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2015年肇庆市二模数学(理科)精编含解析


试卷类型:A

广东省肇庆市中小学教学质量评估
2015 届高中毕业班第二次模拟检测题


注意事项:

学(理科)

本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分. 考试用时 120 分钟.

1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔,将自己所在县(市、区) 、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上 对应位置,再用 2B 铅笔将准考证号涂黑. 2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑;如需要改动,用橡皮擦干净后,再选 涂其它答案,答案不能写在试卷上或草稿纸上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应的位置上;如需改动, 先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效. 参考公式:柱体的体积公式 V

? Sh ,其中 S 为柱体的底面积, h 为柱体的高.

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.设 i 为虚数单位,则复数 A. ?4 ? 3i

3 ? 4i = i
C. ? ? ?i D. ? ? ?i

B. ?4 ? 3i

2.已知向量 a ? (1, 2), b ? (1,0), c ? (4, ?3) .若 ? 为实数, (a ? ? b) ? c ,则 ? ? A.

1 4

B.

1 2

C.1

D.2

3.若 p 是真命题, q 是假命题,则 A. p ? q 是真命题 B. p ? q 是假命题 C. ?p 是真命题 D. ?q 是真命题

4.已知等差数列{ an }, a6 ? 2 ,则此数列的前 11 项的和 S11 ? A.44 B.33 C.22 D.11

5.下列函数为偶函数的是 A. y ? sin x B. y ? ln

?

x? ?? ? x

?

C. y ? e

x

D. y ? ln

x ? ??

2 6. ( x ? 2)(

1 ? 1) 5 的展开式的常数项是 2 x
B.3 C.-2 D. -3

A.2

? x ? y ? 3 ? 0, ? 7.若函数 y ? 2 图象上存在点(x,y)满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0, 则实数 m 的最大值为 ? x ? m, ?
x

3 1 C.1 D. 2 2 8.集合 M 由满足:对任意 x1 , x2 ?[?1,1] 时,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 4 | x1 ? x2 | 的函数 f ( x) 组成.对于两
A.2 B. 个函数 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 2, g ( x) ? e x ,以下关系成立的是 A. f ( x ) ? M , g ( x ) ? M C. f ( x ) ? M , g ( x ) ? M B. f ( x) ? M , g ( x) ? M D. f ( x) ? M , g ( x) ? M

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.在 ?ABC 中,若 b ? 5, ?B ?

?
4

,sin A ?

1 ,则 a ? 3

. . .

10.若不等式 | kx ? 4 |? 2 的解集为 {x | 1 ? x ? 3} ,则实数 k ?

11.已知函数 f ? x ? ? ? sin x ? cos x ? sin x , x ? R ,则 f ( x) 的最小值是 12.已知某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为 13.函数 f ? x ? ? ? .

? ?? 3a ? 1? x ? 4a ? ?log a x

? x ? 1? 在定义域 R 上不是 单调函数,则实数 a 的取值范围是 .. ? x ? 1?

.

( 14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,直线 l 的方程为 ? cos ? ? 5 ,则 点 ? 4, ? 到直线 l 的距离为



B

? ?

π? 3?

.

?O

A P

15. (几何证明选讲选做题)如图, PT 是圆 O 的切线, PAB 是圆 O 的割线,若

PT ? 2 , PA ? 1 , ?P ? 60o ,则圆 O 的半径 r ?

.

T

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知向量 a ? ? 2,sin ? ? 与b ? ?1,cos ? ? 互相平行,其中 ? ? (0, (1)求 sin ? 和 cos ? 的值; (2)若 sin ?? ? ? ? ?

?
2

).

10 ? , 0 ? ? ? ,求 cos ? 的值. 10 2

17. (本小题满分 12 分) 贵广高速铁路自贵阳北站起,经黔南州、黔东南、广西桂林、贺州、广东肇庆、佛山终至广州南站. 其 中广东省内有怀集站、广宁站、肇庆东站、三水南站、佛山西站、广州南站共 6 个站. 记者对广东省内的 6 个车站随机抽取 3 个进行车站服务满意度调查. (1)求抽取的车站中含有佛山市内车站(包括三水南站和佛山西站)的概率; (2)设抽取的车站中含有肇庆市内车站(包括怀集站、广宁站、肇庆东站)个数为 X,求 X 的分布 列及其均值(即数学期望).

18. (本小题满分 14 分) 如 图 , 将 一 副 三 角板 拼接 , 使 他 们 有 公 共边 BC , 且 使 这 两 个 三角 形所 在 的 平 面 互 相 垂直 ,

?BAC ? ?CBD ? 90? , AB ? AC , ?BCD ? 30? ,BC=6.
(1)证明:平面 ADC

ADB;

(2)求二面角 A—CD—B 平面角的正切值.

