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2013暑-新高二物理竞赛班第1讲-静磁场-学生版


第1讲 磁场与磁力

本讲导学 1.电生磁的判定, “比萨”定律. 2.安培力、磁力矩 本讲例题不多,请大家把注意多集中在知识的理解与应用方法的总结上. 第一部分 磁场 知识点睛 1) 引入 人类很早就分别认识到电现象与磁现象, 但是把这两个看起来毫不相干的现象联系起来是近代物 理发展起来后的事情.从奥斯特发现电流磁现象开始, 人类用了近 100 年进入了电气

化的时代, 我们 现代社会绝大部分的应用科技都与电磁学的发现有关.学习电磁学, 虽然数学用的很深很多让初学的 同学倍感不适应, 但是求知欲会驱动着我们去克服这些不适应.电磁学的高度应用化可以让我们同学 深刻体会到学习的乐趣与满足感, 当然首先是需要我们去开动脑筋思考物理原理的内涵与应用关键. 一.毕奥-萨伐尔定律 1.磁现象:天然磁石或永久磁铁都有吸引铁、钴、镍等物质的磁性,这个性质称为磁性.磁铁上 磁性特别强的两端,称为磁极,中间没有磁性的区域叫中性区. 磁极有自动指南指北的性质.指北的一极称为北极, 用 N 表示; 指南的一极称为南极, 用 S 表示. 磁体之间存在相互作用,同名磁极相斥,异名磁极相吸,此作用称为磁力 2.磁现象的本质: 1820 年丹麦物理学家奥斯特发现电流的磁效应后,人们才逐渐认识到电现 象与磁现象的内在联系. 1822 年安培提出分子电流的假说,他认为一切磁现象起源于电流,磁性物质的分子中,存在环 形电流,成为分子电流.当分子电流在一定程度上规则排列时,物质便显示出磁性.安培分子电流的 假说从物质的微观结构上揭示了物质的磁性.实际上, 分子电流相当于分子中电子绕原子核的转动和 电子本身的自旋运动.这样,磁铁与磁铁、电流与电流、磁铁与电流间的相互作用都可归结为运动电 荷(或电流)间的相互作用. 3.磁的大小:类比我们在描述电荷之间的相互作用时的做法,我们将磁相互作用描述为:磁体 在其周围激发出“磁场” ,拥有“磁性”的另一个物体(例如小磁针) 、或者能与磁场作用的物体(例 如铁、钴、镍等)进入磁场区域后,就会受到相应的力. 当然,如果找到了磁单极子(只有南极或 只有北极) ,那么我们可以用单位磁单极子在磁场中的受力,来定义磁场的大小,就像我们定义电场 大小时那样,不过人们到现在也没找到磁单极子.实验表明,小磁针在磁场中的受力情况,与电偶极 子 (离得很近的等量异号电荷对) 在电场中的受力一样.因此, 可以根据这个现象来表征磁场的大小.

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如图,电偶极子和小磁针的体积很小,可以视为在均匀外场中.电偶极子或小磁针在电(磁)场 中会平衡在如图的的位置,当外部作用使其偏离平衡位置一个小角度后,电偶极子(或小磁针)会 在平衡角度附近做周期性振动, 偏离的角度足够小时, 可视为简谐振动.振动频率与电 (磁) 场相关: 电(磁)场越大,振动频率越高;反之越低.可以据此判断磁场的大小. ?,固定在其中点处,但可以绕过中点且垂直于纸平面的轴 具体地,假设电偶极子大小为 ? = · ?.当其偏离平衡一个小角度 θ 时,力矩为 自由转动,转动惯量为 J,所在处电场大小为? E ??? = ??, ≈ ?,因此有? = ?,这是一个简谐运动的方程,类比? = = ?可得 ? × 到周期公式: = 2√ 或 =
42 2

,利用这个公式就可以从实验观测量 T 计算电场大小.同理,用
1

pM 表示小磁针磁偶极矩大小,可得 ∝ 2. 4.毕奥-萨伐尔定律 1820 年 10 月 30 日(在距奥斯特报道电流磁效应不到三个月) ,法国的毕 奥和萨伐尔在法国科学院发表文章, 从实验中分析了电流和磁效应之间的关系. 如图所示,小磁针转动强弱反应该点磁感应强度的大小. 实验发现: 1. a 大, B 小, B ? 1 / a (反比于距离) 2. I 大, B 大, B ? I 结论: B=k

? ?

