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关于针对高一数学下第5章解斜三角形解析及答案


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A Suzhou Institution

高一数学下第 5 章《解斜三角形》解析及答案
巩固基础 一、自主梳理

a b c 1.正弦定理: sin A = sin B = sin C =2R,其中 R 是三角形外接圆半径.

b2 + c2 ? a2 2bc 2.余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,cosA= . 1 1 1 a+b+c 2 ,r 为内切 3.S△ABC= 2 absinC= 2 bcsinA= 2 acsinB,S△= S ( S ? a)(S ? b)(S ? c) =Sr(S= abc 圆半径)= 4 R (R 为外接圆半径).
4.在三角形中大边对大角,反之亦然. 5.射影定理:a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA. 6.三角形内角的诱导公式

C A+ B (1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos 2 =sin 2 , C A+ B sin 2 =cos 2 ……
在△ABC 中,熟记并会证明 tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC; (2)A、B、C 成等差数列的充要条件是 B=60°; (3)△ABC 是正三角形的充要条件是 A、B、C 成等差数列且 a、b、c 成等比数列.

7.解三角形常见的四种类型

a b c (1)已知两角 A、B 与一边 a,由 A+B+C=180°及 sin A = sin B = sin C ,可求出角 C,再求 b、c.
(2)已知两边 b、c 与其夹角 A,由 a2=b2+c2-2bccosA,求出 a,再由余弦定理,求出角 B、C. (3)已知三边 a、b、c,由余弦定理可求出角 A、B、C.

a b (4)已知两边 a、b 及其中一边的对角 A,由正弦定理 sin A = sin B ,求出另一边 b 的对角 B, a c a b 由 C=π-(A+B),求出 c,再由 sin A = sin C 求出 C,而通过 sin A = sin B 求 B 时,可能出一解,两
解或无解的情况,其判断方法,如下表: A>90° a>b a=b 一解 无解 A=90° 一解 无解 a>bsinA a<b 无解 无解 a=bsinA a<bsinA 8.用向量证明正弦定理、余弦定理,关键在于基向量的位置和方向. 9.三角形的分类或形状判断的思路,主要从边或角两方面入手. A<90° 一解 一解 两解 一解 无解

二、点击双基

1.在△ABC 中,A=60°,a=4
A.45°或 135° B.135°

3 3,b=4 2 ,则 B 等于(
C.45°

) D.以上答案都不对

b sin A 解析:sinB= a =
答案:C

4 2× 4 3

3 2

2 = 2 ,又∵b<a,∴B<A.∴0°<B<60°.故 B=45°.

2.△ABC 中,a=2bcosC,则此三角形一定是(
A.等腰三角形 C.等腰直角三角形 解析:由正弦定理得 sinA=2sinBcosC, 即 sin(B+C)=2sinBcosC. ∴sin(B-C)=0.

)

B.直角三角形 D.等腰或直角三角形

又∵-π<B-C<π,∴B-C=0. 答案:A

3.设 A 是△ABC 最小内角,则 sinA+cosA 的取值范围是(
A.(- 2 , 2 ) B.[- 2 , 2 ] C.(1, 2 ) 解析:∵0°<A≤60°,∴45°<A+45°≤105°. ∴sinA+cosA= 2 sin(A+45°)∈(1, 2 ]. 答案:D

) D.(1, 2 ]

A b+c 4.(2006 山东潍坊检测)在△ABC 中,cos 2 = 2c (a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边),则△ABC
2

的形状为( A.正三角形

) B.直角三角形 D.等腰直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形

A 1 + cos A 1 + cos A b + c b 2 2 ,∴ = 2c ,即 cosA= c . 解析:∵cos2 2 =

b2 + c2 ? a2 b b2 + c2 ? a2 2bc 2bc 又∵cosA= ,∴ c = ,即 a2+b2=c2.∴△ABC 为直角三角形.故选 B.
答案:B

5.已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,则∠A=_________________________.
b2 + c2 ? a2 1 π 2 2 2 2 2 2bc 解析:由已知得(b+c) -a =3bc,∴b +c -a =bc.∴ = 2 .∴∠A= 3 .

