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2013年数学高考题北京理科数学解析版


2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (北京卷)
本试卷共 5 页,150 分,考试时长 120 分钟,考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分(选择题 共 40 分) 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项. 1.(2013

北京,理 1)已知集合 A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},则 A∩B=( ). A.{0} B.{-1,0} C.{0,1} D.{-1,0,1} 答案:B 解析:{-1,0,1}∩{x|-1≤x<1}={-1,0}. 2.(2013 北京,理 2)在复平面内,复数(2-i)2 对应的点位于( ). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案:D 解析:∵(2-i)2=3-4i,∴该复数对应的点位于第四象限,故选 D. 3.(2013 北京,理 3)“φ=π”是“曲线 y=sin(2x+φ)过坐标原点”的( ). A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:A 解析:∵φ=π,∴y=sin(2x+π)=-sin 2x, ∴曲线过坐标原点,故充分性成立; ∵y=sin(2x+φ)过原点, ∴sin φ=0,∴φ=kπ,k∈Z. 故必要性不成立.故选 A. 4.(2013 北京,理 4)执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为( ).

A.1 答案:C

B.

2 3

C.

13 21

D.

610 987

1

解析:依次执行的循环为 S=1,i=0; S ?

5.(2013 北京,理 5)函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度,所得图象与曲线 y=ex 关于 y 轴对称,则 f(x)=( ). - x+1 A.e B.ex 1 - + - - C.e x 1 D.e x 1 答案:D - 解析:依题意,f(x)向右平移 1 个单位之后得到的函数应为 y=e x,于是 f(x)相当于 y=e -x -x-1 向左平移 1 个单位的结果,∴f(x)=e ,故选 D. 6.(2013 北京,理 6)若双曲线 A.y=±2x C. y ? ? 答案:B 解析:由离心率为 3 ,可知 c= 3 a,∴b= 2 a. ∴渐近线方程为 y ? ?

2 13 ,i=1; S ? ,i=2.故选 C. 3 21

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 3 ,则其渐近线方程为( a 2 b2 B. y ? ? 2 x
D. y ? ?

).

1 x 2

2 x 2

7.(2013 北京,理 7)直线 l 过抛物线 C:x2=4y 的焦点且与 y 轴垂直,则 l 与 C 所围成 的图形的面积等于( ). A.

b x ? ? 2 x ,故选 B. a

4 3

B.2

C.

8 3

D.

16 2 3

答案:C 解析:由题意可知,l 的方程为 y=1. 如图,B 点坐标为(2,1),

∴所求面积 S=4- 2

?

2 0

? x3 ? 2 8 x2 dx =4- 2 ? ? |0 = ,故选 C. 3 4 ? 12 ?

? 2 x ? y ? 1 ? 0, ? 8.(2013 北京,理 8)设关于 x,y 的不等式组 ? x ? m ? 0, 表示的平面区域内存在点 ?y ? m ? 0 ?
P(x0,y0),满足 x0-2y0=2,求得 m 的取值范围是( ).

4? ? ? 3? ? 2? ? C. ? ??, ? ? 3? ?
A. ? ??, 答案:C

1? ? 3? ? 5? ? D. ? ??, ? ? 3? ?
B. ? ??, ?

解析:图中阴影部分表示可行域,要求可行域内包含 y=

1 x-1 上的点,只需要可行域 2

2

的边界点(-m,m)在 y=

1 1 2 x-1 下方,也就是 m< ? m-1,即 m ? ? .故选 C. 2 2 3

第二部分(非选择题 共 110 分) 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.(2013 北京,理 9)在极坐标系中,点 ? 2, 答案:1 解析:在极坐标系中,点 ? 2,

? ?

π? ? 到直线 ρsin θ=2 的距离等于__________. 6?

? ?

π? ? 对应直角坐标系中坐标为( 3 ,1),直线 ρsin θ=2 对 6?

