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高中数学必修4练习


(数学 4 必修)第一章

三角函数(上)

[基础训练 A 组]
一、选择题

1.设 ? 角属于第二象限,且 cos
A.第一象限 C.第三象限

?
2

? ? cos

?
2

,则

/>
? 角属于( 2



B.第二象限 D.第四象限
0 0

2.给出下列各函数值:① sin(?1000 ) ;② cos(?2200 ) ;

sin
③ tan(?10) ;④

7? cos? 10 .其中符号为负的有( 17? tan 9
C.③ ) D.④



A.①
2

B.②
0

3. sin 120 等于( A. ?

3 2

B.

3 2

C. ?

3 2

D.

1 2

4.已知 sin ? ?

4 3 5.若 ? 是第四象限的角,则 ? ? ? 是( ) A.第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角 6. sin 2 cos3 tan 4 的值( ) A.小于 0 B.大于 0 C.等于 0 D.不存在

tan ? 的值等于( 4 3 A. ? B. ? 3 4

4 ,并且 ? 是第二象限的角,那么 5
) C.
3 4

D.

二、填空题
1.设 ? 分别是第二、三、四象限角,则点 P(sin ? , cos? ) 分别在第___、___、___象限. 2.设 MP 和 OM 分别是角

17? 的正弦线和余弦线,则给出的以下不等式: 18

① MP ? OM ? 0 ;② OM ? 0 ? MP ; ③ OM ? MP ? 0 ;④ MP ? 0 ? OM , 其中正确的是_____________________________。
1

3.若角 ? 与角 ? 的终边关于 y 轴对称,则 ? 与 ? 的关系是___________。

4.设扇形的周长为 8cm ,面积为 4cm ,则扇形的圆心角的弧度数是 5.与 ? 2002 终边相同的最小正角是_______________。
0

2



三、解答题
1.已知 tan ? , 且 3? ? ? ?

1 2 2 是关于 x 的方程 x ? kx ? k ? 3 ? 0 的两个实根, tan ?
7 ? ,求 cos? ? sin ? 的值. 2

2.已知 tan x ? 2 ,求

cos x ? sin x 的值。 cos x ? sin x

3.化简:

sin(540 0 ? x) 1 cos(360 0 ? x) ? ? sin(? x) tan(900 0 ? x) tan(450 0 ? x) tan(810 0 ? x)

4.已知 sin x ? cos x ? m, ( m ?
3 3

2 , 且 m ? 1) ,
4 4

求(1) sin x ? cos x ; (2) sin x ? cos x 的值。

2

新课程高中数学训练题组数学 4 必修) 第一章
[综合训练 B 组]
一、选择题 1.若角 600 的终边上有一点 ?? 4, a ? ,则 a 的值是(
0

三角函数 (上)



A. 4 3 2.函数 y ?

B. ? 4 3

C. ? 4 3

D. 3

sin x cos x tan x ? ? 的值域是( sin x cos x tan x
B. ?? 1,0,3? D. ?? 1,1?



A. ?? 1,0,1,3? C. ?? 1,3?

3.若 ? 为第二象限角,那么 sin 2? , cos

?
2



1 , cos 2?

1 cos

?
2

中,

其值必为正的有( A. 0 个 B. 1 个

) C. 2 个 D. 3 个
).

4.已知 sin ? ? m, ( m ? 1) ,

?
2

? ? ? ? ,那么 tan? ? (

A.

m 1? m2

B. ?

m 1? m2

C. ?

m 1? m2
sin ?

D. ?

1? m2 m

5.若角 ? 的终边落在直线 x ? y ? 0 上,则 B. ?2 C. ?2 或 2

1 ? sin 2 ?

?

1 ? cos2 ? 的值等于( cos?

).

A. 2

D. 0
).

6.已知 tan ? ?

3 ,? ? ? ?

3? ,那么 cos? ? sin? 的值是( 2
C.

A. ?

1? 3 2

B.

?1? 3 2

1? 3 2

D.

1? 3 2

二、填空题
3

1.若 cos? ? ?

3 ,且 ? 的终边过点 P(x,2) ,则 ? 是第_____象限角, x =_____。 2

2.若角 ? 与角 ? 的终边互为反向延长线,则 ? 与 ? 的关系是___________。 3.设 ? 1 ? 7.412 , ? 2 ? ?9.99 ,则 ? 1 , ? 2 分别是第 4.与 ? 2002 终边相同的最大负角是_______________。
0

象限的角。

5.化简: m tan 0 ? x cos90 ? p sin180 ? q cos 270 ? r sin 360 =____________。
0 0 0 0 0

三、解答题
1.已知 ? 90 ? ? ? 90 ,?90 ? ? ? 90 , 求 ? ?
0 0 0 0

?
2

的范围。

2.已知 f ( x ) ? ?

