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高中数学


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第一章 集合与函数的概念
一、选择题

y-3 ? 1.设全集 U={(x,y)| x∈R,y∈R},集合 M= ? = 1? , ?( x, y ) | x-2 ? ?
P={(x,y)| y≠x+1},那么 CU(M∪P)等于( A. ? C.(2,3) ). B.{(2,3)} D.{(x,y)| y=x+1} ). D.0 或 1 或 2 ). D.1 或 2 ). D.2x+7

2.若 A={a,b},B ?A,则集合 B 中元素的个数是( A.0 B.1 C.2

3.函数 y=f(x)的图象与直线 x=1 的公共点数目是( A.1 B.0 C.0 或 1

4.设函数 f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则 g(x)的表达式是( A.2x+1 B.2x-1 C.2x-3

5. 已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如图 所示,则( ). B.b∈(0,1) D.b∈(2,+∞)
(第 5 题)

A.b∈(-∞,0) C.b∈(1,2) 6.设函数 f(x)= ?

? x 2+bx+c,x ≤ 0 ? c,x> 0
). B.2

, 若 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于 x 的方

程 f(x)=x 的解的个数为( A.1

C.3

D.4

7.设集合 A={x | 0≤x≤6},B={y | 0≤y≤2},下列从 A 到 B 的对应法则 f 不是映射 的是( ).

A.f:x→y=

1 x 2

1 B.f:x→y= x 3

C.f:x→y=

1 x 4

D.f:x→y=

1 x 6

8.有下面四个命题: ①偶函数的图象一定与 y 轴相交; ②奇函数的图象一定通过原点; ③偶函数的图象关于 y 轴对称; ④既是奇函数,又是偶函数的函数一定是 f(x)=0(x∈R). 其中正确命题的个数是( ).

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A.1

B.2

C.3 ). B.递增函数 D.先递增再递减 ).

D.4

9.函数 y=x2-6x+10 在区间(2,4)上是( A.递减函数 C.先递减再递增

10.二次函数 y=x2+bx+c 的图象的对称轴是 x=2,则有( A.f(1)<f(2)<f(4) C.f(2)<f(4)<f(1) 二、填空题 11.集合{3,x,x2-2x}中,x 应满足的条件是 .

B.f(2)<f(1)<f(4) D.f(4)<f(2)<f(1)

12.若集合 A={x | x2+(a-1)x+b=0}中,仅有一个元素 a,则 a=___,b=___. 13.建造一个容积为 8 m3,深为 2 m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平 方米分别为 120 元和 80 元,那么水池的最低总造价为 14.已知 f(x+1)=x2-2x,则 f(x)= ;f(x-2)= . . 元.

15.y=(2a-1)x+5 是减函数,求 a 的取值范围

16.设 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x∈[0,+∞)时,f(x)=x(1+x3),那么当 x∈ (-∞,0]时,f(x)= 三、解答题 17.已知集合 A={x∈R| ax2-3x+2=0},其中 a 为常数,且 a∈R. ①若 A 是空集,求 a 的范围; ②若 A 中只有一个元素,求 a 的值; ③若 A 中至多只有一个元素,求 a 的范围. .

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18.已知 M={2,a,b},N={2a,2,b2},且 M=N,求 a,b 的值.

19.证明 f(x)=x3 在 R 上是增函数.

20.判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=3x4+

1 ; x2

(2)f(x)=(x-1)

1+x ; 1-x

1+ 1 -x ; (3)f(x)= x-

1 + 1-x 2 . (4)f(x)= x 2-

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第一章
一、选择题

集合与函数概念参考答案

1.B 解析:集合 M 是由直线 y=x+1 上除去点(2,3)之后,其余点组成的集合.集合 P 是坐标平面上不在直线 y=x+1 上的点组成的集合, 那么 M ? P 就是坐标平面上不含点(2, 3)的所有点组成的集合.因此 CU(M ? P)就是点(2,3)的集合.