19. (本小题满分 14 分) 已知在数列 ?an ? 中, a1 ? 3 , ? n ? 1? an ? nan?1 ? 1, n ? N ? . (1)证明数列 ?an ? 是等差数列,并求 ?an ? 的通项公式; ( )设数列 ?

?

? 1 1 ? 的前 n 项和为 Tn ,证明: Tn ? . 3 ? (an ? 1)an ?

20. (本小题满分 14 分) 若函数 f ( x) ? ?

1 2 13 x ? 在区间 [a,b]上的最小值为 2a,最大值为 2b,求[a,b]. 2 2

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x ) ?

kx ,k?R . 1? x

(1)讨论 f ( x) 的单调区间; (2)当 k ? 1 时,求 f ( x) 在 [0, ??) 上的最小值,并证明

1 1 1 ? ? ? 2 3 4

?

1 ? ln ?1 ? n ? . n ?1

肇庆市 2015 届高中毕业班第二次统测 数学(理科)参考答案及评分标准

一、选择题 题号 答案 1 A 2 B 3 D 4 C 5 D 6 B 7 C 8 A

二、填空题 9.

5 2 3

10.2

11.

1? 2 2

12. 15. 3

3?

? 1? 1 13. ? 0, ? [ ,1) ? 7? 3
三、解答题

?1, ?? ?

14. 3

16. (本小题满分 12 分) 解: (1)∵ a 与 b 互相平行,∴ sin ? ? 2 cos ? ,
2 2 代入 sin ? ? cos ? ? 1 得 sin ? ? ?

(2 分) (4 分)

2 5 5 , , cos? ? ? 5 5

又 ? ? (0,

?
2

) ,∴ sin ? ?

2 5 5 . , cos? ? 5 5

(6 分)

(2)∵ 0 ? ? ? 由 sin(? ? ? ) ?

?
2

,0 ? ? ?

?
2

,∴ ?

?
2

? ? ?? ?

?
2



(7 分)

10 3 10 ,得 cos(? ? ? ) ? 1 ? sin 2 (? ? ? ) ? , 10 10

(9 分)

∴ cos ? ? cos[? ? (? ? ? )] ? cos? cos(? ? ? ) ? sin ? sin(? ? ? ) ?

2 2

(12 分)

17. (本小题满分 12 分) 解: (1)设“抽取的车站中含有佛山市内车站”为事件 A, 则 P( A) ?
2 1 1 2 C2 C4 ? C2 C4 4 ? 3 5 C6

(4 分)

(2)X 的可能取值为 0,1,2,3
0 3 1 2 C3 C3 C3 C3 1 9 , P ? X ? 1? ? P ? X ? 0? ? ? ? , 3 3 C6 20 C6 20 1 3 0 C32C3 C3 C3 9 1 , , ? P X ? 3 ? ? ? ? 3 3 C6 20 C6 20

(5 分) (7 分)

P ? X ? 2? ?

(9 分)

所以 X 的分布列为

X P

0

1

2

3

1 20

9 20

9 20

1 20
(10 分)

X 的数学期望 E ? X ? ? 0 ?

1 9 9 1 3 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 20 20 20 20 2

(12 分)

18. (本小题满分 14 分) (1)证明:因为 面ABC ? 面BCD, BD ? BC, 面ABC 所以 BD ? 面ABC . 又 AC ? 面ABC ,所以 BD ? AC . 又 AB ? AC ,且 BD 所以 AC ? 面ADB . (3 分) (4 分)

面BCD ? BC, BD ? 面BCD ,

AB ? B ,
(5 分)

又 AC ? 面ADC ,所以 面ADC ? 面ADB .(6 分) (2)取 BC 的中点 E ,连接 AE ,则 AE ? BC , (7 分)

又 面ABC ? 面BCD, 面ABC

面BCD ? BC, 所以 AE ? 面BCD, (8 分)

所以 AE ? CD, 过 E 作 EF ? DC于F ,连接 AF ,则 DC ? 面AEF , 则 DC ? AF , 所以 ?AFE 是二面角

A ? CD ? B 的平面角.
0 在 Rt ?CEF 中, ?ECF ? 30 , EF ?

(11 分)

1 3 CE ? ,又 AE ? 3 , 2 2

(13 分)

所以 tan ?AFE ?

