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2015届高考数学(文)第一轮复习达标课时跟踪检测:5-5 数列的综合应用含答案


[A 组
一、选择题

基础演练·能力提升]
2

1.已知数列{an},{bn}满足 a1=1,且 an,an+1 是函数 f(x)=x -bnx+2 的两个零点,则

n

b8+a9=(
A.24 C.48

) B.32 D.64
n


2 2

解析:依题意有,an+an+1=bn,an·an+1=2 ,又 a1=1,故 a2=2,a3=2,a4=2 ,a5=2 ,

a6=23,a7=23,a8=24,a9=24,故 b8+a9=(a8+a9)+a9=a8+2a9=3×24=48.
答案:C 2.已知数列{an}为等差数列,数列{bn}是各项为正数的等比数列,其公比 q≠1,若 a4=

b4,a12=b12,则(
A.a8=b8 C.a8<b8

) B.a8>b8 D.a8>b8 或 a8<b8

解析:∵{bn}为等比数列,其公比 q≠1,∴b4≠b12, ∴a4≠a12,∴a8= 答案:B 3 .已知正项等差数列 {an}满足: an + 1 + an - 1 = a n(n≥2),等比数列 {bn} 满足: bn+ 1bn - 1 = 2bn(n≥2),则 log2(a2+b2)=( A.-1 或 2 C.2
2 2

a4+a12
2

>

a4a12=

b4b12=b8.

) B.0 或 2 D.1

解析: 由题意可知, an+1+an-1=2an=an, 解得 an=2(n≥2)(由于数列{an}每项都是正数), 又 bn+1bn-1=bn=2bn(n≥2),所以 bn=2(n≥2),log2(a2+b2)=log24=2. 答案:C 4.(2013 年高考辽宁卷)下面是关于公差 d>0 的等差数列{an}的四个命题:
2

P1:数列{an}是递增数列; P2:数列{nan}是递增数列; an P3:数列{ }是递增数列; n P4:数列{an+3nd}是递增数列.
其中的真命题为( A.p1,p2 C.p2,p3 ) B.p3,p4 D.p1,p4

-1-

解析:设 an=a1+(n-1)d=dn+a1-d,它是递增数列,所以 p1 为真命题;若 an=3n-12, 则满足已知,但 nan=3n -12n 并非递增数列,所以 p2 为假命题;若 an=n+1,则满足已知,
2

an 1 但 =1+ 是递减数列,所以 p3 为假命题;设 an+3nd=4dn+a1-d,它是递增数列,所以 p4 n n
为真命题. 答案:D 5.(2014 年保定调研)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 acos C,bcos

B,ccos A 成等差数列,若 b= 3,则 a+c 的最大值为(
A. 3 2 B.3 D.9

)

C.2 3

解析:∵acos C,bcos B,ccos A 成等差数列, ∴2bcos B=acos C+ccos A, 1 ?a+c?2= 2 2 2 2 2 ∴cos B= ,b =a +c -2accos B=(a+c) -3ac≥(a+c) -3·? ? 2 ? 2 ? 即 3≥

a+c
4

2



a+c
4

2

,当且仅当 a=c 时,等号成立,

∴a+c≤2 3. 答案:C 1 2 2 6. 若关于 x 的方程 x -x+a=0 与 x -x+b=0(a≠b)的四个根组成首项为 的等差数列, 4 则 a+b 的值是( A. C. 3 8 13 24 ) B. D. 11 24 31 72

解析:设两个方程的根分别为 x1、x4 和 x2、x3. 1 3 5 7 因为 x1+x4=x2+x3=1,所以 x1= ,x4= ,从而 x2= ,x3= . 4 4 12 12 3 35 35 3 3 35 31 则 a=x1x4= ,b=x2x3= ,或 a= ,b= ,∴a+b= + = . 16 144 144 16 16 144 72 答案:D 二、填空题 7.(2013 年高考重庆卷)已知{an}是等差数列,a1=1,公差 d≠0,Sn 为其前 n 项和,若

a1,a2,a5 成等比数列,则 S8=________.
解析:因为{an}为等差数列,且 a1,a2,a5 成等比数列,所以 a1(a1+4d)=(a1+d) ,解得
2

