当前位置:首页 >> 数学 >>

解析几何大题精选题,共四套(答案)


解析几何大题精选四套(答案) 解析几何大题训练(一)
1. (2011 年高考江西卷) (本小题满分 12 分) 已 知 过 抛 物 线 y 2 ? 2 px? p ? 0? 的 焦 点 , 斜 率 为 2 2 的 直 线 交 抛 物 线 于 A ? x1 , y2 ? , B ? x2 , y2 ? ( x1 ? x2 )两点,且 AB ? 9 . (1)求该抛物线的

方程; (2) O 为坐标原点, C 为抛物线上一点,若 OC ? OA ? ?OB ,求 ? 的值.

2. (2011 年高考福建卷)(本小题满分 12 分) 如图,直线 l :y=x+b 与抛物线 C :x2=4y 相切于点 A。 (1) 求实数 b 的值; (11) 求以点 A 为圆心,且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程.

3. (2011 年高考天津卷)(本小题满分 13 分) 设椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P(a, b) 满足 | PF2 |?| F1F2 | . a 2 b2

(Ⅰ)求椭圆的离心率 e ;

(Ⅱ)设直线 PF2 与椭圆相交于 A,B 两点.若直线 PF2 与圆 ( x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 16 相交于 M,N 两点,且 |MN|=

5 |AB|,求椭圆的方程. 8

4.(2010 辽宁) (本小题满分 12 分) 设 F ,F2 分别为椭圆 C : 1

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、 右焦点, F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A , B 过 a 2 b2
?

两点,直线 l 的倾斜角为 60 , F 到直线 l 的距离为 2 3 . 1 (Ⅰ)求椭圆 C 的焦距; (Ⅱ)如果 AF2 ? 2F2 B ,求椭圆 C 的方程.

???? ?

???? ?

解析几何大题训练(二)
1.(2010 辽宁) (本小题满分 12 分)

x2 y 2 设椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F,过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A,B 两点,直线 l 的倾 a b
斜角为 60 , AF ? 2 FB .
o

??? ?

??? ?

(I)

求椭圆 C 的离心率;

(II)

如果|AB|=

15 ,求椭圆 C 的方程. 4

2.(2010 北京) (本小题共 14 分) 已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是 (? 2,0) , ( 2, 0) ,离心率是 点 M,N,以线段为直径作圆 P,圆心为 P。 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若圆 P 与 x 轴相切,求圆心 P 的坐标; (Ⅲ)设 Q(x,y)是圆 P 上的动点,当 t 变化时,求 y 的最大值。

6 ,直线 y=t 椭圆 C 交与不同的两 3

3.(2010 福建) (本小题满分 12 分) 已知抛物线 C: y 2 ? 2 px( p ? 0) 过点 A (1 , -2) 。 (I)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程; (II)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 L,使得直线 L 与抛物线 C 有公共点, 且直线 OA 与 L 的距离等于

5 ?若存在,求直线 L 的方程;若不存在,说明理由。 5

4.(2010 湖北) (本小题满分 13 分) 已知一条曲线 C 在 y 轴右边,C 上没一点到点 F(1,0)的距离减去它到 y 轴距离的差都是 1。 (Ⅰ)求曲线 C 的方程 (Ⅱ)是否存在正数 m,对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线, 都有 FA FB <0?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由。

??? ??? ? ?

解析几何大题训练(三)
1、在直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点 (0, 3) , (0,3) 的距离之和等于 4,设点 P 的轨迹为 C ,直线 ?

y ? kx ? 1 与 C 交于 A,B 两点.
(Ⅰ )写出 C 的方程; (Ⅱ )若 OA ? OB ,求 k 的值。 (变式:若 ?AOB 为锐角(钝角) ,则 k 的取值范围。 )

??? ?

??? ?

