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3.8带电粒子在复合场中运动的轨迹欣赏


带电粒子在复合场中运动的轨迹欣赏

例1.如图所示,两个共轴的圆筒形金属电极, 外电极接地,其上均匀分布着平行于轴线的四条 狭缝a、b、c和d,外筒的外半径为r,在圆筒之 外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场, 磁感强度的大小为B。在两极间加上电压,使两 圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场。

一质量为m、带电量为+q的粒子,从紧

靠内筒且 正对狭缝a的S点出发,初速为零。如果该粒子经 过一段时间的运动之后恰好又回到出发点S,则两 电极之间的电压U应是多少?(不计重力,整个装 置在真空中)

审题:带电粒子从S点出发,在两筒之间的电场作 用下加速,沿径向穿过狭缝a而进入磁场区,在洛伦 兹力作用下做匀速圆周运动。粒子再回到S点的条 件是能沿径向穿过狭缝d.只要穿过了d,粒子就会 在电场力作用下先减速,再反向加速,经d重新进入 磁场区,然后粒子以同样方式经过C.b,再回到S 点。

解析:如图所示,设粒子进入磁场区的速度大小为 V,根据动能定理,有
1 qU ? mv 2 2

设粒子做匀速圆周运动的半径为R,由洛伦兹力公
v2 式和牛顿第二定律,有:Bqv ? m R
a s d o b

由上面分析可知,要回到S点, 粒子从a到d必经过3/4圆周,所以

半径R必定等于筒的外半径r,即
2 2 R=r.由以上各式解得: B qr U? 2m

c

感受美:该粒子运动的轨迹构成了一朵“四只花瓣

”的鲜艳的油菜花 (图3)。

图3

拓展1:该圆筒上平行于轴线均匀分布的若是“六 条 狭缝”,当电压
U? qB2 r 2 6m

时,粒子

经过一段运动后也能回到原

出发点。
感受美:该运动轨迹构成了 “六 只花瓣”的怒放的梅花(图4)。
图4

拓展2:该圆筒上平行于轴线均匀分布的若是“n条 qB r ? ?? 狭缝”,当电压时 U ? 2m ? ?? tan n ?? ,粒子经过一段运动后 也能回到原出发点,并且粒 ? R ? r ? tan 子做匀速圆周运动的半径 n 感受美:粒子的运动轨迹构成了 一朵“n只花瓣”盛开的鲜花。 图5 拓展3:若圆筒上只在a处有平行于轴线的狭缝,并且 粒子与圆筒外壁发生了n次无能量损失和电量损失的碰 qB r ? ? ? U? ? ? tan ? 撞后恰能回到原出发点,则加速电压, 并且 2m ? n ?1? ? R ? r ? tan n ?1 粒子运动的半径 感受美:该运动轨迹也构成了一朵“n只花瓣” 盛 开的鲜花(图5为五次碰撞的情形)。
2 2 2



2 2

2



2.一座“拱桥” 例2.如图所示,在x轴上方有垂直于xy 平面的匀强磁场,磁感应强度为B,在x轴下 方有沿y轴负方向的匀强电场,场强为E,一 质量为m,电量为—q的粒子从坐标原点O沿 着y轴正方向射出,射出之后,第三次到达x y 轴时,它与O点的距离为L, 求此时粒子射出时的速度 o x 和运动的总路程(重力不记)

解析:画出粒子运动轨迹如图所示,形成“拱桥”图 形。
L R? 由题知粒子轨道半径 4

BqR v? m 所以由牛顿定律知粒子运动速率为
1 qEy ? mv 2 2 程y由动能定理知: 2 qBL y? 32mE 得

对粒子进入电场后沿y轴负方向做减速运动的最大路 y

所以粒子运动的总路程为
qB 2 L2 1 S? ? ?L 16mE 2

y

x

例3、据有关资料介绍,受控热核聚变反应装置中有极高 的温度,因而带电粒子将没有通常意义上的容器可装, 而是由磁场约束带电粒子运动将其束缚在某个区域内,

现按下面的简化条件来讨论这个问题,如图所示,有一
个环形区域,其截面内半径为 已知磁感应强度B=1.0 T,被束
q 缚粒子的荷质比为 m
R1 ?