(正比于电流)

I a
?

不久,拉普拉斯假定,电流由电流元 Idl 组成: ? ? ?

? ? Idl 产生的磁感应强度 dB 与 I 成正比;
磁感应强度 dB 的大小与电流元 Idl 的表观长度 dl sin ? 成正比; 磁感应强度 dB 的大小与 r 的平方成反比.

? ?

?

在实验上基础上经科学抽象得到:在载流导线上取电流元 Idl ,空间任一点 P,该点的磁感应 强度为 dB , Idl 与矢径 r 的夹角为 ? ,实验表明,真空中

?

?

?

?

dB ? k

Idl sin ? r2
-7 -2

k=μ0/4π,其中μ0=4π×10 N·A 为真空磁导率.故

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dB ?

?0 I d s l in ? 2 4? r

? ? ? dB 的方向:即 Idl ? r 的方向(右手螺旋法则确定),写成矢量形式为

? ? ? ? 0 Idl ? r dB ? 4? r 3

电流元所产生的磁感强度 【总结】在计算任意带电体在空间某点的电场强度时,可把带电体分成无限多个电荷元,先求出每 个电荷元在该点产生的电场强度,再按场强叠加原理就可以计算出带电体再该点产生的电场强度. 对于稳恒电流产生磁场的计算问题,可把稳恒电流分成无限多个电流元,先求出每个电流元在该点 产生的磁感应强度,再按场强叠加原理就可以计算出带电体再该点产生的磁感应强度. 附录:运动电荷激发的磁场 运动的电荷也是一个等效电流,类似的,其激发的磁场为

? ? ? ? qv ?r B? 0 4? r 3
二.磁感线 磁通量 在静电场中,我们曾用电场线直观形象地描绘静电场中各处 E 的分布,同样在磁场中,也可以 引入一些假象的曲线来描绘磁场中各处 B 的分布,这些曲线称为磁感线.为使磁感线能形象地反映 出 B 的大小和方向,特规定: (1)磁感线上任一点的切线方向与该点的磁感强度方向一致; (2)通 过磁场中某点处磁感线疏密程度等与该点处磁感强度 B 的大小.下图分别为几种不同形状的电流周 围磁场的磁感线.

?

?

?

?

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几种形状的电流的磁感线 磁感线具有如下特点: (1)磁场中任意两条磁感线不相交,这是因为磁场中每一点的磁感强度 都具有唯一确定的方向; (2)每一条磁感线都是闭合的,没有起点和终点.(3)磁感线的疏密表示 磁感强度 B 的大小,磁感线密处,磁感强度 B 大;稀疏处,磁感强度 B 小. 磁通量 与电通量相似,引入磁通量的概念,通过磁场中给定面的磁感线的总条数,称为通过该面的磁 通量,简称磁通.通常用 ? 表示. 如图(7—6)所示,S 为非匀强磁场中某一曲面,在 S 上 任取一面元 dS,此面元所在处的磁感强度 B 与面元的法 向 e n 之间的夹角为 ? ,根据磁通量的定义,通过面元 dS 的磁通量为:

?

?

?

?

?

? ? d? ? BdS ? cos ? ? B ? dS
则通过有限面积 S 的磁通量为 任意曲面的磁通量

? ? ? ? ? d? ? ? B ? dS
S S

在 SI 中,磁通量的单位为韦(伯) ,符号为 Wb .

三.高斯定理 安培环路定理
1.磁场的高斯定理:穿过任何闭合曲面的磁通量为零.

? B ? dS ? 0 .
S

?

?

这个定理表明:闭合曲面 S 的磁通量为零,自然界中不存在自由磁荷(磁单极).因稳恒电流本 身是闭合的(

?

S

? ? ? j ? dS ? 0 ) ,故闭合电流与闭合 B 线相互套链.高斯定理也表明,磁力线是无头无

尾的闭合线,磁场是无源场. 高斯定理可从毕奥-萨伐尔定律严格证明, (1) 首先考虑单个电流元 Idl 之场中 以 Idl 为轴线取一磁力线元管,其上磁场 dB ?

?

?

? 0 Idl sin ? 处处相等;再取任意闭曲面 S,若 S 与之 4?r 2
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交链,则一进一出, d? m ? 0 ;若 S 与之不交链,仍 d? m ? 0 ;再展扩至整体 S 面上,得 ? m ? 0 . (2) B 然后再考虑任意回路之总场是各电流元之场的叠加,因 Idl 是任一电流元,故对整体考虑, 其结论不变 d d

?

?

闭面 S

θ

Id θ r

2.安培环路定理
取积分回路 L (称之为安培环路)沿 B 线,因 B 线闭合,且

?

?

? ? B 与 dl 的夹角为零,而有

? ? B ? ? dl ? ? 0 ? I ,
L ( L内)

I


右手定则 → I

L(正)

其中右侧为穿过闭路 L 的电流之代数和,按右手定则规定, 参见下图:

L(负)

S″ L″(后) S nb

4、定理证明:该定理可由毕奥- 萨伐尔定律证明,下面先看 B ? dl ,

?

?

d
-d

S′

再计算 B ? dl ,最后再用叠加原理.
L

?

?

?

L′ (前) I 载流回路 L′ 位移-d

如图, L-安培环路,L ? -载流回路, 作一负 dl 位移后成 L?? .

?

积分回路 L

P

d

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(1) 计算 B ? dl

?

?
? ? I ∵B ? 0 4? ? dl ? ? r r2

?

L?

? ? ? ? ?0 I ? dl ? ? r ∴ B ? dl ? (? ) ? d l 4? L? r 2

? I = 0 4?
如图 dl ? (?dl ) ? ds ,则

? ? ? dl ? (?dl ?) ? r 2 ?L? r

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? dl ? ? (?dl ) ? r ds ? r ds ? (?r ) ? 2 ?? ? ?d? r2 r r2
为对 P 点所张元立体角,从而

? ? ? I B ? dl ? ? 0 4?

?

L?

d? ? ?

?0 I ? 4?

? ? 代表 L ? 回路作位移 ? dl 所扫过带状面 S 对 P 点所张立体角.
(2) 再用叠加原理 以上为单回路 L ? ,若多载流回路,则从叠加原理知,每一回路均有上述结论,进而有一般式:

?
性拓展到一般情况.

L

? ? B ? dl ? ? 0 ? I
( L内)

以上是比较严密的证明,看得眼晕的同学也可以直接由无穷长直导线周围磁场得出结论,再定

环路定理方便计算一条线上磁场处处相等的情况,与静电场中的高斯定理使用方法类似.

例题精讲 【例1】 求如图所示的电流在其圆心处产生磁场的磁感应强度.

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【例2】 如图所示, 将均匀细导线做成的圆环上任意两点 A 和 B 与固定电源连 接起来,计算由环上电流引起的环中心的磁感强度. A I

O B I

【例3】 下面我们运用毕-萨定律,来求一个半径为 R,载电流为 I 的圆电流轴线上,距圆心 O 为 ? 的一点的磁感应强度. 再求一下当 ? >>R 时的近似,并与电偶极子产生的电场对比.