2、已知直线 y ? ? x ? 1 与椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A、B 两点. a2 b2

(1)若椭圆的离心率为

3 ,焦距为 2,求线段 AB 的长; 3

(2)在(1)的椭圆中,设椭圆的左焦点为 F1,求△ABF1 的面积。

3、 已知动圆过定点 F (0, 2) ,且与定直线 L : y ? ?2 相切. (I)求动圆圆心的轨迹C的方程; (II)若 A B 是轨迹 C 的动弦,且 A B 过 F (0, 2) , 分别以 A 、 B 为切点作轨迹 C 的切线,设两切线交 点为 Q,证明: AQ ? BQ .

x2 y2 3 4.(2010· 天津)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= ,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4. a b 2 (1)求椭圆的方程; (2)设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A,B,已知点 A 的坐标为(-a,0),点 Q(0,y0)在线段 AB 的垂 → → 直平分线上,且QA· =4,求 y0 的值. QB

解析几何大题训练(四)
x2 y2 1 1.(2011· 山东日照质检)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,直线 y=x+ 6与以原点为圆心, a b 2 以椭圆 C 的短半轴长为半径的圆相切. (1)求椭圆 C 的方程; 1 (2)若直线 l:y=kx+m(k≠0)与椭圆 C 交于不同的两点 M、N,且线段 MN 的垂直平分线过定点 G( , 8 0),求实数 k 的取值范围.

2.(2009· 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 C 的顶点在原点,经过点 A(2,2),其焦点 F 在 x 轴上. (1)求抛物线 C 的标准方程; (2)求过点 F,且与直线 OA 垂直的直线的方程; (3)设过点 M(m,0)(m>0)的直线交抛物线 C 于 D, 两点, E ME=2DM, D 和 E 两点间的距离为 f(m), 记 求 f(m)关于 m 的表达式.

1 3.(2010· 安徽)如图,已知椭圆 E 经过点 A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率 e= . 2 (1)求椭圆 E 的方程; (2)求∠F1AF2 的平分线所在直线 l 的方程;

(3)在椭圆 E 上是否存在关于直线 l 对称的相异两点?若存在,请找出;若不存在,说明理由.

4、 (2009 辽宁卷文)已知,椭圆 C 以过点 A(1, (1) 求椭圆 C 的方程;

3 ) ,两个焦点为(-1,0) (1,0) 。 2

(2) E,F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数,证明直线 EF 的斜率为 定值,并求出这个定值。

解析几何大题训练(一)
1. (2011 年高考江西卷) (本小题满分 12 分)
2 已 知 过 抛 物 线 y ? 2 px? p ? 0? 的 焦 点 , 斜 率 为 2 2 的 直 线 交 抛 物 线 于 A ? x1 , y2 ? , B ? x2 , y2 ?

( x1 ? x2 )两点,且 AB ? 9 . (1)求该抛物线的方程; (2) O 为坐标原点, C 为抛物线上一点,若 OC ? OA ? ?OB ,求 ? 的值.

p y ? 2 2 ( x ? ),与y 2 ? 2px联立,从而有4x 2 ? 5 px ? p 2 ? 0, (1)直线 AB 的方程是 2
5p ,由抛物线定义得: AB ? x1 ? x2 ? p ? 9 ,所以 p=4, 4
2

所以: x1 ? x2 ?

抛物线方程为: y ? 8x
2 (2)由 p=4, 4x ? 5 px ? p ? 0, 化简得 x ? 5 x ? 4 ? 0 ,从而 x1 ? 1, x2 ? 4, y1 ? ?2 2 , y2 ? 4 2 ,从

2

2

而 A:(1, ? 2 2 ),B(4, 4 2 ) 设 OC ? ( x3, y3 ) ? (1,?2 2 ) ? ? (4,4 2 ) = (1 ? 4?,?2 2 ? 4 2? ) ,又 y3 ? 8x3 ,即 2 2 ?2? ? 1? ? 8
2
2

?

?

?

(4 ? ? 1 ) ,即 (2? ?1) 2 ? 4? ? 1 ,解得 ? ? 0, 或? ? 2 . 2. (2011 年高考福建卷)(本小题满分 12 分) 如图,直线 l :y=x+b 与抛物线 C :x2=4y 相切于点 A。 (2) 求实数 b 的值; (11) 求以点 A 为圆心,且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程. 【解析】 (I)由 ?

?y ? x ?b
2 ?x ? 4 y

得 x ? 4 x ? 4b ? 0
2

(? )

因为直线 l 与抛物线 C 相切,所以 ? ? (?4)2 ? 4 ? (?4b) ? 0 ,解得 b ? ?1 .
2 (II)由(I)可知 b ? ?1 ,故方程( ? )即为 x ? 4 x ? 4 ? 0 ,解得 x ? 2 ,将其代入 x2 ? 4 y ,得 y=1,故点 A(2,1).

