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【一本 高考】2016届高三(新课标版)数学(理)二轮专题复习(讲解+练习):专题五 导数及其应用


1 (2015· 陕西,15,易)设曲线 y=ex 在点(0,1)处的切线与曲线 y= x(x>0)上点 P 处的切线垂直,则 P 的坐标为________. 【解析】 设 P(x0,y0)(x0>0),

由 y=ex,得 y′=ex, ∴y′|x=0=1. 1 1 由 y=x ,得 y′=-x2,

1 ∴-x2=-1,<

br />0

∴x0=1 或 x0=-1(舍去), 1 ∴y0=1=1, ∴点 P 的坐标为(1,1). 【答案】 (1,1)

1.(2011· 江西,4,易)若 f(x)=x2-2x-4ln x,则 f′(x)>0 的解集为( A.(0,+∞) B.(-1,0)∪(2,+∞)

)

C.(2,+∞) D.(-1,0) 【答案】 C f(x)的定义域为(0,+∞),

4 又由 f ′(x)=2x-2- x = 2(x-2)(x+1) >0, x

解得-1<x<0 或 x>2, 所以 f′(x)>0 的解集为(2,+∞). 2.(2011· 大纲全国,8,中)曲线 y=e-2x+1 在点(0,2)处的切线与直线 y=0 和 y=x 围成的三角形的 面积为( 1 A.3 ) 1 2 B.2 C.3 D.1 A ∵y′=-2e-2x,∴曲线在点(0,2)处的切线斜率 k=-2,∴切线方程为 y=-2x+2,

【答案】

该直线与直线 y=0 和 y=x 围成的三角形如图所示,

1 2 1 ?2 2? 其中直线 y=-2x+2 与 y=x 的交点 A?3,3?,所以三角形面积 S=2?1?3=3,故选 A. ? ? 3.(2012· 广东,12,易)曲线 y=x3-x+3 在点(1,3)处的切线方程为________. 【解析】 ∵y′=3x2-1,∴y 在点(1,3)处的切线斜率 k=2,由点斜式方程,得切线方程为 y-3= 2(x-1),即 2x-y+1=0.

【答案】

2x-y+1=0

4.(2014· 广东,10,易)曲线 y=e-5x+2 在点(0,3)处的切线方程为________. 【解析】 【答案】 ∵y′=-5e-5x,∴k=y′|x=0=-5,故所求切线方程为 y-3=-5x,即 5x+y-3=0. 5x+y-3=0

b 5.(2014· 江苏,11,中)在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 y=ax2+x (a,b 为常数)过点 P(2,-5), 且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x+2y+3=0 平行,则 a+b 的值是________. 【解析】 b b 因为曲线 y=ax2+ x过点 P(2,-5),所以 4a+2=-5.①

b b 7 又 y′=2ax-x2,且曲线在点 P(2,-5)处的切线与直线 7x+2y+3=0 平行,所以 4a-4=-2.② ?a=-1, 由①②解得? 所以 a+b=-3. ?b=-2. 【答案】 -3

ln x 6.(2013· 北京,18,13 分,中)设 L 为曲线 C:y= x 在点(1,0)处的切线. (1)求 L 的方程; (2)证明:除切点(1,0)之外,曲线 C 在直线 L 的下方. 1-ln x ln x 解:(1)设 f(x)= x ,则 f ′(x)= x2 . 所以切线的斜率 k=f ′(1)=1,所以 L 的方程为 y=x-1. (2)证明:令 g(x)=x-1-f(x),则除切点之外,曲线 C 在直线 L 的下方等价于 g(x)>0(?x>0,x≠1). x2-1+ln x g(x)满足 g(1)=0,且 g′(x)=1-f′(x)= . x2 当 0<x<1 时,x2-1<0,ln x<0, 所以 g′(x)<0,故 g(x)单调递减; 当 x>1 时,x2-1>0,ln x>0, 所以 g′(x)>0,故 g(x)单调递增. 所以,g(x)>g(1)=0(?x>0,x≠1). 所以除切点之外,曲线 C 在直线 L 的下方.

考向 1 1.基本初等函数的导数公式

导数的运算

原函数 f(x)=C(C 为常数) f(x)=xα (α∈Q*) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ax f(x)=ex f(x)=logax f(x)=ln x 2.运算法则 (1)导数的运算法则 ①[f(x)± g(x)]′=f′(x)± g′(x); ②[f(x)· g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); f′(x)g(x)-f(x)g′(x) ? f(x) ? ?′= ③? (g(x)≠0). g ( x ) [g(x)]2 ? ? (2)复合函数的求导法则 y=f(u(x))的导数为 y′x=y′u?u′x.

导函数 f′(x)=0 f′(x)=αxα -1 f′(x)=cos x f′(x)=-sin x f′(x)=axln a(a>0) f′(x)=ex 1 f′(x)=xln a(a>0,且 a≠1) 1 f′(x)= x

(1)分析清楚复合函数的复合关系, 确定出内函数与外函数, 适当选定中间变量, 由外向内逐层求导, 做到不重不漏. (2)特别要注意的是中间变量的系数,避免出现(cos 2x)′=-sin 2x 的错误. (1)(2014· 大纲全国,7)曲线 y=xex-1 在点(1,1)处切线的斜率等于( A.2e B.e C.2 D.1 (2)(2015· 浙江温州高三月考, 5)已知函数 f(x)的导函数 f′(x), 且满足 f(x)=2xf′(1)+ln x, 则 f′(1)=( A.-e B.-1 C.1 D.e (3)(2013· 江西,13)设函数 f(x)在(0,+∞)内可导,且 f(ex)=x+ex,则 f′(1)=________. 【解析】 (1)∵y′=x′·ex-1+x· (ex-1)′=(1+x)ex-1, ∴曲线在点(1,1)处的切线斜率为 y′|x=1=2.故选 C. ) )

(2)∵f(x)=2xf′(1)+ln x, 1 ∴f′(x)=[2xf′(1)]′+(ln x)′=2f′(1)+ x, ∴f′(1)=2f′(1)+1,即 f′(1)=-1. 1 (3)令 t=ex,故 x=ln t,∴f(t)=ln t+t ,即 f(x)=ln x+x,∴f′(x)= x+1,∴f′(1)=2. 【答案】 (1)C (2)B (3)2

【点拨】 解题(2)时注意弄清 f′(1)为常数而非变量;解题(3)时先换元求解析式,然后再求导. 导数运算的原则和方法 (1)原则:先化简解析式,再求导. (2)方法: ①连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导; ②分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导; ③对数形式:先化为和、差的形式,再求导; ④根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导; ⑤三角形式:先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导; ⑥复合函数:由外向内,层层求导.

要牢记导数公式和导数的四则运算法则,切忌记混公式法则. (2015· 江西九江月考,15)给出定义:若函数 f(x)在 D 上可导,即 f′(x)存在,且导数 f′(x)在 D 上也可导,则称 f(x)在 D 上存在二阶导数,记为 f″(x)=[f′(x)]′,若 f″(x)<0 在 D 上恒成立,则称 f(x)在 D π? ? 上为凸函数.以下四个函数在?0, ?上是凸函数的是________(把你认为正确的序号都填上). 2? ? ①f(x)=sin x+cos x;②f(x)=ln x-2x; ③f(x)=-x3+2x-1;④f(x)=xex. 【解析】 由①知,f′(x)=cos x-sin x,

则 f″(x)=-sin x-cos x π? 1 1 ? π? ? =- 2sin?x+ ?<0 在区间?0, ?上恒成立;由②知,f′(x)=x -2(x>0),则 f″(x)=-x2<0 在区间 4? 2? ? ? π? π? ? ? ?0, ?上恒成立;由③知,f′(x)= -3x2+2,则 f″(x)=-6x<0 在区间?0, ?上恒成立.故①②③中的 2 2? ? ? ? π? ? 函数为凸函数.由④知,f′(x)=ex+xex,f″(x)=2ex+xex=ex(x+2)>0 在区间?0, ?上恒成立,故④中 2? ?

的函数不是凸函数. 【答案】 ①②③ 考向 2 导数的几何意义及其应用 导数的几何意义 函数 f(x)在 x=x0 处的导数 f ′(x0)的几何意义是在曲线 y=f(x)上点 P(x0,f(x0))处的切线的斜率(瞬时速 度就是位移函数 s(t)对时间 t 的导数).相应地,切线方程为 y-f(x0)=f ′(x0)· (x-x0).

“过某点”与“在某点”的区别: 曲线 y=f(x)“在点 P(x0, y0)处的切线”与“过点 P(x0, y0)的切线” 的区别:前者 P(x0,y0)为切点,而后者 P(x0,y0)不一定为切点. (1)(2014· 课标Ⅱ, 8)设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0, 0)处的切线方程为 y=2x, 则 a=( A.0 B.1 C.2 D.3 )

(2)(2015· 山东威海质检,7)已知函数 f(x)=xln x,若直线 l 过点(0,-1),并且与曲线 y=f(x)相切, 则直线 l 的方程为( A.x+y-1=0 C.x+y+1=0 ) B.x-y-1=0 D.x-y+1=0


(3)(2014· 江西, 13)若曲线 y=e x 上点 P 处的切线平行于直线 2x+y+1=0, 则点 P 的坐标是________. (4)(2015· 河南郑州模拟,12)已知点 P 在曲线 y= 的取值范围是________. 【解析】 (1)y′=a- 1 ,由题意得 y′|x=0=2,即 a-1=2,∴a=3. x+1 4 上,α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 α e +1
x

(2)∵点(0,-1)不在曲线 f(x)=xln x 上, ∴设切点为(x0,y0). ?y0=x0ln x0, 又∵f′(x)=1+ln x,∴? ?y0+1=(1+ln x0)x0, 解得 x0=1,y0=0. ∴切点为(1,0),∴f′(1)=1+ln 1=1. ∴直线 l 的方程为 y=x-1,即 x-y-1=0.故选 B. (3)设 P(x0,y0),∵y=e-x,∴y′=-e-x, ∴点 P 处的切线斜率为 k=-e-x0=-2,

∴-x0=ln 2,∴x0=-ln 2, ∴y0=eln 2=2,∴点 P 的坐标为(-ln 2,2). 4 , e +1 -4ex -4ex ∴y′= x = = (e +1)2 e2x+2ex+1 (4)∵y=
x

-4 . 1 x e +ex+2

1 ∵ex>0,∴ex+ex≥2, ∴y′∈[-1,0),∴tan α∈[-1,0). ?3π ? 又 α∈[0,π),∴α∈? ,π?. ? 4 ? 【答案】 (1)D (2)B ?3π ? ? (3)(-ln 2,2) (4)? , π ? 4 ?

【点拨】 解题(1)时注意弄清点(0, 0)在曲线上; 解题(2)时注意弄清过曲线“在某点”和“过某点” 的曲线的切线的区别; 解题(3)的关键是弄清曲线在点 P 处的导数与直线斜率之间的关系; 解题(4)时注意 π? ?π ? ? 正切函数在?0, ?∪? ,π?的图象与其正切值之间的对应关系. 2 2 ? ? ? ? 与导数几何意义有关问题的常见类型及解题 策略 (1)已知切点求切线方程.解决此类问题的步骤为: ①求出函数 y=f(x)在点 x=x0 处的导数,即曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处切线的斜率; ②由点斜式求得切线方程为 y-y0=f′(x0)· (x-x0). (2)已知斜率求切点:已知斜率 k,求切点(x1,f(x1)),即解方程 f′(x1)=k. (3)求切线倾斜角的取值范围:先求导数的取值范围,即确定切线斜率的取值范围,然后利用正切函 数的单调性解决. (2015· 河北石家庄一模,14)已知点 P 为曲线 C:y=x2+2x+3 上的点,且曲线 C 在点 P π? ? 处切线倾斜角的取值范围为?0, ?,则点 P 横坐标的取值范围是________. 4? ? 【解析】 设 P(x0,y0),P 点处切线倾斜角为 α,则 0≤tan α≤1, 由 f(x)=x2+2x+3,得 f′(x)=2x+2, 1 令 0≤2x0+2≤1,得-1≤x0≤-2. 【答案】 1? ? ?-1,-2? ? ?

1.(2015· 江西赣州高三期末,5)已知 t 为实数,f(x)=(x2-4)· (x-t)且 f′(-1)=0,则 t 等于( 1 A.0 B.-1 C.2 【答案】 1 =2. C D.2

)

依题意得,f′(x)=2x(x-t)+(x2-4)=3x2-2tx-4,∴f′(-1)=3+2t-4=0,即 t

2.(2014· 河南平顶山模拟,8)点 P 是曲线 x2-y-ln x=0 上的任意一点,则点 P 到直线 y=x-2 的 最小距离为( ) 5 C. 2 D. 2

3 A.1 B. 2

1 1 【答案】 D 将 x2-y-ln x=0 变形为 y=x2-ln x(x>0),则 y′=2x- x.令 y′=1,则 x=1 或 x=-2 (舍),可知函数 y=x2-ln x 的斜率为 1 的切线的切点横坐标为 x=1,纵坐标为 y=1.故切线方程为 x-y =0.则点 P 到直线 y=x-2 的最小距离即切线方程 x-y=0 与 y=x-2 的两平行线间的距离, d= 2. 方法点拨:解答本题的关键是将点到直线的最小距离转化为两平行线间的距离. 3.(2015· 云南昆明一中调研,9)若曲线 f(x)=acos x 与曲线 g(x)=x2+bx+1 在交点(0,m)处有公 切 线,则 a+b=( ) D. 2

|0+2|
2



A.-1 B.0 C.1 【答案】 C

依题意得,f′(x)=-asin x,g′(x)=2x+b,于是有 f′(0)=g′(0),即-asin 0=2?0

+b,故 b=0,又有 m=f(0)=g(0),则 m=a=1,因此 a+b=1,选 C. 4.(2015· 山西大同质检,7)已知 a 为常数,若曲线 y=ax2+3x-ln x 存在与直线 x+y-1=0 垂直的 切线,则实数 a 的取值范围是( ? 1 ? A.?-2,+∞? ? ? )

1? ? B.?-∞,-2? ? ?

