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(2014东城一模)北京市东城区2014届高三3月质量调研数学(理科)试题及参考答案


东城区 2013-2014 学年度第二学期教学检测 高三数学 (理科)
学校______________班级_________姓名____________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页,共 150 分。考试 时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷 和

答题卡一并交回。

选择题部分(共 40 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设集合 A={x| 1 ? 2 ? 16 },B={x|x 2-2x-3≤0},则 A∩( C RB)=
x

A.(1,4)

B.(3,4)

C.(1,3)

D.(1,2)

2.已知 i 是虚数单位, 若 3 ? i A.1-2i B.2-i

? z(1 ? i), 则 z=
C.2+i D.1+2i

3.设 a ? R,则“a=-2”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与 直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
?
8

4. 将函数 y ? sin(2 x ? ? ) 的图象沿 x 轴向左平移 的一个可能取值为 A.

个单位后, 得到一个偶函数的图象, 则?

3? 4

B.

? 2

C.

? 4

D. ?

?
4

5.设 a,b 是两个非零向量.则下列命题为真命题的是 A.若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b B.若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b| C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ,使得 a=λb D.若存在实数 λ,使得 a=λb,则|a+b|=|a|-|b| 6.某几何体的一条棱长为 7 ,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为 6 的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段,则

a ? b 的最大值为
第 1 页 共 1 页

A.

2 2

B.

2 3

C. 4

D. 2 5

7.已知抛物线 C1 : y ?

2 1 2 x ( p ? 0) 的焦点与双曲线 C2 : x ? y 2 ? 1 的右焦点的连线交 2p 3

C1 于第一象限的点 M ,若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线,则 p ?
A.

3 16

B.

3 8

C.

2 3 3

D.

4 3 3

8.设 a>0,b>0.
a b A.若 2 ? 2a ? 2 ? 3b ,则 a>b

a b B.若 2 ? 2a ? 2 ? 3b ,则 a<b a b C.若 2 ? 2a ? 2 ? 3b ,则 a>b
a b D.若 2 ? 2a ? 2 ? 3b ,则 a<b

非选择题部分(共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.记等差数列

{an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a2 ? a4 ? 6, S4 ? 10 .

则 a10 ? _______ . 10.如图, PA 与圆 O 相切于 A ,不过圆心 O 的割线 PCB 与
0 直径 AE 相交于 D 点.已知∠ BPA = 30 , AD ? 2 ,

PC ? 1 ,则圆 O 的半径等于
11. 若函数



f ( x) ? kx ? e x 有零点,则 k 的取值范围

为_______. 12.已知圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 8 y ? 0 ,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短 弦分别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为_______________. 13.已知 (1 ? x ? x 2 ) ? x ? 则 n=______. 14.设 a ? R,若 x>0 时均有[(a-1)x-1]( x 2-ax-1)≥0, 则 a=______________.

? ?

1? * 的展开式中没有 常数项, n ? N ,且 2 ≤ n ≤ 7, .. 3 ? x ?

n

第 2 页 共 2 页

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 13 分) 设 △ ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c , 且 a cos B ? b cos A ? (Ⅰ)求

3 c. 5

tanA 的值; tanB

(Ⅱ)求 tan( A ? B) 的最大值.

16.(本小题满分 13 分) 某绿化队甲组有 10 名工人,其中有 4 名女工人;乙组有 5 名工人,其中有 3 名女工人, 现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取 3 名工人进行 技能考核. (I)求从甲、乙两组各抽取的人数; (II)求从甲组抽取的工人中至少 1 名女工人的概率; (III)记 ? 表示抽取的 3 名工人中男工人数,求 ? 的分布列及数学期望.

17.(本小题满分 14 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ? 平面 ABCD , PA ? AD ? 4 ,

AB ? 2 . 以 AC 的中点 O 为球心、 AC 为直径的球面交 PD 于点 M ,交 PC 于点 N .
(Ⅰ)求证:平面 ABM ⊥平面 PCD ; (Ⅱ)求直线 CD 与平面 ACM 所成的角的正弦值; (Ⅲ)求点 N 到平面 ACM 的距离.