R2=1.0m,区域内有垂直纸面向里的匀强磁场,

3 m 3

,外半径为

(1)若中空区域中的带电粒子沿环的半径方向射入磁场, 求带电粒子不能穿越磁场外边界的最大速度v0. (2)若中空区域中的带电粒子以(1)中的最大速度v0沿圆 环半径方向射入磁场,求带电粒子从进入磁场开始到第一 次回到该点所需要的时间t。

图15

解析:
设粒子在磁场中做圆周运动的最大半径为r,则 r ? mv0 轨迹如图,由几何关系得 R12 ? r 2 ? R2 ? r, r ? 则
v0 ? qBr 4 ? ?107 m s m 3



R ?R 2R2
2 2

2 1

Bq

故带电粒子进入磁场绕圆O?转过3600 -(1800一600) =2400又回到中空部分.粒子的运动轨迹如图所示,故粒子从 P点进入磁场到第一次回到P点时,粒子在磁场中运动时间为 2 4? m
t1 ? 3 ?
t2 ?

3 ? ? arctan ? 30? , ?pop, ? 60? 3

图15

粒子在中空部分运动时间为
粒子运动的总时间为
t ? t1 ? t2 ?

3

T ?

Bq

6 R1 v0

4? m 6 R1 ? Bq v0

例6、如图所示,真空中分布着有界的匀强电场和两个均 垂直于纸面,但方向相反的匀强磁场,电场的宽度为L, 电场强度为E,磁场的磁感应强度都为B,且右边磁场范 围足够大.一带正电粒子质量为m,电荷量为q,从A点 由静止释放经电场加速后进入磁场,穿过中间磁场进入右 边磁场后能按某一路径再返回A点而重复上述过程,不计 粒子重力,求: (1)粒子进入磁场的速率v; (2)中间磁场的宽度d (3)求粒子从A点出发到第 一次回到A点所经历的时间t。

L O3 E O

d B1 B2

O2

O1

解(1)由动能定理,有: 得粒子进入磁场的速度为 (2)粒子进入磁场后做匀速圆周运动,半径都是R,

且:
E

L O3

d B1 B2

由几何关系可知: 则:中间磁场宽度 (3)在电场中 在中间磁场中运动时间
。 在右侧磁场中运动时间

O

O2

O1

则粒子第一次回到O点的所用时间为

例7.如图所示,两个同心圆是磁场的理想边界,内圆半径为 R,外圆半径为
3R,磁场方向垂直于纸面向里,内外圆之间

环形区域磁感应强度为B,内圆的磁感应强度为B/3。t=0时一 个质量为m,带-q电量的离子(不计重力),从内圆上的A点

沿半径方向飞进环形磁场,刚好没有飞出磁场。
(1)求离子速度大小 (2)离子自A点射出后在两个磁场 间不断地飞进飞出,从t=0开始经过 多长时间第一次回到A点? (3)从t=0开始到离子第二次回到A点,离子在内圆磁场中运 动的时间共为多少?

O2

r2 r1

O
2

r2
r1

8、一串“葡萄” 例5 如图(甲)所示,两块水平放置的平行金属板, 板长L=1.4m,板距d=30cm。两板间有B=1.25T,垂 直于纸面向里的匀强磁场。在两板上加如图(乙) 所示的脉冲电压。在t=0时,质量m=2×10-15kg, 电量为q=1×10-10C的正离子,以速度为 4×103m/s从两板中间水平射入。试求:粒子在板 间做什么运动?画出其轨迹。

解析 在第一个10-4s内,电场,磁场同时存在,离子 受电场力,洛仑兹力分别为F电=qE=
qU ?5 d

×10-

7N,方向由左手定则知向上,粒子做匀速直线运动。

位移s=vt=0.4m. 第二个10-4s内,只有磁场,离子 m v0 d -2 做匀速圆周运动,r= Bq =6.4×10 m ? 4 ,不会碰板,时间T= 2?m =1×10-4s,即正巧在 无电场时离子转满一周。易知以后重复上述运动, 故轨迹如图所示,形成 “葡萄串”图形
B1 q

4、一朵葵花
例4.据有关资料介绍,受控热核聚变反应装置中

有级高的温度,因而带电粒子将没有通常意义上的
容器可装,托卡马克装置是一种利用磁约束来实现 受控核聚变的环形容器,由磁场将高温、高密等离

子体约束在有限的范围内,现按下面的简化条件来
讨论这个问题,如图所示,有一个环形区域,其截

面内半径为R1=a,外半径为
R2=(2√2-1)a,环形区域内有垂 直纸面向外的匀强磁场,磁 感应强度为B。

被磁场围住的中心区域为反应区,反应区内质量 为m,电量为q的带电粒子,若带电粒子由反应区

沿各个不同射入磁场区域,不计带电粒子重力和
运动过程中的相互作用,则; 1、要求所有带电粒子均不能穿过磁场外界,允许 带电粒子速度的最大值?m多大? 2、若一带电粒子以上述最大速度从边界上某点沿

圆环半径方向垂直射入磁场,
求带电粒子从进入磁场开始 到第一次回到出发点所用的 时间t.

解:(1)由圆周切线方向进入磁场的粒子最易穿越磁场,
临界时有
( R2 ? R1 ) rm ? 如图,由 2

Bq ( R2 ? R1 ) 2m r tan ? ? ? 2 ?1 (2) R1

2 mvm Bqvm ? rm



vm ?

则 tan 2? ? 1



2? ? 45?

每次进入磁场转过圆心角为225° 运动时间为
t1 ? 225 2? m 5? m ? ? 360 Bq 4 Bq

在反应区内运动一次

t2 ?

2 R1 4mR1 ? vm Bq( R2 ? R1 )

?

r

总时间为 t ? 8t1 ? 8t2 ? 10? m ? 16( 2 ? 1)m
Bq Bq

5、一枚铜钱 例5、如图所示为圆形区域的匀强磁场,磁感应强度为B、方向 垂直纸面向里,边界跟y轴相切于坐标原点O。O点处有一放射 源,沿纸面向各个方向射出速率均为v的某种带电 Y 粒子,带电粒子在磁场中做圆周运动的半经是圆 形磁场区域半径的两倍。已知该带电粒子的质量为O m、电荷量为q,不考虑带电粒子的重力。 1、推导带电粒子在磁场空间作圆周运动的轨道半径; 2、求带电粒子通过磁场空间的最大偏角; 3、沿磁场边界放置绝缘弹性挡板,使粒子与挡板碰撞后以原 速率弹回,且其电荷量保持不变。若从O点沿x轴正方向射入 磁场的粒子速度的已减小为v/2,求该粒子第一次回到O点经 历的时间。

X

解:(1)带电粒子在磁场后,受洛仑磁力作
用,由牛顿第二定律得; 角为Φ 则
x sin ? 2 2r
v2 Bqv ? m r

(2)设粒子飞出和进入磁场的速度方向夹
?

mv r? Bq

x是粒子在磁场中轨

迹的两端点的直线距离,x最大值为2R 。
对应的就是Φ 的最大值。且2R=r所以
o

sin

?max
2

?

R 1 ? , ? max ? 60? r 2

Y

?
O

?

X

(3)当粒子速度减小为

圆周运动的半径为

mv r1 ? ?R 2qB

v 2

时,粒子在磁场中作

故粒子转过四分之一圆周,对应圆心角为90? 时与

边界相撞回,由对称性知,粒子经过四个这样的
过程第一次回到O点,亦即经历时间为一个周期 2? m 粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期 y T ? Bq 所以从O点沿x轴正方向射出的 粒子第一次回到O点经历的时间 是 t ? 2? m Bq 其轨迹为一枚铜钱
o x

9、一幅窗帘或一块磁砖 例2、图6所示:由光滑绝缘壁围成的正方形(边长 为a)匀强磁场区域的磁感强度为B,质量为m、电 量为q的正粒子垂直于磁场方向和边界从下边界正中 央的A孔射入该磁场中,粒子碰撞时无能量和电量

损失,不计粒子重力和碰撞时间,粒子运动半径小
于a,要使粒子仍能从A孔射出,求粒子的入射速度

和粒子在磁场中的运动时间?

图6

解析: 设粒子运动半径为R,,则 2?m T ? 运动周期 qB
⑴ 图7所示情形 则 求得粒子的入射速度


v2 qvB ? m R

粒子能从A孔射出,则粒子的运动轨迹有两种典型:
L ? 4nr
v? qBL 4 nm

n ? 1,2,3??

n ? 1,2,3??

磁场中的运动时间


t ? 2nT ?

2b 4n?? ? 2?m ? qB v/

n ? 1,2,3??

感受美:其粒子运动的轨迹给成了一幅美丽的窗帘。

图7

⑵ 图8所示情形 则 L ? 2?2n ? 1?R 求得粒子的入射速度 磁场中的运动时间
qBL v? 2?2n ? 1?m

n ? 1,2,3??

n ? 1,2,3??
n ? 1,2,3??

2?4n ? 1??m t ? ?4n ? 1?T ? qB

感受美:该粒子运动的轨迹 绘成了一块漂亮的磁砖。
图8

10、一颗“心脏” 例2如图所示,以ab为分界面的两个匀强磁场,方 向均垂直于纸面向里,其磁感应强度B1=2B2,现有 一质量为m,带电量为+q的粒子,从O点沿图示方 向以速度v进入B1中,经过时间t=____粒子重新 回到O点(重力不计) 解析 粒子重新回到O点时其运动轨道如图所示, + 形成一”心脏”图形.由图可知,粒子在B1中运 2? m 1 ?m t ?T ? t ? T ? 动时间 粒子在B1中的运动时间为 Bq 2 Bq
1 1 1

2

2

2

所以粒子运动的总时间
t ? t1 ? t2 ? 2? m ? m 2? m ? ? B1q B2 q B2 q

例7 如图12(a)所示,在xOy平面上-H<y< H的范围内有一片稀疏的电子,从x轴的负半轴的远 处以相同的速率v0沿x轴正向平行地向y轴射来.试 设计一个磁场区域,使得 (1)所有电子都能在磁场力作用下通过原点O; (2)这一片电子最后扩展到-2H<y<2H范围 内,继续沿x轴正向平行地以相同的速率v0向远处 射出.已知电子的电量为e、质量为m,不考虑电子 间的相互作用.

11、一只漂亮的蝴蝶 如图,在xoy平面上-H<y<H的范围内有一片稀疏的电子.从x轴的 负半轴的远处以相同的速率V沿x轴正向平行地向y轴射来.试设计 一个磁场区域,使得:(1)所有电子都能在磁场力作用下通过原点 O;(2)这一片电子最后扩展到-2H<y<2H范围内,继续沿x轴正向平 行地以相同的速率V0向远处射出.已知电子(e、m). [解析] 根据题意,电子在O点先会聚再发散 第Ⅰ象限: 磁场方向: 垂直纸面向里 沿y轴正向射入的电子运动轨迹1为磁场上边界 x2+(y-R)2=R2 磁场下边界2应满足: 实线1、2的交集为第1象限内的磁场区域: 由B1qv=mv2/2H得磁场大小: B1=mv/2eH 第Ⅲ象限: 可以看成是第1象限的逆过程 [欣赏]磁场 磁场方向: 垂直纸面向外 区域像一 磁场大小: B3=mv/eH 只漂亮蝴 由对称得: 第Ⅱ象限 第Ⅴ象限 磁场方向:垂直纸面向里 垂直纸面向外 蝶,赏心 磁场大小: B2=mv/eH B4=mv/2eH 悦目!

12、一个古朴的窗口 例10、如图所示,与纸面垂直的竖直面 MN的左侧空 间中存在竖直向上场强大小为 E=2.5×102N/C 的匀强 电场(上、下及左侧无界)。一个质量为 m=0.5kg、 电量为q=2.0×10—2C的可视为质点的带正电小球,在 t=0 时刻以大小为 v0 的水平初速度向右通过电场中的 一点 P ,当 t=t1 时刻在电场所在空间中加上一如图所 示随时间周期性变化的磁场,使得小球能竖直向下通 过D点,D为电场中小球初速度方向上的一点,PD间 距为L,D到竖直面MN的距离DQ为L/π。设磁感应 2) 强度垂直纸面向里为正。( g=10m/s E M B v0 P B0 D
B0

Q

0

t1 t1+t0 t1+2t0 t1+3t0

t

N

(1)如果磁感应强度B0为已知量,试推出满足条
件时t1的表达式(用题中所给物理量的符号表示) (2)若小球能始终在电场所在空间做周期性运动。 则当小球运动的周期最大时,求出磁感应强度B0及

运动的最大周期T的大小

解:当小球进入电场时:mg=Eq将做匀速直线运 动(1)在t1时刻加入磁场,小球在时间t0内将做 匀速圆周运动,圆周运动周期为T0若竖直向下通 过D点,由图分析可知必有以下两个条件: t0=3T0/4 PF-PD=R 即: v0t1-L=R 2 m v0 mv0 R? , E 又 qv0 B0 ? R B0 q mv0 v0 v 0 t1 ? L ? , 所以 B0q P B0 L m 得 t1 ? ? , v0 B0 q M

D F

Q N

(2)小球运动的速率始终不变,当R变大时,在磁场 中运动的周期 T0 增加,小球在电场中的运动的周期 T 也增加,
在小球不飞出电场的情况下, 当T最大时有: DQ=2R L ? 2m v0 ,

M

? B0 q 2?mv0 ? B0 ? ,T ? 2?R ? 2?m ? L , 0 qL v0 qB0 v0

N

由图分析可知:小球在有磁场时做3/4周期(即t0时 间)的圆周运动共4次,在没有磁场时做4个t0时间 匀速直线运动,所以

3 6L T ? 8t 0 ? 8 ? T0 ? , 4 v0


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