C.[-1,+∞) D.(-∞,-1] 【答案】 1 A 由题意知曲线上存在某点的导数为 1,所以 y′=2ax+3-x=1 有正根,即 2ax2+2x

1 1 -1=0 有正根.当 a≥0 时,显然满足题意;当 a<0 时,需满足 Δ≥0,解得-2≤a<0.综上,a≥-2. 5.(2015· 山东济宁二模,6)若曲线 y=x2+aln x(a>0)上任意一点处的切线斜率为 k,若 k 的最小值为 4,则此时该切点的坐标为( A.(1,1) B.(2,3) )

C.(3,1) D.(1,4) a 【答案】 A y=x2+aln x 的定义域为(0,+∞),由导数的几何意义知 y′=2x+ x≥2 2a=4,即 a =2,当且仅当 x=1 时等号成立,代入曲线方程得 y=1,故所求的切点坐标是(1,1). 6.(2015· 河南新乡质检,12)过点 A(2,1)作曲线 f(x)=x3-3x 的切线最多有( A.3 条 B.2 条 【答案】 C.1 条 D.0 条
[来源:学科网 ZXXK]

)

2 A 由题意得,f′(x)=3x2-3,设切点为(x0,x3 0-3x0),那么切线的斜率为 k=3x0-3,

2 利用点斜式方程可知切线方程为 y-(x3 将点 A(2, 1)代入可得关于 x0 的一元三次 0-3x0)=(3x0-3)(x-x0), 3 3 2 方程 2x0 -6x2 则 y′=6x2 y=5>0; 0+5=0.令 y=2x0-6x0+5, 0-12x0.由 y′=0 得 x0=0 或 x0=2.当 x0=0 时, 2 3 x0=2 时,y=-3<0.所以方程 2x3 0-6x0+5=0 有 3 个解.故过点 A(2,1)作曲线 f(x)=x -3x 的切线最多

有 3 条,故选 A. 方法点拨:曲线 y=f(x)过点(x0,y0)(点不在曲线 y=f(x)上)的切线方程的求解步骤: (1)设出切点坐标 P′(x1,f(x1)); (2)写出过 P′(x1,f(x1))的切线方程为 y-f(x1)=f′(x1)· (x-x1); (3)将点 P 的坐标(x0,y0)代入切线方程,求出 x1; (4)将 x1 的值代入方程 y-f(x1)=f′(x1)(x-x1)可得过点 P(x0,y0)的切线方程. 7.(2015· 广东惠州质检,11)曲线 y=-5ex+3 在点(0,-2)处的切线方程为________. 【解析】 由 y=-5ex+3 得,y′=-5ex,所以切线的斜率 k=y′|x=0=-5,所以切线方程为 y+2

=-5(x-0),即 5x+y+2=0. 【答案】 5x+y+2=0

8.(2014· 湖北武汉三模,14)已知曲线 f(x)=xn+1(n∈N*)与直线 x=1 交于点 P,设曲线 y=f(x)在点 P 处的切线与 x 轴交点的横坐标为 xn,则 log2 015x1+log2 015x2+?+log2 015x2 014 的值为________. 【解析】 f′(x)=(n+1)xn,k=f′(1)=n+1,点 P(1,1)处的切线方程为 y-1=(n+1)(x-1),令 y=0, 得 x=1- 1 n n = ,即 xn= , n+1 n+1 n+1 1 2 3 2 013 2 014 1 ∴x1·x2·?·x2 014=2?3?4???2 014?2 015=2 015, 1 则 log2 015x1+log2 015x2+?+log2 015x2 014=log2 015(x1·x2·?·x2 014)=log2 0152 015=-1. 【答案】 -1 9.(2015· 河北唐山一中月考,20,12 分)已知函数 f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12 和直 线 m:y=kx+9,且 f′(-1)=0.

(1)求 a 的值; (2)是否存在 k, 使直线 m 既是曲线 y=f(x)的切线, 又是曲线 y=g(x)的切线?如果存在, 求出 k 的值; 如果不存在,请说明理由. 解:(1)由已知得 f ′(x)=3ax2+6x-6a, ∵f′(-1)=0,∴3a-6-6a=0,∴a=-2.
2 (2)存在.由已知得,直线 m 恒过定点(0,9),若直线 m 是曲线 y=g(x)的切线,则设切点为(x0,3x0 +

6x0+12). ∵g′(x0)=6x0+6, ∴切线方程为 y-(3x2 0+6x0+12)=(6x0+6)(x-x0), 将(0,9)代入切线方程,解得 x0=± 1. 当 x0=-1 时,切线方程为 y=9; 当 x0=1 时,切线方程为 y=12x+9. 由(1)知 f(x)=-2x3+3x2+12x-11, ①由 f′(x)=0 得-6x2+6x+12=0,解得 x=-1 或 x=2. 在 x=-1 处,y=f(x)的切线方程为 y=-18; 在 x=2 处,y=f(x)的切线方程为 y=9, ∴y=f(x)与 y=g(x)的公切线是 y=9. ②由 f ′(x)=12 得-6x2+6x+12=12, 解得 x=0 或 x=1. 在 x=0 处,y=f(x)的切线方程为 y=12x-11; 在 x=1 处,y=f(x)的切线方程为 y=12x-10, ∴y=f(x)与 y=g(x)的公切线不是 y=12x+9. 综上所述,y=f(x)与 y=g(x)的公切线是 y=9,此时 k=0.

1.(2015· 课标Ⅱ,12,难)设函数 f′(x)是奇函数 f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当 x>0 时,xf′(x) -f(x)<0,则使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是( )

A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞) 【答案】 A 设 h(x)= f(x) x .∵f(x)是奇函数,

∴f(-x)=-f(x), ∴h(-x)= f(-x) f(x) = x =h(x). -x

∴h(x)是偶函数. ∵xf′(x)-f(x)<0, xf′(x)-f(x) ?f(x)? ?′= ∴h′(x)=? <0. x2 ? x ? ∴h(x)在(0,+∞)上为减函数,在(-∞,0)上为增函数,且 h(± 1)=0,如图所示,

可知满足 f(x)>0 的 x 的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1 ). 思路点拨:构造函数 h(x)= f(x) ,并判断其奇偶性和单调性,最后数形结合求解不等式. x

2. (2015· 课标Ⅰ, 12, 难)设函数 f(x)=ex(2x-1)-ax+a, 其中 a<1, 若存在唯一的整数 x0 使得 f(x0)<0, 则 a 的取值范围是( ) ? 3 ? ? 3 3? A.?-2e,1? B.?-2e,4? ? ? ? ? ? 3 3? ?3 ? C.?2e,4? D.?2e,1? ? ? ? ? 【答案】 D 设 g(x)=ex(2x-1),y=ax-a,由题意知存在唯一的整数 x0,使得 g(x0)在直线 y=ax 1 1 -a 的下方.因为 g′(x)=ex(2x+1),所以当 x<-2时,g′(x)<0;当 x>-2时,g′(x)>0.所以当 x=- 1 1 2时,[g(x)]min=-2e-2;当 x=0 时,g(0)=-1;当 x=1 时,g(1)=e>0.又直线 y=ax-a 恒过点(1,0) 且斜率为 a,故-a>g(0)=-1,且 g(-1)=-3e-1≥-a-a, 3 解得2e≤a<1,故选 D.

3.(2015· 山东,21,14 分,难)设函数 f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),其中 a∈R. (1)讨论函数 f(x)极值点的个数,并说明理由; (2)若?x>0,f(x)≥0 成立,求 a 的取值范围. 解:(1)由题意知,函数 f(x)的定义域为(-1,+∞),f′(x)= 令 g(x)=2ax2+ax-a+1,x∈(-1,+∞). (i)当 a=0 时,g(x)=1,此时 f′(x)>0,函数 f(x)在(-1,+∞)单调递增,无极值点; (ii)当 a>0 时,Δ=a2-8a(1-a)=a(9a-8). 8 ①当 0<a≤9时,Δ≤0,g(x)≥0, f′(x)≥0,函数 f(x)在(-1,+∞)单调递增,无极值点; 8 ②当 a>9时,Δ>0, 设方程 2ax2+ax-a+1=0 的两根为 x1,x2(x1<x2), 1 因为 x1+x2=-2, 1 1 所以 x1<-4,x2>-4, 1 由 g(-1)=1>0,可得-1<x1<-4. 所以当 x∈(-1,x1)时,g(x)>0,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增; 当 x∈(x1,x2)时,g(x)<0,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减; 当 x∈(x2,+∞)时,g(x)>0,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增. 所以函数有两个极值点. (iii)当 a<0 时,Δ>0, 由 g(-1)=1>0,可得 x1<-1, 当 x∈(-1,x2)时,g(x)>0,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增; 当 x∈(x2,+∞)时,g(x)<0,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减. 所以函数有一个极值点. 综上所述, 当 a<0 时,函数 f(x)有一个极值点; 8 当 0≤a≤9时,函数 f(x)无极值点; 2ax2+ax-a+1 1 +a(2x-1)= , x+1 x+1

8 当 a>9时,函数 f(x)有两个极值点. (2)由(1)知, 8 (ⅰ)当 0≤a≤9时,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增.因为 f(0)=0, 所以 x∈(0,+∞)时,f(x)>0,符合题意; 8 (ⅱ)当9<a≤1 时,由 g(0)≥0,得 x2≤0, 所以函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增,又 f(0)=0,所以 x∈(0,+∞)时,f(x)>0,符合题意; (ⅲ)当 a>1 时,由 g(0)<0,可得 x2>0. 所以 x∈(0,x2)时,函数 f(x)单调递减; 因为 f(0)=0, 所以 x∈(0,x2)时,f(x)<0,不合题意; (ⅳ)当 a<0 时,设 h(x)=x-ln(x+1). 因为 x∈(0,+∞)时,h′(x)=1- 1 x = >0, x+1 x+1

所以 h(x)在(0,+∞)上单调递增. 因此当 x∈(0,+∞)时,h(x)>h(0)=0, 即 ln(x+1)<x. 可得 f(x)<x+a(x2-x)=ax2+(1-a)x. 1 当 x>1-a时,ax2+(1-a)x<0. 此时 f(x)<0,不合题意. 综上所述,a 的取值范围是[0,1]. 4.(2015· 课标Ⅱ,21,12 分,难)设函数 f(x)=emx+x2-mx. (1)证明:f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增; (2)若对于任意 x1,x2∈[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1,求 m 的取值范围. 解:(1)证明:f′(x)=m(emx-1)+2x. 若 m≥0,则当 x∈(-∞,0)时,emx-1≤0,f′(x)<0; 当 x∈(0,+∞)时,emx-1≥0,f′(x)>0. 若 m<0,则当 x∈(-∞,0)时,emx-1>0,f′(x)<0; 当 x∈(0,+∞)时,emx-1<0,f′(x)>0. 所以,f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.

(2)由(1)知, 对任意的 m, f(x)在[-1, 0]单调递减, 在[0, 1]单调递增, 故 f(x)在 x=0 处取得最小值. 所 ?f(1)-f(0)≤e-1, 以对于任意 x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|≤e-1 的充要条件是? ?f(-1)-f(0)≤e-1,
m ?e -m≤e-1, 即? -m ① ?e +m≤e-1.

设函数 g(t)=et-t-e+1, 则 g′(t)=et-1. 当 t<0 时,g′(t)<0; 当 t>0 时,g′(t)>0. 故 g(t)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增. 又 g(1)=0,g(-1)=e-1+2-e<0, 故当 t∈[-1,1]时,g(t)≤0. 当 m∈[-1,1]时,g(m)≤0,g(-m)≤0,即①式成立; 当 m>1 时,由 g(t)的单调性得,g(m)>0,即 em-m>e-1; 当 m<-1 时,g(-m)>0,即 e-m+m>e-1. 综上,m 的取值范围是[-1,1]. 1 5.(2015· 课标Ⅰ,21,12 分,难)已知函数 f(x)=x3+ax+4, g(x)=-ln x. (1)当 a 为何值时,x 轴为曲线 y=f(x)的切线; (2)用 min(m,n)表示 m,n 中的最小值,设函数 h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),讨论 h(x)零点的个数. 1 ? 3 ?x0 +ax0+4=0, 解: (1)f ′(x)=3x +a.设曲线 y=f(x)与 x 轴相切于点(x0, 0), 则 f(x0)=0, f′(x0)=0, 即? 2 ? +a=0. ?3x0
2

1 3 解得 x0=2,a=-4. 3 因此,当 a=-4时,x 轴为曲线 y=f(x)的切线. (2)当 x∈(1,+∞)时,g(x)=-ln x<0,从而 h(x)=min{f(x),g(x)}≤g(x)<0,故 h(x)在(1,+∞)无零 点. 5 5 当 x=1 时, 若 a≥-4, 则 f(1)=a+4≥0, h(1)=min{f(1), g(1)}=g(1)=0, 故 x=1 是 h(x)的零点. 若 5 a<-4,则 f(1)<0,h(1)=min{f(1),g(1)}=f(1)<0,故 x=1 不是 h(x)的零点.

当 x∈(0,1)时,g(x)=-ln x>0.所以只需考虑 f(x)在(0,1)的零点个数. 1 (ⅰ)若 a≤-3 或 a≥0,则 f′(x)=3x2+a 在(0,1)无零点,故 f(x)在(0,1)单调.而 f(0)=4,f(1)=a 5 +4,所以当 a≤-3 时,f(x)在(0,1)有一个零点;当 a≥0 时,f(x)在(0,1)没有零点. a a? a ? ? ? (ⅱ)若-3<a<0, 则 f(x)在?0, - ?单调递减, 在? - ,1?单调递增, 故在(0, 1)中, 当 x= -3 3? 3 ? ? ? a 1 a? 2a ? 时,f(x)取得最小值,最小值为 f ? - ?= 3 -3+4. 3? ? 3 a? ? ①若 f ? - ?>0,即-4<a<0,f(x)在(0,1)无零点; 3 ? ? 3 a? ? ②若 f ? - ?=0,即 a=-4,则 f(x)在(0,1)有唯一零点; 3? ? 3 1 5 5 3 a? ? ③若 f ? - ?<0,即-3<a<-4,由于 f(0)=4,f(1)=a+4,所以当-4<a<-4时,f(x)在(0,1)有 3? ? 5 两个零点;当-3<a≤-4时,f(x)在(0,1)有一个零点. 3 5 3 5 5 综上,当 a>-4或 a<-4时,h(x)有一个零点;当 a=-4或 a=-4时,h(x)有两个零点;当-4<a< 3 -4时,h(x)有三个零点. 6.(2015· 安徽,21,13 分,难)设函数 f(x)=x2-ax+b. ? π π? (1)讨论函数 f(sin x)在?- , ?内的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值; 2? ? 2 ? π π? (2)记 f0(x)=x2-a0x+b0,求函数|f(sin x)-f0(sin x)|在?- , ?上的最大值 D; 2? ? 2 2 a (3)在(2)中,取 a0=b0=0,求 z=b- 4 满足条件 D≤1 时的最大值. 解:(1)f(sin x)=sin2x-asin x+b
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π π =sin x(sin x-a)+b,- 2 <x< 2 . π π [f(sin x)]′=(2sin x-a)cos x,- 2 <x< 2 . π π 因为- 2 <x< 2 ,所以 cos x>0,-2<2sin x<2. ? π π? ①当 a≤-2,b∈R 时,函数 f(sin x)在?- , ?内单调递增,无极值; 2? ? 2 ? π π? ②当 a≥2,b∈R 时,函数 f(sin x)在?- , ?内单调递减,无极值; 2? ? 2 ? π π? ③对于-2<a<2,在?- , ?内存在唯一的 x0,使得 2sin x0=a, 2? ? 2 π 当- 2 <x≤x0 时,函数 f(sin x)单调递减;

π 当 x0≤x< 2 时,函数 f(sin x)单调递增, a2 ?a? 因此,-2<a<2,b∈R 时,函数 f(sin x)在 x0 处有极小值 f(sin x0)=f ?2?=b- 4 . ? ? π π (2)当- 2 ≤x≤ 2 时, |f(sin x)-f0(sin x)| =|(a0-a)sin x+b-b0| ≤|a-a0|+|b-b0|, π 当(a0-a)(b-b0)≥0 时,取 x= 2 ,等号成立; π 当(a0-a)(b-b0)<0 时,取 x=- 2 ,等号成立. ? π π? 由此可知,|f(sin x)-f0(sin x)|在?- , ?上的最大值为 D=|a-a0|+|b-b0|. 2? ? 2 a2 (3)D≤1 即为|a|+|b|≤1,此时 0≤a2≤1,-1≤b≤1,从而 z=b- 4 ≤1. a2 取 a=0,b=1,则|a|+|b|≤1,并且 z=b- 4 =1. a2 由此可知,z=b- 4 满足条件 D≤1 的最大值为 1.