?cos?x, x ? 1 1 4 求 f ( ) ? f ( ) 的值。 3 3 ? f ( x ? 1) ? 1, x ? 1,

3.已知 tan x ? 2 , (1)求

2 2 1 sin x ? cos2 x 的值。 3 4

(2)求 2 sin x ? sin x cos x ? cos x 的值。
2 2

4.求证: 2(1 ? sin ? )(1 ? cos ? ) ? (1 ? sin ? ? cos ? )

2

新课程高中数学训练题组

(数学 4 必修)第一章

三角函

4

数(上) [提高训练 C 组] 一、选择题
1.化简 sin 600 的值是(
0



A. 0.5

B. ?0.5

C.

3 2

D. ?

3 2

x (a ? x) 2 cos x 1 ? a 2.若 0 ? a ? 1 , ? x ? ? ,则 的值是( ? ? 2 x?a cos x a x ? 1

?



A. 1

B. ? 1

C. 3

D. ? 3 )

3.若 ? ? ? 0,

? ?? log sin ? 等于( ? ,则 3 3 ? 3?
B.

A. sin ?

1 sin ?

C. ? sin?

D. ?

1 cos?


4.如果 1弧度的圆心角所对的弦长为 2 ,那么这个圆心角所对的弧长为(

1 A. B. sin 0.5 sin 0.5 C. 2sin 0.5 D. tan 0.5 5.已知 sin ? ? sin ? ,那么下列命题成立的是( ) A.若 ? , ? 是第一象限角,则 cos ? ? cos ? B.若 ? , ? 是第二象限角,则 tan ? ? tan ? C.若 ? , ? 是第三象限角,则 cos ? ? cos ? D.若 ? , ? 是第四象限角,则 tan ? ? tan ?
6.若 ? 为锐角且 cos? ? cos
?1

? ? ?2 ,则 cos? ? cos?1 ? 的值为(
C. 6 D. 4



A. 2 2

B. 6

二、填空题
1.已知角 ? 的终边与函数 5x ? 12 y ? 0, ( x ? 0) 决定的函数图象重合,

cos? ?

1 1 的值为_____________. ? tan? sin ?

5

2.若 ? 是第三象限的角, ? 是第二象限的角,则
0

? ??
2

是第

象限的角.

3.在半径为 30m 的圆形广场中央上空,设置一个照明光源,射向地面的光呈圆锥形,且其 轴截面顶角为 120 ,若要光源恰好照亮整个广场,则其高应为_______ m (精确到 0.1m ) 4.如果 tan? sin ? ? 0, 且 0 ? sin ? ? cos? ? 1, 那么 ? 的终边在第 5 . 若 集 合 A ? ? x | k? ? 象限。

? ?

?

? ? x ? k? ? ? , k ? Z ? , B ? ? x | ?2 ? x ? 2? , 则 3 ?

A ? B =_______________________________________。
三、解答题 1. ? 的终边上的点 P 与 A(a, b) 关于 x 轴对称 (a ? 0, b ? 0) , ? 的终边上的点 Q 与 A 角 角 关于直线 y ? x 对称,求

sin ? tan? 1 之值. ? ? cos ? tan ? cos? sin ?

2.一个扇形 OAB 的周长为 20 ,求扇形的半径,圆心角各取何值时, 此扇形的面积最大?

1 ? sin 6 ? ? cos6 ? 3.求 的值。 1 ? sin 4 ? ? cos 4 ?

4.已知 sin ? ? a sin ? , tan? ? b tan? , 其中 ? 为锐角, 求证: cos? ?

a2 ?1 b2 ?1

新课程高中数学训练题组数学
(下)

4 必修)第一章 三角函数

6

[基础训练 A 组]
一、选择题 1.函数 y ? sin(2 x ? ? )(0 ? ? ? ? ) 是 R 上的偶函数,则 ? 的值是( A. 0 B. )

? D. ? 2 ? 2.将函数 y ? sin( x ? ) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) , 3 ? 再将所得的图象向左平移 个单位,得到的图象对应的僻析式是( ) 3 1 1 ? A. y ? sin x B. y ? sin( x ? ) 2 2 2 1 ? ? C. y ? sin( x ? ) D. y ? sin(2 x ? ) 2 6 6
? 4
C. 3.若点 P(sin ? ? cos ? , tan ? ) 在第一象限,则在 [0, 2? ) 内 ? 的取值范围是( )

5? ) 2 4 4 ? 3? 5? 3? C. ( , )?( , ) 2 4 4 2
A. (

? 3?
,

) ? (? ,

5? , ) ? (? , ) 4 2 4 ? 3? 3? D. ( , ) ? ( ,? ) 2 4 4
B. ( ) B. cos? ? tan? ? sin ? D. tan? ? sin ? ? cos? )

? ?

4.若

?
4

?? ?

?
2

, 则(

A. sin ? ? cos? ? tan? C. sin ? ? tan? ? cos? 5.函数 y ? 3 cos( x ?

2 5

?
6

) 的最小正周期是(
C. 2? D. 5?

A.

2? 5

B.

