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江苏省扬州中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学试卷


江苏省扬州中学 2015—2016 学年第一学期期中考试

高二数学试卷
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. ) 1.已知命题 p :" ?x ? R, e x ? 0" ,则 ?p 是 2.命题 “若 am2<bm2,则 a<b”的逆命题为 . 命题. (填“真” 、 “假” )

/>x2 y2 3.若椭圆 ? ? 1 的一个焦点坐标为(1,0),则实数 m 的值等于______________. 5 m
4. “ x 2 ? 1 ”是“ 0 ? x ? 1 ”成立的 “必要不充分”中选择一个正确的填写) 5.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,过 A1C1 B 的平面与底面 ABCD 的交线为 l ,则直 线 l 与 A1C1 的位置关系为
2

条件. (从“充要”、“充分不必要”、

.(填“平行”或“相交”或“异面”)

y2 6.与双曲线 x ? ?1 有共同的渐近线,且过点(2,2)的双曲线方程为 4
______________. 7. 设 l, m 是不同的直线, α, β, γ 是不同的平面, 则下列命题正确的是______________. ①.若 l⊥m,m⊥α,则 l⊥α 或 l∥α ②.若 l⊥γ,α⊥γ,则 l∥α 或 l ? α ③.若 l∥α,m∥α,则 l∥m 或 l 与 m 相交 ④.若 l∥α,α⊥β,则 l⊥β 或 l ? β 8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2? 的半圆面,则该圆锥的高为______________. 9. 已知点 A 是椭圆

x2 y2 且 AF ? x ? ? 1?a ? b ? 0 ? 上一点,F 为椭圆的一个焦点, a2 b2

轴, AF ? c ( c 为椭圆的半焦距),则椭圆的离心率是__________.

10 .若 F1 , F2 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且 9 16

PF1 ? PF2 ? 64 ,则 ?F1 PF2 =______________.
x2 11 . 点 P ( x, y ) 为 椭 圆 9 + y2 = 1 上 的 任 意 一 点 , 则 x ? 3 y 的 最 大 值 为 ______________. 12.如图所示,一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时,滴管 内匀速滴下球状液体,其中球状液体的半径 r ? 3 10 毫米,滴管内液体忽略不计. 如果瓶内 的药液恰好 156 分钟滴完,则每分钟应滴下 滴. 13.在正三棱锥 S-ABC 中,M,N 分别是棱 SC、BC 的中点,且 MN⊥AM,若侧棱 SA = 3,则正三棱锥 S-ABC 外接球的表面积是______________.

1

14.如图所示, A, B, C 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上的三个点, AB 经过 a 2 b2

原点 O , AC 经过右焦点 F ,若 BF ? AC 且 | BF |?| CF | ,则该双曲线的离心率 是______________. 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤. ) 15.(本小题满分 14 分) 设命题 p : a ? { y | y ? ? x ? 2 x ? 8, x ? R} ,命题 q : 关于 x 的方程 x 2 ? x ? a ? 0 有 实根. (1)若 p 为真命题,求 a 的取值范围; (2)若“ p ? q ”为假命题,且“ p ? q ”为真命题,求 a 的取值范围.
2

16.(本小题满分 14 分) 如图: 已知正方形 ABCD 的边长为 2, 且 AE⊥平面 CDE, AD 与平面 CDE 所成角为 30? 。 (1)求证:AB∥平面 CDE; (2)求三棱锥 D-ACE 的体积. B

A

C

E D

17.(本小题满分 14 分) 已知命 题 p :点 M (1,3) 不 .在圆 ( x ? m) ? ( y ? m) ? 16 的内部, 命题 q : “ 曲线
2 2

C1 :

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 C : ? ?1 表示焦点在 轴上的椭圆 ” ,命题 “ 曲线 x s : 2 m ? t m ? t ?1 m 2 2m ? 8

表示双曲线”.
2

(1)若“ p 且 q ”是真命题,求 m 的取值范围; (2)若 q 是 s 的必要不充分条件,求 t 的取值范围.

18.(本小题满分 16 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 2 . ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 两个焦点之间的距离为 2,且其离心率为 2 a b 2

(1) 求椭圆 C 的标准方程; (2) 若 F 为椭圆 C 的右焦点,经过椭圆的上顶点 B 的直线与椭圆另一个交点为 A,且 满足 BA ? BF =2 ,求 ?ABF 外接圆的方程.

??? ? ??? ?

19. (本小题满分 16 分) 如图,已知四棱锥 P-ABCD 的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90° ,AB=BC=PB =PC=2CD=2,侧面 PBC⊥底面 ABCD,点 M 在 AB 上,且 AM : MB ? 1 : 2 ,E 为 PB 的 中点. (1)求证:CE∥平面 ADP; (2)求证:平面 PAD⊥平面 PAB; P (3)棱 AP 上是否存在一点 N,使得平面 DMN⊥平面 ABCD, 若存在,求出

AN 的值;若不存在,请说明理由. NP
D E C

A

M

B

3

20. (本小题满分 16 分)

x2 y2 2 如图,在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆 E: 2 + 2 =1 ?a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,直线 a b 2
l:y=

1 x 与椭圆 E 相交于 A,B 两点,AB= 4 5 ,C,D 是椭圆 E 上异于 A,B 两点,且直 2

线 AC,BD 相交于点 M,直线 AD,BC 相交于点 N. (1)求 a,b 的值; (2)求证:直线 MN 的斜率为定值.

4

答案: 1. ?x ? R, e x ? 0. 2.假 3. 4 4.必要不充分 5.平行 6.

x2 y 2 ? ?1 3 12
10 2

7.② 8. 3 9.

5 -1 2

10.

?
3

11. 3 2

12. 75 13. 9? 14.

15.解: (1)由题意得, y ?

? x 2 ? 2 x ? 8 ? ? ( x ? 1) 2 ? 9 ? [0,3]

故 p 为真命题时 a 的取值范围为 [0,3] . (2)故 q 为真命题时 a 的取值范围为 a ? ? 由题意得, p 与 q 一真一假,从而

1 4

当 p 真 q 假时有

?0 ? a ? 3 ? ? 1 a 无解; a ? ? ? 4 ?

?a ? 0或a ? 3 1 ? 当 p 假 q 真时有 ? ? a ? 3或 ? ? a ? 0 . 1 4 a?? ? 4 ?
∴实数 a 的取值范围是 [? 16、证明: (1)正方形 ABCD 中, AB // CD , 又 AB ? 平面 CDE, CD ? 平面 CDE, 所以 AB // 平面 CDE. (2)因为 AE⊥平面 CDE,AD 与平面 CDE 所成角为 30? ? ?ADE ? 30?

1 ,0) ? (3,??) . 4

? AE ? 1
因为 AE ? 平面CDE ,且 CD ? 平面CDE ,所以 AE ? CD ,

CD ? AD, 又 正方形ABCD中, 且 AE ? AD ? A , AE、AD ? 平面ADE ,
所以 CD ? 平面ADE , 又 DE ? 平面ADE , 所以 CD ? DE .? CD ? 2, DE ?

3

?VD ? ACE ? V A?CDE ?

1 1 3 ? 2 ? 3 ?1 ? 3 2 3
2 2

17.解: (1)若 p 为真: (1 ? m) ? (3 ? m) ? 16 解得 m ? ?1 或 m ? 3 若 q 为真:则 ?

?m 2 ? 2 m ? 8 ?2 m ? 8 ? 0

解得 ? 4 ? m ? ?2 或 m ? 4

5

若“ p 且 q ”是真命题,则 ?

?m ? ?1或m ? 3 ?? 4 ? m ? ?2或m ? 4

解得 ? 4 ? m ? ?2 或 m ? 4 (2)若 s 为真,则 (m ? t )(m ? t ? 1) ? 0 ,即 t ? m ? t ? 1 由 q 是 s 的必要不充分条件, 则可得 {m | t ? m ? t ? 1} ? ? {m | ?4 ? m ? ?2 或 m ? 4}

即?

?t ? ?4 或t ? 4 ?t ? 1 ? ?2

解得 ? 4 ? t ? ?3 或 t ? 4 18.解:(Ⅰ)? 2c ? 2, e ?

c 2 ? a 2

, ? c ? 1, a ?

2 , ?b ? a2 ? c2 ? 1 ,

椭圆 C 的标准方程是

x2 ? y2 ? 1 2

(Ⅱ)由已知可得 B (0,1), F (1,0) , 设 A( x0 , y0 ) ,则 BA ? ( x0 , y0 ? 1), BF ? (1,?1) , ? BA ? BF ? 2 ,

? x0 ? ( y0 ? 1) ? 2 ,即 x0 ? 1 ? y0 ,

代入

x0 2 ? y0 ? 1 , 2

2

4 ? x0 ? ? ? x0 ? 0 4 1 ? 3 得: ? 或? ,即 A(0,?1) 或 A( , ) . 3 3 ? y0 ? ?1 ? y ? 1 0 ? 3 ?
当 A 为 (0,?1) 时, OA ? OB ? OF ? 1 , ?ABF 的外接圆是以 O 为圆心,以 1 为半径 的 圆,该外接圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 1 ; 当 A 为 ( , ) 时, k BF ? ?1, k AF ? 1 ,所以 ?ABF 是直角三角形,其外接圆是以线段

4 1 3 3

BA
为直径的圆.由线段 BA 的中点 ( , ) 以及 BA ?
学,科,网 Z,X,X,

2 2 3 3

2 5 可得 ?ABF 的外接圆的方程为 3
2 3 2 3 5 . 9

源:

综上所述, ?ABF 的外接圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 1 或 ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ?

6

19.证明: (1)取棱 AP 中点 F,连接 DF,EF

? EF 为 ?PAB 的 中 位 线 ? EF ∥ AB , 且 EF ?

1 AB ? CD ∥ AB , 且 2

CD ?

? CE ∥DF

1 AB ? EF ∥ CD , 且 EF ? CD ? 四 边 形 EFDC 为 平 行 四 边 形 , 2

∵DF?平面 ADP,CE? ∕ 平面 ADP∴CE∥平面 ADP (2)由(1)可得? CE ∥DF ∵PC=BC,E 为 PB 的中点 ∴CE⊥PB ∵AB⊥BC,平面 PBC⊥平面 ABCD,平面 PBC∩平面 ABCD=BC,AB? 平面 ABCD ∴AB⊥平面 PBC 又∵CE? 平面 PBC ∴AB⊥CE 又∵CE⊥PB,AB∩PB=B,AB,PB? 平面 PBC ∴CE⊥平面 PAB 又∵CN∥DF ∴DF⊥平面 PAB 又∵DF?平面 PAD ∴平面 PAD⊥平面 PAB 或:先证明 AB⊥PB,AB=PB=2 ∴BF⊥PA,且 BF= 2,AF=PF= 2, 在梯形 ABCD 中,∠ABC=∠BCD=90° ,AB=BC=2CD=2,∴AD=BD= 5 再证明 PO⊥OD,且 PO= 3,OD= 2 ∴PD= 5 ∴PD=AD= 5 ∴FD⊥AP,FD= PD2-PM2= 3 ∴BD2=FD2+FB2 ∴BF⊥FD,再证明 BF⊥平面 PAD.

AN 4 ? 。证明:取 BC 中点 O ,连结 AO 交 MD 于 Q ,连结 NQ ,在平 NP 7 AQ 4 AN AQ 面 ABCD 中由平几得 ? , ? ? ? NQ ∥ OP ? O 为等腰 ?PBC 底边上的中 QO 7 NP QO
(3) 存在,

? PO ? BC ? PBC⊥底面 ABCD,PO ? 平面 PBC , 点, 平面 PBC ? 平面 ABCD ? BC ? PO ? 平面 ABCD ? NQ ? 平面 ABCD ? NQ ? 平面 DMN,? 平面 DMN⊥平面
ABC 20. 解: (1)因为 e= = ,所以 c2= a2,即 a2﹣b2= a2,所以 a2=2b2;

故椭圆方程为

+

=1;

由题意,不妨设点 A 在第一象限,点 B 在第三象限,



解得 A(

b,

b) ;

又 AB=4 故 a=2

,所以 OA=2 ,b=2 ;

,即 b2+ b2=20,解得 b2=12;

(2)由(1)知,椭圆 E 的方程为

x2 y2 ? ? 1 ,从而 A(4,2) ,B(﹣4,﹣2) ; 24 12

①当 CA,CB,DA,DB 斜率都存在时,设直线 CA,DA 的斜率分别为 k1,k2,C(x0,y0) ,

7

显然 k1≠k2; k1 ? k CB ? 所以 kCB=﹣

y0 ? 2 y0 ? 2 y0 ? 4 ? ? ? x0 ? 4 x0 ? 4 x0 2 ? 16 x0 2


2

8?

x0 2 ??1 2 ? 16

2

; 同理 kDB=﹣

于是直线 AD 的方程为 y﹣2=k2(x﹣4) ,直线 BC 的方程为 y+2=﹣

(x+4) ;

8k k ? 8k1 ? 4 ? x? 1 2 1 ? ? ( x ? 4) ? 2 k1 k 2 ? 1 ?y ? 2 ? ? 2 k1 ?? ?? ? y ? 2 ? k ( x ? 4) ? y ? ? 4k1 k 2 ? 8k 2 ? 2 2 ? ? 2 k1 k 2 ? 1 ?
从而点 N 的坐标为 (

8k1 k 2 ? 8k1 ? 4 ? 4k1 k 2 ? 8k 2 ? 2 , ); 2 k1 k 2 ? 1 2 k1 k 2 ? 1 8k1 k 2 ? 8k 2 ? 4 ? 4k1 k 2 ? 8k1 ? 2 , ); 2 k1 k 2 ? 1 2 k1 k 2 ? 1

用 k2 代 k1,k1 代 k2 得点 M 的坐标为 (

? k MN

? 4k1 k 2 ? 8k 2 ? 2 ? 4k1 k 2 ? 8k1 ? 2 ? 2 k1 k 2 ? 1 2 k1 k 2 ? 1 8(k1 ? k 2 ) ? ? ? ?1 8k1 k 2 ? 8k1 ? 4 8k1 k 2 ? 4k 2 ? 4 8(k 2 ? k1 ) ? 2 k1 k 2 ? 1 2 k1 k 2 ? 1

即直线 MN 的斜率为定值﹣1; ②当 CA,CB,DA,DB 中,有直线的斜率不存在时, 根据题设要求,至多有一条直线斜率不存在, 故不妨设直线 CA 的斜率不存在,从而 C(4,﹣2) ; 仍然设 DA 的斜率为 k2,由①知 kDB=﹣ ;

此时 CA:x=4,DB:y+2=﹣

(x+4) ,它们交点 M(4, ?

4 ; ? 2) k2

BC:y=﹣2,AD:y﹣2=k2(x﹣4) ,它们交点 N( 4 ? 从而 kMN=﹣1 也成立; 由①②可知,直线 MN 的斜率为定值﹣1;

4 ,﹣2) , k2

8


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