1.(2013· 浙江,8,中)已知 e 为自然对数的底数,设函数 f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1,2),则( A.当 k=1 时,f(x)在 x=1 处取到极小值 B.当 k=1 时,f(x)在 x=1 处取到极大值 C.当 k=2 时,f(x)在 x=1 处取到极小值 D.当 k=2 时,f(x)在 x=1 处取到极大值 【答案】 C

)

当 k=1 时,f(x)=(ex-1)(x-1),f′(x)=xex-1,f′(1)≠0,故 A,B 错;当 k=2 时,

f(x)=(ex-1)(x-1)2,f′(x)=(x2-1)ex-2x+2=(x-1)[(x+1)ex-2],故 f′(x)=0 有一根为 x1=1,另一根 x2∈(0,1).当 x∈(x2,1)时,f′(x)<0,f(x)递减;当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)递增,∴f(x)在 x =1 处取得极小值,故选 C. 2.(2012· 重庆,8,中)设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f′(x),且函数 y=(1-x)· f′(x)的图象 如图所示,则下列结论中一定成立的是( A.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(1) )

C.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(-2) D.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(2) 【答案】 D ①当 x<-2 时,1-x>0.

∵(1-x)f′(x)>0, ∴f′(x)>0,即 f(x)在(-∞,-2)上是增函数. ② 当-2<x<1 时,1-x>0. ∵(1-x)f′(x)<0, ∴f′(x)<0,即 f(x)在(-2,1)上是减函数. ③当 1<x<2 时,1-x<0. ∵(1-x)f′(x)>0,∴f′(x)<0, 即 f(x)在(1,2)上是减函数. ④当 x>2 时,1-x<0. ∵(1-x)f′(x)<0, ∴f′(x)>0,即 f(x)在(2,+∞)上是增函数. 综上,f(-2)为极大值,f(2)为极小值. 3.(2014· 陕西,10,中)如图,某飞行器在 4 千米高空水平飞行,从距着陆点 A 的水平距离 10 千米 处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为( )

1 3 2 4 A.y=125x3-5x B.y=125x3-5x 3 3 1 C.y=125x3-x D.y=-125x3+5x 1 3 3 【答案】 A 根据题意,知所求函数在(-5,5)上单调递减.对于 A,y=125x3-5x,∴y′=125x2 3 3 1 3 -5=125(x2-25),∴?x∈(-5,5),y′<0,∴y=125x3-5x 在(-5,5)内为减函数,同理可验证 B,C, D 均不满足此条件,故选 A. 4.(2014· 课标Ⅰ,11,难)已知函数 f(x)=ax3-3x2+1,若 f(x)存在唯一的零点 x0,且 x0>0,则 a 的 取值范围是( )

A.(2,+∞)

B.(1,+∞)

C.(-∞,-2) D.(-∞,-1) 【答案】 C 2 方法一:由已知可知 a≠0.∵f′(x)=3ax2-6x,令 f′(x)=0,得 x=0 或 x=a.

2? ? ?2 ? ①当 a>0 时,函数 f(x)在(-∞,0)上单调递增,在?0,a?上单调递减,在?a,+∞?上单调递增,且 ? ? ? ? f(0)=1>0,故 f(x)有小于 0 的零点,不合题意. 2? ? ?2 ? ②当 a<0 时,函数 f(x)在?-∞,a?上单调递减,在?a,0?上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,要 ? ? ? ? ?2? 使 x0>0 且唯一,只需 f ?a?>0,即 a2>4,∴a<-2,故选 C. ? ? 方法二:f ′(x)=3ax2-6x, 当 a=3 时,f′(x)=9x2-6x=3x(3x-2), 2? ? ?2 ? 则当 x∈(-∞,0)时,f′(x)>0;x∈?0,3?时,f′(x)<0;x∈?3,+∞?时,f′(x)>0,注意 f(0)=1, ? ? ? ? ?2? 5 f ?3?=9>0,则 f(x)的大致图象如图所示. ? ?

不符合题意,排除 A,B. 4 当 a=-3时,f′(x)=-4x2-6x =-2x(2x+3), 3? ? ? 3 ? 则当 x∈?-∞,-2?时,f′(x)<0,x∈?-2,0?时,f′(x)>0,x∈(0,+∞)时,f′(x)<0,注意 f(0) ? ? ? ? 5 ? 3? =1,f ?-2?=-4,则 f(x)的大致图象如图所示. ? ?

不符合题意,排除 D. πx 2 2 5.(2014· 课标Ⅱ,12,难)设函数 f(x)= 3sin m .若存在 f(x)的极值点 x0 满足 x2 0+[f(x0)] <m ,则 m 的取值范围是( )

A.(-∞,-6)∪(6,+∞) B.(-∞,-4)∪(4,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 【答案】 C π πx f ′(x)= 3 m cos m ,

由题意知,存在 f(x)的极值点 x0, π π x0 则有 f ′ (x0)= 3 m cos m =0, π x0 π 即 m = 2 +kπ ,k∈Z. m 则 x0= 2 +km,k∈Z.
2 2 又 x0 满足 x2 0+[f(x0)] <m ,

π x0?2 2 ?m ?2 ? ? <m ,k∈Z, 即? 2 +km? +? 3sin ? ? m ? ? m?2 ? π ??2 ? ? ∴?mk+ 2 ? +? 3sin?kπ + ?? <m2,k∈Z, ? ? 2 ?? ? ? ? 1?2 即 m2?k+2? +3<m2,k∈Z. ? ?
2 ? 1?2 m -3 ∵m≠0,∴?k+2? < m2 ,k∈Z. ? ? 2 2 又∵存在 x0 满足 x2 0+[f(x0)] <m ,即存在 k∈Z 满足上式,

m2-3 ?1?2 m2 ∴ m2 >?2? ,∴m2-3> 4 , ? ? ∴m2>4,∴m>2 或 m<-2,故选 C. 6.(2013· 重庆,17,13 分,中)设 f(x)=a(x-5)2+6ln x,其中 a∈R,曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的 切线与 y 轴相交于点(0,6). (1)确定 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值. 解:(1)因为 f(x)=a(x-5)2+6ln x, 6 故 f ′(x)=2a(x-5)+ x. 令 x=1,得 f(1)=16a,f′(1)=6-8a,所以曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y-16a=(6-

1 8a)(x-1).由点(0,6)在切线上可得 6-16a=8a-6,故 a=2. 1 (2)由(1)知,f(x)=2(x-5)2+6ln x(x>0), 6 (x-2)(x-3) f′(x)=x-5+x = . x 令 f′(x)=0,解得 x1=2,x2=3. 当 0<x<2 或 x>3 时,f′(x)>0,故 f(x)在(0,2),(3,+∞)上为增函数;当 2<x<3 时,f′(x)<0,故 f(x)在(2,3)上为减函数. 9 由此可知,f(x)在 x=2 处取得极大值 f(2)=2+6ln 2,在 x=3 处取得极小值 f(3)=2+6ln 3. ex ?2 ? 7.(2014· 山东,20,13 分,难)设函数 f(x)=x2-k? x+ln x?(k 为常数,e=2.718 28?是自然对数的底 ? ? 数). (1)当 k≤0 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)在(0,2)内存在两个极值点,求 k 的取值范围. 解:(1)函数 y=f(x)的定义域为(0,+∞), x2ex-2xex ? 2 1? f′(x)= -k?-x2+ x? x4 ? ? x x xe -2e k(x-2) = - x3 x2 (x-2)(ex-kx) = . x3 由 k≤0 可得 ex-kx>0, 所以当 x∈(0,2)时,f′(x)<0,函数 y=f(x)单调递减; 当 x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,函数 y=f(x)单调递增. 所以 f(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+∞). (2)由(1)知,k≤0 时,函数 f(x)在(0,2)内单调递减, 故 f(x)在(0,2)内不存在极值点; 当 k>0 时,设函数 g(x)=ex-kx,x∈[0,+∞). 因为 g′(x)=ex-k=ex-eln k, 当 0<k≤1 时, 当 x∈(0,2)时,g′(x)=ex-k>0,y=g(x)单调递增. 故 f(x)在(0,2)内不存在两个极值点. 当 k>1 时,

得 x∈(0,ln k)时,g′(x)<0,函数 y=g(x)单调递减; x∈(ln k,+∞)时,g′(x)>0,函数 y=g(x)单调递增. 所以函数 y=g(x)的最小值为 g(ln k)=k(1-ln k). 函数 f(x)在(0,2)内存在两个极值点,

?g(ln k)<0, 当且仅当? g(2)>0, ?0<ln k<2.
g(0)>0, e2 解得 e<k< . 2
2 ? e? 综上所述,函数 f(x)在(0,2)内存在两个极值点时,k 的取值范围为?e, 2 ?. ? ?

8.(2014· 课标Ⅱ,21,12 分,难)已知函数 f(x)=ex-e-x-2x. (1)讨论 f(x)的单调性; (2)设 g(x)=f(2x)-4bf(x),当 x>0 时,g(x)>0,求 b 的最大值; (3)已知 1.414 2< 2<1.414 3,估计 ln 2 的近似值(精确到 0.001). 解:(1)f′(x)=ex+e-x-2≥0,等号当且仅当 x=0 时成立. 所以 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增. (2)g(x)=f(2x)-4bf(x) =e2x-e-2x-4b· (ex-e-x)+(8b-4)x, g′(x)=2[e2x+e-2x-2b(ex+e-x)+(4b-2)] =2(ex+e-x-2)(ex+e-x-2b+2). ①当 b≤2 时,g′(x)≥0,等号当且仅当 x=0 时成立, 所以 g(x)在(-∞,+∞)单调递增,而 g(0)=0,所以对任意 x>0,g(x)>0. ②当 b>2 时,若 x 满足 2<ex+e-x<2b-2,即 0<x<ln(b-1+ b2-2b)时,g′(x)<0.而 g(0)=0,因此 当 0<x<ln(b-1+ b2-2b)时,g(x)<0. 综上,b 的最大值为 2. 3 (3)由(2)知,g(ln 2)=2-2 2b+2(2b-1)ln 2. 8 2-3 3 当 b=2 时,g(ln 2)=2-4 2+6ln 2>0,ln 2> 12 >0.692 8;

3 2 当 b= 4 +1 时, ln(b-1+ b2-2b)=ln 2. 3 g(ln 2)=-2-2 2+(3 2+2)ln 2<0, ln 2< 18+ 2 28 <0.693 4.

所以 ln 2 的近似值为 0.693. 思路点拨:(1)求导后利用基本不等式可得导数非负恒成立;(2)求导后直接对 b 分类讨论,研究函数 g(x)的符号.

考向 1 利用导数研究函数的单调性 1.函数的单调性与导数的关系 大于零→f(x)在(a,b)内单调递增 在区间(a,b)? ?等于零 →f(x)在(a,b)内为常函数 内f′(x) ?小于零→f(x)在(a,b)内单调递减

求函数 f(x)的单调区间,也是求不等式 f ′(x)>0(或 f′(x)<0)的解集,但单调区间不能脱离函数定义域 而单独存在,求单调区间要坚持“定义域优先”的原则. 2.用充分必要条件来诠释导数与函数单调性的关系 (1)f′(x)>0(或 f′(x)<0)是 f(x)在(a,b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件; (2)f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)是 f(x)在(a,b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件(f′(x)=0 不恒成立).

由函数 f(x)在区间[a,b]内单调递增(或递减),可得 f ′(x)≥0(或 f′(x)≤0)在该区间恒成立,而不是 f ′(x)>0(或<0)恒成立, “=”不能少.必要时还需对“=”进行检验. (2014· 江西,18,12 分)已知函数 f(x)=(x2+bx+b) 1-2x(b∈R). (1)当 b=4 时,求 f(x)的极值; 1? ? (2)若 f(x)在区间?0,3?上单调递增,求 b 的取值范围. ? ? 1? ? 【解析】 (1)由题意易知 f(x)的定义域为?-∞,2?. ? ?