-2-

d=2a1=2,所以 S8=64.
答案:64 8. 《九章算术》之后,人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题, 《张丘建算经》 卷上第 22 题为:“今有女善织,日益功疾,且从第 2 天起,每天比前一天多织相同量的布, 若第一天织 5 尺布,现在一月(按 30 天计),共织 390 尺布”,则每天比前一天多织________ 尺布.(不作近似计算) 30×29 16 解析:由题意知,a1=5,n=30,Sn=390=30×5+ d?d= . 2 29 16 答案: 29 9.(2014 年合肥模拟)已知数列{an}满足 anan+1an+2an+3=24,且 a1=1,a2=2,a3=3,则

a1+a2+a3+?+a2 013=________.
解析:由 anan+1an+2an+3=24 可知,an+1an+2an+3·an+4=24,得 an+4=an,所以数列{an}是周 期为 4 的数列,再令 n=1,求得 a4=4,每四个一组可得(a1+a2+a3+a4)+?+(a2 009+a2 010 +a2 011+a2 012)+a2 013=10×503+1=5 031. 答案:5 031 三、解答题 3 10.(2014 年大同模拟)已知公比为 q 的等比数列{an}的前 6 项和 S6=21,且 4a1, a2,a2 2 成等差数列. (1)求 an; (2)设{bn}是首项为 2,公差为-a1 的等差数列,其前 n 项和为 Tn,求不等式 Tn-bn>0 的解 集. 3 解析:(1)∵4a1, a2,a2 成等差数列,∴4a1+a2=3a2, 2 即 4a1=2a2,∴q=2. 则 S6=

a1

-2 1- 2

6

1 2 =21,解得 a1= ,∴an= . 3 3

n-1

1 (2)由(1)得-a1=- , 3

? 1? 7-n, ∴bn=2+(n-1)?- ?= 3 ? 3? ? 1? 13n-n , Tn=2n+ (n-1)·?- ?= 2 6 ? 3?
n
∴Tn-bn>0,即-
2

n-
6

n-
*

>0,解得 1<n<14(n∈N ),

*

故不等式 Tn-bn>0 的解集为{n∈N |1<n<14}.
-3-

11.已知单调递增的等比数列{an}满足 a2+a3+a4=28,且 a3+2 是 a2,a4 的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; 1 n+1 (2)若 bn=anlog an,Sn=b1+b2+?+bn,求使 Sn+n·2 >50 成立的正整数 n 的最小值. 2 解析:(1)设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,依题意,有 2(a3+2)=a2+a4,代入 a2 +a3+a4=28,得 a3=8,∴a2+a4=20,
?a1q+a1q =20 ? ∴? 2 ? ?a1q =8
3

?q=2 ? , 解得? ? ?a1=2

1 ? ?q= 或? 2 ? ?a1=32

.又数列{an}单调递增, ∴q=2, a1=2,

∴an=2 . 1 n n n 2 3 n (2)由题意知 bn=2 ·log 2 =-n·2 ,∴-Sn=1×2+2×2 +3×2 +?+n×2 ,① 2 ∴-2Sn=1×2 +2×2 +3×2 +?+(n-1)×2 +n×2 ∴①-②得 Sn=2+2 +2 +?+2 -n·2 ∵Sn+n·2 2
n+1
6 2 3 2 3 4

n

n

n+1

,②
n+1

n

n+1



-2 1-2

n

-n·2
n+1

=2
5

n+1

-n·2

n+1

-2,

n+1

>50,∴2

n+1

-2>50,∴2
n+1

n+1

>52,又当 n≤4 时,2

≤2 =32<52,当 n≥5 时,

≥2 =64>52.故使 Sn+n·2

>50 成立的正整数 n 的最小值为 5. 2Sn =an+1

12.(能力提升)(2013 年高考广东卷)设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1=1, 1 2 2 * - n -n- ,n∈N . 3 3 (1)求 a2 的值; (2)求数列{an}的通项公式; 1 2 解析:(1)依题意,2S1=a2- -1- ,又 S1=a1=1,所以 a2=4. 3 3 1 3 2 2 (2)当 n≥2 时,2Sn=nan+1- n -n - n, 3 3 1 2 3 2 2Sn-1=(n-1)an- (n-1) -(n-1) - (n-1), 3 3 1 2 2 两式相减得 2an=nan+1-(n-1)an- (3n -3n+1)-(2n-1)- , 3 3 整理得(n+1)an=nan+1-n(n+1),即
?an? ?n?

n

an+1 an a2 a1 - =1,又 - =1, n+1 n 2 1

故数列? ?是首项为 1,公差为 1 的等差数列, 所以 =1+(n-1)×1=n,所以 an=n .

an n

2

-4-

-5-


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