应直角坐标系中的方程为 y=2,所以点到直线的距离为 1. 10 . (2013 北京,理 10) 若等比数列 {an} 满足 a2 + a4 = 20 , a3 + a5 = 40 ,则公比 q = __________;前 n 项和 Sn=__________. + 答案:2 2n 1-2 解析:由题意知 q ?

a3 ? a5 40 ? ? 2. a2 ? a4 20

由 a2+a4=a2(1+q2)=a1q(1+q2)=20, ∴a1=2.∴Sn=

2?1 ? 2 n ? + =2n 1-2. 1? 2

11.(2013 北京,理 11)如图,AB 为圆 O 的直径,PA 为圆 O 的切线,PB 与圆 O 相交于 D,若 PA=3,PD∶DB=9∶16,则 PD=__________,AB=__________.

答案:

9 5

4

解析:设 PD=9k,则 DB=16k(k>0). 由切割线定理可得,PA2=PD· PB, 即 32=9k· 25k,可得 k ? ∴PD=

1 . 5

9 ,PB=5. 5
3

在 Rt△APB 中,AB= PB2 ? PA2 =4. 12.(2013 北京,理 12)将序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券全部分给 4 人,每人至少 1 张,如果分给同一人的 2 张参观券连号,那么不同的分法种数是__________. 答案:96 解析:连号有 4 种情况,从 4 人中挑一人得到连号参观券,其余可以全排列,则不同的
3 分法有 4× C1 4 A3 =96(种).

13.(2013 北京,理 13)向量 a,b,c 在正方形网格中的位置如图所示,若 c=λa+μb(λ, μ∈R),则

? ? __________. ?

答案:4 解析:可设 a=-i+j,i,j 为单位向量且 i⊥j, 则 b=6i+2j,c=-i-3j. 由 c=λa+μb=(6μ-λ)i+(λ+2μ)j,

?? ? ?2, ?6? ? ? ? ?1, ? ∴? 解得 ? 1 ??? . ?? ? 2? ? ?3, ? ? 2 ? ∴ ?4. ?
14.(2013 北京,理 14)如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 BC 的中 点,点 P 在线段 D1E 上,点 P 到直线 CC1 的距离的最小值为__________.

答案:

2 5 5

解析:过 E 点作 EE1 垂直底面 A1B1C1D1,交 B1C1 于点 E1, 连接 D1E1,过 P 点作 PH 垂直于底面 A1B1C1D1,交 D1E1 于点 H, P 点到直线 CC1 的距离就是 C1H,

4

故当 C1H 垂直于 D1E1 时,P 点到直线 CC1 距离最小, 此时,在 Rt△D1C1E1 中,C1H⊥D1E1,D1E1· C1H=C1D1· C1E1,∴C1H= 三、解答题共 6 小题,共 50 分.解答应写出文字说明,演算步骤. 15.(2013 北京,理 15)(本小题共 13 分)在△ABC 中,a=3, b ? 2 6 ,∠B=2∠A, (1)求 cos A 的值; (2)求 c 的值. 解:(1)因为 a=3, b ? 2 6 ,∠B=2∠A,

2 2 5 . ? 5 5

3 2 6 . ? sin A sin 2 A 2sinAcosA 2 6 6 所以 .故 cos A= . ? sinA 3 3 6 (2)由(1)知,cos A= , 3 3 2 所以 sin A= 1 ? cos A ? . 3
所以在△ABC 中,由正弦定理得 又因为∠B=2∠A,

1 . 3 2 2 2 所以 sin B= 1 ? cos B ? . 3
所以 cos B=2cos2A-1= 在△ABC 中,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B= 所以 c=

5 3 . 9

a sin C =5. sin A

16.(2013 北京,理 16)(本小题共 13 分)下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋 势图, 空气质量指数小于 100 表示空气质量优良, 空气质量指数大于 200 表示空气重度污染. 某 人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市,并停留 2 天.