π 答案: 3
训练思维

6、△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,如果 a =b(b+c),求证:A=2B.
2

剖析:研究三角形问题一般有两种思路.一是边化角,二是角化边. 证明:用正弦定理,a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,代入 a2=b(b+c)中,得 sin2A=sinB(sinB+sinC) ? sin2A-sin2B=sinBsinC

1 ? cos 2 A 1 ? cos 2 B ? 2 2 =sinBsin(A+B)

1 ? 2 (cos2B-cos2A)=sinBsin(A+B)

? sin(A+B)sin(A-B)=sinBsin(A+B).
因为 A、 C 为三角形的三内角,所以 sin(A+B)≠0.所以 sin(A-B)=sinB.所以只能有 A-B=B,即 A=2B. B、 讲评:利用正弦定理,将命题中边的关系转化为角间关系,从而全部利用三角公式变换求解.

链接·聚焦 链接 聚焦

7、(1)该题若用余弦定理如何解决?
解:利用余弦定理,由 a2=b(b+c),得

b 2 + c 2 ? a 2 (b 2 + c 2 ) ? b (b + c ) 2bc 2bc cosA= =

(b + c ) 2 c 2 a2 + c2 ? b2 c?b c?b 2 2 2b (b + c )c 2 -1= 2b . 2ac = 2b ,cos2B=2cos B-1=2( ) -1=
所以 cosA=cos2B.因为 A、B 是△ABC 的内角,所以 A=2B. (2)该题根据命题特征,能否构造一个符合条件的三角形,利用几何知识解决?

b a 解:由题设 a =b(b+c),得 b + c = a ,
2



BC AC 做 出 △ABC, 延 长 CA 到 D, 使 AD=AB=c, 连 结 BD.① 式 表 示 的 即 是 DC = BC , 所 以
△BCD△△ABC.所以∠1=∠D. 又 AB=AD,可知∠2=∠D,所以∠1=∠2. 因为∠BAC=∠2+∠D=2∠2=2∠1, 所以 A=2B. 讲评:近几年的高考题中,涉及到三角形的题目,重点考查正弦、余弦定理,考查的侧重点还在于三角 转换.这是命题者的初衷.

3 1 8、 全国高考卷Ⅱ)已知锐角△ABC 中,sin(A+B)= 5 ,sin(A-B)= 5 . (2004
(1)求证:tanA=2tanB;

(2)设 AB=3,求 AB 边上的高. 剖析:有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式,结合图形,以(1)为铺垫,解决(2).

3 1 (1)证明:∵sin(A+B)= 5 ,sin(A-B)= 5 ,

? ?sin A cos B + cos A sin B = ? ? ?sin A cos B ? cos A sin B = ? ∴?
∴tanA=2tanB.

3 2 ? ?sin A cos B = 5 tan A ? 5 ?? ? 1 tan B ?cos A cos B = 1 ? 5 5 ? =2.

π 3 (2)解: 2 <A+B<π,∴sin(A+B)= 5 .
3 ∴tan(A+B)=- 4 , tan A + tan B 3 2± 6 2 即 1 ? tan A tan B =- 4 .将 tanA=2tanB 代入上式整理得 2tan B-4tanB-1=0,解得 tanB= 2 (负
2± 6 值舍去).得 tanB= 2 ,∴tanA=2tanB=2+ 6 . 3CD CD CD 设 AB 边上的高为 CD,则 AB=AD+DB= tan A + tan B = 2 + 6 .
由 AB=3 得 CD=2+ 6 ,∴AB 边上的高为 2+ 6 . 讲评:本题主要考查三角函数概念,两角和与差的公式以及应用,分析和计算能力.

