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江苏省南京市、盐城市2015届高三第二次模拟考试数学试题


南京市、盐城市 2015 届高三年级第二次模拟考试 数
一、填空题 1、函数 f ( x) ? sin x cos x 的最小正周期为 。



2、已知复数 z ? (2 ? i)(1 ? 3i) ,其中 i 是虚数单位,则复数 z 在复平面上对应的点位 于第 象限。

3、右图是一个算法流程图,如果输入

x 的值是

1 ,则输出 S 的值是 4



4、某工厂为了了解一批产品的净重(单位:克)情况,从中随机抽测了 100 件产品的净重, 所 得数据均在区间[96,106]中,其中频率分布直方图如图所示,则在抽测的 100 件产品中,净重在区 [100,104]上的产品件数是 。 若红球,得 2 分,摸出黑球,得 1 分,则 3 次摸球所得总分至少是 4 分的概率是 。 6、 如图, 在平面四边形 ABCD 中, AC,BD 相交于点 O, E 为线段 AO 的中点, 若 BE ? ? BA ? ? BD ( ?, ? ? R ) ,则 ? ? ? ? 7、已知平面α ,β ,直线 m ,n ,给出下列命题: ①若 m // ? , n //
A E O B 第6题图 C

D

? , m ? n ,则 ? ? ? ,②若 ? // ? ,

m // ? ,n // ?





m || n


·1 ·





A

B 第8题图

D

C

m ? ? ,n ? ? , m ? n ,则 ? ? ? ,④若 ? ? ? , m ? ? ,n ? ? ,则 m ? n .
其中是真命题的是 。 (填写所有真命题的序号) 。
0

8、如图,在 ?ABC 中,D 是 BC 上的一点。已知 ?B ? 60 , AD ? 2,AC ? 则 AB= 。
2

10, DC ?

2

9、在平面直角坐标系 xoy 中,已知抛物线 C: x

? 4y 的焦点为 F,定点 A(2 2, 0),若射线 FA

与抛物线 C 相交于点 M,与抛物线 C 的准线相交于点 N,则 FM:MN= 10、记等差数列 则 a13 =

?an ?的前 n 项和为 S n ,已知 a


1

? 2 ,且数列 S n 也为等差数列,

? ?



11 、 已 知 知 函 数 f(x ) ? 是 。

x ?1 2 , x ? R , 则 不 等 式 f(x ? 2x ) ? f(3x ? 4) 的 解 集 | x | ?1

12、在平面直角坐标系 xoy 中,已知⊙C: x

2

? (y ? 1)2 ? 5 ,A为⊙C与 x 负半轴的交点,过
。 。

A 作⊙C的弦 AB,记线段 AB 的中点为 M.则直线 AB 的斜率为 13、已知 ? , ? 均为锐角,且 cos(? ?

?) ?

sin ? ,则 tan ? 的最大值是 sin ?

14 、 已 知 函 数 f ( x) ? ?

? x 2 ? 2 x, x ? 0 ? f ( x ? 1) ? 1, x ? 0

100] 时 , 关 于 x 的 方 程 学优网gkstk168 , 当 x ? [0,

f(x ) ? x ?
二、解答题

1 的所有解的和为 5



15、在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a ,b ,c .已知 cos C ?

3 . 5

(1)若 CB ? CA ?

9 B B , 3 ), y ? (cos B ,cos ),且 ,求 ?ABC 的面积;(2)设向量 X ? (2 sin 2 2 2

x || y ,求 sin( B ? A )的值。

·2 ·

AD ? CD ? 16、 如图, 在四棱锥 P—ABCD 中,

1 AD ? CD , PC ? 平面ABCD . AB , AB || DC , 2

(1)求证: BC ? 平面 PAC ; (2)若 M 为线段 PA 的中点,且过 C,D,M 三点的平面与 PB 交于 点 N,求 PN:PB 的值。

17.右图为某仓库一侧墙面的示意图,其下部是矩形 ABCD,上部是圆 AB,该圆弧所在的圆心为 O, 为了调节仓库内的湿度和温度,现要在墙面上开一个矩形的通风窗 EFGH(其中 E,F 在圆弧 AB 上, G,H 在弦 AB 上) 。过 O 作 OP ? AB ,交 AB 于 M,交 EF 于 N,交圆弧 AB 于 P,已知

OP ? 10, MP ? 6.5 (单位:m),记通风窗 EFGH 的面积为 S(单位: m 2 ) 学优网gkstk168
(1)按下列要求建立函数关系式: (i)设 ?POF ? ?(rad ),将 S 表示成 ? 的函数; (ii)设 MN ? x(m ),将 S 表示成 x 的函数; (2)试问通风窗的高度 MN 为多少时?通风窗 EFGH 的面积 S 最大?

