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广东省广州市2013届高三数学毕业班综合测试(二)试题 文(广州二模)新人教版


试卷类型:B

2013 年广州市普通高中毕业班综合测试(二) 数学(文科)
本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分.考试用时 120 分钟 注意事项:1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹钢笔或签字笔将自己 所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型

(B)填涂在答题卡相应位置上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的 相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改 液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。漏涂、错涂、多 涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.命题“ ?x ? R , x ? 4 x ? 5≤0 ”的否定是
2

A. ?x ? R , x ? 4 x ? 5 ? 0
2

B. ?x ? R , x ? 4 x ? 5≤0
2

C. ?x ? R , x ? 4 x ? 5 ? 0
2

D. ?x ? R , x ? 4 x ? 5≤0
2

2.如果函数 f ? x ? ? ln ? ?2x ? a ? 的定义域为 ? ??,1? ,则实数 a 的值为 A. ?2 B. ?1 C. 1 D. 2

3.对于任意向量 a 、 b 、 c ,下列命题中正确的是 A. a? ? a b b B. a ? b ? a ? b C. ? a? ? c ? a ? b? ? b c D. a ?a ? a
2

2 4.若直线 y ? k ? x ? 1? 与圆 ? x ? 1? ? y ? 1 相交于 A 、 B 两点,则 AB 的值为 2

A. 2

B. 1

C.

1 2

D.与 k 有关的数值

2 5.若 1 ? i ( i 是虚数单位)是关于 x 的方程 x ? 2 px ? q ? 0 ( p、q ? R )的一个解,则 p ? q ?

1

A. ?3

B. ?1

C. 1

D. 3

6.执行如图 1 所示的程序框图,输出的 S 值为 A.225 B.196

C.169

D.144 否

开始

S ? 0, i ? 1

S ? S ?i

i ?i?2

i ? 27 ?


图1

结束

输出 S

(注:框图中的赋值符号“=”也可以写成 “←”或“﹕ = ”)

* 7.若函数 y ? cos ? x ? ? N 的一个对称中心是 ?

?

?

?? ? ,0 ? ,则 ? 的最小值为 ?6 ?
C.6 D.9

A.2

B.3

8.一个圆锥的正(主)视图及其尺寸如图 2 所示.若一个平行于 圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为 1﹕7 的上、下两 部分,则截面的面积为

4

1 A. ? 4 9 C. ? 4

B. ? D. 4? 6 图2

9.已知 0 ? a ? 1 , 0 ? x≤y ? 1 ,且 log a x? a y ? 1 ,那么 xy 的取值范围是 log A. 0,a2 ? ?

?

B. ? 0,a?

C. ? 0, ? a

? ?

1? ?

D. ? 0,

? ?

1? a2 ? ?

10.某校高三(1)班 50 个学生选择选修模块课程,他们在 A、B、C 三个模块中进行选择,且至少需要 选择 1 个模块,具体模块选择的情况如下表: 模块 A B C 模块选择的学生人数 28 26 26 模块 A与B A与C B与C C.5 模块选择的学生人数 11 12 13 D.4

则三个模块都选择的学生人数是 A.7 B.6

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.如图 3,一个等腰直角三角形的直角边长为 2,分别以三个顶点为圆心,1 为
2

M

图3

半径在三角形内作圆弧,三段圆弧与斜边围成区域 M (图中白色部分) .若在此三角形内随机取一点 . P ,则点 P 落在区域 M 内的概率为 12.已知? 为锐角,且cos ? ? ?

? ?

?? 3 ? ? ,则 sin ? ? 4? 5



13. 数列 {an } 的项是由 1 或 2 构成, 且首项为 1, 在第 k 个 1 和第 k ? 1 个 1 之间有 2 k ? 1 个 2, 即数列 {an } 为: 2, 2, 2, 2, 2, 2, ?, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 记数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , S20 ? 则 (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题) 在△ ABC 中,D 是边 AC 的中点, E 在线段 BD 上, 点 且满足 BE ? 则 ;S2013 ? .

1 BD , 延长 AE 交 BC 于点 F , 3

BF 的值为 FC



15.(坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,已知点 A ? 1,

? ?? 2 ? ,点 P 是曲线 ? sin ? ? 4cos? 上任一点,设点 P 到直线 ? 2?