因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切,所以圆心 A 到抛物线 C 的准线 y=-1 的距离等于圆 A 的半径 r, 即 r=|1-(-1)|=2,所以圆 A 的方程为 ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 4 .

3. (2011 年高考天津卷)(本小题满分 13 分) 设椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P(a, b) 满足 | PF2 |?| F1F2 | . a 2 b2

(Ⅰ)求椭圆的离心率 e ; (Ⅱ)设直线 PF2 与椭圆相交于 A,B 两点.若直线 PF2 与圆 ( x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 16 相交于 M,N 两点,且 |MN|=

5 |AB|,求椭圆的方程. 8

2 2 【解析】 (Ⅰ)设 F1 (?c,0) , F2 (c,0) ( c ? 0 ) ,因为 | PF2 |?| F F2 | ,所以 ( a ? c) ? b ? 2c ,整理得 1

c c 1 2( ) 2 ? ? 1 ? 0 ,即 2e2 ? e ? 1 ? 0 ,解得 e ? . a a 2
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 a ? 2c, b ? 3c ,可得椭圆方程为 3x ? 4 y ? 12c ,直线 PF2 的方程为 y ? 3( x ? c) ,
2 2 2

?3x 2 ? 4 y 2 ? 12c 2 8c ? 2 A,B 两点坐标满足方程组 ? ,消 y 整理得 5x ? 8cx ? 0 ,解得 x ? 0 或 ,所以 5 ? y ? 3( x ? c) ?

A,B 两点坐标为 (

16c 8c 3 3 , , c) , (0, ? 3c) ,所以由两点间距离公式得|AB|= 5 5 5

于是|MN|=

5 3 |2?c| |AB|= 2c ,圆心 (?1, 3) 到直线 PF2 的距离 d ? , 8 2

因为 d ? (
2

| MN | 2 3 x2 y 2 ) ? 42 ,所以 (2 ? c) 2 ? c 2 ? 16 ,解得 c ? 2 ,所以椭圆方程为 ? ? 1. 2 4 16 12

4.(2010 辽宁) (本小题满分 12 分)

x2 y 2 设 F ,F2 分别为椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左、 右焦点, F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A , B 过 1 a b
两点,直线 l 的倾斜角为 60 , F 到直线 l 的距离为 2 3 . 1 (Ⅰ)求椭圆 C 的焦距; (Ⅱ)如果 AF2 ? 2F2 B ,求椭圆 C 的方程. 解: (Ⅰ)设焦距为 2c ,由已知可得 F1 到直线 l 的距离 3c ? 2 3, 故c ? 2. 所以椭圆 C 的焦距为 4. (Ⅱ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),由题意知y1 ? 0, y2 ? 0, 直线 l 的方程为 y ? 3( x ? 2).
?

???? ?

???? ?

? y ? 3( x ? 2), ? 得(3a 2 ? b 2 ) y 2 ? 4 3b 2 y ? 3b 4 ? 0. 联立 ? x 2 y 2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a
解得 y1 ?

???? ? ???? ? ? 3b2 (2 ? 2a) ? 3b2 (2 ? 2a) , y2 ? . 因为 AF2 ? 2F2 B, 所以? y1 ? 2 y2 . 2 2 2 2 3a ? b 3a ? b
得 a ? 3.而a2 ? b2 ? 4, 所以b ? 5.



3b2 (2 ? 2a) ? 3b2 (2 ? 2a) ? 2? . 3a 2 ? b2 3a 2 ? b2
x2 y 2 ? ? 1. 9 5

故椭圆 C 的方程为

解析几何大题训练(二)
1.(2010 辽宁) (本小题满分 12 分) 设椭圆 C:
o

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F,过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A,B 两点,直线 l 的倾 a 2 b2
??? ? ??? ?
15 ,求椭圆 C 的方程. 4

斜角为 60 , AF ? 2 FB .⑴求椭圆 C 的离心率;⑵如果|AB|= 解:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由题意知 y1 <0, y2 >0. (Ⅰ)直线 l 的方程为

y ? 3( x ? c) ,其中 c ? a2 ? b2 .