·3 ·

18、如图,在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0)学优网gkstk168 的离心率为 a 2 b2

1 2 x 与椭圆 E 相交于 A,B 两点, AB ? 2 5 ,C,D 是椭圆 E 上异于 A,B ,直线 l: y ? 2 2
两点,且直线 AC,BD 相交于点 M,直线 AD,BC 相交于点 N. (1)求 a ,b 的值; (2)求证:直线 MN 的斜率为定值。
y M C D A N O B (第 18 题图) x

19、已知函数 f ( x) ? 1 ? ln x ?

k ( x ? 2) 学优网gkstk168 ,其中 k 为常数. x

(1)若 k ? 0 ,求曲线 y ? f(x )在点(1,f(1))处的切线方程. (2)若 k ? 5 ,求证: f (x )有且仅有两个零点; (3)若 k 为整数,且当 x ? 2 时, f(x ) ? 0 恒成立,求 k 的最大值。

·4 ·

20.给定一个数列

?an ?,在这个数列里,任取 m (m
?

? 3,m ? N ? )项,并且不改变它们在数列 ? an ?

中的先后次序,得到的数列 已知数列

?an ?的一个 m 阶子数列。
n

?an ?的通项公式为 a

1 学优网gkstk168 (n ? N ? ,a为常数),等差数列 a2 , n?a

an ?的一个 3 子阶数列。 a3 , a6 是数列 ?
(1) 求 a 的值; (2) 等差数列 b1 ,b2 ,? ,bm 是

?an ?的一个 m (m

? 3,m ? N ? )阶子数列,且 b1 ?

1

k

(k为常数,k ? N ? ,k ? 2),求证: m ? k ? 1
(3) 等比数列 c1 ,c 2 ,? ,c m 是 求证: c1

?an ?的一个 m (m
1 2 m ?1

? 3,m ? N ? )阶子数列,

? c1 ? ? ? c m ? 2 ?

·5 ·

南京市、盐城市 2015 届高三年级第二次模拟考试 数学附加题
21、选做题 A,选修 4-1;几何证明选讲 如图,过点 A 的圆与 BC 切于点 D,且与 AB、AC 分别交于点 E、F.已知 AD 为∠BAC 的平分线, 求证:EF||BC

B.选修 4-2:矩阵与变换
·6 ·

已知矩阵

A ? ?

?1 ? ?3 0? ?1 ? 3 0? A ? , A 的逆矩阵 ? ? ? ?2 a ? ?b 1?

(1) 求 a,b 的值; (2)求 A 的特征值。

C.选修 4-4:坐标系与参数方程

? 1 x ? 2? t ? ?x ? s ? 10 (s为参数) 在平面直角坐标系 xoy 中, 已知曲线 C: , 直线 l: (t为参数). ? ? 2 3 ?y ? s ?y ? 4 ? t ? 10 ?
设曲线 C 与直线 l 交于 A,B 两点,求线段 AB 的长度。

D.选修 4-5:不行等式选讲 已知 x,y,z 都是正数且 xyz=1,求证:(1+x)(1+y)(1+z)≥8

22、甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜 3 局者获得比赛的胜利,比赛随即结束。除第五局甲队 获胜的概率是

1 2 外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是 .假设各局比赛结果相互独立. 2 3

(1)分别求甲队以 3:0,3:1,3:2 获胜的概率; (2)若比赛结果为 3:0 或 3:1,则胜利方得 3 分、对方得 0 分;若比赛结果为 3:2,则胜利方得 2 分、对方得 1 分.求甲队得分 X 的分布列及数学期望。

23、 (本小题满分 10 分)
·7 ·

已知 m ,n ? (1) 记 (2)记

N ? ,定义 f n(m ) ?