? cos ? ? 1 ? 0 的距离为 d ,则 PA ? d 的最小值为

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) 某校高三学生体检后, 为了解高三学生的视力情况, 该校从高三六个班的300名学生中以班为单位 (每 班学生50人) ,每班按随机抽样抽取了8名学生的视力数据.其中高三(1)班抽取的8名学生的视力数 据与人数见下表: 视力数据 人数 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3 2 2 2 1 1

(1)用上述样本数据估计高三(1)班学生视力的平均值; (2)已知其余五个班学生视力的平均值分别为 4.3 、 4.4 、 4.5 、 4.6 、 4.8 .若从这六个班中任意 抽取两个班学生视力的平均值作比较,求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于 ...

0.2 的概率.
17. (本小题满分12分) 某单位有 A 、 B 、 C 三个工作点,需要建立一个公共无线网络发射点 O ,使得发射点到三个工作点 的距离相等.已知这三个工作点之间的距离分别为 AB ? 80 m ,BC ? 70 m ,CA ? 50 m .假定 A 、 B 、 C 、 O 四点在同一平面上. (1)求 ?BAC 的大小; (2)求点 O 到直线 BC 的距离. 18. (本小题满分 14 分) P
? 如图 4, 在三棱锥 P ? ABC 中, ?PAB ? ?PAC ? ?ACB ? 90 .

3

B C 图4

A

(1)求证:平面 PBC ? 平面 PAC ; (2)若 PA ? 1, AB=2 ,当三棱锥 P ? ABC 的体积最大时, 求 BC 的长.

19. (本小题满分14分) 在等差数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? 5 , a3 ? 7 ,记数列 ? (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)是否存在正整数 m 、 n ,且 1 ? m ? n ,使得 S1 、 Sm 、 S n 成等比数列?若存在,求出所有符合 条件的 m 、 n 的值;若不存在,请说明理由.

? 1 ? ? 的前 n 项和为 S n . ? an an ?1 ?

20. (本小题满分14分) 已知函数 f ( x) ? x ? 2a ln x ? a ? R且a ? 0? .
2

(1)若 f ( x) 在定义域上为增函数,求实数 a 的取值范围; (2)求函数 f ( x) 在区间 [1, 2] 上的最小值.

21. (本小题满分14分) 经过点 F ? 0,1? 且与直线 y ? ?1 相切的动圆的圆心轨迹为 M .点 A 、 D 在轨迹 M 上,且关于 y 轴对 称,过线段 AD (两端点除外)上的任意一点作直线 l ,使直线 l 与轨迹 M 在点 D 处的切线平行,设 直线 l 与轨迹 M 交于点 B 、 C . (1)求轨迹 M 的方程; (2)证明: ?BAD ? ?CAD ; (3)若点 D 到直线 AB 的距离等于

2 AD ,且△ ABC 的面积为 20,求直线 BC 的方程. 2

2013 年广州市普通高中毕业班综合测试(二) 数学(文科)试题参考答案及评分标准 说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应
4

的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得 分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 答案 1 C 2 D 3 D 4 A 5 C 6 B 7 B 8 C 9 A 1 0 B

二、 填空题: 本大题查基本知识和基本运算, 体现选择性. 5 小题, 共 每小题 5 分, 满分 20 分. 其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题.第 13 题第一个空 2 分,第二个空 3 分. 11. 1 ?

? 4

12.

2 10

13. 36 ; 3981

14.