第 3 页 共 3 页

18. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln(ax ? 1) ?

1? x , x ? 0 ,其中 a ? 0 1? x

? ? ? 若 f ( x) 在 x=1 处取得极值,求 a 的值; ? ?? ? 求 f ( x) 的单调区间;
(Ⅲ)若 f ( x ) 的最小值为 1,求 a 的取值范围 .

19.(本小题满分 14 分)

椭圆 C:

1 x2 y 2 + ? 1 ( a > b > 0) 的离心率为 ,其左焦点到点 P(2,1)的距离为 10 . 2 a 2 b2

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A , B 两点( A,B 不是左右顶点) ,且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点.求证:直线 l 过定点,并求出该定 点的坐标.

20. (本题满分 12 分) 在数列 {a n }, {b n } 中,a1=2,b1=4,且 an,bn,an ?1 成等差数列, bn,an?1,bn?1 成等 比数列( n ? N )
*

(Ⅰ )求 a2,a3,a4 及 b2,b3,b4,由此归纳出 {a n }, {b n } 的通项公式,并证明你的结论; (Ⅱ )证明:

1 1 1 1 5 ? ? ??? ? . a1 ? b1 a 2 ? b 2 a 3 ? b3 a n 2 ? b n 2 12

第 4 页 共 4 页

东城区 2013-2014 学年度第二学期教学检测 高三数学答案 (理科)

一、选择题: 1.B;2.D;3.A;4.C; 5.C;6.C;7.D;8.A.
a b a b (第 8 题的提示: 若 2 ? 2a ? 2 ? 3b , 必有 2 ? 2a ? 2 ? 2b . 构造函数:f ? x ? ? 2x ? 2x ,

x 则 f ? ? x ? ? 2x ? ln 2 ? 2 ? 0 恒成立,故有函数 f ? x ? ? 2 ? 2x 在 x>0 上单调递增,即 a>b 成

立.其余选项用同样方法排除. )

二、填空题: 9.10; 10.7; 11. k ? e或k ? 0. ; 12 . 20 6 ;13.5; (第 14 题的提示: 函数 y1=(a-1)x-1,y2=x 2-ax-1 都过定点 P(0,-1). 函数 y1=(a-1)x-1:过 M(

14. a ?

3 2

1 ,0),可得:a>1; a ?1

函数 y2=x 2-ax-1:显然过点 M(

3 1 ,0),得: a ? 0或者 a ? ,舍去 a ? 0 , ) a ?1 2

三、解答题: 15.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)在 △ ABC 中, 由正弦定理及 a cos B ? b cos A ?

3 c 5

3 3 3 3 可得 sin A cos B ? sin B cos A ? sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B 5 5 5 5
即 sin A cos B ? 4 cos A sin B ,则 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 tan A ? 4 tan B ? 0

tanA =4. tanB

--------6 分

tan(A ? B) ?

tanA? tanB 3tanB ? ? 1 ? tanAtanB 1 ? 4tan2 B

3 ? , 1 ? 4tanB 4 tanB

3

1 ? 4tanB , tanB ? 2, 时,等号成立, tanB 3 1 故当 tan A ? 2, tan B ? 时, tan( A ? B) 的最大值为 . 4 2
当且仅当

--------13 分

第 5 页 共 5 页

16.(本小题满分 13 分) (I)从甲组抽取 2 人, 从乙组抽取 1 人. --------2 分

(II).从甲组抽取的工人中至少 1 名女工人的概率
2 C6 1 2 P ?1? 2 ?1? ? . C10 3 3

--------5 分

(III) ? 的可能取值为 0,1,2,3
1 2 C3 C4 6 P(? ? 0) ? 2 ? 1 ? C10 C5 75
1 1 1 1 C4 C6 C3 C 2 C2 28 P(? ? 1) ? 2 ? 1 ? 4 ? ? 2 1 C10 C5 C10 C5 75



,

P(? ? 3) ?
?
P

2 1 C6 C2 10 31 ? ? P(? ? 2) ? 1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? P(? ? 3) ? 2 1 75 C10 C5 75 ,

0

1

2

3

6 75
E? ? 8 . 5

28 75

31 75

10 75
--------13 分

17.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)依题设知,AC 是所作球面的直径,则 AM⊥MC。 又因为 P A⊥平面 ABCD,则 PA⊥CD,又 CD⊥AD, 所以 CD⊥平面PAD,则 CD⊥AM, 所以 A M⊥平面 PCD, 所以平面 ABM⊥平面 PCD --------5 分
A D P

N

M

方法一: (Ⅱ)由(1)知, AM ? PD ,又 PA ? AD , 则 M 是 PD 的中点可得,

AM ? 2 2 , MC ? MD2 ? CD2 ? 2 3 1 则 S ?ACM AM ? MC ? 2 6 2 设 D 到平面 ACM 的距离为 h ,
由 VD? ACM

O B C

? VM ? ACD

即2

6h ? 8 ,可求得 h ?

2 6 3



第 6 页 共 6 页

设所求角为 ? ,则 sin ?

?

h 6 ? CD 3

.

--------10 分

(Ⅲ)可求得 PC=6, 因为 AN⊥NC,由 所以 NC : PC

? 5:9 ,

8 PN PA ? ,得 PN ? , 3 PA PC
5 . 9

故 N 点到平面 ACM 的距离等于 P 点到平面 ACM 距离的

又因为 M 是 PD 的中点,则 P、D 到平面 ACM 的距离相等, 由(Ⅱ)可知所求距离为

5 10 6 . --------14 分 h? 9 27
P

方法二: (Ⅱ)如图所示,建立空间直角坐标系, 则 A(0,0,0) , P(0,0, 4) , B(2,0,0) ,

z

C (2,4,0) , D(0,4,0) , M (0,2,2) ; ? 设平面 ACM 的一个法向量 n ? ( x, y, z) , ? ??? ? ? ???? ? ?2 x ? 4 y ? 0 由 n ? AC, n ? AM 可得: ? , ?2 y ? 2 z ? 0 ? 令 z ? 1 ,则 n ? (2, ?1,1) . ??? ? ? CD ? n 6 ? ? ? 设所求角为 ? ,则 sin ? ? ??? . 3 CD n

N

M

A

D

y
O B C

x --------10 分

(Ⅲ)由条件可得, AN ? NC .
2 在 Rt ?PAC 中, PA ? PN ? PC ,所以 PN ?

8 , 3

则 NC ? PC ? PN ?

10 NC 5 ? , , 3 PC 9
5 , 9

所以所求距离等于点 P 到平面 ACM 距离的

??? ? ? AP ? n 2 6 ? ? 设点 P 到平面 ACM 距离为 h 则 h ? , 3 n

所以所求距离为

5 10 6 h? . 9 27

--------14 分

18.(本小题满分 14 分)
第 7 页 共 7 页

(Ⅰ)

f '( x) ?

a 2 ax 2 ? a ? 2 ? ? , ax ? 1 (1 ? x)2 (ax ? 1)(1 ? x)2

∵ f ( x ) 在 x=1 处取得极值,∴ f '(1) ? 0,即a? 12 ? a ? 2 ? 0, 解得 a ? 1. --------4 分 (Ⅱ)

ax 2 ? a ? 2 f '( x) ? , (ax ? 1)(1 ? x)2
? 0,
∴ ax ? 1 ?

∵ x ? 0, a

0.

①当 a ? 2 时,在区间 (0, ??)上,f '( x) ? 0, ∴ f ( x ) 的单调增区间为 (0, ??). ②当 0 ? a ? 2 时, 由 f '( x) ? 0解得x ?

2?a 2?a ,由f '( x) ? 0解得x ? , a a 2-a 2-a ), 单调增区间为( , ? ?). a a
--------10 分

∴ f ( x)的单调减区间为(0,

(Ⅲ)当 a 当0 ?