? y ? 3( x ? c ), ? 联立 ? x 2 y 2 得 (3a2 ? b2 ) y2 ? 2 3b2cy ? 3b4 ? 0 ? 2 ? 2 ?1 b ?a
解得 y1 ?

??? ? ??? ? ? 3b2 (c ? 2a) ? 3b2 (c ? 2a) ,因为 AF ? 2 FB ,所以 ? y1 ? 2 y2 . , y2 ? 2 2 2 2 3a ? b 3a ? b
……6 分



c 2 3b2 (c ? 2a) ? 3b 2 (c ? 2a) ,得离心率 e ? ? . ? 2? 2 2 2 2 a 3 3a ? b 3a ? b

1 2 4 3ab2 15 (Ⅱ)因为 AB ? 1 ? y2 ? y1 ,所以 ? 2 2? . 3 4 3 3a ? b


c 2 5 15 5 ? 得b ? a .所以 a ? ,得 a=3, b ? 5 . 4 4 a 3 3

椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 9 5

……12 分

2.(2010 北京) (本小题共 14 分) 已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是 (? 2,0) , ( 2, 0) ,离心率是 点 M,N,以线段为直径作圆 P,圆心为 P。 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若圆 P 与 x 轴相切,求圆心 P 的坐标; (Ⅲ)设 Q(x,y)是圆 P 上的动点,当 t 变化时,求 y 的最大值。 解: (Ⅰ)因为

6 ,直线 y=t 椭圆 C 交与不同的两 3

x2 c 6 ? y2 ? 1 ,且 c ? 2 ,所以 a ? 3, b ? a 2 ? c 2 ? 1 ,所以椭圆 C 的方程为 ? 3 a 3

?y ? t ? 2 (Ⅱ)由题意知 p(0, t )(?1 ? t ? 1) ,由 ? x 2 得 x ? ? 3(1 ? t ) 2 ? ? y ?1 ?3
2 所以圆 P 的半径为 3(1 ? t ) ,解得 t ? ?

3 2

所以点 P 的坐标是(0, ?

3 ) 2

2 2 2 ( Ⅲ ) 由 ( Ⅱ ) 知 , 圆 P 的 方 程 x ? ( y ? t ) ? 3(1 ? t ) 。 因 为 点 Q( x, y) 在 圆 P 上 。 所 以

y ? t ? 3(1 ? t 2 ) ? x 2 ? t ? 3(1 ? t 2 )
设 t ? cos ? ,? ? (0, ? ) ,则 t ? 3(1 ? t ) ? cos ? ? 3 sin ? ? 2sin(? ?
2

?
6

)

当? ?

?
3

,即 t ?

1 ,且 x ? 0 , y 取最大值 2. 2

3.(2010 福建) (本小题满分 12 分) 已知抛物线 C: y 2 ? 2 px( p ? 0) 过点 A (1 , -2) 。 (I)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程; (II)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 L,使得直线 L 与抛物线 C 有公共点, 且直线 OA 与 L 的距离等于

5 ?若存在,求直线 L 的方程;若不存在,说明理由。 5

4.(2010 湖北) (本小题满分 13 分) 已知一条曲线 C 在 y 轴右边,C 上没一点到点 F(1,0)的距离减去它到 y 轴距离的差都是 1。

(Ⅰ)求曲线 C 的方程 (Ⅱ)是否存在正数 m,对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线, 都有 FA FB <0?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由。

??? ??? ? ?

解析几何大题训练(三)
1、在直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点 (0, 3) , (0,3) 的距离之和等于 4,设点 P 的轨迹为 C ,直线 ?

y ? kx ? 1 与 C 交于 A,B 两点. )写出 C 的方程; (Ⅰ
(Ⅱ )若 OA ? OB ,求 k 的值。 (变式:若 ?AOB 为锐角(钝角) ,则 k 的取值范围。 ) 解: (Ⅰ)设 P(x,y) ,由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 (0, 3),,3) 为焦点,长半轴为 2 的椭 ? (0 圆.它的短半轴 b ?

??? ?

??? ?