5

(1)求此人到达当日空气重度污染的概率; (2)设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数,求 X 的分布列与数学期望; (3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明) 解:设 Ai 表示事件“此人于 3 月 i 日到达该市”(i=1,2,?,13). 根据题意,P(Ai)=

1 ,且 Ai∩Aj= ? (i≠j). 13

(1)设 B 为事件“此人到达当日空气重度污染”,则 B=A5∪A8. 所以 P(B)=P(A5∪A8)=P(A5)+P(A8)=

2 . 13

(2)由题意可知,X 的所有可能取值为 0,1,2,且

4 , 13 4 P(X=2)=P(A1∪A2∪A12∪A13)=P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)= , 13 5 P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)= . 13
P(X=1)=P(A3∪A6∪A7∪A11)=P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)= 所以 X 的分布列为: X P 故 X 的期望 EX=0× 0 1 2

5 13

4 13

4 13

5 4 4 12 +1× +2× = . 13 13 13 13

(3)从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大. 17.(2013 北京,理 17)(本小题共 14 分)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1C1C 是边 长为 4 的正方形.平面 ABC⊥平面 AA1C1C,AB=3,BC=5,

(1)求证:AA1⊥平面 ABC; (2)求二面角 A1-BC1-B1 的余弦值;

6

(3)证明:在线段 BC1 上存在点 D,使得 AD⊥A1B,并求

BD 的值. BC1

解:(1)因为 AA1C1C 为正方形,所以 AA1⊥AC. 因为平面 ABC⊥平面 AA1C1C, 且 AA1 垂直于这两个平面的交线 AC, 所以 AA1⊥平面 ABC. (2)由(1)知 AA1⊥AC,AA1⊥AB. 由题知 AB=3,BC=5,AC=4,所以 AB⊥AC. 如图, 以 A 为原点建立空间直角坐标系 A-xyz, 则 B(0,3,0), A1(0,0,4), B1(0,3,4), C1(4,0,4).

设平面 A1BC1 的法向量为 n=(x,y,z), 则?

? ?n ? A1B ? 0, ? ?n ? A1C1 ? 0,

即?

?3 y ? 4 z ? 0, ?4 x ? 0.
n?m 16 ? . | n || m | 25

令 z=3,则 x=0,y=4,所以 n=(0,4,3). 同理可得,平面 B1BC1 的法向量为 m=(3,4,0). 所以 cos〈n,m〉=

由题知二面角 A1-BC1-B1 为锐角,

16 . 25 (3)设 D(x,y,z)是直线 BC1 上一点,且 BD =λ BC1 ,
所以二面角 A1-BC1-B1 的余弦值为 所以(x,y-3,z)=λ(4,-3,4). 解得 x=4λ,y=3-3λ,z=4λ. 所以 AD =(4λ,3-3λ,4λ). 由 AD · A1B =0,即 9-25λ=0,解得 ? ? 因为

9 . 25

9 ∈[0,1],所以在线段 BC1 上存在点 D,使得 AD⊥A1B. 25 BD 9 此时, . ?? ? BC1 25 ln x 18.(2013 北京,理 18)(本小题共 13 分)设 L 为曲线 C: y ? 在点(1,0)处的切线. x
(1)求 L 的方程; (2)证明:除切点(1,0)之外,曲线 C 在直线 L 的下方. 解:(1)设 f ? x ? ?

ln x 1 ? ln x ,则 f ? ? x ? ? . x x2

所以 f′(1)=1. 所以 L 的方程为 y=x-1. (2)令 g(x)=x-1-f(x),则除切点之外,曲线 C 在直线 L 的下方等价于 g(x)>0( ? x>0,
7

x≠1). g(x)满足 g(1)=0,且 g′(x)=1-f′(x)=

当 0<x<1 时,x2-1<0,ln x<0,所以 g′(x)<0,故 g(x)单调递减; 当 x>1 时,x2-1>0,ln x>0,所以 g′(x)>0,故 g(x)单调递增. 所以,g(x)>g(1)=0( ? x>0,x≠1). 所以除切点之外,曲线 C 在直线 L 的下方. 19.(2013 北京,理 19)(本小题共 14 分)已知 A,B,C 是椭圆 W:

x 2 ? 1 ? ln x . x2

x2 +y2=1 上的三个 4

点,O 是坐标原点. (1)当点 B 是 W 的右顶点,且四边形 OABC 为菱形时,求此菱形的面积; (2)当点 B 不是 W 的顶点时,判断四边形 OABC 是否可能为菱形,并说明理由.

x2 解:(1)椭圆 W: +y2=1 的右顶点 B 的坐标为(2,0). 4
因为四边形 OABC 为菱形,所以 AC 与 OB 相互垂直平分.