? 2 时,由(Ⅱ)①知, f ( x)的最小值为f (0) ? 1;

a ? 2 时,由(Ⅱ)②知,
2?a 2?a 处取得最小值 f ( ) ? f (0) ? 1, a a

f ( x) 在 x ?

综上可知,若 f ( x ) 得最小值为 1,则 a 的取值范围是 [2, ??). --------14 分

19.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)由题: e ?

c 1 ? ; (1) a 2
10 . (2)

左焦点(﹣c,0)到点 P(2,1)的距离为: d ? (2 ? c)2 ? 12 ? 由(1) (2)可解得: a ? 4,b ? 3,c ? 1 .
2 2 2

∴所求椭圆 C 的方程为:

x2 y 2 + ?1. 4 3

--------5 分

第 8 页 共 8 页

? y ? kx ? m ? (II)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由 ? x 2 y 2 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8mkx ? 4(m2 ? 3) ? 0 , ?1 ? ? 3 ?4

? ? 64m2k 2 ?16(3 ? 4k 2 )(m2 ? 3) ? 0 , 3 ? 4k 2 ? m2 ? 0 .
x1 ? x2 ? ? 8mk 4(m2 ? 3) , x ? x ? . 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
2 2

3(m2 ? 4k 2 ) y1 ? y2 ? (kx1 ? m) ? (kx2 ? m) ? k x1 x2 ? mk ( x1 ? x2 ) ? m ? . 3 ? 4k 2

? 以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0), k AD ? kBD ? ?1 ,
? y1 y ? 2 ? ?1 , y1 y2 ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 , x1 ? 2 x2 ? 2

3(m2 ? 4k 2 ) 4(m2 ? 3) 16mk ? ? ? 4 ? 0 , 7m2 ? 16mk ? 4k 2 ? 0 ,解得 2 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 3 ? 4k
m1 ? ?2k , m2 ? ? 2k 2 2 ,且满足 3 ? 4k ? m ? 0 . 7

当 m ? ?2k 时, l : y ? k ( x ? 2) ,直线过定点 (2,0), 与已知矛盾;

2 2k 2 时, l : y ? k ( x ? ) ,直线过定点 ( , 0). 7 7 7 2 综上可知,直线 l 过定点,定点坐标为 ( , 0). 7
当m ? ? 20.(本题满分 12 分)
2 (Ⅰ)由条件得 2bn ? an ? an?1 ,an ?1 ? bnbn?1

--------14 分

由此可得

a2 ? 6,b2 ? 9,a3 ? 12,b3 ? 16,a4 ? 20,b4 ? 25 .
猜测 an ? n(n ? 1),bn ? (n ? 1) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分
2

用数学归纳法证明: ①当 n=1 时,由上可得结论成立. ②假设当 n=k 时,结论成立,即

ak ? k (k ? 1),bk ? (k ? 1)2 ,
那么当 n=k+1 时,

第 9 页 共 9 页

ak ?1 ? 2bk ? ak ? 2(k ? 1)2 ? k (k ? 1) ? (k ? 1)(k ? 2),bk ?1 ?
所以当 n=k+1 时,结论也成立.

2 ak ?2 ? (k ? 2) 2 . bk

由①②,可知 an ? n(n ? 1),bn (n ?1)2 对一切正整数都成立. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 (Ⅱ)

1 1 5 ? ? . a1 ? b1 6 12

n≥2 时,由(Ⅰ)知 an ? bn ? (n ? 1)(2n ? 1) ? 2(n ? 1)n .

1 1 1 1 ? ? ??? a1 ? b1 a 2 ? b 2 a 3 ? b3 a n 2 ? bn 2 ?
故?

1 1 1 1 1 ? ( ? ??? 2 2 ) 6 2 2 ? 3 3? 4 n (n ? 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ? ? ??? 2 ? 2 ) 6 2 2 3 3 4 n n ?1 1 1 1 1 ? ( ? 2 ) 6 2 2 n ?1 1 1 5 ? ? . 6 4 12

? ?

综上,原不等式成立. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分

第 10 页 共 10 页


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