n(n ? 1)(n ? 2) ?(n ? m ? 1) m!

a m ? f6(m ),求 a1 ? a2 ? ? ? a12 的值;

bm ? (?1)m mfn(m ),求 b1 ? b2 ? ? ? bn 所有可能值的集合。

南京市、盐城市 2015 届高三年级第二次模拟考试 数学参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.? 3 6. 4 11.(1,2) 2.一 7.③④ 12. 2 3.-2 2 6 8. 3 13. 2 4
·8 ·

4.55 1 9. 3 14.10000

7 5. 8 10.50

15. (本小题满分 14 分) 3 在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c.已知 cosC= . 5 ?? 9 (1)若 CB ? CA = ,求△ABC 的面积; 2 B B (2)设向量 x=(2sin , 3),y=(cosB,cos ),且 x∥y,求 sin(B-A)的值. 2 2 →→ 9 9 解: (1)由 CB · CA = ,得 abcosC= . 2 2 3 9 15 又因为 cosC= ,所以 ab= = . 5 2cosC 2 4 又 C 为△ABC 的内角,所以 sinC= . 5 1 所以△ABC 的面积 S= absinC=3. 2 …………………… 2 分 …………………… 4 分 …………………… 6 分 ………………… 8 分

B B (2)因为 x//y,所以 2sin cos = 3cosB,即 sinB= 3cosB. 2 2 因为 cosB≠0,所以 tanB= 3. π 因为 B 为三角形的内角,所以 B= . 3 2π 2π 所以 A+C= ,所以 A= -C. 3 3 π π 所以 sin(B-A)=sin( -A)=sin(C- ) 3 3 1 3 1 4 3 3 = sinC- cosC= × - × 2 2 2 5 2 5 = 4- 3 3 . 10

………………… 10 分

………………… 14 分

16. (本小题满分 14 分) 1 如图,在四棱锥 P—ABCD 中, AD=CD= AB, AB∥DC,AD⊥CD,PC⊥平面 ABCD. 2 (1)求证:BC⊥平面 PAC; (2)若 M 为线段 PA 的中点,且过 C,D,M 三点的平面与 PB 交于点 N,求 PN:PB 的值.
P

证明: (1)连结 AC.不妨设 AD=1.

M

·9 ·

A D C

B

1 因为 AD=CD= AB,所以 CD=1,AB=2. 2 因为?ADC=90?,所以 AC= 2,?CAB=45?. 在△ABC 中,由余弦定理得 BC= 2,所以 AC2+BC2=AB2. 所以 BC?AC. …………………… 3 分

因为 PC?平面 ABCD,BC?平面 ABCD,所以 BC?PC. …………………… 5 分 因为 PC?平面 PAC,AC?平面 PAC,PC∩AC=C, 所以 BC?平面 PAC. …………………… 7 分

(2)如图,因为 AB∥DC,CD?平面 CDMN,AB?平面 CDMN, 所以 AB∥平面 CDMN. 因为 AB?平面 PAB, 平面 PAB∩平面 CDMN=MN, 所以 AB∥MN. …………………… 12 分
A D C (第 16 题图) B M

…………………… 9 分

P

N

在△PAB 中,因为 M 为线段 PA 的中点, 所以 N 为线段 PB 的中点, 1 即 PN:PB 的值为 . 2 17. (本小题满分 14 分) …………………… 14 分

右图为某仓库一侧墙面的示意图,其下部是一个矩形 ABCD,上部是圆弧 AB,该圆弧所在圆的 圆心为 O.为了调节仓库内的湿度和温度,现要在墙面上开一个矩形的通风窗 EFGH(其中 E,F 在圆 弧 AB 上, G,H 在弦 AB 上).过 O 作 OP?AB,交 AB 于 M,交 EF 于 N,交圆弧 AB 于 P.已知 OP=10,MP=6.5(单位:m) ,记通风窗 EFGH 的面积为 S(单位:m2) . (1)按下列要求建立函数关系式:
P

(i)设∠POF=θ (rad),将 S 表示成 θ 的函数; (ii)设 MN=x (m),将 S 表示成 x 的函数; (2)试问通风窗的高度 MN 为多少时,通风窗 EFGH 的面积 S 最大? 解: (1)由题意知,OF=OP=10,MP=6.5,故 OM=3.5. (i)在 Rt△ONF 中,NF=OFsinθ=10sinθ,ON=OFcosθ=10cosθ.
D A