22 ? ( 3) 2 ? 1 ,故曲线 C 的方程为 x 2 ?

y2 ? 1. 4

(Ⅱ)设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) ,其坐标满足

? 2 y2 ? 1, ?x ? ,消去 y 并整理得 (k 2 ? 4) x2 ? 2kx ? 3 ? 0 , 4 ? ? y ? kx ? 1. ? ??? ??? ? ? 2k 3 ,x1 x2 ? ? 2 故 x1 ? x2 ? ? 2 .若 OA ? OB ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . k ?4 k ?4
而 y1 y2 ? k 2 x1x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ,于是 x1 x2 ? y1 y2 ? ?
2 化简得 ?4k ? 1 ? 0 ,所以 k ? ?

3 3k 2 2k 2 ? 2 ? 2 ?1 ? 0 , k2 ? 4 k ? 4 k ? 4

1 . 2

2、已知直线 y ? ? x ? 1 与椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A、B 两点. a2 b2

(1)若椭圆的离心率为

3 ,焦距为 2,求线段 AB 的长; 3

(2)在(1)的椭圆中,设椭圆的左焦点为 F1,求△ABF1 的面积。 解: (1)? e ?

3 c 3 ,2c ? 2, 即 ? ? a ? 3, 则b ? a 2 ? c 2 ? 2 3 a 3
x2 y2 ? ?1 3 2
(4 分)

(3 分)

∴椭圆的方程为

? x2 y2 ?1 ? ? 联立 ? 3 消去y得 : 5 x 2 ? 6 x ? 3 ? 0 2 ? y ? ?x ? 1 ?
设A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) 则x1 ? x 2 ? 6 3 , x1 x 2 ? ? 5 5

(5 分)

(8 分)

?| AB |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? [1 ? (?1) 2 ] ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2

6 12 8 3 ? 2 ( )2 ? ? 5 5 5

(10 分)

(2)由(1)可知椭圆的左焦点坐标为 F1(-1,0) ,直线 AB 的方程为 x+y-1=0, 所以点 F1 到直线 AB 的距离 d=

| ?1 ? 0 ? 1| 12 ? 12

? 2 , (12 分)

又|AB|=

1 1 8 3 4 6 8 3 ? 2? , ∴△ABF1 的面积 S= | AB | ?d = ? 2 2 5 5 5

(14 分)

3、 已知动圆过定点 F (0, 2) ,且与定直线 L : y ? ?2 相切. (I)求动圆圆心的轨迹C的方程; (II)若 A B 是轨迹 C 的动弦,且 A B 过 F (0, 2) , 分别以 A 、 B 为切点作轨迹 C 的切线,设两切线交 点为 Q,证明: AQ ? BQ .

解: (I)依题意,圆心的轨迹是以 F (0, 2) 为焦点, L : y ? ?2 为准线的抛物线上……2 分

因为抛物线焦点到准线距离等于 4, 所以圆心的轨迹是 x2 ? 8 y ………………….5 分 (II)?直线AB与x轴不垂直, 设AB : y ? kx ? 2. A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ). …………….6 分

? y ? kx ? 2, ? 由? 可得 x2 ? 8kx ?16 ? 0 , 1 y ? x2 . ? 8 ?
抛物线方程为 y ?

x1 ? x2 ? 8k , x1 x2 ? ?16 ………8 分

1 2 1 x , 求导得 y ? ? x. 所以过抛物线上 A、B 两点的切线斜率分别是 8 4 1 1 1 1 1 k1 ? x1 , k 2 ? x2 , k1 ? k2 ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? ? 1 4 4 4 4 16

所以, AQ ? BQ x2 y2 3 4.(2010· 天津)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= ,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4. a b 2 (1)求椭圆的方程; (2)设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A,B,已知点 A 的坐标为(-a,0),点 Q(0,y0)在线段 AB 的垂 → → 直平分线上,且QA· =4,求 y0 的值. QB c 3 解析:(1)由 e= = ,得 3a2=4c2.再由 c2=a2-b2,得 a=2b. a 2
?a=2b, ?a=2, ? ? x2 1 由题意,可知 ×2a×2b=4,即 ab=2.解方程组? 得? 故椭圆的方程为 +y2=1. 2 4 ? ? ?ab=2, ?b=1.

(2)由(1)可知 A(-2,0),且直线 l 的斜率必存在.设 B 点的坐标为(x1,y1),直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程为 y=k(x+2).