1 4

15. 2

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题主要考查随机抽样、平均数、古典概型等基础知识,考查数据处理能力,本小题满分12分) 解: (1)高三文科(1)班抽取的8名学生视力的平均值为

4.4 ? 2 ? 4.6 ? 2 ? 4.8 ? 2 ? 4.9 ? 5.1 ? 4.7 . 8
据此估计高三文科(1)班学生视力的平均值约为 4.7 .??????????????????3分 (2)因为高三文科六个班学生视力的平均值分别为 4.3 、 4.4 、 4.5 、 4.6 、 4.7 、 4.8 , 所以任意抽取两个文科班学生视力的平均值数对有 ? 4.3, ? , ? 4.3, ? , ? 4.3, ? , ? 4.3, ? , 4.4 4.5 4.6 4.7

4.8 4.5 4.6 4.7 4.8 4.6 4.7 4.8 ? 4.3, ? , ? 4.4, ? , ? 4.4, ? , ? 4.4, ? , ? 4.4, ? , ? 4.5, ? , ? 4.5, ? , ? 4.5, ? , 4.7 4.8 4.8 ? 4.6, ? , ? 4.6, ? , ? 4.7, ? ,共 15 种情形.???????????????????7 分
其中抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于 0.2 的有 ? 4.3, ? ,? 4.3, ? ,? 4.3, ? , 4.5 4.6 4.7

4.8 4.6 4.7 4.8 4.7 4.8 4.8 ? 4.3, ? , ? 4.4, ? , ? 4.4, ? , ? 4.4, ? , ? 4.5, ? , ? 4.5, ? , ? 4.6, ? ,共 10 种.
????????10 分 所以抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于 0.2 的概率为

10 2 = . ??????12 分 15 3

17. (本小题主要考查解三角形等基础知识,考查正弦定理与余弦定理的应用,本小题满分12分) 解:(1)在△ ABC 中,因为 AB ? 80 m , BC ? 70 m , CA ? 50 m , 由余弦定理得 cos ?BAC ?

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 ?????????????????????2 分 2 ? AB ? AC
5

802 ? 502 ? 702 1 ? ? . ????????????????????3 分 2 ? 80 ? 50 2
因为 ?BAC 为△ ABC 的内角,所以 ?BAC ?

? .????????????????????4 分 3

(2)方法 1:因为发射点 O 到 A 、 B 、 C 三个工作点的距离相等, 所以点 O 为△ ABC 外接圆的圆心.??????????????????????????5 分 设外接圆的半径为 R , 在△ ABC 中,由正弦定理得

BC ? 2 R , ???????????????????????7 分 sin A
? 3 ,所以 sin A ? . 3 2
A

因为 BC ? 70 ,由(1)知 A ?

所以 2 R ?

70 3 70 140 3 ,即 R ? .???????8 分 ? 3 3 3 2
O B

过点 O 作边 BC 的垂线,垂足为 D ,??????????9 分 在△ OBD 中, OB ? R ?

BC 70 70 3 ? ? 35 , , BD ? 2 2 3
2

D

C

? 70 3 ? 2 所以 OD ? OB ? BD ? ? ?????????????????????11 分 ? 3 ? ? 35 ? ? ?
2 2

?

35 3 . 3
35 3 m .???????????????????????12 分 3
A

所以点 O 到直线 BC 的距离为

方法 2:因为发射点 O 到 A 、 B 、 C 三个工作点的距离相等, 所以点 O 为△ ABC 外接圆的圆心.????????5 分 连结 OB , OC , 过点 O 作边 BC 的垂线,垂足为 D , ???????6 分 由(1)知 ?BAC ?

O C

? , 3

D ?? 所以 ?BOC ? . 3 ? 所以 ?BOD ? . ??????????????????????????????????9 分 3 BC 70 ? ? 35 , 在 Rt △ BOD 中, BD ? 2 2

B

6

所以 OD ?

BD 35 35 3 .??????????????????????11 分 ? ? ? tan ?BOD tan 60 3
35 3 m .???????????????????????12 分 3

所以点 O 到直线 BC 的距离为

18. (本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和几何体的体积计算等基础知识,考查空间想象能力等, 本小题满分 14 分)
? (1)证明:因为 ?PAB ? ?PAC ? 90 ,所以 PA ? AB , PA ? AC .????????????1 分

因为 AB ? AC ? A ,所以 PA ? 平面 ABC .??????????????????????2 分 因为 BC ? 平面 ABC ,所以 BC ? PA .????????????????????????3 分
? 因为 ?ACB ? 90 ,所以 BC ? CA .??????????????????????????4 分

因为 PA ? CA ? A ,所以 BC ? 平面 PAC .??????????????????????5 分 因为 BC ? 平面 PBC ,所以平面 PBC ? 平面 PAC .??????????????????6 分 (2)方法 1:由已知及(1)所证可知, PA ? 平面 ABC , BC ? CA , 所以 PA 是三棱锥 P ? ABC 的高.???????????7 分 因为 PA ? 1, AB=2 ,设 BC ? x ? 0 ? x ? 2? ,?????8 分 所以 AC ? P

AB2 ? BC2 ? 22 ? x2 ? 4 ? x2 .????9 分

B

A

因为 VP ? ABC ?