E H

N M O

F G B

在矩形 EFGH 中,EF=2MF=20sinθ,FG=ON-OM=10cosθ-3.5,
·10·

(第 17 题图)

C

故 S=EF×FG=20sinθ(10cosθ-3.5)=10sinθ(20cosθ-7). 7 即所求函数关系是 S=10sinθ(20cosθ-7),0<θ<θ0,其中 cosθ0= . 20 ………… 4 分 (ii)因为 MN=x,OM=3.5,所以 ON=x+3.5. 在 Rt△ONF 中,NF= OF2-ON2= 100-(x+3.5)2= 351 -7x-x2. 4

在矩形 EFGH 中,EF=2NF= 351-28x-4x2,FG=MN=x, 故 S=EF×FG=x 351-28x-4x2. 即所求函数关系是 S=x 351-28x-4x2,0<x<6.5. (2)方法一:选择(i)中的函数模型: 令 f(θ)=sinθ(20cosθ-7), 则 f ′(θ)=cosθ(20cosθ-7)+sinθ(-20sinθ)=40cos2θ-7cosθ-20.………… 10 分 4 5 由 f ′(θ)=40cos2θ-7cosθ-20=0,解得 cosθ= ,或 cosθ=- . 5 8 4 因为 0<θ<θ0,所以 cosθ>cosθ0,所以 cosθ= . 5 4 设 cosα= ,且 α 为锐角, 5 则当 θ∈(0,α)时,f ′(θ)>0 ,f(θ)是增函数;当 θ∈(α,θ0)时,f ′(θ)<0 ,f(θ)是减函数, 4 所以当 θ=α,即 cosθ= 时,f(θ)取到最大值,此时 S 有最大值. 5 即 MN=10cosθ-3.5=4.5m 时,通风窗的面积最大. 方法二:选择(ii)中的函数模型: 因为 S= x2(351-28x-4x2) ,令 f(x)=x2(351-28x-4x2), 则 f ′(x)=-2x(2x-9)(4x+39). ……… 10 分 ………… 14 分 ………… 8 分

9 9 13 因为当 0<x< 时 ,f ′(x)>0,f(x)单调递增,当 <x< 时,f ′(x)<0,f(x)单调递减, 2 2 2 9 所以当 x= 时,f(x)取到最大值,此时 S 有最大值. 2 即 MN=x=4.5m 时,通风窗的面积最大. 18. (本小题满分 16 分) ………… 14 分

·11·

x2 y2 2 1 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0) 的离心率为 ,直线 l:y= x a b 2 2 与椭圆 E 相交于 A,B 两点,AB=2 5.C,D 是椭圆 E 上异于 A,B 的任意两点,且直线 AC,BD 相交于点 M,直线 AD,BC 相交于点 N. (1)求 a,b 的值; (2)求证:直线 MN 的斜率为定值.
D N O B (第 18 题图) x y M C A

c 2 1 1 解: (1)因为 e= = ,所以 c2= a2,即 a2-b2= a2,所以 a2=2b2.…… 2 分 a 2 2 2 x2 y2 故椭圆方程为 2+ 2=1. 2b b 由题意,不妨设点 A 在第一象限,点 B 在第三象限.

? y=2x, 2 3 3 由? 解得 A( b, b). x y 3 3 ? 2b +b =1,
2 2 2 2

1

4 1 又 AB=2 5,所以 OA= 5,即 b2+ b2=5,解得 b2=3. 3 3 故 a= 6,b= 3. ……………… 5 分 x2 y2 + =1,从而 A(2,1),B(-2,-1). 6 3

(2)方法一:由(1)知,椭圆 E 的方程为

①当 CA,CB,DA,DB 斜率都存在时,设直线 CA,DA 的斜率分别为 k1,k2,C(x0,y0), 显然 k1≠k2. x2 x2 3(1- 0 )-1 2- 0 1 6 2 y -1 y +1 y -1 从而 k1 · kCB= 0 · 0 = 02 = = 2 =- . 2 2 x0-2 x0+2 x0 -4 x0 -4 x0 -4
2

1 所以 kCB=- . 2k1 1 同理 kDB=- . 2k2

…………………… 8 分

1 于是直线 AD 的方程为 y-1=k2(x-2),直线 BC 的方程为 y+1=- (x+2). 2k1

·12·

?x= 2k1k2+1 , ? ?y+1=- 1 (x+2), 2 k 1 由? 解得? -2k1k2-4k2+1 ? ?y-1=k2(x-2), y= .
4k1k2-4k1-2

?