当 b=4 时,f′(x)=

-5x(x+2) , 1-2x

由 f′(x)=0 得 x=-2 或 x=0. 当 x∈(-∞,-2)时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当 x∈(-2,0)时,f′(x)>0,f(x)单调递增; 1? ? 当 x∈?0,2?时,f′(x)<0,f(x)单调递减,故 f(x)在 x=-2 处取极小值 f(-2)=0,在 x=0 处取极大 ? ? 值 f(0)=4. (2)f′(x)= -x[5x+(3b-2)] -x 1? 1? ? ? ,因为当 x∈?0,3?时, <0,依题意,当 x∈?0,3?时,有 5x+ ? ? ? ? 1-2x 1-2x

5 (3b-2)≤0,从而3+(3b-2)≤0. 1? ? 所以 b 的取值范围为?-∞,9?. ? ? 【点拨】 1? ? ?-∞,9?. ? ? 1.利用导数求函数的单调区间的两个方法 (1)方法一:①确定函数 y=f(x)的定义域; ②求导数 y′=f′(x); ③解不等式 f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间; ④解不等式 f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间. (2)方法二:①确定函数 y=f(x)的定义域; ②求导数 y′=f′(x),令 f′(x)=0,解此方程,求出在定义域内的一切实根; ③把函数 f(x)的间断点(即 f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来, 然后用这些点把函数 f(x)的定义域分成若干个小区间; ④确定 f′(x)在各个区间内的符号,根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性. 2.由函数的单调性求参数的取值范围的方法 (1)可导函数在某一区间上单调, 实际上就是在该区间上 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)(f′(x)在该区间的任意子区 间内都不恒等于 0)恒成立,然后分离参数,转化为求函数的最值问题,从而获得参数的取值范围; (2)可导函数在某一区间上存在单调区间, 实际上就是 f′(x)>0(或 f′(x)<0)在该区间上存在解集, 这样 就把函数的单调性问题转化成了不等式问题; 解题(1)的关键是准确求出函数 f(x)的导数;解题(2)时易漏掉“=”,即易得错误结果

(3)若已知 f(x)在区间 I 上的单调性,区间 I 中含有参数时,可先求出 f(x)的单调区间,令 I 是其单调 区间的子集,从而可求出参数的取值范围. 1 a (2015· 湖北荆州质检,18,12 分)设函数 f(x)=3x3-2x2+bx+c,曲线 y=f(x)在点(0,f(0)) 处的切线方程为 y=1. (1)求 b,c 的值; (2)若 a>0,求函数 f(x)的单调区间; (3)设函数 g(x)=f(x)+2x,且 g(x)在区间(-2,-1)内存在单调递减区间,求实数 a 的取值范围. 解:(1)f ′(x)=x2-ax+b, ?f(0)=1, ?c=1, 由题意得? 即? ?f′(0)=0, ?b=0. (2)由(1)得,f′(x)=x2-ax=x(x-a)(a>0), 当 x∈(-∞,0)时,f′(x)>0; 当 x∈(0,a)时,f′(x)<0; 当 x∈(a,+∞)时,f′(x)>0. 所以函数 f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(a,+∞),单调递减区间为(0,a). (3)g′(x)=x2-ax+2, 依题意,存在 x∈(-2,-1),使不等式 g′(x)=x2-ax+2<0 成立, 即 x∈(-2,-1)时, ? 2? a<?x+x? ? ?max =-2 2即可, 所以满足要求的 a 的取值范围是(-∞,-2 2). 考向 2 1.判断函数极值的方法 一般地,当函数 f(x)在点 x0 处连续时, (1)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0)是极大值; (2)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,那么 f(x0)是极小值. 利用导数研究函数的极值和最值

“极值点”不是点,若函数 f(x)在 x1 处取得极大值,则 x1 即为极大值点,极大值为 f(x1);在 x2 处取

得极小值,则 x2 为极小值点,极小值为 f(x2). 2.求可导函数 f(x)的极值的步骤 (1)求导函数 f ′(x); (2)求方程 f ′(x)=0 的根; (3)检验 f ′(x)在方程 f′(x)=0 的根的左右两侧的函数值的符号,如果左正右负,那么函数 y=f(x)在这 个根处取得极大值;如果左负右正,那么函数 y=f(x)在这个根处取得极小值,可列表完成.

f′(x0)=0 是 x0 为 f(x)的极值点的必要而非充分条件.例如,f(x)=x3,f′(0)=0,但 x=0 不是极值点. 3.函数的最值 在闭区间[a,b]上的连续函数 y=f(x),在[a,b]上必有最大值与最小值.在区间[a,b]上的连续函数 y=f(x),若有唯一的极值点,则这个极值点就是最值点.

极值只能在定义域内部取得,而最值却可以在区间的端点取得,有极值的未必有最值,有最值的未 必有极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点必定是极值. (2014· 安徽,18,12 分)设函数 f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中 a>0. (1)讨论 f(x)在其定义域上的单调性; (2)当 x∈[0,1]时,求 f(x)取得最大值和最小值时的 x 的值. 【思路导引】 (1)利用导数运算公式求出函数 f(x)的导数,求出导数为 0 时对应方程的根及由导数

值的符号判断函数的单调性;(2)利用函数的单调性及分类讨论思想求最值. 【解析】 (1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f′(x)=1+a-2x-3x2. 令 f′(x)=0,得 x1= -1- 4+3a -1+ 4+3a ,x2= ,x1<x2, 3 3

所以 f ′(x)=-3(x-x1)(x-x2). 当 x<x1 或 x>x2 时,f′(x)<0;当 x1<x<x2 时,f′(x)>0. 故 f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)内单调递减,在(x1,x2)内单调递增. (2)因为 a>0,所以 x1<0,x2>0. ①当 a≥4 时,x2≥1. 由(1)知,f(x)在[0,1]上单调递增. 所以 f(x)在 x=0 和 x=1 处分别取得最小值和最大值.

②当 0<a<4 时,x2<1. 由(1)知,f(x)在[0,x2]上单调递增, 在[x2,1]上单调递减. 所以 f(x)在 x=x2= -1+ 4+3a 处取得最大值. 3

又 f(0)=1,f(1)=a,所以 当 0<a<1 时,f(x)在 x=1 处取得最小值; 当 a=1 时,f(x)在 x=0 处和 x=1 处同时取得最小值; 当 1<a<4 时,f(x)在 x=0 处取得最小值. 1.求函数 f(x)极值的方法 求函数的极值应先确定函数的定义域,再解方程 f′(x)=0,再判断 f′(x)=0 的根是否是极值点,可通 过列表的形式进行分析,若遇极值点含参数不能比较大小时,则需分类讨论. 2.求函数 f(x)在区间[a,b]上的最值的方法 (1)若函数在区间[a,b]上单调递增或递减,f(a)与 f(b)一个为最大值,一个为最小值; (2)若函数在闭区间[a,b]内有极值,要先求出[a,b]上的极值,与 f(a),f(b)比较,最大的是最大值, 最小的是最小值,可列表完成; (3)函数 f(x)在区间(a,b)上有唯一一个极值点,这个极值点就是最大(或小)值点,此结论在导数的实 际应用中经常用到. (2013· 福建,17,13 分)已知函数 f(x)=x-aln x(a∈R). (1)当 a=2 时,求曲线 y=f(x)在点 A(1,f(1))处的切线方程; (2)求函数 f(x)的极值. a 解:函数 f(x )的定义域为(0,+∞),f′(x)=1-x . 2 (1)当 a=2 时,f(x)=x-2ln x,f′(x)=1- x(x>0), ∴f(1)=1,f′(1)=-1. ∴y=f(x)在点 A(1,f(1))处的切线方程为 y-1=-(x-1),即 x+y-2=0. a x-a (2)由 f ′(x)=1- x = x (x>0)可知: ①当 a≤0 时,f′(x)>0,函数 f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数 f(x)无极值. ②当 a>0 时,由 f′(x)=0 解得 x=a. ∵x∈(0,a)时,f′(x)<0;x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,

∴f(x)在 x=a 处取得极小值,且极小值为 f(a)=a-aln a,无极大值. 综上所述,当 a≤0 时,函数 f(x)无极值;当 a>0 时,函数 f(x)在 x=a 处取得极小值 a-aln a,无极 大值. 考向 3 利用导数解决实际问题 利用导数解决实际应用问题的种类及方法 (1)给出了具体的函数关系式,只需研究这个函数的性质即可; (2)函数关系式中含有比例系数,根据已知数据求出比例系数得到函数关系式,再研究函数的性质; (3)没有给出函数关系,需要先建立函数关系,再研究函数的性质. (2011· 山东,21,12 分)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其 80π 中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为 3 立方米,且 l≥2r.假设 该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元,半球形部分每平方 米建造费用为 c(c>3)千元,设该容器的建造费用为 y 千元. (1)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (2)求该容器的建造费用最小时的 r.

【思路导引】

利用导数 构建 y 与 r 的关系 ― ― → 确定 y 的极值― →y 的最值― →回归实际问题得解.

4 V-3πr3 80 π 4 80 4 【解析】 (1)设容器的容积为 V,由题意知 V=πr2l+3πr3,又 V= 3 ,故 l= =3r2-3 2 πr 4?20 ? r=3? r2 -r?. ? ? 4?20 ? 由于 l≥2r,因此3? r2 -r?≥2r, ? ? 40 整理得 r2 ≥5r,故 0<r≤2. 4?20 ? 所以建造费用 y=2πrl?3+4πr2c=2πr?3? r2 -r??3+4πr2c. ? ? 160π 因此 y=4π(c-2)r2+ r ,0<r≤2. 160π (2)由(1)得 y′=8π(c-2)r- r2 8π(c-2)? 3 20 ? ?r -c-2?,0<r<2. = r2 ? ?

由于 c>3,所以 c-2>0, 3 20 20 当 r3 - =0 时,r= . c-2 c-2 令 3 20 =m,则 m>0, c-2

8π(c-2) (r-m)(r2+rm+m2). r2 9 ①当 0<m<2,即 c>2时, 所以 y′= 当 r=m 时,y′=0; 当 r∈(0,m)时,y′<0; 当 r∈(m,2)时,y′>0. 所以 r=m 是函数 y 的极小值点,也是最小值点. 9 ②当 m≥2,即 3<c≤2时, 当 r∈(0,2)时,y′<0,函数单调递减, 所以 r=2 是函数 y 的最小值点. 9 综合所述,当 3<c≤ 时,建造费用最小时 r=2; 2 3 9 当 c>2时,建造费用最小时 r= 20 . c-2

【点拨】 解答本题的关键是设出未知量,列出函数关系式,然后分类讨论,利用导数求最值,还 要注意函数定义域的范围. 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系,找出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关 系 y=f(x),根据实际意义确定定义域; (2)求函数 y=f(x)的导数 f′(x),解方程 f′(x)=0 得出定义域内的实根,确定极值点; (3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小,获得所求的最大(小)值; (4)还原到原实际问题中作答. (2011· 福建,18,13 分)某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的 销售量 y(单位: 千克)与销售价格 x(单位:元/千克)满足关系式 y= 格为 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克. a +10(x-6)2,其中 3<x<6,a 为常数.已知销售价 x-3

(1)求 a 的值; (2)若该商品的成本为 3 元/千克, 试确定销售价格 x 的值, 使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 解:(1)∵x=5 时,y=11, a ∴2+10=11,∴a=2, (2)由(1)知该商品每日的销售量 y= 2 +10(x-6)2, x-3

∴商场每日销售该商品所获得的利润为 ? 2 2? f(x)=(x-3)?x-3+10(x-6) ? ? ? =2+10(x-3)(x-6)2,3<x<6. f′(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)] =30(x-4)(x-6), 令 f′(x)=0,得 x=4. 当 3<x<4 时,f′(x)>0,函数 f(x)在(3,4)上递增; 当 4<x<6 时,f′(x)<0,函数 f(x)在(4,6)上递减, ∴当 x=4 时,函数 f(x)取得最大值 f(4)=42. ∴当销售价格为 4 元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大. 考向 4 利用导数解决不等式问题 1.不等式的证明问题 可以从所证不等式的结构和特点出发,结合已有的知识利用转化与化归思想,构造一个新的函数, 再借助导数确定函数的单调性,利用单调性实现问题的转化,从而使不等式得到证明,其一般步骤是: 构造可导函数→研究单调性或最值→得出不等关系→整理得出结论. 2.不等式恒成立问题 若 f(x)≥a 或 g(x)≤a 恒成立,只需满足 f(x)min≥a 或 g(x)max≤a 即可,利用导数方法求出 f(x)的最小 值或 g(x)的最大值,从而问题得解. (2014· 福建,20,14 分)已知函数 f(x)=ex-ax(a 为常数)的图象与 y 轴交于点 A,曲线 y =f(x)在点 A 处的切线斜率为-1. (1)求 a 的值及函数 f(x)的极值; (2)证明:当 x>0 时,x2<ex; (3)证明:对任意给定的正数 c,总存在 x0,使得当 x∈(x0,+∞)时,恒有 x2<cex.

【思路导引】 第(1)问利用曲线上导数的几何意义求出 a 的值后,再求函数的极值;第(2)问先构造 函数 g(x)=ex-x2, 再利用单调性证明即可; 第(3)问方法一使用分类讨论法进行证明, 证明时要借助第(2) 问的结论, 分 c≥1 和 0<c<1 两种情况证明, 这 里分类讨论分界点(c=1)的确定依据也是由第(2)问的结论 得出. 【解析】 (1)由 f(x)=ex-ax,得 f ′(x)=ex-a. 又 f ′(0)=1-a=-1,得 a=2. 所以 f(x)=ex-2x,f′(x)=ex-2. 令 f′(x)=0,得 x=ln 2. 当 x<ln 2 时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当 x>ln 2 时,f′(x)>0,f(x)单调递增. 所以当 x=ln 2 时,f(x)取得极小值,且极小值为 f(ln 2)=eln 2-2ln 2=2-ln 4,f(x)无极大值. (2)证明:令 g(x)=ex-x2,则 g′(x)=ex-2x, 由(1)得 g′(x)=f(x)≥f(ln 2)>0, 故 g(x)在 R 上单调递增.又 g(0)=1>0, 因此,当 x>0 时,g(x)>g(0)>0,即 x2<ex. (3)证明:方法一:①若 c≥1,则 ex≤cex. 又由(2)知,当 x>0 时,x2<ex. 所以当 x>0 时,x2<cex. 取 x0=0,当 x∈(x0,+∞)时,恒有 x2<cex. 1 ②若 0<c<1,令 k= c>1,要使不等式 x2<cex 成立,只要 ex>kx2 成立. 而要使 ex>kx2 成立,则只要 x>ln(kx2),只要 x>2ln x+ln k 成立. 2 x-2 令 h(x)=x-2ln x-ln k,则 h′(x)=1- x= x . 所以当 x>2 时,h′(x)>0,h(x)在(2,+∞)内单调递增. 取 x0=16k>16,所以 h(x)在(x0,+∞)内单调递增, 又 h(x0)=16k-2ln(16k)-ln k =8(k-ln 2)+3(k-ln k)+5k, 易知 k>ln k,k>ln 2,5k>0,所以 h(x0)>0. 16 即存在 x0= c ,当 x∈(x0,+∞)时,恒有 x2<cex.