1 C S△ABC ? PA 3 1 ? x 4 ? x 2 ??????????????????????????????10 分 6 1 2 ? x ? 4 ? x2 ? 6
2 2 1 x ? ?4 ? x ? ????????????????????????????11 分 ? ? 6 2

?
2

1 . ??????????????????????????????????12 分 3
2

当且仅当 x ? 4 ? x ,即 x ?

2 时等号成立.?????????????????????13 分

所以当三棱锥 P ? ABC 的体积最大时,BC ?

2 .???????????????????14 分

方法 2:由已知及(1)所证可知, PA ? 平面 ABC , 所以 PA 是三棱锥 P ? ABC 的高. ???????????????????????????7 分

7

? 因为 ?ACB ? 90 ,设 ?ABC ? ? ? 0 ? ? ?

? ?

??

? ,????????????????8 分 2?

则 BC ? AB cos ? ? 2 cos ? , AC ? AB sin ? ? 2sin ? .?????????????9 分 所以 S△ABC ? 所以 VP ? ABC

1 1 ? BC ? AC ? ? 2 cos ? ? 2sin ? ? sin 2? .????????????10 分 2 2 1 ? S△ABC ? PA 3 1 ? sin 2? . ??????????????????????????????11 分 3

因为 0 ? ? ? 所以当 ? ?

?

?
4

2



,VP? ABC 有最大值

此时 BC ? 2 cos

?
4

1 . ?????????????????????????12 分 3

? 2. ??????????????????????????????13 分

所以当三棱锥 P ? ABC 的体积最大时,BC ?

2 .???????????????????14 分

19. (本小题主要考查等差数列、裂项法求和等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力等,本小题 满分14分) 解: (1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d , 因为 ?

?a1 ? a2 ? 5, ?2a1 ? d ? 5, 即? ????????????????????????2分 ?a1 ? 2d ? 7. ?a3 ? 7.
?a1 ? 1, ????????????????????????????????????3分 ?d ? 3.

解得 ?

所以 an ? a1 ? ? n ?1? d ? 1 ? 3? n ?1? ? 3n ? 2 . 所以数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 3n ? 2 (n ?N ) . ???????????????????4分
*

(2)因为

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? , ?????????????????5分 an an?1 ? 3n ? 2 ?? 3n ? 1? 3 ? 3n ? 2 3n ? 1 ?

所以数列 ?

? 1 ? ? 的前 n 项和 ? an an ?1 ?

Sn ?

1 1 1 1 1 ? ? ??? ? a1a2 a2 a3 a3a4 an?1an an an?1

8

1? 1? 1? 1 1? 1? 1 1 ? 1? 1 1 ? 1? 1 1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 3 ? 4 ? 3 ? 4 7 ? 3 ? 7 10 ? 3 ? 3n ? 5 3n ? 2 ? 3 ? 3n ? 2 3n ? 1 ? 1? 1 ? n .???????????????????????????7分 ? ?1 ? ?? 3 ? 3n ? 1 ? 3n ? 1
假设存在正整数 m 、 n ,且 1 ? m ? n ,使得 S1 、 Sm 、 S n 成等比数列, 则 Sm2 ? S1Sn .???????????????????????????????????8分

n ? m ? 1 即? .??????????????????????????????9分 ? ? ? ? 3m ? 1 ? 4 3n ? 1
所以 n ?

2

4m 2 . ?3m 2 ? 6m ? 1
2

因为 n ? 0 ,所以 ?3m ? 6m ? 1 ? 0 . 即 3m ? 6m ? 1 ? 0 .
2

因为 m ? 1 ,所以 1 ? m ? 1 ?
*

2 3 ? 3. 3

因为 m ? N ,所以 m ? 2 .?????????????????????????????12分 此时 n ?