2k1k2+1

4k k -4k1-2 -2k1k2-4k2+1 从而点 N 的坐标为( 1 2 , ). 2k1k2+1 2k1k2+1 4k k -4k2-2 -2k1k2-4k1+1 用 k2 代 k1,k1 代 k2 得点 M 的坐标为( 1 2 , ). 2k1k2+1 2k1k2+1 ………… 11 分 -2k1k2-4k2+1 -2k1k2-4k1+1 - 2k1k2+1 2k1k2+1 4(k -k ) 所以 kMN= = 1 2 =-1. 4k1k2-4k1-2 4k1k2-4k2-2 4(k2-k1) - 2k1k2+1 2k1k2+1 即直线 MN 的斜率为定值-1. ……… 14 分

②当 CA,CB,DA,DB 中,有直线的斜率不存在时, 根据题设要求,至多有一条直线斜率不存在, 故不妨设直线 CA 的斜率不存在,从而 C(2,-1). 1 仍然设 DA 的斜率为 k2,由①知 kDB=- . 2k2 2 1 此时 CA:x=2,DB:y+1=- (x+2),它们交点 M(2,-1- ). k2 2k2 2 BC:y=-1,AD:y-1=k2(x-2),它们交点 N(2- ,-1), k2 从而 kMN=-1 也成立. 由①②可知,直线 MN 的斜率为定值-1. 方法二:由(1)知,椭圆 E 的方程为 ………… 16 分

x2 y2 + =1,从而 A(2,1),B(-2,-1). 6 3

①当 CA,CB,DA,DB 斜率都存在时,设直线 CA,DA 的斜率分别为 k1,k2. 显然 k1≠k2. 直线 AC 的方程 y-1=k1(x-2),即 y=k1x+(1-2k1). k1x+(1-2k1), ? ?y= 2 2 由?x y 得(1+2k12)x2+4k1(1-2k1)x+2(4k12-4k1-2)=0. + =1 ?6 3 ? 2(4k12-4k1-2) 4k 2-4k -2 设点 C 的坐标为(x1,y1),则 2·x1= ,从而 x1= 1 2 1 . 2 1+2k1 2k1 +1
·13·

4k 2-4k -2 -2k12-4k1+1 所以 C( 1 2 1 , ). 2k1 +1 2k12+1 又 B(-2,-1), -2k12-4k1+1 +1 2k12+1 1 所以 kBC= =- . 2 2k1 4k1 -4k1-2 +2 2k12+1

……………… 8 分

1 所以直线 BC 的方程为 y+1=- (x+2). 2k1 又直线 AD 的方程为 y-1=k2(x-2).

?x= 2k1k2+1 , ?y+1=- 1 (x+2), ? 2 k 1 由? 解得? -2k1k2-4k2+1 ? ?y-1=k2(x-2), y= .
4k1k2-4k1-2

?

2k1k2+1

4k k -4k1-2 -2k1k2-4k2+1 从而点 N 的坐标为( 1 2 , ). 2k1k2+1 2k1k2+1 4k k -4k2-2 -2k1k2-4k1+1 用 k2 代 k1,k1 代 k2 得点 M 的坐标为( 1 2 , ). 2k1k2+1 2k1k2+1 ……… 11 分 -2k1k2-4k2+1 -2k1k2-4k1+1 - 2k1k2+1 2k1k2+1 4(k -k ) 所以 kMN= = 1 2 =-1. 4k1k2-4k1-2 4k1k2-4k2-2 4(k2-k1) - 2k1k2+1 2k1k2+1 即直线 MN 的斜率为定值-1. ……………… 14 分 ②当 CA,CB,DA,DB 中,有直线的斜率不存在时, 根据题设要求,至多有一条直线斜率不存在, 故不妨设直线 CA 的斜率不存在,从而 C(2,-1). 仍然设 DA 的斜率为 k2,则由①知 kDB=- 1 . 2k 2