9、

如图,有两条相交成 60°角的直路 EF、MN,交点是 O.起初,阿福在 OE 上距 O 点 3 千米

的点 A 处;阿田在 OM 上距 O 点 1 千米的点 B 处.现在他们同时以 4 千米/时的速度行走,阿福沿 EF 的方向,阿田沿 NM 的方向.

(1)求起初两人的距离; (2)用包含 t 的式子表示 t 小时后两人的距离; (3)什么时候他们两人的距离最短? 解:(1)∵AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos60°=7,

∴起初他们两人的距离是 7 千米. (2)设他们 t 小时后的位置分别是 P、Q,则 AP=4t,BQ=4t. 下面分两种情况讨论:

3 当 0≤t≤ 4 时,PQ2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)cos60°. 3 当 t> 4 时,PQ2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(4t-3)(1+4t)cos120°.
2 由①②综合得 PQ2=48t2-24t+7,即 PQ= 48t ? 24t + 7 .





1 (3)∵PQ =48t -24t+7=48(t- 4 )2+4,
2 2

1 ∴当 t= 4 时,即在第 15 分钟时他们两人的距离最短.
链接·拓展 链接 拓展 本题还可以转化为坐标运算,从而避免分类讨论.

1 提示:以 O 为坐标原点,OE 所在直线为 x 轴建立坐标系,则 t 时刻 P(3-4t,0),Q( 2 (1+4t),

3 2 (1+4t)).

状元训练 复习篇

10.在△ABC 中,下列三式 AB · AC >0, BA · BC >0, CA · CB >0 中能够成立的不等式个数(
A.至多 1 个 B.有且仅有 1 个 C.至多 2 个 D.至少 2 个

)

解析:原条件可转化为 cosA>0,cosB>0,cosC>0.而 A、B、C 是三角形的内角,∴A+B+C=π 最多一 个钝角. 答案:D

11.在△ABC 中,a=80,b=100,A=45°,则此三角形解的情况是(
A.一解 B.两解 C.一解或两解 解析:∵bsinA=50 2 ,∴a>bsinA. 答案:B

) D.无解

a+b+c 12(理)在△ABC 中,若 A=60°,b=1,S△ABC= 3 ,则 sin A + sin B + sin C 的值为(

)

26 3 A. 3

2 39 B. 3

39 C. 3

13 3 D. 3

1 1 解析:∵S△ABC= 2 bcsinA,∴ 5 bcsinA= 3 .
∴c=4.∴a2=b2+c2-2bccosA=13.∴a= 13 .

2 13 2 39 a+b+c a ∴ sin A + sin B + sin C = sin A = 3 = 3 .
答案:B

1 13、(文)(2004 浙江高考)在△ABC 中,“A>30°”是“sinA> 2 ”的(
A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 解析:在△ABC 中,A>30° ? 0<sinA<1 答案:B B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

)

1 1 sinA> 2 ;sinA> 2 ? 30°<A<150° ? A>30°.

1 14.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,若三角形的面积 S= 4 (a2+b2-c2),则∠C 的
度数是_______________________.

1 1 1 2 2 2 解析:由 S= 4 (a +b -c )得 2 absinC= 4 ·2abcosC.∴tanC=1.∴C=45°.
答案:45°

a b 15.在△ABC 中,若∠C=60°,则 b + c + a + c =____________________.
a 2 + ac + b 2 + bc a b 解析: b + c + a + c = (b + c )( a + c )

a 2 + b 2 + ac + bc 2 = ab + ac + bc + c .

(*)

∵∠C=60°,∴a2+b2-c2=2abcosC=ab.∴a2+b2=ab+c2.

ab + c 2 + ac + bc 2 代入(*)式得 ab + ac + bc + c =1.

答案:1

π

16.在△ABC 中,c=2
弦定理可求得 a、b.

2 ,a>b,∠C= 4 ,且有 tanA·tanB=6,试求 a、b 以及此三角形的面积.