?y=k?x+2?, ? 于是 A、B 两点的坐标满足方程组?x2 2 由方程组消去 y 并整理,得 ? ? 4 +y =1.
(1+4k2)x2+16k2x+(16k2-4)=0. 由根与系数的关系,得-2x1= 16k2-4 2-8k2 4k ,从而 y1= . 2 ,于是 x1= 1+4k 1+4k2 1+4k2

8k2 2k 设线段 AB 的中点为 M,则 M 的坐标为?-1+4k2,1+4k2?.

?

?

以下分两种情况讨论: → → ①当 k=0 时,点 B 的坐标是(2,0),线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,于是QA=(-2,-y0),QB=(2, → → -y0).由OA· =4,得 y0=± 2. QB 2 ②当 k≠0 时,线段 AB 的垂直平分线的方程为 y- 8k2 ? 2k 6k 1? 2 2=- x+ k? 1+4k ?.令 x=0,解得 y0=-1+4k2. 1+4k

→ → 由OA=(-2,-y0),QB=(x1,y1-y0), 6k ? 4?16k4+15k2-1? -2?2-8k2? 6k ? 4k → → 2+ 2 = QA· =-2x1-y0(y1-y0)= QB + =4. 1+4k2 1+4k2?1+4k 1+4k ? ?1+4k2?2 整理,得 7k2=2,故 k=± 14 2 14 2 14 .从而 y0=± .综上,y0=± 2,或 y0=± 2 . 7 5 5

解析几何大题训练(四)
x2 y2 1 1.(2011· 山东日照质检)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,直线 y=x+ 6与以原点为圆心, a b 2 以椭圆 C 的短半轴长为半径的圆相切.(1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l:y=kx+m(k≠0)与椭圆 C 交于不同的两点 M、N,且线段 MN 的垂直平分线过定点 1 G( ,0),求实数 k 的取值范围. 8 a2-c2 c 1 b 1 3 解析:(1)根据题意 e= ,即a= ,∴a= a = 1-e2= , 2 2 2 又∵r= x2 y2 | 6| =b,∴b= 3,a=2,∴椭圆 C 的方程为 + =1. 4 3 1+1
2 2

?x +y =1, ? (2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),由? 4 3 消去 y 得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0, ?y=kx+m ?
∴Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,即 m2<4k2+3.① 由根与系数关系得 x1+x2=- 8km 6m , 2,则 y1+y2= 3+4k 3+4k2 4km 3m , ). 3+4k2 3+4k2

∴线段 MN 的中点 P 的坐标为(-

1 1 又线段 MN 的垂直平分线 l′的方程为 y=- ?x-8?, ? k? 4km 1 3m 1? - ? 由点 P 在直线 l′上,得 2=- - 3+4k2 8?, k? 3+4k 即 4k2+8km+3=0.∴m=- ?4k2+3?2 1 (4k2+3),由①得 <4k2+3, 8k 64k2

1 5 5 5? ? 5 ? ? ∴k2> ,即 k> 或 k<- .∴实数 k 的取值范围是 -∞,- ∪ ,+∞ . 20 10 10 10 ? ? 10 ? ? 2.(2009· 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 C 的顶点在原点,经过点 A(2,2),其焦点 F 在 x 轴上. (1)求抛物线 C 的标准方程; (2)求过点 F,且与直线 OA 垂直的直线的方程; (3)设过点 M(m,0)(m>0)的直线交抛物线 C 于 D,E 两点, ME=2DM,记 D 和 E 两点间的距离为 f(m),求 f(m)关于 m 的表达式.

解析:(1)由题意,可设抛物线 C 的标准方程为 y2=2px.因为点 A(2,2)在抛物线 C 上, 所以 p=1.因此,抛物线 C 的标准方程为 y2=2x. 1 2 (2)由(1)可得焦点 F 的坐标是?2,0?, ? ? 又直线 OA 的斜率为2=1,故与直线 OA 垂直的直线的斜率为- 1 1,因此,所求直线的方程是 x+y- =0. 2 (3)方法一:设点 D 和 E 的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2),直线 DE 的方程是 y=k(x-m),k≠0. 1± 1+2mk2 y 将 x= +m 代入 y2=2x,有 ky2-2y-2km=0,解得 y1,2= . k k 4 由 ME=2DM 和 1+ 1+2mk2=2( 1+2mk2-1),化简得 k2= . m
2 1 1 4?1+2mk ? 9 2 因此 DE2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(1+ 2)(y1-y2)2=(1+ 2) = (m +4m). 2 k k k 4