综上,对任意给定的正数 c,总存在 x0,当 x∈(x0,+∞)时,恒有 x2<cex. 方法二:对任意给定的正数 c,取 x0= 由(2)知,当 x>0 时,ex>x2, x x x 2 x 2 ? ? ? ? 所以 e =e2·e2>?2? ?2? , ? ? ? ?
x

4 , c

? x?2?x?2 4?x?2 1 当 x>x0 时,ex>?2? ?2? >c ?2? =c x2, ? ? ? ? ? ? 因此,对任意给定的正数 c,总存在 x0,当 x∈(x0,+∞)时,恒有 x2<cex. 1 方法三:首先证明当 x∈(0,+∞)时,恒有3x3<ex. 证明如下: 1 令 h(x)=3x3-ex,则 h′(x)=x2-ex. 由(2)知,当 x>0 时,x2<ex, 从而 h′(x)<0,h(x)在(0,+∞)内单调递减, 1 所以 h(x)<h(0)=-1<0,即3x3<ex. 3 1 1 取 x0= c,当 x>x0 时,有cx2<3x3<ex. 因此,对任意给定的正数 c,总存在 x0,当 x∈(x0,+∞)时,恒有 x2<cex. 利用导数证明不等式的方法 (1)证明 f(x)<g(x),x∈(a,b),可以构造函数 F(x)=f(x)-g(x),如果 F′(x)<0,则 F(x)在(a,b)上是 减函数,同时若 F(a)≤0,由减函数的定义可知,x∈(a,b)时,有 F(x)<0,即证明了 f(x)<g(x). (2)证明 f(x)>g(x),x∈(a,b),可以构造函数 F(x)=f(x)-g(x),如果 F′(x)>0,则 F(x)在(a,b)上是 增函数,同时若 F(a)≥0,由增函数的定义可知,x∈(a,b)时,有 F(x)>0,即证明了 f(x)>g(x). bex-1 (2014· 课标Ⅰ,21,12 分)设函数 f(x)=aexln x+ x ,曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线 方程为 y=e(x-1)+2. (1)求 a,b; (2)证明:f(x)>1. a b b 解:(1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=aexln x+ x·ex-x2ex-1+ xex-1. 由题意可得 f(1)=2,f′(1)=e.

故 a=1,b=2. 2 2 (2)证明:由(1)知,f(x)=exln x+x ex-1,从而 f(x)>1 等价于 xln x>xe-x- e. 设函数 g(x)=xln x,则 g′(x)=1+ln x. 1? ? ?1 ? 所以当 x∈?0,e?时,g′(x)<0;当 x∈? e,+∞?时,g′(x)>0. ? ? ? ? 1? 1 ? ?1 ? ?1? 故 g(x)在?0,e?上单调递减, 在? e,+∞?上单调递增, 从而 g(x)在(0, +∞)上的最小值为 g? e?=-e. ? ? ? ? ? ? 2 设函数 h(x)=xe-x-e , 即 h′(x)=e-x(1-x). 所以当 x∈(0,1)时,h′(x)>0;当 x∈(1,+∞)时,h′(x)<0,故 h(x)在(0,1)上单调递增,在(1, 1 +∞)上单调递减,从而 h(x)在(0,+∞)的最大值为 h(1)=- e . 综上,当 x>0 时,g(x)>h(x), 即 f(x)>1. 考向 5 利用导数研究函数的零点 导数在研究函数零点中的作用 (1)研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点,归根到底是研究函数的性质,如单调性、极值等. (2)用导数研究函数的零点, 一方面用导数判断函数的单调性, 借助零点存在性定理判断; 另一方面, 也可将零点问题转化为函数图象的交点问题,利用数形结合来解决. (2014· 四川,21,14 分)已知函数 f(x)=ex-ax2-bx-1,其中 a,b∈R,e=2.718 28? 为自然对数的底数. (1)设 g(x)是函数 f(x)的导函数,求函数 g(x)在区间[0,1]上的最小值; (2)若 f(1)=0,函数 f(x)在区间(0,1)内有零点,求 a 的取值范围. 【思路导引】 (1)求出 f(x)的导数得 g(x),再求出 g(x)的导数,对它进行讨论,从而判断 g(x)的单调 性,求出 g(x)的最小值;(2)利用等价转换,将函数 f(x)在区间(0,1)内有零点,转化为 g(x)在(0,1)上至 少有两个零点. 【解析】 (1)因为 f(x)=ex-ax2-bx-1, 所以 g(x)=f′(x)=ex-2ax-b. 所以 g′(x)=ex-2a. 因此,当 x∈[0,1]时,g′(x)∈[1-2a,e-2a].

1 当 a≤2时,g′(x)≥0,所以 g(x)在[0,1]上单调递增. 因此 g(x)在[0,1]上的最小值是 g(0)=1-b; e 当 a≥2时,g′(x)≤0,所以 g(x)在[0,1]上单调递减, 因此 g(x)在[0,1]上的最小值是 g(1)=e-2a-b; 1 e 当2<a<2时,令 g′(x)=0,得 x=ln(2a)∈(0,1). 所以函数 g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减, 在区间(ln(2a),1]上单调递增. 于是,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b. 1 综上所述,当 a≤2时,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(0)=1-b; 1 e 当2<a<2时,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b; e 当 a≥2时,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(1)=e-2a-b. (2)设 x0 为 f(x)在区间(0,1)内的一个零点,则由 f(0)=f(x0)=0 可知,f(x)在区间(0,x0)上不可能单调 递增,也不可能单调递减. 则 g(x)不可能恒为正,也不可能恒为负. 故 g(x)在区间(0,x0)内存在零点 x1. 同理 g(x)在区间(x0,1)内存在零点 x2. 所以 g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点. 1 由(1)知,当 a≤2时,g(x)在[0,1]上单调递增,故 g(x)在(0,1)内至多有一个零点. e 1 e 当 a≥2时,g(x)在[0,1]上单调递减,故 g(x)在(0,1)内至多有一个零点.所以2<a<2. 此时 g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间(ln(2a),1]上单调递增. 因此 x1∈(0,ln(2a)],x2∈(ln(2a),1),必有 g(0)=1-b>0,g(1)=e-2a-b>0. 由 f(1)=0 有 a+b=e-1<2,有 g(0)=1-b=a-e+2>0,g(1)=e-2a-b=1-a>0. 解得 e-2<a<1. 当 e-2<a<1 时,g(x)在区间[0,1]内有最小值 g(ln(2a)). 若 g(ln(2a))≥0,则 g(x)≥0(x∈[0,1]), 从而 f(x)在区间[0,1]上单调递增,这与 f(0)=f(1)=0 矛盾,所以 g(ln(2a))<0. 又 g(0)=a-e+2>0,g(1)=1-a>0,

故此时 g(x)在(0,ln(2a))和(ln(2a),1)内各只有一个零点 x1 和 x2. 由此可知 f(x)在[0,x1]上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,在[x2,1]上单调递增. 所以 f(x1)>f(0)=0,f(x2)<f(1)=0, 故 f(x)在(x1,x2)内有零点. 综上可知,a 的取值范围是(e-2,1). 利用导数研究方程根的方法 研究方程根的情况,可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等,根据题目要 求,画出函数图象的走势规律,标明函数极(最)值的位置,通过数形结合的思想去分析问题,可以使得 问题的求解有一个清晰、直观的整体展现. (2015· 山东临沂三模,20,12 分)已知函数 f(x)=2ln x-x2+ax(a∈R). (1)当 a=2 时,求 f(x)的图象在 x=1 处的切线方程; ?1 ? (2)若函数 g(x)=f(x)-ax+m 在? e,e?上有两个零点,求实数 m 的取值范围. ? ? 2 解:(1)当 a=2 时,f(x)=2ln x-x2+2x,f′(x)=x -2x+2,切点坐标为(1,1),切线的斜率 k=f′(1) =2,则切线方程为 y-1=2(x-1),即 y=2x-1. (2)g(x)=2ln x-x2+m, -2(x+1)(x-1) 2 则 g′(x)= x-2x= . x ?1 ? ∵x∈?e,e?,∴当 g′(x)=0 时,x=1. ? ? 1 当 e<x<1 时,g′(x)>0; 当 1<x<e 时,g′(x)<0. 故 g(x)在 x=1 处取得极大值 g(1)=m-1. 1 1 ?1? ?1? ?1? 又 g? e?=m-2-e2,g(e)=m+2-e2,g(e)-g? e?=4-e2+e2<0,则 g(e)<g? e?, ? ? ? ? ? ? ?1 ? ∴g(x)在? e,e?上的最小值是 g(e). ? ? ?1 ? g(x)在? e,e?上有两个零点的条件是 ? ? g(1)=m-1>0, ? ? ? ?1? 1 g? e?=m-2-e2≤0, ? ? ? ? 1 解得 1<m≤2+e2,

1? ? ∴实数 m 的取值范围是?1,2+e2?. ? ?

1.(2015· 四川绵阳质检,6)做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是 27π ,且用料最省,则圆柱 的底面半径为( ) D.5

A.3 B.4 C.6

27 【答案】 A 设圆柱的底面半径为 R,母线长为 l,则 V=π R2l=27π ,所以 l=R2 .要使用料最省, 54π 27 只需使圆柱形水桶的表面积最小.S 表=π R2+2π Rl=π R2+2π ? R ,所以 S′表=2π R- R2 .令 S′表=0, 得 R=3,则当 R=3 时,S 表最小.故选 A. 2.(2015· 河南安阳质检,6)若函数 f(x)=2sin ω x(ω>0)的图象在(0,2π )上恰有一个极大值和一个极 小值,则 ω 的取值范围是( 5? ?3 ? ? A.?4,1? B.?1,4? ? ? ? ? ?3 4? ?3 5? C.?4,5? D.?4,4? ? ? ? ? 3π 【答案】 D ∵函数 f(x)=2sin ω x(ω>0)的图象在(0,2π )上恰有一个极大值和一个极小值,∴ 2 5π 3 5 <2π ω ≤ 2 ,∴4<ω ≤4. 3.(2015· 云南昆明模拟,11)已知函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f′(x).若 f(x)满足:(x-1)[f′(x) -f(x)]>0,f(2-x)=e2-2xf(x),则下列判断一定正确的是( A.f(1)<f(0) B.f(2)>ef(0) ) )

C.f(3)>e3f(0) D.f(4)<e4f(0) 【答案】 C 令 F(x)=e-xf(x),则 F′(x)=e-x?[f′(x)-f(x)],当 x<1 时,由条件知 f′(x)-f(x)<0,

则 F′(x)<0,即 F(x)单调递减,所以 F(-2)>F(-1)>F(0),即 e2f(-2)>ef(-1)>f(0).又 f(4)=e6f(-2),f(3) =e4f(-1),所以 f(4)>e4f(0),f(3)>e3f(0),故选 C.
2 x3 mx +(m+n)x+1 4.(2015· 河北衡水中学调研,11)已知函数 f(x)= 3 + 的两个极值点分别为 x1, 2

x2,且 x1∈(0,1),x2∈(1,+∞),点 P(m,n)表示的平面区域为 D,若函数 y=loga(x+4)(a>1)的图象上 存在区域 D 内的点,则实数 a 的取值范围是( A.(1,3) 【答案】 B.(1,3] )

C.(3,+∞) D.[3,+∞)

m+n A f ′(x)=x2+mx+ 2 =0 的两根为 x1,x2,且 x1∈(0,1),x2∈(1,+∞),

m+n ? >0, ?f′(0)>0, ? 2 则? ?? m+n ?f′(1)<0 ? ?1+m+ 2 <0, ?m+n>0, 即? ?3m+n+2<0, 作出区域 D,如图阴影部分,

可得 loga(-1+4)>1,所以 1<a<3. 5.(2015· 河北秦皇岛二模,11)已知函数 y=f(x)是 R 上的可导函数,当 x≠0 时,有 f′(x)+ 1 则函数 F(x)=xf(x)+ x 的零点个数是( A.0 B.1 C.2 【答案】 D.3 ) f(x) x >0,

f(x) x >0, xf′(x)+f(x) (xf(x))′ ∴ >0,即 >0.① x x B ∵x≠0 时,f′(x)+ 当 x>0 时,由①式知(xf(x))′>0, ∴U(x)=xf(x)在(0,+∞)上为增函数,且 U(0)=0· f(0)=0, ∴U(x)=xf(x)>0 在(0,+∞)上恒成立. 1 又 x>0,∴F(x)>0 在(0,+∞)上恒成立, ∴F(x)在(0,+∞)上无零点. 当 x<0 时,(xf(x))′<0, ∴U(x)=xf(x)在(-∞,0)上为减函数, 且 U(0)=0· f(0)=0,

∴U(x)=xf(x)>0 在(-∞,0)上恒成立, 1 ∴F(x)=xf(x)+ x 在(-∞,0)上为减函数. 1 当 x→0 时,xf(x)→0,∴F(x)≈ x<0, 1 当 x→-∞时,x →0,∴F(x)≈xf(x)>0, ∴F(x)在(-∞,0)上有唯一零点. 综上所述,F(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上有唯一零点,故选 B. 6.(2014· 山东青岛模拟,14)已知函数 f(x)=ex-2x+a 有零点,则 a 的取值范围是____________. 【解析】 由原函数有零点,可转化为方程 ex-2x+a=0 有解,即方程 a=2x-ex 有解.

令函数 g(x)=2x-ex,则 g′(x)=2-ex.令 g′(x)>0,得 x<ln 2, 令 g(x)′<0,得 x>ln 2.所以 g(x)在(-∞, ln 2)上是增函数,在(ln 2,+∞)上是减函数,所以 g(x)的最大值为 g(ln 2)=2ln 2-2.因为 a 的取值范围 就是函数 g(x)的值域,所以 a 的取值范围为(-∞,2ln 2-2]. 【答案】 (-∞,2ln 2-2] x+a (a≠0,a∈R). x +3a2
2

7.(2014· 陕西西安模拟,20,12 分)已知函数 f(x)= (1)求函数 f(x)的单调区间;

(2)当 a=1 时,若对任意 x1,x2∈[-3,+∞),有 f(x1)-f(x2)≤m 成立,求实数 m 的最小值. 解:f′(x)= -(x-a)(x+3a) . (x2+3a2)2

令 f′(x)=0,解得 x=a 或 x=-3a. (1)当 a>0 时,f′(x),f(x)随着 x 的变化如下表: x f′(x) f(x) (-∞,-3a) - ? -3a 0 极小值 (-3a,a) + ? a 0 极大值 (a,+∞) - ?

函数 f(x)的单调递增区间是(-3a,a),函数 f(x)的单调递减区间是(-∞,-3a),(a,+∞). 当 a<0 时,f′(x),f(x)随着 x 的变化如下表: x f′(x) (-∞,a) - a 0 (a,-3a) + -3a 0 (-3a,+∞) -

f(x)

?

极小值

?

极大值

?