CU(M ? P)={(2,3)}.故选 B.
2.D 解析:∵A 的子集有 ? ,{a},{b},{a,b}.∴集合 B 可能是 ? ,{a},{b},{a, b}中的某一个,∴选 D. 3.C 解析:由函数的定义知,函数 y=f(x)的图象与直线 x=1 是有可能没有交点的, 如果有交点,那么对于 x=1 仅有一个函数值. 4.B 解析:∵g(x+2)=2x+3=2(x+2)-1,∴g(x)=2x-1. 5.A 解析: 要善于从函数的图象中分析出函数的特点. 解法 1 :设 f(x) =ax(x -1)(x - 2)= ax3 - 3ax2 + 2ax,比较系数得 b=-3a,c=2a,d=0.由 f(x)的图 象可以知道 f(3)>0,所以
(第 5 题)

f(3)=3a(3-1)(3-2) =6a>0,即 a>0,所以 b<0.所以正确答案为 A. 解法 2:分别将 x=0,x=1,x=2 代入 f(x)=ax3+bx2+cx+d 中,求得 d=0,a=

2 2 1 1 bx 3 1 - b,c=- b. ∴f(x)=b(- x3+x2- x)=- [(x- )2- ] . 3 2 4 3 3 3 3
由函数图象可知,当 x∈(-∞,0)时,f(x)<0,又[(x- x∈(0,1)时,f(x)>0,又[(x- x∈(1,2)时,f(x)<0,又[(x-

3 2 1 ) - ]>0,∴b<0. 2 4

3 2 1 ) - ]>0,∴b<0. 2 4 3 2 1 ) - ]<0,∴b<0. 2 4 3 2 1 ) - ]>0,∴b<0. 2 4

x∈(2,+∞)时,f(x)>0,又[(x- 故 b∈(-∞,0). 6.C 解:由 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,

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b ? ? ? ?2 ,∴ ?b ? 4 . 得? 2 ? ? ?c ? 2 ? ? 4 ? 2b ? c ? ?2
? x 2+4 x+2, ( x ≤0) ∴f(x)= ? ( x > 0) ?2,
? x≤0 由? 得 x=-1 或 x=-2;由 ? x2+4x+2=x

x>0 得 x=2. x=2

综上,方程 f(x)=x 的解的个数是 3 个. 7.A 解:在集合 A 中取元素 6,在 f:x→y= {y|0≤y≤2}中,所以答案选 A. 8.A 提示:① 不对;② 不对,因为偶函数或奇函数的定义域可能不包含 0;③ 正确;④ 不 对,既是奇函数又是偶函数的函数还可以为 f(x)=0,x∈(-a,a).所以答案选 A. 9.C 解析:本题可以作出函数 y=x2-6x+10 的图象,根据图象可知函数在(2,4)上 是先递减再递增.答案选 C. 10.B解析:∵对称轴 x=2,∴f(1)=f(3). ∵y在〔2,+∞〕上单调递增, ∴f(4)>f(3)>f(2),于是 f(2)<f(1)<f(4). ∴答案选B. 二、填空题 11.x≠3 且 x≠0 且 x≠-1.
? x≠3, 2 解析:根据构成集合的元素的互异性,x 满足 ? ? x -2x≠3, ? 2 ? x -2x≠x.

1 x 作用下应得象 3,但 3 不在集合 B= 2

解得 x≠3 且 x≠0 且 x≠-1.

1 1 12.a= ,b= . 9 3
解析: 由题意知, 方程 x2+(a-1)x+b=0 的两根相等且 x=a, 则△=(a-1)2-4b=0①,

1 1 将 x=a 代入原方程得 a2+(a-1)a+b=0 ②,由①②解得 a= ,b= . 9 3
13.1 760 元. 解析:设水池底面的长为 x m,水池的总造价为 y 元,由已知得水池底面面积为 4 m2., 水池底面的宽为

4 m. x

池底的造价 y1=120×4=480. 池壁的造价 y2=(2×2x+2×2×

4 16 )×80=(4x+ )×80. x x

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水池的总造价为 y=y1+y2=480+(4x+ 即 y=480+320(x+

16 )×80, x

4 ) x

2 ?? ? 2 ? ?. ? x - + 4 =480+320 ?? ? ? ? ? x? ?? ?



x=

2 x

, 即x=2时,y有最小值为 480+320×4=1 760元.