所以 f(m)=

3 m2+4m(m>0). 2

s2 t2 s2 → → 方法二:设 D? 2 ,s?,E? 2 ,t?.由点 M(m,0)及ME=2DM得 t2-m=2(m- ),t-0=2(0-s). ? ? ? ? 2 因此 t=-2s,m=s2.所以 f(m)=DE= s2 3 ?2s2- ?2+?-2s-s?2= m2+4m(m>0). 2 2

1 3.(2010· 安徽)如图,已知椭圆 E 经过点 A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率 e= . 2 (1)求椭圆 E 的方程; (2)求∠F1AF2 的平分线所在直线 l 的方程;

(3)在椭圆 E 上是否存在关于直线 l 对称的相异两点?若存在,请找出;若不存在,说明理由. x2 y2 解析:(1)设椭圆 E 的方程为 2+ 2=1. a b c 1 1 由 e= ,即a= ,得 a=2c,∴b2=a2-c2=3c2. 2 2 x2 y2 于是椭圆的方程化为 2+ 2=1. 4c 3c 1 3 将 A(2,3)代入上式,得 2+ 2=1,解得 c=2(负值舍去). c c

x2 y2 故椭圆 E 的方程为 + =1. 16 12 3 (2)方法一:由(1)知 F1(-2,0),F2(2,0),于是直线 AF1 的方程为 y= (x+2),即 3x-4y+6=0,直线 4 AF2 的方程为 x=2. 由点 A 在椭圆 E 上的位置知,直线 l 的斜率为正数. 设 P(x,y)为 l 上任一点,则 |3x-4y+6| =|x-2|. 5

若 3x-4y+6=5x-10,得 x+2y-8=0(因其斜率为负,故舍去). 于是由 3x-4y+6=-5x+10,得 2x-y-1=0. 故直线 l 的方程为 2x-y-1=0. 方法二:∵A(2,3),F1(-2,0),F2(2,0), → → ∴AF1=(-4,-3),AF2=(0,-3). ∴ → → AF1 AF2 1 1 4 + = (-4,-3)+ (0,-3)=- (1,2). 5 3 5 → → AF1 |AF2|

从而 k1=2,l:y-3=2(x-2),即 2x-y-1=0. (Ⅲ)方法一:假设存在这样的两个不同的点 B(x1,y1)和 C(x2,y2), ∵BC⊥l,∴kBC= y2-y1 1 =- . 2 x2-x1

x1+x2 y1+y2 设 BC 的中点为 M(x0,y0),则 x0= ,y0= . 2 2 由于 M 在 l 上,故 2x0-y0-1=0.① 又点 B、C 在椭圆上,于是有 x12 y12 x22 y22 + =1 与 + =1. 16 12 16 12

x22-x12 y22-y12 两式相减,得 + =0. 16 12 即 ?x1+x2??x2-x1? ?y1+y2??y2-y1? + =0. 16 12

1 x1+x2 y2-y1 1 y1+y2 将该式整理为 · + ·· =0,并将直线 BC 的斜率 kBC 和线段 BC 的中点表示代入该表 8 2 x2-x1 6 2 1 1 达式中,得 x0- y0=0,即 3x0-2y0=0.② 8 12 ①×2-②,得 x0=2,y0=3. 即 BC 的中点为点 A,这是不可能的. 故不存在满足题设条件的相异两点. 1 方法二:假设存在 B(x1,y1),C(x2,y2)两点关于直线 l 对称,则 l⊥BC,从而 kBC=- . 2 1 x2 y2 1 设直线 BC 的方程为 y=- x+m,将其代入椭圆方程 + =1,得一元二次方程 3x2+4?-2x+m?2 ? ? 2 16 12 =48.