思路分析:由已知可求出 tanA+tanB,这样便可求得 tanA 和 tanB 的值,只要求出 sinA、sinB 利用正

解:∵tanA+tanB=tan(A+B)(1-tanAtanB) =-tanC(1-tanAtanB)

π
=-tan 4 (1-6)=5, 又∵tanA·tanB=6 且 a>b,则 tanA>tanB.∴tanA=3,tanB=2.

π

π

而 0<A< 2 ,0<B< 2 ,

3 10 2 5 ∴sinA= 10 ,sinB= 5 .
c sin A 6 10 由正弦定理得 a= sin C = 5 ,

2 2?
c sin B b= sin C =

2 5 5 2 8 5 2 = 5 ,

1 24 S△ABC= 2 absinC= 5 .

17.(2006 北京海淀模拟)(理)△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,2sin C=3cosC,c=
2

7,

3 3 又△ABC 的面积为 2 .
求:(1)角 C 的大小; (2)a+b 的值. 解:(1)由已知得 2(1-cos2C)=3cosC,

1 cosC= 2 或 cosC=-2(舍),
在△ABC 中,C=60°.

1 3 3 (2)∵S△ABC= 2 absinC= 2 ,

1 3 3 ∴ 2 absin60°= 2 .∴ab=6.
又∵c2=a2+b2-2abcosC, ∴( 7 )2=a2+b2-2abcosC. ∴a2+b2-ab=7.∴a2+b2=13.
2 2 ∴a+b= a + b + 2ab = 13 + 12 =5.

3 3 18(文)△ABC 中 , 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 为 a 、 b 、 c , △ABC 的 面 积 为 2 , 且
c= 7 ,3cosC-2sin2C =0. 求:(1)角 C 的大小; (2)a、b 的值. 解:(1)由已知得 2(1-cos2C)=3cosC,

1 cosC= 2 或 cosC=-2(舍),
在△ABC 中,C=60°.

3 3 1 (2)∵S△ABC= 2 absinC= 2 , 3 3 1 ∴ 2 absin60°= 2 .∴ab=6.
又∵c2=a2+b2-2abcosC, ∴( 7 )2=a2+b2-2abcosC. ∴a2+b2-ab=7.∴a2+b2=13.
2 2 ∴a+b= a + b + 2ab = 13 + 12 =5.

∴a=2,b=3 或 a=3,b=2. 加强篇

1 + sin 2 B 19、 △ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,依次成等比数列,求 y= sin B + cos B 在
的取值范围. 解:∵b2=ac,

a 2 + c 2 ? b 2 a 2 + c 2 ? ac 2ac 2ac ∴cosB= =
1 a c 1 1 π = 2 ( c + a )- 2 ≥ 2 .∴0<B≤ 3 , (sin B + cos B ) 2 1 + sin 2 B y= sin B + cos B = sin B + cos B

π
=sinB+cosB= 2 sin(B+ 4 ).

7π 2 π ∵ 4 <B+ 4 ≤ 12 ,∴ 2 <sin(B+ 4 )≤1.故 1<y≤ 2 .

π

π

20.(全新创编题)某城市有一条公路,自西向东经过 A 点到市中心 O 点后转向东北方向 OB,现要
修建一条铁路 L,L 在 OA 上设一站 A,在 OB 上设一站 B,铁路在 AB 部分为直线段,现要求市中心 O 与 AB 的距离为 10 km,问把 A、B 分别设在公路上离中心 O 多远处才能使|AB|最短?并求其最短距 离.(不要求作近似计算)

解:在△AOB 中,设 OA=a,OB=b. 因为 AO 为正西方向,OB 为东北方向, 所以∠AOB=135°. 则|AB|2=a2+b2-2abcos135°=a2+b2+ 2 ab≥2ab+ 2 ab=(2+ 2 )ab,当且仅当 a=b 时,“=”成立.又 O 到 AB 的距离为 10,设∠OAB=α,则∠OBA=45°-α.所以

10 10 a= sin α ,b= sin( 45° ? α ) , 10 10 10 ab= sin α · sin( 45° ? α ) = sin ? sin( 45° ? α )

100
=

sin α (

2 2 α? sin α ) 2 2 100

2 2 sin α ? (1 ? cos 2α ) 4 = 4

400

400

= 2 sin(2α + 45°) ? 2 ≥ 2 ? 2 , 当且仅当 α=22°30′时,“=”成立.