2 1 此时 CA:x=2,DB:y+1=- (x+2),它们交点 M(2,-1- ). k2 2k2 2 BC:y=-1,AD:y-1=k2(x-2),它们交点 N(2- ,-1), k2 从而 kMN=-1 也成立. 由①②可知,直线 MN 的斜率为定值-1. 19. (本小题满分 16 分)
·14·

……………… 16 分

k(x-2) 已知函数 f(x)=1+lnx- ,其中 k 为常数. x (1)若 k=0,求曲线 y=f(x)在点 (1,f(1))处的切线方程; (2)若 k=5,求证:f(x)有且仅有两个零点; (3)若 k 为整数,且当 x>2 时,f(x)>0 恒成立,求 k 的最大值. (参考数据 ln8=2.08,ln9=2.20,ln10=2.30) 解: (1)当 k=0 时,f(x)=1+lnx. 1 因为 f ?(x)= ,从而 f ?(1)=1. x 又 f (1)=1, 所以曲线 y=f(x)在点 (1,f(1))处的切线方程 y-1=x-1, 即 x-y=0. (2)当 k=5 时,f(x)=lnx+ 10 -4. x ……… 3 分

x-10 因为 f ?(x)= 2 ,从而 x 当 x∈(0,10),f ′(x)<0,f(x)单调递减;当 x∈(10,+∞)时,f ′(x)>0,f(x)单调递增. 所以当 x=10 时,f(x)有极小值. ……………… 5 分

因 f(10)=ln10-3<0,f(1)=6>0,所以 f(x)在(1,10)之间有一个零点. 10 因为 f(e4)=4+ 4 -4>0,所以 f(x)在(10,e4)之间有一个零点. e 从而 f(x)有两个不同的零点. …………… 8 分

k(x-2) (3)方法一:由题意知,1+lnx- >0 对 x∈(2,+∞)恒成立, x x+xlnx 即 k< 对 x∈(2,+∞)恒成立. x-2 x+xlnx x-2lnx-4 令 h(x)= ,则 h?(x)= . x-2 (x-2)2 设 v(x)=x-2lnx-4,则 v?(x)= x-2 . x

当 x∈(2,+∞)时,v?(x)>0,所以 v(x)在(2,+∞)为增函数. 因为 v(8)=8-2ln8-4=4-2ln8<0,v(9)=5-2ln9>0, 所以存在 x0∈(8,9),v(x0)=0,即 x0-2lnx0-4=0.
·15·

当 x∈(2,x0)时,h?(x)<0,h(x)单调递减,当 x∈(x0,+∞)时,h?(x)>0,h(x)单调递增. x0+x0lnx0 所以当 x=x0 时,h(x)的最小值 h(x0)= . x0-2 x0-4 x0 因为 lnx0= ,所以 h(x0)= ∈(4,4.5). 2 2 故所求的整数 k 的最大值为 4. 方法二:由题意知,1+lnx- …………… 16 分

k(x-2) >0 对 x∈(2,+∞)恒成立. x

k(x-2) x-2k f(x)=1+lnx- ,f ?(x)= 2 . x x ①当 2k≤2,即 k≤1 时,f?(x)>0 对 x∈(2,+∞)恒成立, 所以 f(x)在(2,+∞)上单调递增. 而 f(2)=1+ln2>0 成立,所以满足要求. ②当 2k>2,即 k>1 时, 当 x∈(2,2k)时,f ′(x)<0, f(x)单调递减,当 x∈(2k,+∞),f ′(x)>0,f(x)单调递增. 所以当 x=2k 时,f(x)有最小值 f(2k)=2+ln2k-k. 从而 f(x)>0 在 x∈(2,+∞)恒成立,等价于 2+ln2k-k>0.

20. (本小题满分 16 分) 给定一个数列{an},在这个数列里,任取 m(m≥3,m∈N*)项,并且不改变它们在数列{an}中的 先后次序,得到的数列称为数列{an}的一个 m 阶子数列. 1 已知数列{an}的通项公式为 an= (n∈N*,a 为常数),等差数列 a2,a3,a6 是数列{an}的一 n+a 个 3 阶子数列. (1)求 a 的值; 1 (2)等差数列 b1,b2,…,bm 是{an}的一个 m (m≥3,m∈N*) 阶子数列,且 b1= (k 为常数, k
·16·

k∈N*,k≥2),求证:m≤k+1; (3)等比数列 c1,c2,…,cm 是{an}的一个 m (m≥3,m∈N*) 阶子数列, 求证:c1+c2+…+cm≤2- 2
m-1.

1

解: (1)因为 a2,a3,a6 成等差数列,所以 a2-a3=a3-a6. 1 1 1 又因为 a2= ,a = , a6= , 2+a 3 3+a 6+a 1 1 1 1 代入得 - = - ,解得 a=0. 2+a 3+a 3+a 6+a (2)设等差数列 b1,b2,…,bm 的公差为 d. 1 1 因为 b1= ,所以 b2≤ , k k+1 从而 d=b2-b1≤ 1 1 1 - =- . k+1 k k(k+1) ……………… 6 分 …………… 3 分

1 m-1 所以 bm=b1+(m-1)d≤ - . k k(k+1) 1 m-1 又因为 bm>0,所以 - >0. k k(k+1) 即 m-1<k+1. 所以 m<k+2. 又因为 m,k∈N*,所以 m≤k+1. …………… 9 分

1 (3)设 c1= (t∈N*),等比数列 c1,c2,…,cm 的公比为 q. t 1 c2 t 因为 c2≤ ,所以 q= ≤ . c1 t+1 t+1 1 t ?n-1 - 从而 cn=c1qn 1≤ ? (1≤n≤m,n∈N*) . t ?t+1? 1 1 t ?1 1? t ?2 1 t ?m-1 所以 c1+c2+…+cm≤ + ? + +…+ ? t t ?t+1? t ?t+1? t ?t+1? t+1 t ?m = [1-? ] t ?t+1? t+1 ? t ?m-1 = - . t ?t+1? 1 设函数 f(x)=x- m-1, (m≥3,m∈N*) . x 1 当 x∈(0,+∞)时,函数 f(x)=x- m-1为单调增函数. x
·17·

………… 13 分

t+1 因为当 t∈N*,所以 1< ≤2. t 即 c1+c2+…+cm≤2- 1 - . 2m 1

t+1 1 所以 f( )≤2- m-1. t 2 ……… 16 分

南京市、盐城市 2015 届高三年级第二次模拟考试 数学附加题参考答案
A.选修 4—1:几何证明选讲 如图,过点 A 的圆与 BC 切于点 D,且与 AB、AC 分别交于点 E、F.已知 AD 为∠BAC 的平分线, 求证:EF∥BC.
A

E

F D C (第 21A 题图)

证明:如图,连接 ED.

B

因为圆与 BC 切于 D,所以∠BDE=∠BAD.…………………… 4 分 因为 AD 平分∠BAC, 所以∠BAD=∠DAC. 又∠DAC=∠DEF,所以∠BDE=∠DEF. 所以 EF∥BC. B.选修 4-2:矩阵与变换 …………………… 10 分 E B D

A

F C

(第 21A 题图)

? 1 3 0? -1 ? 3 ? 已知矩阵 A= ? 2 a ?, A 的逆矩阵 A =? ?
(1)求 a,b 的值; (2)求 A 的特征值. 解: (1)因为 A A 1=?


0? ? 1?

b

? .

1 3 0? ? ? 3 ?2 a? ? ? b

0? ?

? 1 =? 2 ? ? +ab 1? ?3

0? ?=? 1 0 ?. a? ?0 1?

?

? ?a=1, 所以?2 ?3+ab=0. ?
·18·

2 解得 a=1,b=- . 3 (2)由(1)得 A=? 3 0? ? 2 1 ?,

…………………… 5 分

则 A 的特征多项式 f(λ)=?

