 4 9 ? ? ? ( x ? y ? z )( ? ? ) x y z x y z 1 2 3 2 ?( x? ? y? ? z? ) ? 36 x y z 1 2 1 2 1 1 1 当且仅当x ? y ? z , 即x ? , y ? , z ? 时, 4 9 6 3 2 等号成立.
2

1 4 9 例2 已知x, y, z ? R? , 且x ? y ? z ? 1, 求证 ? ? ? 36 x y z
证 法 二: 代 入 法 1 4 9 1 4 9 ? ? ? ( x ? y ? z) ? ( x ? y ? z) ? ( x ? y ? z) x y z x y z y 4x z 9x 4z 9 y ? 14 ? ( ? )?( ? )?( ? ) x y x z y z ? 14 ? 4 ? 6 ? 12 ? 36 1 1 1 当且仅当 y ? 2 x , z ? 3 x , 即x ? , y ? , z ? 时 , 等 号 成 立 . 6 3 2

补充练习
1在?ABC中, 设 其 各 边 长 为 a , b, c , 外 接 圆 半 径 为 R, 1 1 1 2 2 2 2 求 证 : (a ? b ? c )( 2 ? ? ) ? 36R 2 2 si n A si n B si n C

2.设a , b, c为 正 数 , 且a ? b ? c ? 1, 1 2 1 2 1 2 100 求 证 : (a ? ) ? (b ? ) ? (c ? ) ? a b c 3

3.若n是 不 小 于 2的 正 整 数 , 试 证: 4 1 1 1 1 1 2 ? 1 ? ? ? ? ?? ? ? 7 2 3 4 2n ? 1 2n 2

4.设a , b, c ? R? , 且满足abc ? 1, 试证明 : 3 ? 3 ? 3 ? 3 a (b ? c ) b (a ? c ) c (a ? b) 2 1 1 1

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(1)设c1 , c2 ,?, cn 是数组b1 , b2 ,?, bn的任何一个排列 , 则 S ? a1c1 ? a2c2 ? ? ? ancn叫做数组(a1 , a2 ,?, an ) 和(b1 , b2 ,?, bn )的 乱序和
( 2)将数组(a1 , a2 ,?, an )和(b1 , b2 ,?, bn )按相反顺序相乘 所得的和

S1 ? a1bn ? a2bn ?1 ? a3bn ? 2 ? ? ? anb1

称为 反序和 ( 3)将数组(a1 , a2 ,?, an )和(b1 , b2 ,?, bn )按相同顺序相乘 所得的和 称为 顺序和

S2 ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? ? ? anbn

反序和 ? 乱序和 ? 顺序和 即 S1 ? S ? S2

定理 ( 排序不等式或称排序原 理) 设a1 ? a2 ? ? ? an , b1 ? b2 ? ? ? bn为两组实数, c1 , c2 ,?, cn 是b1 , b2 ,?, bn的任一排列, 那么 a1bn ? a2bn ?1 ? ? ? anb1 ? a1c1 ? a2c2 ? ? ? ancn ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn 当且仅当a1 ? a2 ? ? ? an或b1 ? b2 ? ? ? bn时, 反序和等于顺序和 .

例1 有10人各拿一只水桶去接水 , 设水龙头注满第 i ( i ? 1,2,?,10)个人的水桶需要 t i 分, 假定这些t i 各不 相同,问只有一个水龙头时 , 应如何安排10人的顺序, 使他们等候的总时间最 少 ? 这个最少的总时间等于 多少 ?

例2 设a1 , a2 ,?, an 是n个 互 不 相 同 的 正 整 数 ,求 证 1 1 1 a2 a3 an 1 ? ? ? ? ? ? a1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 2 3 n 2 3 n

补充例题

1.设a , b, c ? R? , 试 证 a b c 10 10 10 ? ? ?a ?b ?c bc ca ab
aA ? bB ? cC ? 2.在?ABC中, 试证 : ? ? 3 a?b?c 2
12 12 12

?


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