R I O P

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【例4】 利用环路定理计算以下系统中的磁感应强度: 1)无限长直导线周围的磁场,已知导线中电流为 I0. 2)半径为 R 的导电圆柱周围的磁场(包括内部和外部) ,已知圆柱内部沿轴线均匀通有电流密度为 j0 的电流. 3)无限大导电板周围的磁场,已知电流面密度为 j0(电流满面密度指垂直电流方向上,导体板内单 位长度电流强度为 j0).(电磁炮内部磁场) 4)厚度为 2d 的无限大导电板周围的磁场 (包括内部和外部) , 已知在导电板内部垂直于厚度方向均 匀通有电流密度为 j0 的电流. 5)无穷匝线圈内部磁场强度,已知单位长度上匝数为 n,每匝电流为 I0.

【例5】 在半径为 R1 的无限长圆柱形导体中,距其轴线 d 处挖出一个半 径为 R2 的同轴圆柱形空穴(如图) ,且保证 d+R2<R1.现沿其轴线方 向通入电流密度为 j 的均匀电流,证明空穴中磁场均匀分布,并计算 其大小.

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【例6】 图所示, 两互相靠近且垂直的长直导线, 分别通有电流强度 I 1 和 I 2 的电流, 已知2 = √31, 试确定磁场为零的区域. Ⅰ1 Ⅰ Ⅱ Ⅰ2 Ⅲ Ⅳ

【总结】磁场的思维比电场麻烦,原因是磁场是空间问题,想象起来复杂一点,不过适应了也就好了.

第二部分 安培力 知识点睛 对直导体,矢量式为 F = I L ? B ;或表达为大小关系式 F = BILsinθ 再结合“左手定则”解决 方向问题(θ 为 B 与 L 的夹角). 弯曲导线的有效长度 L , 等于两端点所连线段的长度; 相应的电流方向, 沿 L 由始端流向末端. 因 为任意形状的闭合线圈,其有效长度 L ? 0 ,所以闭合通电线圈在匀强磁场中,受到安培力的矢量和 一定为零. 如图所示,甲、乙、丙三段导线的形状和长度不等,但两端点 a、b 之间的有效直线距离相等, 当通以相同的电流时,在同样的磁场中安培力大小相等,而丁图中导线圈闭合,则其安培力合力为 零.
? ? ?

公式的适用条件:一般只适用于匀强磁场. 三.安培力矩 如右图,很容易推导,放于匀强磁场中单匝矩形线圈的安培 力力矩为 M ? BIS sin ? (注意 ? 为磁场与线圈法线的夹角) 我们称面积很小的载流线圈为磁偶极子,用磁偶极矩 Pm 来描绘它.其磁偶极矩的大小为平面线圈的面积与所载电流的 电流强度之乘积,即 Pm ? IS ,其方向满足右手螺旋法则,即 伸出右手,四指绕电流流动方向旋转,大拇指所指方向即为磁
L2

d

a

f cd

?
f ab I
I

B

c
n

? ? P 偶极矩的方向,如图中 n 的方向,则 ? 角即为磁偶极矩 m 与
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b

L1

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磁感应强度 B 的正方向的夹角.这样,线圈所受力矩可表为

?

M ? Pm B sin ?
我们从矩形线圈推出的公式对置于均匀磁场中的任意形状的平面线圈都适合. 注意电流表表头内部磁场如图

所以线圈面一直是和磁场平行的力矩,其磁力矩

M=nBIS

(n 为匝数)

例题精讲 【例7】 空间中有竖直向上的匀强磁场 B,在与水平面呈 θ 夹角的斜面上摆着长度 l,电流为 I 的直 导线,当直导线的摆放角度不同时,受到安培力的大小和方向都会改变,试求下图中各情况下 的安培力的大小和方向.其中(a)导线水平放置, (b)导线与斜面的楞垂直.

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【例8】 垂直纸面向内有匀强磁场 B,求以下硬导线 AC 两端间安培力的合力大小和方向,已知每 一小段的长度都为 a.