400(2 + 2 )
所以|AB|2≥

2? 2

=400( 2 +1)2,

当且仅当 a=b,α=22°30′时,“=”成立.

10 所以当 a=b= sin 22°30' =10 2 + (2 + 2 ) 时,|AB|最短,其最短距离为 20( 2 +1),即当 AB 分别
在 OA、OB 上离 O 点 10 2 + (2 + 2 ) km 处,能使|AB|最短,最短距离为 20( 2 -1). 教学参考 一、教学思路 1.根据所给条件确定三角形的形状,主要有两条途径:(1)化边为角;(2)化角为边.具体有如下 四种方法:①通过正弦定理实施边角转换;②通过余弦定理实施边角转换;③通过三角变换找出角 之间的关系;④通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数有界性的讨论. 2.用正弦(余弦)定理解三角形问题时可适当应用向量数量积求三角形内角与应用向量的模求三 角形边长等. 3.在判断三角形形状或解斜三角形中,一定要注意解是否唯一,并注重挖掘隐含条件. 4.用向量的数量积求三角形内角时, 需通过向量的方向判断向量的夹角与三角形内角是相等还 是互补. 二、注意问题 1.一方面要让学生体会向量方法在解三角形方面的应用,另一方面要让学生体会解三角形是重 要的测量手段,通过数值计算进一步提高使用计算器的技能技巧和解决实际问题的能力. 2.要加大以三角形为背景,以三角恒等变换公式、向量等为工具的小型综合题的训练. 三、参考资料

21

2 sin A 已知 A、B、C 是△ABC 的三个内角,y=cotA+ cos A + cos( B ? C ) .

(1)若任意交换两个角的位置,y 的值是否变化?试证明你的结论. (2)求 y 的最小值.

2 sin[π ? ( B + C )] 解:(1)∵y=cotA+ cos[π ? ( B + C )] + cos( B ? C ) 2 sin( B + C ) =cotA+ ? cos( B + C ) + cos( B ? C )

sin B cos C + cos B sin C sin B sin C =cotA+
=cotA+cotB+cotC, ∴任意交换两个角的位置,y 的值不变化. (2)∵cos(B-C)≤1,

A 2 A A 2 sin A A 1 A A A 3 tan ? cot 2 tan 2 2 2 +2tan 2 = 2 (cot 2 +3tan 2 )≥ ∴y≥cotA+ 1 + cos A = 1 ? tan 2
= 3.

π 故当 A=B=C= 3 时,ymin= 3 .
讲评:本题的第(1)问是一道结论开放型题,y 的表达式的表面不对称性显示了问题的有趣之处.第(2) 问实际上是一道常见题:在△ABC 中,求证:cotA+cotB+cotC≥ 3 .

sin B + sin C 22、在△ABC 中,sinA= cos B + cos C ,判断这个三角形的形状.
剖析: 判断一个三角形的形状,可由三个内角的关系确定,亦可由三边的关系确定.采用后一种方法解 答本题,就必须“化角为边”. 解:应用正弦定理、余弦定理,可得

b+c c +a ?b a2 + b2 ? c2 + 2ca 2ab a= ,所以 b(a2-b2)+c(a2-c2)=bc(b+c).所以
2 2 2

(b+c)a2=(b3+c3)+bc(b+c).所以 a2=b2-bc+c2+bc.所以 a2=b2+c2.所以△ABC 是直角三角形. 讲评: 恒等变形是学好数学的基本功,变形的方向是关键.若考虑三内角的关系,本题可以从已知条件 推出 cosA=0.


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