AE ? 2 ,即二面角 A ? CD ? B 平面角的正切值为 2.(14 分) EF

19. (本小题满分 14 分) 解: (1)方法一: 由 ? n ? 1? an ? nan?1 ? 1,得 ? n ? 2? an?1 ? ? n ?1? an?2 ? 1 , 两式相减,得 ? 2n ? 2? an?1 ? ? n ?1?? an?2 ? an ? ,即 2an?1 ? an?2 ? an , 所以数列 ?an ? 是等差数列. 由? (2 分) (4 分) (5 分) (6 分) (8 分)

?a1 ? 3 ,得 a 2 ? 5 ,所以 d ? a2 ? a1 ? 2 , ?2a1 ? a2 ? 1

故 an ? a1 ? (n ? 1) ? d ? 2n ? 1 an ? 2n ? 1. 方法二: 将 (n ? 1)an ? nan?1 ? 1两边同除以 n(n ? 1) ,得

a n a n ?1 1 1 ? ? ? , (3 分) n n ?1 n n ?1
(4 分)



a n ?1 ? 1 a n ? 1 ? . n ?1 n a n ? 1 a1 ? 1 ? n 1

所以

(5 分) (6 分) (8 分)

所以 an ? 2n ? 1 因为 an?1 ? an ? 2 ,所以数列 ?an ? 是等差数列.

(2)因为

1 1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? ? , (11 分) (an ? 1)an 2n(2n ? 1) ? 2n ? 1? (2n ? 1) 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

所以 Tn ?

1 1 1 ? ??? (a1 ? 1)a1 (a2 ? 1)a2 (an ? 1)an

?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 6 2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 ? ? ? (n? N*) 3 4n ? 2 3

(14 分)

20. (本小题满分 14 分) 解: f ( x) 在 ? ??,0 ? 上单调递增,在 [0, ??) 上单调递减. (1)当 a ? b ? 0 时,假设有 f ? a ? ? 2a, f ?b ? ? 2b , 则 f ? x ? ? 2x 在 ? ??,0 ? 上有两个不等的实根 a,b. 由 f ? x ? ? 2x 得 x 2 ? 4 x ? 13 ? 0 , 因为 ab ? 0 ,所以 ab ? ?13 ,故假设不成立. (2)当 a ? 0 ? b 时,假设有 2b ? 当? (5 分) (6 分) (7 分) (8 分) (9 分) (1 分) (2 分) (4 分)

13 13 ,即 b ? . 2 4

13 13 39 ? a ? 0 时, f ( x) min ? f ( ) ? 2a ,得 a ? 不符合; 64 4 4 13 当 a ? ? 时, f ( x) min ? f (a) ? 2a , 4
解得 a ? ?2 ? 17 或 a ? ?2 ? 17 (舍去).

? a 2 13 ? ? ? 2b ? ? f (a) ? 2b ? 2 2 (3)当 0 ? a ? b 时,假设有 ? ,即 ? 2 ? f (b) ? 2a ?? b ? 13 ? 2a ? 2 ? 2
解得 ?

(11 分)

?a ? 1 . ?b ? 3

(13 分) (14 分)

13 ? ? 综上所述所求区间 [a, b] 为 [1, 3] 或 ? ?2 ? 17, ? 4? ?

21. (本小题满分 14 分) 解: (1) f ? x ? 的定义域为 ? ?1, ?? ? . (1 分) (3 分)

f ?( x) ?

1 (1 ? x) ? x x ? 1 ? k ?k ? 1? x (1 ? x) 2 (1 ? x) 2

当 k ? 0 时, f ' ? x ? ? 0 在 ? ?1, ?? ? 上恒成立,所以 f ? x ? 的单调递增区间是 ? ?1, ?? ? ,无单调递减区间. (5 分) 当 k ? 0 时, 由 f ' ? x? ? 0 得 x ? k ? 1 , 由 f ' ? x? ? 0 得 x ? k ? 1 , 所以 f ? x ? 的单调递增区间是 ? k ?1, ?? ? , 单调递减区间是 ? ?1, k ?1? , (7 分)

(2)由(1)知,当 k ? 1 时, f ? x ? 在 [0, ??) 上单调递增,所以 f ? x ? 在 [0, ??) 上的最小值为 f ? 0 ? ? 0 . (9 分)

x ? ln(1 ? x ) ( x ? 0 ) (10 分) 1? x 1 1 1 ? ln( n ? 1) ? ln n ( n ? N * ). (12 分) 所以 n ? ln( 1 ? ) ,即 1 1? n n 1? n 1 1 1 ? (ln 2 ? ln 1) ? (ln 3 ? ln 2) ? ? ? (ln( n ? 1) ? ln n) ? ln( n ? 1) 所以 ? ? ? ? 2 3 n ?1
所以 (14 分)


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