? λ-3 ? -2

0 λ-1

? ?=(λ-3)( λ-1). ?
………………… 10 分

令 f(λ)=0,解得 A 的特征值 λ1=1,λ2=3. C.选修 4-4:坐标系与参数方程

?x=2+ ?x=s, ? 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知曲线 C: (s 为参数) , 直线 l: ? ?y=s ?y=4+
2

1 t, 10 (t 为参数) . 设 3 t 10

C 与 l 交于 A,B 两点,求线段 AB 的长度.
?x=s, 2 解:由? 2 消去 s 得曲线 C 的普通方程为 y=x ; ?y=s

?x=2+ 由? ?y=4+

1 t, 10 消去 t 得直线 l 的普通方程为 y=3x-2.…………… 5 分 3 t 10

?y=x2, 联立直线方程与曲线 C 的方程,即? ?y=3x-2,

解得交点的坐标分别为(1,1),(2,4). 所以线段 AB 的长度为 (2-1)2+(4-1)2= 10. D.选修 4-5:不等式选讲 已知 x,y,z 都是正数,且 xyz=1,求证:(1+x)( 1+y)( 1+z)≥8. 证明:因为 x 为正数,所以 1+x≥2 x. 同理 1+y≥2 y, 1+z≥2 z. 所以(1+x)( 1+y)( 1+z)≥2 x· 2 y· 2 z=8 xyz. 因为 xyz=1, 所以(1+x)( 1+y)( 1+z)≥8. …… 10 分 …………… 10 分

22. (本小题满分 10 分) 甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜 3 局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队 1 2 获胜的概率是 外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是 .假设各局比赛结果相互独立. 2 3
·19·

(1)分别求甲队以 3∶0,3∶1,3∶2 获胜的概率; (2)若比赛结果为 3∶0 或 3∶1,则胜利方得 3 分、对方得 0 分;若比赛结果为 3∶2,则胜利 方得 2 分、对方得 1 分.求甲队得分 X 的分布列及数学期望. 解: (1)记甲队以 3∶0,3∶1,3∶2 获胜分别为事件 A,B,C. 2 3 8 由题意得 P(A)=? ? = , ?3? 27 8 2 2 2 1 2 P(B)=C3? ? · · = , ?3? 3 3 27 4 2 2 2 1 2 1 P(C)= C4? ? ·? ? · = . ?3? ?3? 2 27 (2)X 的可能取值为 0,1,2,3. 16 P(X=3)=P(A)+P(B)= ; 27 4 P(X=2)=P(C)= , 27 1 P(X=0)=1-P(1≤X≤3)= . 9 …………… 5 分

4 2 2 2 1 2 1 P(X=1)=C4? ? ·? ? · = , ?3? ?3? 2 27 所以 X 的分布列为: X P

0 1 9

1 4 27

2 4 27

3 16 27

1 4 4 16 20 从而 E(X)=0× +1× +2× +3× = . 9 27 27 27 9 答:甲队以 3 ∶ 0 , 3 ∶ 1 , 3 ∶ 2 获胜的概率分别为 20 . 9 23. (本小题满分 10 分) 已知 m,n∈N*,定义 fn(m)= n(n-1)(n-2)…(n-m+1) . m! …………………… 10 分 8 8 4 , , .甲队得分 X 的数学期望为 27 27 27

(1)记 am=f6(m),求 a1+a2+…+a12 的值; (2)记 bm=(-1)mmfn(m),求 b1+b2+…+b2n 所有可能值的集合.
? ?0,m≥n+1, 解: (1)由题意知,fn(m)=? m ?C n ,1≤m≤n. ? ? ?0,m≥7, 所以 am=? m ………………… 2 分 ? ?C 6 ,1≤m≤6.

所以 a1+a2+…+a12=C6+C6+…+C6=63.
·20·

1

2

6

………………… 4 分

?0, m≥2, (2)当 n=1 时, bm=(-1)mmf1(m)=? 则 b1+b2=-1.………… 6 分 ?-1,m=1. ? ?0,m≥n+1, 当 n≥2 时,bm=? m m ?(-1) m?C n ,1≤m≤n. ?

(n-1)! n! m-1 m 又 mC n =m· =n· =nC n-1 , m!(n-m)! (m-1)!(n-m)! 所以 b1+b2+…+b2n=n[-Cn-1+Cn-1-Cn-1+Cn-1+…+(-1)nCn-1]=0. 所以 b1+b2+…+b2n 的取值构成的集合为{-1,0}. ………… 10 分 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org
0 1 2 3 n-1

·21·


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