即 x2-mx+m2-12=0,且 x1 与 x2 是该方程的两个根,由根与系数的关系得 x1+x2=m. 3m 1 于是 y1+y2=- (x1+x2)+2m= . 2 2 m 3m 从而线段 BC 的中点坐标为? 2 , 4 ?. ? ? 3m 又线段 BC 在直线 y=2x-1 上,于是 =m-1,得 m=4. 4 即线段 BC 的中点坐标为(2,3),与点 A 重合,矛盾. 故不存在满足题设条件的相异两点. 4、 (2009 辽宁卷文)已知,椭圆 C 以过点 A(1, (3) 求椭圆 C 的方程; (4) E,F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数,证明直线 EF 的斜率为 定值,并求出这个定值。 解: (Ⅰ)由题意,c=1,可设椭圆方程为 程: ,将点 A 的坐标代入方 (舍去)

3 ) ,两个焦点为(-1,0) (1,0) 。 2

1 1 9 ,解得 a 2 ? 4 , a2 ? ? 1 ? c2 ? ?1 2 2 4 a 4(a ? 1) 所以椭圆方程为 。 2 2 x y ? ?1 4 3 3 x2 y 2 ? ? 1得 (Ⅱ)设直线 AE 方程为: y ? k ( x ? 1) ? ,代入 2 4 3
3 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 4k (3 ? 2k ) x ? 4( ? k ) 2 ? 12 ? 0 2 3 设 E (x E , y E ) , F (x F , y F ) ,因为点 A(1, ) 在椭圆上,所以 2 3 4( ?k 2 ? 12 ) 3 2 yE ? kxE ? ? k xF ? 2 2 3 ? 4k

………8 分

又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数,在上式中以—K 代 K,可得

3 4( ? k )2 ? 12 3 , yE ? ?kxE ? ? k xF ? 2 2 2 3 ? 4k
所以直线 EF 的斜率 K EF ?

yF ? yE ?k ( xF ? xE ) ? 2k 1 ? ? xF ? xE xF ? xE 2
1 。 2
……12 分

即直线 EF 的斜率为定值,其值为


相关文章:
解析几何习题及答案
解析几何习题及答案_高一数学_数学_高中教育_教育专区。解析几何习题,答案详解...B. C. D. 3 3 3 3 二、填空题(本大题共 4题,将正确的答案填在...
解析几何练习题及答案
解析几何练习题及答案_数学_高中教育_教育专区。解析几何一、选择题 1.已知两点...答案:4 5 8.已知直线 l:x-y+4=0 与圆 C:(x-1)2+(y-1)2=2,则...
解析几何大题
31页 5财富值 解析几何大题精选四套(答案... 20页 5财富值喜欢...2 y 2 ? 1 上,F 为椭圆在 y 轴正半轴上的焦点.已知 2 PF 与 FQ 共...
高中数学必修2解析几何初步测试题及答案详解
高中数学必修2解析几何初步测试题及答案详解_数学_高中教育_教育专区。适合北师大...4 二、填空题(本大题共 4题,每小题 5 分,共 20 分) 13.在空间...
高考解析几何压轴题精选(含答案)_图文
高考解析几何压轴题精选(答案)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。这是近几...>12,使得 A、B、C、D 四点共圆,则 CD 必为圆的直径,点 M 为圆心. |...
最近五年高考数学解析几何压轴题大全(含答案)
最近五年高考数学解析几何压轴题大全(含答案) 1.【2009 年陕西卷】21. (本小题满分 12 分) 已知双曲线 C 的方程为 y 2 x2 5 ,顶点到渐近线的 ? 2 ?...
解析几何大题
解析几何大题精选四套(答案... 20页 5财富值喜欢此文档的还喜欢 ...【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量,通过交点三角形来确认 解析】考查椭圆...
解析几何大题分类问题
解析几何大题分类问题_数学_高中教育_教育专区。定点问题 1. (12 分)已知一动...t2 4. 【答案及解析】 【命题意图】本题主要考查圆的方程、椭圆方程、轨迹求...
解析几何练习题及答案
解析几何练习题及答案_数学_高中教育_教育专区。解析几何 1.已知直线 l:ax+y-2-a=0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等,则 a 的值是( A.1 C.-2 或-1 ...
2013级高二数学解析几何练习题及答案
2013级高二数学解析几何练习题及答案_高二数学_数学_高中教育_教育专区。2013级高二...10 3 4 3 1 ? 立几题 1、答案: (1)略;(2) ;(3) . 2 3 解几...
更多相关标签: