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柯西不等式在高考自选模块中的应用分析


柯西不等式在高考自选模块中的应用分析
摘要: 柯西不等式是高中数学新课程标准下的新增内容,随着课改的不断深入,
柯西不等式已经成为我们分析和解决问题的不可缺少的工具。2009 年是课改实 施后的第一次高考自选模块考试,难度适中,符合高中数学教学的实际,有利于 培养学生的创新能力和探究能力,为高校选拔人才提供更多保障。

关键词:高中数学 柯

西不等式 简单不等式 最大(小)值

应用

柯西不等式在高中数学中的主要应用体现在证明恒等式、解无理方程(或方 程组)、证明不等式、证明条件不等式、求函数极值、解三角问题等方面,而高 考中对此块内容的要求仅限于能利用三维的柯西不等式证明一些简单的不等式, 解决最大(小)值问题,预计 2010 年高考也是如此。 本文通过对去年高考自选模块试卷数学部分的分析和研究, 总结出了利用柯 西不等式解题的基本技巧: 利用柯西不等式证明不等式和求最值是新课标下高考中出现的一个基本题 型, 这种题目能充分考查一个学生分析问题和解决问题的能力,越来越受到高考 出题人的喜欢, 在全国的数学联赛和以往的高考题中也有当应用。鉴于其新增性 和必考性, 本文给出了几种典型解题技巧,并对其可能出现的复杂变化做了预测 和证明。

一、三维的柯西不等式及其变式
1.1 三维的柯西不等式形式 设 ai , bi (i ? 1,2,3) 为任意实数,则

(? ai bi ) 2 ? (? ai
i ?1 i ?1

3

3

2

?b
i ?1

3

2

i

) ,当且仅当 bi=?ai (1?i?3)时取等号

1.2 三维柯西不等式的两种变式 变式 1:设 ai , bi (i ? 1,2,3) 为任意实数,则

?b
i ?1

3

ai

2

?

(? a i ) 2
i ?1 3

3

i

?b
i ?1

,当且仅当 bi=?ai (1?i?3)时取等号

i

变式 2 设 ai , bi (i ? 1,2,3) 为任意实数,则

?b
i ?1

3

ai
i

?

(? a i ) 2

3

?a b
i ?1

i ?1 3

,当且仅当 b1=b2=b3 时取等号

i i

二、三维的柯西不等式的应用
纵观去年浙江省高考自选模块数学部分试题和今年省内各市的模拟试题, 这 个知识点的考查主要体现在证明简单不等式和求最值问题两方面。 这个题目难度 适中, 主要目的是考查学生是否掌握柯西不等式的形式及其变形,熟悉变形的基 本技巧即可熟练解题。 技巧一:直接嵌入因式 柯西不等式中有三个因式 ? ai2 , ? bi2
i ?1 i ?1 3 3

, ? a i bi 而一般题目中只有一个
i ?1

3

或两个因式,为了运用柯西不等式证明不等式或求最值,需要设法嵌入一个、两 个甚至三个因式(嵌入的因式之和往往是定值) ,这也是利用柯西不等式的技巧 之一。

例题 1 (2009 年浙江省高考自选模块数学试题)已知实数 x, y, z 满足 x ? y ? 2 z ? 1, 设 t ? x 2 ? y 2 ? 2 z 2 . (1) 求 t 的最小值;
1 时,求 z 的取值范围 2 解:观察柯西不等式,可以发现其特点是:不等式左边是两个因式的积,其中每

(2) 当 t ?

一个因式都是项平方和,右边是左边中对立的两两乘积之和的平方,解题时,只 要能将原题凑成此种形式, 就可以引用柯西不等式来证明。而此题中若直接套用 公式,关键就是搞清楚不等式左边另一常数因式中各项。 (1) 由柯西不等式得

( x 2 ? y 2 ? 2z 2 )[12 ? 12 ? ( 2 ) 2 ] ? ?x ? y ? 2z ? ? 1
2

所以 t ?

1 ,当且仅当 x ? y ? 4

2z 2

,即x ? y ? z ?

1 时取得等号, 4

1 因此 t 的最小值为 . 4

(2) 由题意得: x ? y ? 1 ? 2 z , x 2 ? y 2 ?

1 ? 2z 2 , 2
2

因为 x 2 ? y 2 ? 12 ? 12 ? ?x ? y ? , 所以 1 ? 4z 2 ? ?1 ? 2z ? .
2

?

??

?

解得: 0 ? z ?

1 2

例题 2 (2010 年浙江省第二次五校联考)已知 a, b, c ? R ? , a ? b ? c ? 1 。ks5u (1) 求 ? a ? 1? ? 4b 2 ? 9c 2 的最小值;
2

(2) 求证:

1 1 1 3 3 ? ? ? 2 a? b b? c c? a

解: (1) 很明显,此题需要设法嵌入两个因式,对两个因式的合理嵌入式解此 题的关键所在。 因为 a, b, c ? R ? , a ? b ? c ? 1 ,所以

1 1 ? 2 ? 1 1?? ? 2 2 ? ?? a ? 1? ? ? 2b ? ? 3c ? ? 4 , ?1 ? ? ? ?? a ? 1? ? 4b ? 9c ? ? 2 3 ? ? 4 9? ?
得 ? a ? 1? ? 4b 2 ? 9c 2 ?
2

2

144 。 49 23 18 7 ,b ? ,c ? 时, 49 49 49

当且仅当 a ? 1 ? 4b ? 9c ,即 a ?

? a ? 1?

2

? 4b 2 ? 9c 2 有最小值

144 。 49

(2) 有些不等式证明的解决往往需要反复利用柯西不等式才能达到目的。 因为 ? a ? b ? c ? ?12 ? 12 ? 12 ? ?

?

a ? b ? c ,ks5u

?

2

所以 a ? b ? c ? 3 ,当且仅当 a ? b ? c ? 1 取等号。

1 1 1 ? ?? 又? ? ? ? b? c c ? a ?? ? a? b
于是

?

a? b ?
9

? ?
?

b? c ?
? 3 3 。 2

? ?

c ? a ? ? 9, ?

?

1 1 1 ? ? ? a? b b? c c? a 2

?

a? b? c

注意:在运用过程中,每运用一次前后等号成立的条件必须一致,不能自相矛 盾, 否则就会出现错误。又如例题 6 充分展现等号成立的条件判定的重要性

技巧二 :巧变形巧应用 有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件, 但是我们只要改变一下多项式 的形态结构,认清其内在的结构特征,就可以达到利用柯西不等式解题的目的。 例题 3 (2010 年杭二中高三年级第三次月考)已知正数 a, b, c 满足: ab ? bc ? ca ? 1 ,
求 a bc ? b ac ? c ab 的最大值.

解: 初看跟柯西不等式毫无关联,没法直接得到思路。抓住 ab, bc, ac 这三个因 式中的关键项找准方向即得思路。

a bc ? b ac ? c ab ? ab ? ac ? bc ? ab ? ca ? cb

( ab ? ac ? bc ? ab ? ca ? cb )2 ? (ab ? bc ? ca)(ac ? ab ? bc) ? 1
? a bc ? b ac ? c ab ? 1
当且仅当 a ? b ? c ?
3 时取得最大值 1 3

1 2 例题 4 (浙江省镇海中学高考模拟试题) 已知 x, y, z 是正数,且 ? ? 1, x y


1 2 ? 2 的最小值; x ? x 2y ? y
2

1 2 解:解题关键是在因式中构造 , 这两项 x y

4 2 1 1 2 2 1 2 y y 构造 2 ? 2 ? x ? ? ( x )2 ? ( )2 1 2 x ? x 2 y ? y 1? 1 2 4? 1? 4? x y x y
1? ?( 6? ? ? 2 1 ? ? 1 2 ? y 1 ? ) 2 ? ( 4 ? ) 2 ? ?( x ) 2 ? ( )2 ? x y ?? 1 2 ? 4? ? 1? ? x y ? ?

?

1 1 ? ( 1? ? 6 x

1 x 1? 1 x

? 4?

2 ? y

1 )2 ? , 6 2 4? y

2 y

1 x 1 x ? 当且仅当 1 1? x 1?

2 y
2 1 y 时,即 x ? ,即 x ? 2 y 时,取等号。 1 2 2 1? 4? 4? x y y

4?

2 y

1 2 5 1 2 1 又 ? ? 1 , 所以当x ? 5, y ? 时, 2 ? 2 达到最小值 . 2 x ? x 2y ? y 6 x y

技巧三:利用变式解题 如果直接利用柯西不等式难以解决, 有时通过柯西不等式两种变式的合理应 用,能在一定程度上使问题得到有效解决。 例题 5 求证: (金华十校 2009 年高考模拟考试)若 a, b, c ? R ? ,

a b c ? ? ?1 b ? 2c c ? 2a a ? 2b 证明:(变式 2 的应用) b c ? ? a ? ? ? ? ? 3ab ? 3bc ? 3ac ? ? b ? 2c c ? 2a a ? 2b ?

b c ? ? a ?? ? ? ?? ? a ? b ? 2c ? ? b ? c ? 2a ? ? c ? a ? 2b ? ? ? ? b ? 2c c ? 2a a ? 2b ? ? ? a ? b ? c ? ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab ? 2bc ? 2ac ? 3 ? ab ? bc ? ac ?
2

b c ? ? a ?? ? ? ? ?1 ? b ? 2c c ? 2a a ? 2b ? (当且仅当 a ? b ? c 时等号成立)

例题 6 (2010 年宁波市高三模拟测试卷)已知 a, b, c 为正实数,且 a ? b ? c ? 3 .
(a ? c)2 (b ? a)2 (c ? b) 2 4 ? ? ? (a ? c)2 ,并求等号成立时 a, b, c 的值. 证明: a b c 3
证明:(变式 2 的应用)建立不等式两边联系:想到 (a ? b) ? (b ? c) ? a ? c 等量关系, 找到突破口。

(a ? c)2 (b ? a)2 (c ? b) 2 (| a ? c | ? | b ? a | ? | c ? b |) 2 ? ? ? a b c a?b?c ? (| a ? c | ? | b ? a ? c ? b |) 2 4 ? ( a ? c) 2 a?b?c 3 | a ?c | | a ?b| |b?c | ? ? 当且仅当 且 (b ? a) ? (c ? b) ? 0 时,取到等号. a b c a ?c a ?b b?c c ?a a ?b b?c ? ? ? ? ? 或 a b c a b c a ?c a ?b b?c ? ? ? k ,即 c ? (1 ? k )a, a ? (1 ? k )b, b ? (1 ? k )c , 若 a b c

∴ a ? b ? c ? 3 ? (1 ? k )(b ? c) ? (1 ? k )a ? (1 ? k )(3 ? a) ? (1 ? k )a
? 2ka ? 3k ,∴ k ? 0 或 a ?

3 . 2

当 k ? 0 时, a ? b ? c ? 1 ; 当a ?


3 3 3 5 3 9 3 5 5 ?1 时, k ? ,从而 a ? , b ? . ? ,c ? ? 2 2 4 4 4 4 2

c ?a a ?b b?c ? ? ? t ,则 c ? (1 ? t )a, a ? (1 ? t )b, b ? (1 ? t )c a b c

?c ? (1 ? t )3 c , c ? 0,?(1 ? t )3 ? 1,?t ? 0 ,? a ? b ? c ? 1 .K*s*5*u
∴当 a ?

3 3 5 3 9 3 5 ,b ? ? ,c ? ? 或 a ? b ? c ? 1 时取到等号. 2 4 4 4 4

3 3 5 3 9 3 5 ? ,c ? ? (指出 a ? b ? c ? 1 时得 2 分,指出 a ? , b ? 时得 3 分. ) 2 4 4 4 4

技巧四: 综合应用 例题 7 (浙江省镇海中学高考模拟试题)
若 0 ? x, y, z ? 1, 且 xy ? yz ? zx ? 1 ,求证:

y 2 ? 3x

?

z 2 ? 3y

?

x 2 ? 3z

? 3。

证明:解题关键是先变形后应用变式 1 y z x y2 z2 x2 ? ? ? ? ? 2 ? 3x 2 ? 3 y 2 ? 3z 2 y ? 3xy 2 z ? 3 yz 2 x ? 3zx

? x ? y ? z? ? 2? x ? y ? z? ?

2

3

?x ? y ? z?

2

? x 2 ? y 2 ? z 2 ? 2 xy ? 2 yz ? 2 zx ? 3 ? xy ? yz ? zx ? ? 3
2

所以 3 ? x ? y ? z ? 3 ,令 t ? 2 ? x ? y ? z ? ? 3 ? 3 ,则

?t? 3? ? ? 2 ? y z x 1? 3 ? 1 ? ? ? ? ? ?t ? ? 2 3 ? ? t 4? t 2 ? 3x 2 ? 3 y 2 ? 3z ? 4

?

3? 3?2 3 ? 3

?

例题 8 (2010 年金华十校高考模拟考试) 设正数 x,y,z 满足 3x ? 4 y ? 5 z ? 1 求
1 1 1 值. ? ? x? y y?z z?x

解:关键是先应用换元法构造柯西不等式因式,再用不等式解题。设
x ? y ? a, y ? z ? b, z ? x ? c,

则x ? 代入

a ?c ?b a?b?c b?c?a ,y? ,z ? , 2 2 2

3x ? 4 y ? 5a ? 1, 得a ? 3b ? 2a ? 1.
所以,由柯西不等式,得
1 1 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ? )(a ? 3b ? 2c) ? (1 ? 3 ? 2) 2 x? y y?z z?x a b c ,

当且仅当 a ? 3b ? 2c 时“=”成立。所以
1 1 1 ? ? 的最小值为(1 ? 2 ? 3)2 . x? y y?z z?x

三、 柯西不等式在竞赛题中的应用
例题 9
n ? 2, 且 ? xi ? 1, (1989 年全国数学冬令营试题)设 x1 , x2 ,? ? ?, xn 都是正数,
i ?1 n

求证:

?
i ?1

n

xi 1 ? xi

?

?x
i ?1

n

i

n ?1

.

证明:令 yi ? 1 ? xi (i ? 1,2,? ? ?n), 由柯西不等式,得

(? xi ) 2 ? n ? ? xi ? n,
i ?1 i ?1

n

n



?
i ?1

n

xi ? n .

同理,得 (? y i ) 2 ? n ? ? y i ? n ? ? (1 ? xi ) ? n(n ? 1), 即
i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n

?y
i ?1

n

i

? n(n ? 1) .

又由柯西不等式,得

?
i ?1

n

yi ? ?
i ?1

n

1 yi
n

? (? y i ?
4 i ?1

n

1
4

yi

) ? n 故?
2 2
i ?1

n

1 yi

?n ?
2

1

?y
i ?1

n

?
i

n2 n(n ? 1)

, 从而

?
i ?1

n

xi 1 ? xi n n n ?1 n n ?1

??
i ?1

1 ? yi yi

??
i ?1

n

1 yi

? ? yi
i ?1

n

?

? n(n ? 1)

?

?

?
i ?1

n

xi .

n ?1

四、柯西不等式在高考其他题型中渗透
例题 10 (2008 年陕西高考理科数学压轴题)已知数列 ?an ? 的首项 a1 ?
an?1 ? 3an , n ? 1,2, ???. (1) 求 ?an ? 的通项公式; 2an ? 1
3 , 5

(2) 证明:对任意的 x ? 0, an ?

1 1 ?2 ? ? ? x ? , n ? 1,2, ??? ; 2 ? n 1 ? x ?1 ? x ? ? 3 ?

(3) 证明: a1 ? a2 ? ??? ? an ?

n2 . n ?1

证明:第一小题中可解得 an ?

3n ,则第三小题中看穿题目的本质属性,通 3n ? 2

过变形直接利用柯西不等式求证不难。
3 32 3n ? ? 2 ? ??? ? n 3? 2 3 ? 2 3 ?2
1 1? 2 3 ? 1 1? 2 32 ??? 1 1? 2 3n

? 1?

?1 ? 1 ? ? ? 1?2
2 2 2 ?1? 2 ???1? n 3 3 3

?

n2 n2 n2 ? = 1 2 2 2 n ?1 n ? ? 2 ??? n n ?1? n 3 3 3 3

五、 展望 2010 年柯西不等式在高考中的命题趋势
今年是高考实施新课标后的第二年,彼人之见,继续贯彻“三求”原则: 求“稳” 、求“变” 、求“新” 。 “稳”体现在重点不变,思想不变,导向不变,特 色不变,即主要考查三维的柯西不等式在证明简单不等式及求最值两方面的应 用; “变”体现在知识载体的适度迁移,解题能力要求的恰当提升,即主要考查柯西不等 式的变形、变式及综合应用; “新” 体现在题目呈现的设计新颖, 充分彰显数学智慧, 展现试卷亮点,实现能力立意。 在柯西不等式的应用过程中,首先要加强对柯西不等式知识的理解,重视数 学思想方法的领会,其次要掌握基本的变形变式的灵活运用,题无定型,但思想 不变,要学会灵活处理问题。本文意在使学生掌握分析柯西不等式的基本手段, 进一步加深对其的深刻理解和灵活认识, 提高在高考时分析解决此类问题的能力

参考文献
【1】 杜金河.柯西不等式在解题中的几点应用.中学学科网.2002.01.01 【2】 安振华.2008 年陕西高考数学试题的特点分析.高考资源网.2002.02.04 【3】 浙江省高考试卷及省内各地模拟试题


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