14.f(x)=x2-4x+3,f(x-2)=x2-8x+15. 解析:令 x+1=t,则 x=t-1,因此 f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t2-4t+3,即 f(x)=x2-
2 4x+3.∴f(x-2)=(x-2) -4(x-2) +3=x2-8x+15.

15.(-∞,

1 ). 2 1 . 2

解析:由 y =(2a-1)x+5 是减函数,知 2a-1<0,a< 16.x(1-x3). 解析:任取 x∈(-∞,0], 有-x∈[0,+∞), ∴f(-x)=-x[1+(-x)3]=-x(1-x3),

∵f(x)是奇函数,∴ f(-x)=-f(x). ∴ f(x)=-f(-x)=x(1-x3), 即当 x∈(-∞,0]时,f(x)的表达式为 x(1-x3). 三、解答题 17.解:①∵A 是空集, ∴方程 ax2-3x+2=0 无实数根.

   0, ?a≠ ∴?    0, ??=9-8a<

解得 a>

9 . 8

②∵A 中只有一个元素, ∴方程 ax2-3x+2=0 只有一个实数根. 当 a=0 时,方程化为-3x+2=0,只有一个实数根 x= 当 a≠0 时,令Δ =9-8a=0,得 a= 的实数根,即 A 中只有一个元素. 由以上可知 a=0,或 a=

2 ; 3

9 ,这时一元二次方程 ax2-3x+2=0 有两个相等 8

9 时,A 中只有一个元素. 8

③若 A 中至多只有一个元素,则包括两种情形:A 中有且仅有一个元素;A 是空集.由

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①②的结果可得 a=0,或 a≥

9 . 8

18.解:根据集合中元素的互异性,有

?a ? 2a ?a ? b2 或 ? ? 2 ?b ? b ?b ? 2a
a=0 解得 b=1 或 b=0 a=0 或 b= a=

1 4 1 2
a= 或 b=

再根据集合中元素的互异性,得

a=0 b=1

1 4 1 2

19.证明:设 x1,x2∈R 且 x1<x2,则
3 3 2 2 f(x1)-f(x2)= x1 - x2 =(x1-x2)( x1 +x1x2+ x2 ).

2 2 又 x1 +x1x2+ x2 =(x1+

1 3 2 x2)2+ x2 . 2 4 1 x2 与 x2 不会同时为 0, 2

由 x1<x2 得 x1-x2<0,且 x1+ 否则 x1=x2=0 与 x1<x2 矛盾, 所以
2 2 x1 +x1x2+ x2 >0.

因此 f(x1)- f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), f(x)=x3 在 R上是增函数. 20.解:(1)∵ 函数定义域为{x | x∈R,且 x≠0}, f(-x)=3(-x)4+ (2)由

1 1 1 =3x4+ 2 =f(x),∴f(x)=3x4+ 2 是偶函数. 2 x x (-x)

1+x ?(1+x)(1-x)≥0 ≥0 ? ? 解得-1≤x<1. 1-x ?1-x ? 0
1+x 为非奇非偶 1-x

∴ 函数定义域为 x∈[-1,1),不关于原点对称,∴f(x)=(x-1)

1+ 1 -x 定义域为 x=1, ∴ 函数为 f(x)=0(x=1),定义域不关于 函数.(3)f(x)= x- 1+ 1 -x 为非奇非偶函数. 原点对称,∴f(x)= x- 1 + 1-x 2 定义域为 (4)f(x)= x 2-
x 2-1≥ 0 1-x 2 ≥ 0

? x∈{±1},

1 + 1-x 2 既是奇函数又是偶函数. ∴函数变形为 f(x)=0 (x=±1),∴f(x)= x 2-



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