函数 f(x)的单调递增区间是(a,-3a),函数 f(x)的单调递减区间是(-∞,a),(-3a,+∞). (2)当 a=1 时,由(1)得 f(x)是(-3,1)上的增函 数,是(1,+∞)上的减函数. 又当 x>1 时,f(x)= x+1 >0, x2+3

1 1 所以 f(x)在[-3,+∞)上的最小值为 f(-3)=-6,最大值为 f(1)=2. 2 所以对任意 x1,x2∈[-3,+∞),f(x1)-f(x2)≤f(1)-f(-3)=3. 2 所以对任意 x1,x2∈[-3,+∞),使 f(x1)-f(x2)≤m 恒成立的实数 m 的最小值为3. 方法点拨:由不等式恒成立求解参数取值范围问题常采用的方法是分离参数求最值,当参数不宜进 行分离时,还可直接求最值建立关于参数的不等式求解,参数范围必须依靠不等式才能求出,求解参数 范围的关键就是找到这样的不等式. 8.(2015· 广东梅州质检,21,14 分)已知函数 f(x)=-x3+ax2-4(a∈R),f′(x)是 f(x)的导函数. (1)当 a=2 时,对于任意的 m∈[-1,1],n∈[-1,1],求 f(m)+f′(n)的最小值; (2)若存在 x0∈(0,+∞),使 f(x0)>0,求 a 的取值范围. 解:(1)由题意得 f(x)=-x3+2x2-4,f′(x)=-3x2+4x. 4 令 f′(x)=0,得 x=0 或3. 当 x 在[-1,1]上变化时,f′(x),f(x)随 x 的变化情况如下表: x f′(x) f(x) -1 -7 -1 (-1,0) - ? 0 0 -4 (0,1) + ? 1 1 -3

∴对于 m∈[-1,1],f(m)的最小值为 f(0)=-4. 2 ∵f′(x)=-3x2+4x 的对称轴为直线 x=3,且抛物线开口向下, ∴对于 n∈[-1,1],f′(n)的最小值为 f′(-1)=-7. ∴f(m)+f ′(n)的最小值为-11. ? 2a? (2)∵f ′(x)=-3x?x- 3 ?. ? ? ①若 a≤0,当 x>0 时,f′(x)<0, ∴f(x)在(0,+∞)上单调递减.

又 f(0)=-4,则当 x>0 时,f(x)<-4. ∴当 a≤0 时,不存在 x0>0,使 f(x0)>0. 2a ②若 a>0,则当 0<x< 3 时,f′(x)>0; 2a 当 x> 3 时,f′(x)<0. 2a? ? ?2a ? 从而 f(x)在?0, 3 ?上单调递增,在? 3 ,+∞?上单调递减, ? ? ? ? ∴当 x∈(0,+∞)时, 8a3 4a3 4 ?2a? f(x)max=f ? 3 ?=- 27 + 9 -4=27a3-4. ? ? 4a3 根据题意,得 27 -4>0,即 a3>27,解得 a>3. 综上,a 的取值范围是(3,+∞). 9.(2015· 山东潍坊四县一区联考,21,12 分)已知函数 f(x)=ax2-(a+2)x+ln x,其中 a∈R. (1)当 a=1 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)当 a>0 时,若 f(x)在区间[1,e]上的最小值为-2,求 a 的取值范围; (3)若?x1,x2∈(0,+∞),且 x1<x2,f(x1)+2x1<f(x2)+2x2 恒成立,求 a 的取值范围.
2 1 2x -3x+1 解:(1)当 a=1 时,f(x)=x -3x+ln x(x>0),f′(x)=2x-3+ x = ,则 f(1)=-2,f(1)=0. x 2

所以切线方程是 y=-2. (2)函数 f(x)=ax2-(a+2)x+ln x 的定义域是(0,+∞).
2 1 2ax -(a+2)x+1 (2x-1)(ax-1) 当 a>0 时,f′(x)=2ax-(a+2)+x = = (x>0). x x 1 1 令 f′(x)=0,得 x=2或 x=a. 1 ①当 0<a≤1,即 a≥1 时,f(x)在[1,e]上单调递增,所以 f(x)在[1,e]上的最小值是 f(1)=-2; 1? 1 1 ? ?1 ? ②当 1<a<e,即e <a<1 时,f(x)在?1,a?上单调递减,在?a,e?上单调递增,所以 f(x)在[1,e]上的最 ? ? ? ? 1 ?1? 小值是 f?a?<f(1)=-2,不合题意,故e <a<1 舍去; ? ? 1 1 ③当a≥e,即 0<a≤ e时,f(x)在[1,e]上单调递减,所以 f(x)在[1,e]上的最小值是 f(e)<f(1)=-2, 1 不合题意,故 0<a≤e 舍去.

综上所述,a 的取值范围为[1,+∞). (3)设 g(x)=f(x)+2x,则 g(x)=f(x)+2x=ax2-ax+ln x, 只要 g(x)在(0, +∞)上单调递增, 即 g′(x)≥0

1 2ax -ax+1 在(0,+∞)上恒成立即可.而 g′(x)=2ax-a+ x= (x>0). x 1 ①当 a=0 时,g′(x)= x>0,此时 g(x)在(0,+∞)上单调递增; ②当 a≠0 时,因为 x>0,依题意知,只要 2ax2-ax+1≥0 在(0,+∞)上恒成立.记 h(x)=2ax2-ax 1 +1,则抛物线过定点(0,1),对称轴 x=4. ?a>0, 故必须? 即 0<a≤8. 2 ?Δ=a -8a≤0, 综上可得,a 的取值范围为[0,8].

2

(2015· 湖南,11,易)?2(x-1)dx=________. ?0 【解析】 【答案】 ?x ?? -x?? =0. ? (x-1)dx=? 2 ? ??0 ?0
2 2 2

0

1.(2014· 陕西,3,易)定积分?1(2x+ex)dx 的值为( ?0 A.e+2 B.e+1 【答案】 C C.e D.e-1

)

x 2 x 1 1 ? (2x+e )dx=(x +e )? 0=1+e-1=e. ?0 ?

2.(2012· 湖北,3,易)已知二次函数 y=f(x)的图象如图所示,则它与 x 轴所围图形的面积为(

)

2π A. 5

4 B.3

3 C.2

π D. 2

【答案】 B 由图知二次函数 f(x)=-x2+1, 它与 x 轴所围图形的面积为?1 f(x)dx=2?1f(x)dx=2?1 ?0 ?0 ? -1 1 ? ??1 ? 1 ? 4 (-x2+1)dx=2? -3x3+x?? 0=2??-3+1?=3.故选 B. ? ? ? ? ? 3.(2014· 湖北,6,中)若函数 f(x),g(x)满足∫1 -1f(x)g(x)dx=0,则称 f(x),g(x)为区间[-1,1]上的一 组正交函数.给出三组函数: 1 1 ①f(x)=sin 2x,g(x)=cos 2x; ②f(x)=x+1,g(x)=x-1; ③f(x)=x,g(x)=x2. 其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是( A.0 B.1 C.2 【答案】 C D.3 对于①,?1 f(x)g(x)dx ? -1 )

1 1 =2?1 sin xdx=2(-cos x)|1 -1=0; ?-1 4 ?1 ? 对于②,?1 f(x)g(x)dx=?1 (x2-1)dx=?3x3-x?|1 -1=- ≠0; 3 ? ? ?-1 ? -1 1 对于③,?1 x3dx=4x4|1 -1=0. ?-1 故①③为区间[-1,1]上的正交函数. 4.(2013· 湖北,7,中)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度 v(t)=7-3t + 25 (t 的单位:s,v 的单位:m/s)行驶至停止,在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是( 1+t 11 A.1+25ln 5 B.8+25ln 3 C.4+25ln 5 【答案】 C D.4+50ln 2 令 v(t)=7-3t+ 25 =0,解得 t=4,故继续行驶的距离 1+t )

25 ? ? s=?4?7-3t+1+t?dt ? ?0? 3 ? ??4 = ?7t-2t2+25ln(1+t)?? 0 ? ??

=4+25ln 5. 方法点拨:如果做变速直线运动的物体的速度 v 关于时间 t 的函数是 v=v(t)(v(t)≥0),那么物体从时 刻 t=a 到 t=b 所经过的路程为?bv(t)dt;如果做变速直线运动的物体的速度 v 关于时间 t 的函数是 v= ?a v(t)(v(t)≤0),那么物体从时刻 t=a 到 t=b 所经过的路程为-?bv(t)dt. ?a 5.(2013· 湖南,12,易)若?Tx2dx=9,则常数 T 的值为________. ?0 【解析】 x3 T T3 ? x dx= 3 | 0= 3 =9,解得 T=3. ?0
T 2

【答案】 3 6.(2013· 福建,15,难)当 x∈R,|x|<1 时,有如下表达式: 1+x+x2+?+xn+?=
1 2 0

1 . 1-x
1 2 0 1 2 0 2 1 2 0 n 1 2 0

两边同时积分得: ? 1 dx ? ? x dx ? ? x dx ? ? ? ? x dx ? ? ? ? 从而得到如下等式: 1 1 ?1?2 1 ?1?3 1 ?1?n+1 1?2+2??2? +3??2? +?+ ??2? +?=ln 2. ? ? ? ? n+1 ? ? 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法,计算:

1 dx , 1? x

1 1 1 ?1?2 1 2 ?1?3 1 n ?1?n+1 ? ? ? ? C0 ? + C ? + C ? +?+ C ?? ? =________. n 2 2 n ?2? 3 n ?2? n+1 n ?2? 【解析】
1 2 2 n n n C0 n+Cnx+Cnx +?+Cnx =(1+x) ,两边同时积分得
1 2 0 1 n 1 2 0 2 n 2 1 2 0 n n n 1 2 0

?

1 2 0

C dx ? ? C x dx ? ? C x dx ? ? ? ? C x dx ? ? (1 ? x) n dx ,
0 n

1 1 1 ?1?2 1 2 ?1?3 1 n ?1?n+1 从而得到如下等式:C0 C ?? ? n? + Cn??2? + Cn??2? +?+ 2 2 3 ? ? ? ? n+1 n ?2? = 1 ??3?n+1 ? ? ? -1?. n+1?? ?2? ? 1 ??3?n+1 ? ? ? -1? n+1?? ?2? ?

【答案】

考向 1 1.定积分的几何意义 f(x) f(x)≥0

定积分的计算

b ? f(x)dx 的几何意义 ?a

表示由直线 x=a,x=b,y=0 及曲线 y=f(x)所围 成的曲边梯形的面积 表示由直线 x=a,x=b,y=0 及曲线 y=f(x)所围 成的曲边梯形的面积的相反数 表示位于 x 轴上方的曲边梯形的面积减去位于 x 轴 下方的曲边梯形的面积

f(x)<0

f(x)在[a,b]上有正有负 2.定积分的基本性质 (1)?bkf(x)dx=k?bf(x)dx. ?a ?a

(2)?b[f1(x)± f2(x)]dx=?bf1(x)dx±?bf2(x)dx. ?a ?a ?a (3)?bf(x)dx=?c f(x)dx+?bf(x)dx. ?a ?a ?c 3.微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式)
b 如果 f(x)是区间[a,b]上的连续函数,且 F′(x)=f(x),那么?bf(x)dx=F(x)|a =F(b)-F(a). ?a

1 (1)(2013· 江西, 6)若 S1=?2x2dx, S2=?2x dx, S3=?2exdx, 则 S1, S2, S3 的大小关系为( ?1 ?1 ?1 A.S1<S2<S3 C.S2<S3<S1 B.S2<S1<S3 D.S3<S2<S1 )

)

(2)(2014· 江西,8)若 f(x)=x2+2?1f(x)dx,则?1f(x)dx=( ?0 ?0 1 A.-1 B.-3 1 C.3 D.1

1? ? (3)(2015· 山东济南模拟,12)若?a?2x+ x?dx=3+ln 2(a>1),则 a 的值是________. ? ?1? 2 1 ?2 7 7 2 2 【解析】 (1)S1= 3x3? 1=3,S2=ln x | 1=ln 2,S3=ex|2 1=e -e.由 ln 2<1< ,e -e=e(e-1)>e 3 ? 7 >3,故 S2<S1<S3,选 B.

?1 ??1 1 (2)令?1f(x)dx=m,则 f(x)=x2+2m,所以?1f(x)dx=?1(x2+2m)dx= ?3x3+2mx?? 0=3+2m=m,解 ? ?? ?0 ?0 ?0 1 得 m=-3,故选 B. a a 1? 1 ? (3)?a?2x+x?dx=?a2xdx+?axdx=x2 | 1+ln x | 1=a2-1+ln a=3+ln 2, ? ?1? ?1 ?1
2 ?a -1=3, 所以? 解得 a=2. ?a=2.

【答案】 (1)B

(2)B

(3)2

【点拨】 解题(1)的关键是准确求出 S1,S2,S3 的值;解题(2)时要明确?1f(x)dx 是一个常数,故可 ?0 设?1f(x)dx=m 后再求定积分;解题(3)时注意建立关于 a 的方程组求解. ?0 1.求定积分的三种方法 (1)利用定义求定积分(定义法),可操作性不强. (2)利用微积分基本定理求定积分. (3)利用定积分的几何意义求定积分. 当曲边梯形面积易求时, 可通过求曲边梯形的面积求定积分. 例 π 1 如,定积分?1 1-x2dx 的几何意义是求单位圆面积的4,所以?1 1-x2dx= 4 . ?0 ?0 2.用牛顿—莱布尼茨公式求定积分的步骤 (1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差; (2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分; (3)分别用求导公式找到一个相应的原函数; (4)利用牛顿—莱布尼茨公式求出各个定积分的值; (5)计算原始定积分的值. 1? ? (2015· 陕西西安检测,17,12 分)已知?a?2x+x?dx=3+ln 2(a>b≥1),求实数 a,b 的值. ? ?b? 1? ? 解:∵?a?2x+x?dx ? ?b? ? =(x +ln x)? ?b
2 a

=a2+ln a-b2-ln b a =(a2-b2)+lnb=3+ln 2. a2-b2=3, ? ? ?a=2, ∴?a 解得? =2, ?b=1. ? ?b 考向 2 求曲边梯形的面积的几种类型 在直角坐标系中,由曲线 f(x),直线 x=a,x=b(a<b)和 x 轴围成的曲边梯形的面积的求法分为以下 几种情况: 利用定积分求平面图形的面积

(1)当 y=f(x)(f(x)≥0,x∈[a,b])时,如图①,面积为 S=?bf(x)dx; ?a (2)当 y=f(x)(f(x)≤0,x∈[a,b])时,如图②,面积为
b ? f(x)dx?=- bf(x)dx; S=? ? ? ? a ? ?a

(3)如果在[a,b]上,f(x)有正有负,即曲线在 x 轴上方和下方都有图象,如函数 f(x)的图象在(a,c) 上位于 x 轴上方,在(c,b)上位于 x 轴下方,如图③,则面积为
c b c b ? f(x)dx+? |f(x)|dx=? f(x)dx-? f(x)dx; ?a ?c ?a ?c

(4)由曲线 y=f(x),y=g(x)(f(x)≥g(x))与直线 x=a,x=b(a<b)围成的图形(如图④)的面积为 S=?b[f(x)-g(x)]dx. ?a (1)(2014· 山东, 6)直线 y=4x 与曲线 y=x3 在第一象限内围成的封闭图形的面积为( A.2 2 B.4 2 C.2 D.4 )

(2)(2012· 山东,15)设 a>0,若曲线 y= x与直线 x=a,y=0 所围成封闭图形的面积为 a2,则 a= ________. ?y=4x, 【解析】 (1)由? 得 x=± 2 或 x=0, 3 ?y=x

所以两图象的交点坐标为(0,0),(2,8),(-2,-8). 所以直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积 S=?2(4x-x3)dx= ?0 1 ?4-4?16=8-4=4,故选 D. (2)由题意得? ?0
a

? 1 2 1 4??2 =4?1 ?4?2x -4x ?? 0 2 ? ??

3?a ?2 3? 2 3 4 2 2 xdx=a .又? x2?′= x,∴ x2? 0=a ,即3a2=a2,∴a=9. 3 ? ?3 ?
2

4 【答案】 (1)D (2)9 【点拨】 解题(1)(2)时要注意围成曲边图形的曲线的上下位置关系. 利用定积分求平面图形面积的步骤 (1)根据题意画出图形; (2)借助图形确定出被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限; (3)把平面图形的面积表示成若干个定积分的和或差; (4)计算定积分得出答案. 1? ? (2015· 北京东城区检测,13)如图,已知点 A?0,4?,点 P(x0,y0)(x0>0)在曲线 y=x2 上,若 ? ? 阴影部分的面积与△OAP 的面积相等,则 x0=________.

【解析】

1 ?x0 1 3 S 阴影=∫x00x2dx= 3x3? 0=3x0 , ?

1 1 1 又 S 阴影=S△AOP,∴3x3 0= ? ·x0, 2 4 6 ∴x0= 4 . 【答案】 6 4

1.(2015· 福建宁德质检,5)定积分?2 |x2-2x|dx=( ?-2 A.5 B.6 C.7 D.8

)

【答案】

D ?2 |x2-2x|dx=?0 (x2-2x)dx+ ?-2 ?-2

3 0 ?x 2?? 2 - x ? ? ? (2 x - x )d x = + ? ?3 ?? -2 ?0 2 3 8 ? 2 x ??2 8 ?x - 3 ?? 0= +4+4- =8. 3 3 ? ??

2.(2015· 河南开封诊断考试,5)若?1(x2+mx)dx=0,则实数 m 的值为( ?0 1 2 A.-3 B.-3 【答案】
3

)

C.-1 D.-2

B 由题意知,?1(x2+mx)dx ?0
2

?x mx ??1 = ? 3 + 2 ?? 0 ? ?? 1 m 2 =3+ 2 =0,得 m=-3. 3.(2015· 山西太原八校联考,7)已知(xln x)′=ln x+1,则
e ? ln xdx=( ?1

) D.e+1
e e

A.1 B.e C.e-1

? 【答案】 A 由(xln x)′=ln x+1, 联想到(xln x-x)′=(ln x+1)-1=ln x, 于是? ln xd x=(xln x-x)? ?1 ?1 =(eln e-e)-(1?ln 1-1)=1. 4.(2015· 山东淄博一模,6)如图所示,曲线 y=x2-1,x=2,x=0,y=0 围成的阴影部分的面积为 ( )

A.?2|x2-1|dx ?0 ? B.? ?? (x2-1)dx? ? 0
2

C.?2(x2-1)dx ?0 D.?1(x2-1)dx+?2(1-x2)dx ?0 ?1

【答案】

A 由曲线 y=|x2-1|的性质,可得所求阴影部分的面积为?2|x2-1|dx,选 A. ?0

5.(2015· 湖南长沙模拟,7)如图,矩形 OABC 内的阴影部分是由曲线 f(x)=sin x(x∈(0,π ))及直线 1 x=a(a∈(0, π ))与 x 轴围成, 向矩形 OABC 内随机投掷一点, 若落在阴影部分的概率为4, 则 a 的值是( )

7π A. 12

2π B. 3

3π C. 4

5π D. 6

6 【答案】 B 由题意知,构成试验的全部区域是矩形 OACB,面积为 ax· a=6.记“向矩形 OABC 内 随机投掷一点,若落在阴影部分”为事件 A,则构成事件 A 的区域即为阴影部分面积,
a sin xd x=-cos x?a S= ? ?0 ? 0=1-cos a,

由几何概型的概率计算公式得 P(A)= 2π 又 a∈(0,π ),所以 a= 3 .

1-cos a 1 1 =4,所以 cos a=-2. 6

6.(2015· 河南郑州质检,15)?1 -x2+2xdx=________. ?0 【解析】
2 1 ? -x +2xdx 表示 ?0

y= -x2+2x与 x=0,x=1 及 y=0 所围成的图形的面积. 由 y= -x2+2x得(x-1)2+y2=1(y≥0). 又∵0≤x≤1,
[来源:学科网 ZXXK]

π 1 ∴y= -x2+2x与 x=0,x=1 及 y=0 所围成的图形为4个圆,其面积为 4 . π ∴?1 -x2+2xdx= 4 . ?0 π 4 7.(2014· 广东汕头质检,12)设 a=?π sin xdx,则曲线 y=f(x)=xax+ax-2 在点(1,f(1))处的切线的 ?0 【答案】

斜率为________. 【解析】 sin xdx=(-cos x)? ? ∵a= ? ?0 ?
π

π
0=2,

∴f(x)=x· 2x+2x-2. ∴f′(x)=2x+x· 2xln 2+2. ∴曲线在点(1,f(1))处的切线的斜率 k=f′(1)=4+2ln 2. 【答案】 4+2ln 2

(时间:120 分钟__分数:150 分) 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) ln x 1.(2015· 广西柳州二模,5)函数 f(x)= x 在点(x0,f(x0))处的切线平行于 x 轴,则 f(x0)等于( ) 1 1 1 A.-e B. e C.e2 D.e2 1 x0?x0-ln x0 1-ln x0 【答案】 B 与 x 轴平行的切线,其斜率为 0,所以 f′(x0)= = x2 =0,故 x0=e, x2 0 0 1 ∴f(x0)= e. 2.(2015· 河北衡水质检,7)已知实数 a,b,c,d 成等比数列,函数 y=ln(x+2)-x,当 x=b 时,取 到极大值 c,则 ad 等于( A.1 B.0 C.-1 【答案】 C 所以 ad=bc=-1. y′= ) D. 2

-x-1 1 -1= ,由 y′=0 得 x=-1.又 f(-1)=ln 1+1=1,所以 b=-1,c=1, x+2 x+2

3.(2013· 北京,7)直线 l 过抛物线 C:x2=4y 的焦点且与 y 轴垂直,则 l 与 C 所围成的图形的面积 等于( 4 A.3 ) B.2 8 C.3 16 2 D. 3 x2? 4? ?

【答案】 C

由题意知,抛物线的焦点坐标为(0,1),故直线 l 的方程为 y=1,该直线与抛物线在
2?1-

第一象限的交点坐标为(2, 1). 根据图形的对称性和定积分的几何意义可得, 所求图形的面积是 2? ? ?0? x3 ??2 8 ? x - ? ?? = . dx=2 ? 12?? 0 3

4.(2015· 山东临沂质检,8)若函数 f(x)=2x2-ln x 在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不是单 调函数,则实数 k 的取值范围是( 3? ? A.[1,+∞) B.?1,2? ? ? ?3 ? C.[1,2) D.?2,2? ? ? )

【答案】

1 (2x+1)(2x-1) B f′(x)=4x- x= (x>0), x

1 1 令 f′(x)=0,得 x=2.又函数 f(x)在区间(k-1,k+1)内不是单调函数,故2∈(k-1,k+1)且 k-1≥0, 3? ? 解得 k∈?1,2?,故选 B. ? ? 思路点拨:解答本题的关键是求出极值点 x0,根据 x0 与(k-1,k+1)的关系求解. 5.(2015· 安徽淮南二模,6)已知函数 y=x3-3x+c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则 c=( A.-2 或 2 C.-1 或 1 【答案】 B.-9 或 3 D.-3 或 1 )

A ∵y′=3x2-3,∴当 y′=0 时,x=± 1.

则 x,y′,y 的变化情况如下表; x y′ y (-∞,-1) + ? -1 0 c+2 (-1,1) - ? 1 0 c-2 (1,+∞) + ?

因此,当函数图象与 x 轴恰有两个公共点时,必有 c+2=0 或 c-2=0,∴c=-2 或 c=2. 6.(2015· 河南洛阳质检,8)对于 R 上可导的任意函数 f(x),若满足 A.f(0)+f(2)>2f(1) C.f(0)+f(2)<2f(1) 【答案】 B.f(0)+f(2)≤2f(1) D.f(0)+f(2)≥2f(1) 1-x ≤0,则必有( f′(x) )

A 当 x<1 时,f′(x)<0,此时函数 f(x)递减;当 x>1 时,f′(x)>0,此时函数 f(x)递增,

即当 x=1 时,函数 f(x)取得极小值同时也取得最小值 f(1),所以 f(0)>f(1),f(2)>f(1),则 f(0)+f(2)>2f(1), 故选 A. 7.(2014· 河北石家庄模拟,8)若不等式 2xln x≥-x2+ax-3 对 x∈(0,+∞)恒成立,则实数 a 的取 值范围是( ) B.(-∞,4] C.(0,+∞) D.[4,+∞)

A.(-∞,0) 【答案】

3 3 B 2xln x≥-x2+ax-3,则 a≤2ln x+x+ x.设 h(x)=2ln x+x+ x (x>0),则 h′(x)=

(x+3)(x-1) .当 x∈(0,1)时,h′(x)<0,函数 h(x)单调递减;当 x∈(1,+∞)时,h′(x)>0,函数 x2 h(x)单调递增,所以 h(x)min=h(1)=4.所以 a≤h(x)min=4. 故 a 的取值范围是(-∞,4].

8.(2015· 陕西汉中质检,9)设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数是 f′(x),且函数 f(x)在 x=-2 处取得 极小值,则函数 y=xf′(x)的图象可能是( )

【答案】

C

f(x)在 x=-2 处取得极小值,即 x<-2,f′(x)<0;x>-2,f′(x)>0,那么 y=xf′(x)

过点(0,0)及(-2,0).当 x<-2 时,x<0,f′(x)<0,则 y>0;当-2<x<0 时,x<0,f′(x)>0,y<0;当 x>0 时,f′(x)>0,y>0,故 C 正确. 9. (2015· 福建厦门质检, 10)若函数 f(x)=x3-3x 在(a, 6-a2)上有最小值, 则实数 a 的取值范围是( A.(- 5,1) B.[- 5,1) C.[-2,1) D.(- 5,-2] 【答案】 C f ′(x)=3x2-3=0, 得 x=± 1, 且 x=1 为函数的极小值点, x=-1 为函数的极大值点. 函 )

数 f(x)在区间(a,6-a2)上,则函数 f(x)极小值点必在区间(a,6-a2)内,即实数 a 满足 a<1<6-a2 且 f(a) =a3-3a≥f(1)=-2. 解 a<1<6-a2,得- 5<a<1. 不等式 a3-3a≥f(1)=-2, 即 a3-3a+2≥0,即 a3-1-3(a-1)≥0, 即(a-1)(a2+a-2)≥0,即(a-1)2(a+2)≥0,即 a≥-2. 故实数 a 的取值范围是[-2,1).故选 C. 10.(2012· 福建,12)已知 f(x)=x3-6x2+9x-abc,a<b<c,且 f(a)=f(b)=f(c)=0.现给出如下结论: ①f(0)f(1)>0;②f(0)f(1)<0;③f(0)f(3)>0;④f(0)f(3)<0. 其中正确结论的序号是( A.①③ B.①④ 【答案】 x>3, ∴f(x)在区间(1,3)上是减函数,在区间(-∞,1),(3,+∞)上是增函数. 又 a<b<c,f(a)=f(b)=f(c)=0, ∴y 极大值=f(1)=4-abc>0,y 极小值=f(3)=-abc<0,∴0<abc<4. ∴a,b,c 均大于零,或者 a<0,b<0,c>0. C ) D.②④

C.②③

∵f′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3).由 f′(x)<0,得 1<x<3,由 f′(x)>0,得 x<1 或

又 x=1,x=3 为函数 f(x)的极值点,后一种情况不可能成立,如图.

∴f(0)<0,∴f(0)f(1)<0,f(0)f(3)>0,∴正确结论的序号是②③. 11.(2015· 山西大同模拟,9)已知函数 f(x)的定义域为[-3,+∞),且 f(6)=2.f′(x)为 f(x)的导函数,f′(x)的图象如图所示.若正数 a,b 满足 f(2a+3b)<2,则 围是( ) b+3 的取值范 a-2

3? ? A.?-∞,-2?∪(3,+∞) ? ? ? 9 ? B.?-2,3? ? ? 9? ? C.?-∞,-2?∪(3,+∞) ? ? ? 3 ? D.?-2,3? ? ? 【答案】 A 由导函数的图象可以看出 f(x)在(-3, 0)上为减函数, 在[0, +∞)上为增函数, 由 f(2a

?a>0, +3b)<2 可得 f(2a+3b)<f(6).又 a,b 为正数,故?b>0, 将此不等式组看作关于 a,b 的约束条件, ?2a+3b<6,
画出可行域如图所示,

b+3 结合图形, 表示连接点(2,-3)和可行域内一点(x,y)的直线的斜率,结合图形可得其取值范围 a-2 3? ? 是?-∞,-2?∪(3,+∞). ? ? 思路点拨:本题根据已知条件找出 a,b 所满足的条件,画出区域,数形结合求解.

12.(2015· 辽宁五校联考,12)设函数 f(x)=ex(sin x-cos x)(0≤x≤2 012π ),则函数 f(x)的各极小值之 和为( ) e2π (1-e2 012π ) e2π (1-e1 006π ) B .- π 1-e2 1-eπ

A.-

e2π(1-e1 006π ) e2π (1-e2 010π ) C.- D.- 1-e2π 1-e2π 【答案】 D f′(x)=(ex)′(sin x-cos x)+ex(sin x-cos x)′=2exsin x,若 f′(x)<0,则 x∈(π +2kπ ,2

π +2kπ ),k∈Z;若 f′(x)>0,则 x∈(2π +2kπ ,3π +2kπ ),k∈Z. 所以当 x=2π +2kπ ,k∈Z 时,f(x)取得极小值,其极小值为 f(2π +2kπ )=e2kπ +2π ?[sin(2π+2kπ ) -cos(2π +2kπ )]=e2kπ +2π ?(0-1)=-e2kπ +2π ,k∈Z.因为 0≤x≤2 012π ,又在两个端点的函数值不是 极小值,所以 k∈[0,1 004],所以函数 f(x)的各极小值构成以-e2π 为首项,以 e2π 为公比的等比数列, 共有 1 005 项,故函数 f(x)的各极小值之和为 S1 005=-e -e -?-e 二、填空题(共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.(2013· 广东,10)若曲线 y=kx+ln x 在点(1,k)处的切线平行于 x 轴,则 k=________. 【解析】 【答案】 1 1 y′=k+ ,则 y′|x=1=0,即当 x=1 时,k+ =k+1=0,解得 k=-1. x x -1
2π 4π 2 010π

e2π (1-e2 010π ) =- . 1-e2π

14.(2012· 辽宁,15)已知 P,Q 为抛物线 x2=2y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4,-2,过 P, Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点 A,则点 A 的纵坐标为________. x2 【解析】 y=f(x)= 2 ,f′(x)=x,∴过 P 处的切线斜率为 f′(4)=4,过 Q 处的切线斜率为 f′(-2)= -2,点 P 的坐标为(4,8),点 Q 的坐标为(-2,2), ∴在点 P 处的切线方程为 y-8=4(x-4),即 y=4x-8. ?y=4x-8, 在点 Q 处的切线方程为 y-2=-2(x+2),即 y=-2x-2,解? 得 ?y=-2x-2 A(1,-4),则点 A 的纵坐标为-4. 【答案】 -4

15.(2015· 河南郑州二模,15)已知函数 f(x)=-x3+ax2-4 在 x=2 处取得极值,若 m,n∈[-1,1], 则 f(m)+f′(n)的最小值是________. 【解析】 ∵f′(x)=-3x2+2ax,函数 f(x)=-x3+ax2-4 在 x=2 处取得极值,∴-12+4a=0,解

得 a=3,即 f(x)=-x3+3x2-4.当 m∈[-1,1]时,f(m)=-m3+3m2-4,f′(m)=-3m2+6m.令 f′(m) =0 得 m=0,m=2,∴m=0 时,f(m)min=-4.f′(n)=-3n2+6n 在[-1,1]上单调递增,∴f′(n)的最小 值为 f′(-1)=-9.故[f(m)+f′(n)]min=f(m)min+f′(n)min=-4-9=-13. 【答案】 -13

16.(2014· 湖北武汉模拟,14)某商场从生产厂家以每件 20 元购进一批商品,若该商品零售价为 p 元,销量 Q(单位:件)与零售价 p(单位:元)有如下关系:Q=8 300-170p-p2,则该商品零售价定为 ________元时利润最大,利润的最大值为________元. 【解析】 设商场销售该商品所获利润为 y 元,则 y=(p-20)(8 300-170p-p2)

=-p3-150p2+11 700p-166 000(p≥20), 则 y′=-3p2-300p+11 700. 令 y′=0 得 p2+100p-3 900=0, 解得 p=30 或 p=-130(舍去). 则 p,y,y′变化关系如下表: p y′ y (20,30) + ? 30 0 极大值 (30,+∞) - ?

故当 p=30 时,y 取极大值为 23 000 元. 又 y=-p3-150p2+11 700p-166 000 在[20,+∞)上只有一个极值,故也是最值. 所以该商品零售价定为每件 30 元,所获利润最大为 23 000 元. 【答案】 30 23 000

三、解答题(共 6 小题,共 74 分) 1 17.(12 分)(2015· 宁夏银川质检,17)已知函数 f(x)=2x2-aln x(a∈R). (1)若函数 f(x)的图象在 x=2 处的切线方程为 y=x+b,求 a,b 的值; (2)若函数 f(x)在(1,+∞)上为增函数,求 a 的取值范围. a 解:(1)因为 f′(x)=x- x(x>0), 且 f(x)在 x=2 处的切线方程为 y=x+b, 2-aln 2=2+b, ? ? 所以? a 2- =1, ? ? 2

解得 a=2,b=-2ln 2. a (2)若函数 f(x)在(1,+∞)上为增函数,则 f′(x)=x- x≥0 在(1,+∞)上恒成立,即 a≤x2 在(1,+∞) 上恒成立.所以 a≤1. 18.(12 分)(2015· 四川眉山质检,21)已知函数 f(x)=aln x-ax-3(a∈R). (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为 45°,对于任意的 t∈[1,2],函数 g(x)= m? ? x3+x2??f′(x)+ 2 ?在区间(t,3)内总不是单调函数,求 m 的取值范围. ? ? a(1-x) 解:(1)f′(x)= (x>0), x 当 a>0 时,f(x)的单调增区间为(0,1),减区间为[1,+∞); 当 a<0 时,f(x)的单调增区间为[1,+∞),减区间为(0,1); 当 a=0 时,f(x)不是单调函数. a (2)由(1)得 f′(2)=-2=1,即 a=-2, ∴f(x)=-2ln x+2x-3, ?m ? ∴g(x)=x3+? 2 +2?x2-2x, ? ? ∴g′(x)=3x2+(m+4)x-2. ∵g(x)在区间(t,3)内总不是单调函数, 即 g′(x)=0 在区间(t,3)内有变号零点. 由于 g′(0)=-2, ?g′(t)<0, ∴? ?g′(3)>0. 当 g′(t)<0 时,即 3t2+(m+4)t-2<0 对任意 t∈[1,2]恒成立, 由于 g′(0)<0,故只要 g′(1)<0 且 g′(2)<0, 即 m<-5 且 m<-9,即 m<-9; 37 由 g′(3)>0,得 m>- 3 . 37 所以- 3 <m<-9. 19.(12 分)(2014· 山东枣庄质检,20)某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为 30 元,并且每 件产品须向总公司缴纳 a 元(a 为常数,2≤a≤5)的管理费,根据多年的统计经验,预计当每件产品的售

k 价为 x 元时,产品一年的销售量为ex(e 为自然对数的底数)万件,已知每件产品的售价为 40 元时,该产 品一年的销售量为 500 万件. 经物价部门核定每件产品的售价 x 最低不低于 35 元, 最高不超过 41 万元. (1)求分公司经营该产品一年的利润 L(x)万元与每件产品的售价 x 元的函数关系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,该产品一年的利润 L(x)最大,并求出 L(x)的最大值. k 解:(1)由题意,该产品一年的销售量为 y=ex. 将 x=40,y=500 代入,得 k=500e40. 故该产品一年的销售量 y(万件)关于 x(元)的函数关系式为 y=500e40-x. 所以 L(x)=(x-30-a)y =500(x-30-a)e40-x(35≤x≤41). (2)由(1)得,L′(x)=500[e40-x-(x-30-a)e40-x]=500e40-x(31+a-x). ①当 2≤a≤4 时,L′(x)≤500e40-x(31+4-35)=0, 当且仅当 a=4,x=35 时取等号. 所以 L(x)在[35,41]上单调递减. 因此,L(x)max=L(35)=500(5-a)e5. ②当 4<a≤5 时,L′(x)>0?35≤x<31+a, L′(x)<0?31+a<x≤41. 所以 L(x)在[35,31+a)上单调递增,在[31+a,41]上单调递减. 因此,L(x)max=L(31+a)=500e9-a. 综上所述当 2≤a≤4 时, 每件产品的售价为 35 元,该产品一年的利润 L(x)最大,最大为 500(5-a)e5 万元; 当 4<a≤5 时,每件产品的售价为(31+a)元时,该产品一年的利润 L(x)最大,最大为 500e9-a 万元. 20.(12 分)(2012· 浙江,21)已知 a∈R,函数 f(x)=4x3-2ax+a. (1)求 f(x)的单调区间; (2)证明:当 0≤x≤1 时,f(x)+|2-a|>0. 解:(1)由题意得 f′(x)=12x2-2a. 当 a≤0 时,f′(x)≥0 恒成立,此时 f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞). 当 a>0 时,f′(x) ? =12?x- ? a?? ?? 6??x+ a? ?, 6?
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? 此时函数 f(x)的单调递增区间为?-∞,- ? a a? ? ?. 单调递减区间为?- 6, 6? ? ≥4x3-4x+2. 当 a>2 时,f(x)+|a-2| =4x3+2a(1-x)-2 ≥4x3+4(1-x)-2=4x3-4x+2. 设 g(x)=2x3-2x+1,0≤x≤1,则 g′(x)=6x2-2 ? 3?? 3? =6?x- ??x+ ?.于是 3 ?? 3? ? x g′(x) g(x) 1 0 ? 3? ?0, ? 3? ? - 减

a? ? ?和? 6? ?

a ? ?, 6,+∞?

(2)证明:由于 0≤x≤1,故当 a≤2 时,f(x)+|a-2|=4x3-2ax+2

3 3 0 极小值

? 3 ? ? ,1? ?3 ? + 增

1

1

4 3 ? 3? 所以 g(x)min=g? ?=1- 9 >0. ?3? 所以当 0≤x≤1 时,2x3-2x+1>0. 故 f(x)+|a-2|≥4x3-4x+2>0. 方法点拨:利用导数研究不等式问题的处理方法是构造新的函数,将原来的问题转化为新函数的最 值问题来解决.21.(12 分)(2014· 湖北,22)π 为圆周率,e=2.718 28?为自然对数的底数. ln x (1)求函数 f(x)= x 的单调区间; (2)求 e3,3e,eπ ,π e,3π ,π 3 这 6 个数中的最大数与最小数; (3)将 e3,3e,eπ ,π e,3π ,π 3 这 6 个数按从小到大的顺序排列,并证明你的结论. 解:(1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞). 1-ln x ln x 因为 f(x)= x ,所以 f′(x)= x2 . 当 f′(x)>0,即 0<x<e 时,函数 f(x)单调递增; 当 f′(x)<0,即 x>e 时,函数 f(x)单调递减. 故函数 f(x)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+∞).

(2)因为 e<3<π,所以 eln 3<eln π, πln e<πln 3,即 ln 3e<ln πe,ln eπ<ln 3π. 于是根据函数 y=ln x,y=ex,y=πx 在定义域上单调递增,可得 3e<πe<π3,e3<eπ<3π. 故这 6 个数的最大数在π3 与 3π之中,最小数在 3e 与 e3 之中. 由 e<3<π 及(1)的结论,得 f(π)<f(3)<f(e),即 ln π ln 3 ln e < 3 < e . π



ln π ln 3 < 3 ,得 ln π3<ln 3π,所以 3π>π3; π

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ln 3 ln e 由 3 < e ,得 ln 3e<ln e3,所以 3e<e3. 综上,6 个数中的最大数是 3π,最小数是 3e. (3)由(2)知,3e<πe<π3<3π,3e<e3. 又由(2)知, ln π ln e < e ,得 πe<eπ. π

故只需比较 e3 与 πe 和 eπ与 π3 的大小. 1 ln x 1 由(1)知,当 0<x<e 时,f(x)<f(e)= e,即 x <e. e2 , π e2 e2 e 又 <e,则 ln < , π π π e 从而 2-ln π< , π e 即得 ln π>2-π.① e? 2.72? ? ? 由①得,eln π>e?2-π?>2.7??2- 3.1 ?>2.7?(2-0.88)=3.024>3, ? ? ? ? 在上式中,令 x= 即 eln π>3,亦即 ln πe>ln e3,所以 e3<πe. 3e 又由①得,3ln π>6- >6-e>π, π 即 3ln π>π,所以 eπ<π3. 综上可得,3e<e3<πe<eπ<π3<3π, 即 6 个数从小到大的顺序为 3e,e3,πe,eπ,π3,3π. 22.(14 分)(2014· 江苏,19)已知函数 f(x)=ex+e-x,其中 e 是自然对数的底数. (1)证明:f(x)是 R 上的偶函数;

(2)若关于 x 的不等式 mf(x)≤ e-x+m-1 在(0,+∞)上恒成立,求实数 m 的取值范围;
a-1 (3)已知正数 a 满足:存在 x0∈[1,+∞),使得 f(x0)<a(-x3 与 ae-1 的大小, 0+3x0)成立.试比较 e

并证明你的结论. 解:(1)证明:因为对任意 x∈R,都有 f(-x)=e-x+e-(-x)=e-x+ex=f(x), 所以 f(x)是 R 上的偶函数. (2)由条件知 m(ex+e-x-1)≤e-x-1 在(0,+∞)上恒成立. 令 t=ex(x>0),则 t>1, t-1 所以 m≤- 2 =- t -t+1 1 t-1+ 1 +1 t-1 对任意 t>1 成立.

1 因为 t-1+ +1≥2 t-1 所以- 1

1 (t-1)· +1=3, t-1

1 ≥-3, 1 t-1+ +1 t-1

当且仅当 t=2,即 x=ln 2 时等号成立. 1? ? 因此实数 m 的取值范围是?-∞,-3?. ? ? 1 (3)令函数 g(x)=ex+ex-a(-x3+3x), 1 则 g′(x)=ex-ex+3a(x2-1). 1 当 x≥1 时,ex-ex>0,x2-1≥0,又 a>0,故 g′(x)>0,所以 g(x)是[1,+∞)上的单调增函数,因此 g(x)在[1,+∞)上的最小值是 g(1)=e+e-1-2a.
3 由于存在 x0∈[1,+∞),使 ex0+e-x0-a(-x0 +3x0)<0 成立,当且仅当最小值 g(1)<0,故 e+e-1

e+e-1 e-1 -2a<0,即 a> 2 .令函数 h(x)=x-(e-1)ln x-1,则 h′(x)=1- x .令 h′(x)=0,得 x=e-1.当 x∈(0, e-1)时,h′(x)<0,故 h(x)是(0,e-1)上的单调减函数; 当 x∈(e-1,+∞)时,h′(x)>0,故 h(x)是(e-1,+∞)上的单调增函数. 所以 h(x)在(0,+∞)上的最小值是 h(e-1). 注意到 h(1)=h(e)=0,所以当 x∈(1,e-1)?(0,e-1)时,h(e-1)≤h(x)<h(1)=0; 当 x∈(e-1,e)?(e-1,+∞)时,h(x)<h(e)=0.所以 h(x)<0 对任意的 x∈(1,e)成立. ?e+e ? - - ①当 a∈? ,e??(1,e)时,h(a)<0,即 a-1<(e-1)ln a,从而 ea 1<ae 1; ? 2 ?
-1

②当 a=e 时,ea-1=ae-1; ③当 a∈(e,+∞)?(e-1,+∞)时,h(a)>h(e)=0,即 a-1>(e-1)ln a,故 ea-1>ae-1. ?e+e ? - - - - - - 综上所述,当 a∈? ,e?时,ea 1<ae 1;当 a=e 时,ea 1=ae 1;当 a∈(e,+∞)时,ea 1>ae 1. ? 2 ?
-1


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