1 3 +m2=1,即 m= ? . 4 2 1 1 所以菱形 OABC 的面积是 |OB|· |AC|= ×2×2|m|= 3 . 2 2
所以可设 A(1,m),代入椭圆方程得 (2)假设四边形 OABC 为菱形. 因为点 B 不是 W 的顶点,且直线 AC 不过原点,所以可设 AC 的方程为 y=kx+m(k≠0, m≠0). 由?

? x 2 ? 4 y 2 ? 4, ? y ? kx ? m

消 y 并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0.

设 A(x1,y1),C(x2,y2), 则

x1 ? x2 y ? y2 x ?x 4km m ?? ?k? 1 2 ?m? , 1 . 2 2 1 ? 4k 2 2 1 ? 4k 2 m ? ? 4km 所以 AC 的中点为 M ? ? . , 2 2 ? ? 1 ? 4k 1 ? 4 k ? 1 因为 M 为 AC 和 OB 的交点,所以直线 OB 的斜率为 ? . 4k ? 1 ? 因为 k· ? ? ? ≠-1,所以 AC 与 OB 不垂直. ? 4k ?
所以 OABC 不是菱形,与假设矛盾. 所以当点 B 不是 W 的顶点时,四边形 OABC 不可能是菱形. 20.(2013 北京,理 20)(本小题共 13 分)已知{an}是由非负整数组成的无穷数列,该数列 前 n 项的最大值记为 An,第 n 项之后各项 an+1,an+2,?的最小值记为 Bn,dn=An-Bn. (1)若{an}为 2,1,4,3,2,1,4,3,?,是一个周期为 4 的数列(即对任意 n∈N*,an+4=an),写 出 d1,d2,d3,d4 的值; (2)设 d 是非负整数,证明:dn=-d(n=1,2,3,?)的充分必要条件为{an}是公差为 d 的等 差数列; (3)证明:若 a1=2,dn=1(n=1,2,3,?),则{an}的项只能是 1 或者 2,且有无穷多项为 1. 解:(1)d1=d2=1,d3=d4=3. (2)(充分性)因为{an}是公差为 d 的等差数列,且 d≥0, 所以 a1≤a2≤?≤an≤?.
8

因此 An=an,Bn=an+1,dn=an-an+1=-d(n=1,2,3,?). (必要性)因为 dn=-d≤0(n=1,2,3,?), 所以 An=Bn+dn≤Bn. 又因为 an≤An,an+1≥Bn,所以 an≤an+1. 于是,An=an,Bn=an+1, 因此 an+1-an=Bn-An=-dn=d, 即{an}是公差为 d 的等差数列. (3)因为 a1=2,d1=1, 所以 A1=a1=2,B1=A1-d1=1. 故对任意 n≥1,an≥B1=1. 假设{an}(n≥2)中存在大于 2 的项. 设 m 为满足 am>2 的最小正整数, 则 m≥2,并且对任意 1≤k<m,ak≤2. 又因为 a1=2,所以 Am-1=2,且 Am=am>2. 于是,Bm=Am-dm>2-1=1,Bm-1=min{am,Bm}≥2. 故 dm-1=Am-1-Bm-1≤2-2=0,与 dm-1=1 矛盾. 所以对于任意 n≥1,有 an≤2,即非负整数列{an}的各项只能为 1 或 2. 因为对任意 n≥1,an≤2=a1, 所以 An=2. 故 Bn=An-dn=2-1=1. 因此对于任意正整数 n,存在 m 满足 m>n,且 am=1,即数列{an}有无穷多项为 1.

9


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