4m 2 ? 16 .????????????????????????????13分 ?3m2 ? 6m ? 1

所以存在满足题意的正整数 m 、 n ,且只有一组解,即 m ? 2 , n ? 16 . ?????????14分 20. (本小题主要考查函数的单调性和最值等基础知识,考查数形结合思想、分类讨论思想和运算求解能 力等,本小题满分14分) 解: (1)因为函数 f ( x) ? x ? 2a ln x ,
2

所以函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) .??????????????????????????1 分 且 f ?( x ) ? 2 x ?

2a .?????????????????????????????2 分 x

若 f ( x) 在定义域上是增函数, 则 f ?( x) ? 2 x ?
2

2a ? 0 在 (0, ??) 上恒成立.??????????????????????3 分 x

即 a ? x 在 (0, ??) 上恒成立,所以 a ? 0 . ??????????????????????4 分
9

由已知 a ? 0 , 所以实数 a 的取值范围为 ? ??, 0? .???????????????????????5 分 (2)①若 a ? 0 ,由(1)知,函数 f ( x) ? x2 ? 2a ln x 在区间 [1, 2] 上为增函数. 所以函数 f ( x ) 在区间 [1, 2] 上的最小值为 f (1) ? 1 .???????????????????6 分

②若 a ? 0 ,由于 f ?( x) ?

2 x 2 ? 2a 2 x ? a x ? a ? , x x

?

??

?

所以函数 f ( x ) 在区间 0, a 上为减函数,在区间 (ⅰ)若 a ? 1 ,即 0 ? a ? 1 时, [1, 2] ?

?

?

?

a , ?? 上为增函数.?????????7 分

?

?

a , ?? ,

?

函数 f ( x) ? x2 ? 2a ln x 在区间 [1, 2] 上为增函数, 所以函数 f ( x ) 在 [1, 2] 的最小值为 f (1) ? 1 .??????????????????????9 分 (ⅱ)若 1 ?

a ? 2 ,即 1 ? a ? 4 时,

函数 f ( x) ? x2 ? 2a ln x 在区间 1, a 为减函数,在 所以函数 f ( x ) 在区间 [1, 2] 上的最小值为 f (ⅲ)若

?

?

?

a , 2 上为增函数,

?

? a ? ? a ? a ln a .??????????????11 分 a ? 2 ,即 a ? 4 时, [1, 2] ? ? 0, a ? ,

函数 f ( x ) 在区间 [1, 2] 上为减函数, 所以函数 f ( x ) 在 [1, 2] 的最小值为 f (2) ? 4 ? 2a ln 2 . ?????????????????13 分 综上所述,当 a ? 1 且 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在区间 [1, 2] 上的最小值为 f (1) ? 1 . 当 1 ? a ? 4 时,函数 f ( x ) 在区间 [1, 2] 的最小值为 f

? a ? ? a ? a ln a .

当 a ? 4 时,函数 f ( x ) 在区间 [1, 2] 上的最小值为 f (2) ? 4 ? 2a ln 2 .??????14 分

21. (本小题主要考查动点的轨迹和直线与圆锥曲线的位置关系、导数的几何意义等基础知识,考查运算 求解能力和推理论证能力等,本小题满分14分) 解: (1)方法 1:设动圆圆心为 ? x, y ? ,依题意得, x ? ? y ? 1? ? y ? 1 .??????????1 分
2 2

10

整理,得 x2 ? 4 y .所以轨迹 M 的方程为 x2 ? 4 y .???????????????????2 分 方法 2:设动圆圆心为 P ,依题意得点 P 到定点 F ? 0,1? 的距离和点 P 到定直线 y ? ?1 的距离相等, 根据抛物线的定义可知,动点 P 的轨迹是抛物线.????????????????????1 分 且其中定点 F ? 0,1? 为焦点,定直线 y ? ?1 为准线. 所以动圆圆心 P 的轨迹 M 的方程为 x2 ? 4 y .?????????????????????2 分 (2)由(1)得 x2 ? 4 y ,即 y ?