(a)

(b)

(c)

【例9】 质量分布均匀的细圆环,半径为 R ,总质量为 m ,让其均匀带正电,总电量为 q ,处在 垂直环面的磁感强度为 B 的匀强磁场中.令圆环绕着垂直环面并过圆心的轴转动,且角速度为 ω ,转动方向和磁场方向如图所示.求因环的旋转引起的环的张力的增加量.

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【例10】 一根截面积为 2mm2 、 密度为 2.7× 103kg/m3 的均质铝线, 被弯曲成型三边等长 U 形状, 并可绕水平轴 OO′转动,整体处在竖直方向的匀强磁场中.当导体通以 4A 的电流时,框绕轴 发生转动,并最终停在偏离竖直面 θ = 30°的位置. (1) 定性说明在很短时间内将电流从 0 增加到 4A,和十分缓慢地将电流从 0 增加到 4A, 这两种情况下铝线的运动情况. (2) 求匀强磁场的磁感强度大小为多少?

【例11】

无限长竖直向上的导线中通有恒定电流 I 0 ,边长为 2L 的正方形线圈能绕其中轴线

OO? 旋转, OO? 与 I 0 导线平行.某时刻线圈的 ab 边与 I 0 导线相距 2L.已知线圈中通有电流 I .
求此时刻线圈所受的安培力矩.

B2

I0 I 2L

2L

F2

2L I0 2L
B1 F1

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你知道么?

超导体
在温度和磁场都小于一定数值的条件下,许多导电材料的电阻和体内磁感应强度都突然变为零 的性质.具有超导性的物体叫做“超导体”.1911 年荷兰物理学家卡曼林-昂尼斯(1853~1926 年) 首先发现汞在 4.173K 以下失去电阻的现象,并初次称之为 “超导性” .现已知道,许多金属(如锡、 铝、铅、钽、铌等) 、合金(如铌—锆、铌—钛等)和化合物(如 Nb3Sn、Nb3Al 等)都是可具有超 导性的材料.物体从正常态过渡到超导态是一种相变, 发生相变时的温度称为此超导体的 “转变温度” (或“临界温度” ).现有的材料仅在很低的温度环境下才具有超导性,其中以 Nb3Ge 薄膜的转变温 度最高 (23.2K) .1933 年迈斯纳和奥森费耳德又共同发现金属处在超导态时其体内磁感应强度为零, 即能把原来在其体内的磁场排挤出去; 这个现象称之为迈斯纳效应.当磁场达到一定强度时, 超导性 就将破坏,这个磁场限值称为“临界磁场”.目前所发现的超导体有两类.第一类只有一个临界磁场 (约几百高斯) ;第二类超导体有下临界磁场 Hc1 和上临界磁场 Hc2.当外磁场达到 Hc1 时,第二类 超导体内出现正常态和超导态相互混合的状态,只有当磁场增大到 Hc2 时,其体内的混合状态消失 而转化为正常导体.现在已制备上临界磁场很高的超导材料(如 Nb3Sn 的 Hc2 达 22 特斯拉, Nb3Al0.75Ge0.25 的 Hc2 达 30 特斯拉) , 用以制造产生强磁场的超导磁体.超导体的应用目前正逐步 发展为先进技术,用在加速器、发电机、电缆、贮能器和交通运输设备直到计算机方面.1962 年发 现了超导隧道效应即约瑟夫逊效应,并已用于制造高精度的磁强计、电压标准、微波探测器等.近两 年来,中国、美国、日本在提高超导材料的转变温度上都取得了很大的进展.1987 年研制出 YBaCuO 体材料转变温度达到 90~100K,零电阻温度达 78K,也就是说过去必须在昂贵的液氦温度下才能获 得超导性,而现在已能在廉价的液氮温度下获得.1988 年又研制出 CaSrBiCuO 体和 CaSrTlCuO 体, 使转变温度提高到 114~115K.近两三年来,超导方面的工作正在突飞猛进.

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