1 2 1 x ,则 y? ? x . 4 2

设点 D ? x0 ,

? ?

1 1 2? x0 ? ,由导数的几何意义知,直线 l 的斜率为 k BC ? x0 .??????????3 分 2 4 ?
y C

1 2? ? ? 1 2? ? 1 2? 由题意知点 A ? ? x0 , x0 ? .设点 C ? x1 , x1 ? , B ? x2 , x2 ? , 4 ? ? ? 4 ? ? 4 ?
1 2 1 2 x1 ? x2 x ?x 1 4 ?4 ? 1 2 ? x0 , x1 ? x2 4 2

E A BO l D x

则 k BC

即 x1 ? x2 ? 2 x0 .??????????????????4 分

因为 k AC

1 2 1 2 1 2 1 2 x1 ? x0 x2 ? x0 x1 ? x0 x ?x 4 4 ?4 ? ? 2 0 .???????????5 分 , k AB ? 4 x1 ? x0 4 x2 ? x0 4

由于 k AC ? k AB ?

x1 ? x0 x2 ? x0 ? x1 ? x2 ? ? 2 x0 ? ? ? 0 ,即 k AC ? ?k AB .?????????6 分 4 4 4

所以 ?BAD ? ?CAD .???????????????????????????????7 分 (3)方法 1:由点 D 到 AB 的距离等于

2 AD ,可知 ? BAD ? 45? .??????????8 分 2
1 2 x0 ? ? ? x ? x0 ? . 4

不妨设点 C 在 AD 上方(如图) ,即 x2 ? x1 ,直线 AB 的方程为: y ?

1 2 ? ? y ? x0 ? ? ? x ? x0 ? , 由? 4 ? x 2 ? 4 y. ?
解得点 B 的坐标为 ? x0 ? 4,

? ?

1 2 ? x0 ? 4 ? ? .???????????????????????10 分 ? 4 ?
11

所以 AB ?

2 ? x0 ? 4 ? ? ? ? x0 ? ? 2 2 x0 ? 2 .
?

由(2)知 ?CAD ? ?BAD ? 45 ,同理可得 AC ? 2 2 x0 ? 2 .????????????11 分 所以△ ABC 的面积 S ?

1 ? 2 2 x0 ? 2 ? 2 2 x0 ? 2 ? 4 x0 2 ? 4 ? 20 , 2

解得 x0 ? ?3 .???????????????????????????????????12 分 当 x0 ? 3 时,点 B 的坐标为 ? ?1, ? , k BC ? 直线 BC 的方程为 y ?

? ?

1? 4?

3 , 2

1 3 ? ? x ? 1? ,即 6 x ? 4 y ? 7 ? 0 .????????????????13 分 4 2

当 x0 ? ?3 时,点 B 的坐标为 ? ?7, 直线 BC 的方程为 y ?

? ?

3 49 ? ? , k BC ? ? 2 , 4 ?

49 3 ? ? ? x ? 7 ? ,即 6 x ? 4 y ?7 ? 0 . ??????????????14 分 4 2

方法 2:由点 D 到 AB 的距离等于

2 AD ,可知 ? BAD ? 45? .?????????????8 分 2

? ? 由(2)知 ?CAD ? ?BAD ? 45 ,所以 ?CAB ? 90 ,即 AC ? AB .

由(2)知 k AC ? 所以 k AC k AB

x1 ? x0 x ? x0 , k AB ? 2 . 4 4 x ?x x ?x ? 1 0 ? 2 0 ? ?1. 4 4
① ②

即 ? x1 ? x0 ?? x2 ? x0 ? ? ?16 . 由(2)知 x1 ? x2 ? 2 x0 .

不妨设点 C 在 AD 上方(如图) ,即 x2 ? x1 ,由①、②解得 ?

? x1 ? x0 ? 4, ??????????10分 ? x2 ? x0 ? 4.

因为 AB ?

1 1 2 ? x2 ? x0 ? ? ? x2 2 ? x0 2 ? ? 2 2 x0 ? 2 , ? ? 4 ?4 ?

2

同理 AC ? 2 2 x0 ? 2 . ??????????????????????????????11分 以下同方法1.

12


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