5? 2

6.在函数 y ? sin x 、 y ? sin x 、 y ? sin(2 x ? 最小正周期为 ? 的函数的个数为( A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 ) D. 4 个

2? 2? ) 、 y ? cos(2 x ? ) 中, 3 3

二、填空题
1.关于 x 的函数 f ( x) ? cos( x ? ? ) 有以下命题: ①对任意 ? , f ( x) 都是非奇非偶函数;
7

②不存在 ? ,使 f ( x) 既是奇函数,又是偶函数;③存在 ? ,使 f ( x) 是偶函数;④对任 意 ? , f ( x) 都不是奇函数.其中一个假命题的序号是 该命题的结论不成立. 2.函数 y ? ,因为当 ? ? 时,

2 ? cos x 的最大值为________. 2 ? cos x

3.若函数 f ( x) ? 2 tan(kx ? 4.满足 sin x ?

?

3

) 的最小正周期 T 满足 1 ? T ? 2 ,则自然数 k 的值为______.

3 的 x 的集合为_________________________________。 2

5.若 f ( x) ? 2 sin?x(0 ? ? ? 1) 在区间 [0,

?
3

] 上的最大值是 2 ,则? =________。

三、解答题
1.画出函数 y ? 1 ? sin x, x ? ?0,2? ? 的图象。

2.比较大小(1) sin 110 , sin 150 ; (2) tan 220 , tan 200

0

0

0

0

3. (1)求函数 y ?

log 2

1 ? 1 的定义域。 sin x

(2)设 f ( x) ? sin(cos x),(0 ? x ? ?) ,求 f ( x) 的最大值与最小值。

4.若 y ? cos x ? 2 p sin x ? q 有最大值 9 和最小值 6 ,求实数 p, q 的值。
2

新课程高中数学训练题组
(数学 4 必修)第一章 三角函数(下) [综合训练 B 组]

8

一、选择题
1.方程 sin ? x ? A. 5 C. 7 B. 6 D. 8 )

1 x 的解的个数是( 4



2.在 (0,2? ) 内,使 sin x ? cos x 成立的 x 取值范围为(
A. (

? ?

5? , ) ? (? , ) 4 2 4 , )

B. (

?
4

,? ) ,? ) ? ( 5? 3? , ) 4 2

C. (

? 5?
4 4

D. (

?
4

3.已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) 的图象关于直线 x ? A.

?
8

对称,则 ? 可能是(



? 2

B.

?

?
4

C.

? 4

D.

3? 4

4.已知 ?ABC 是锐角三角形, P ? sin A ? sin B, Q ? cos A ? cos B, 则( A. P ? Q ) B. P ? Q C. P ? Q D. P 与 Q 的大小不能确定

5.如果函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(0 ? ? ? 2? ) 的最小正周期是 T ,且当 x ? 2 时取得最大值, 那么( )

A. T ? 2,? ?

?
2

B. T ? 1,? ? ? D. T ? 1,? ?

C. T ? 2,? ? ?

?
2


6. y ? sin x ? sin x 的值域是(

A. [?1,0] C. [?1,1]

B. [0,1] D. [?2,0]

二、填空题
1.已知 cos x ?

2a ? 3 , x 是第二、三象限的角,则 a 的取值范围___________。 4?a
? ?

2.函数 y ? f (cos x) 的定义域为 ?2k? ?

?
6

,2k? ?

2? ? (k ? Z ) ,则函数 y ? f (x) 的定义 3 ? ?
9

域为__________________________. 3.函数 y ? ? cos( ?

x 2

?
3

) 的单调递增区间是___________________________.

4. ? ? 0 , 设 若函数 f ( x) ? 2sin ? x 在 [?

? ?

则 , ] 上单调递增, ? 的取值范围是________。 3 4

5.函数 y ? lg sin(cosx) 的定义域为______________________________。 三、解答题 1. (1)求函数 y ?

2 ? log 1 x ? tan x 的定义域。
2

(2)设 g ( x) ? cos(sin x),(0 ? x ? ?) ,求 g ( x) 的最大值与最小值。

2.比较大小(1) 2

tan

?
3

,2

tan

2? 3

; (2) sin1, cos1 。

3.判断函数 f ( x) ?

1 ? sin x ? cos x 的奇偶性。 1 ? sin x ? cos x

4.设关于 x 的函数 y ? 2cos x ? 2a cos x ? (2a ? 1) 的最小值为 f (a ) ,
2

试确定满足 f (a) ?

1 的 a 的值,并对此时的 a 值求 y 的最大值。 2

新课程高中数学训练题组
(数学 4 必修)第一章 三角函数(下)

10

[提高训练 C 组]
一、选择题 1.函数 f ( x) ? lg(sin x ? cos x) 的定义城是(
2 2



A. ? x 2k? ?

? ?

3? ? ? ? x ? 2k? ? , k ? Z ? 4 4 ? ? x ? k? ?

B. ? x 2k? ?

? ?

?
4

? x ? 2k? ?

5? ? ,k ?Z? 4 ?

C. ? x k? ?

? ?

?
4

?

? ,k ?Z? 4 ?

D. ? x k? ?

? ?

?
4

? x ? k? ?

3? ? ,k ?Z? 4 ?

2. 已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 对任意 x 都有 f ( A. 2 或 0 B. ?2 或 2 C. 0

( ? x) ? f ( ? x), 则 f ( ) 等于 6 6 6 D. ?2 或 0

?

?

?



? ? 3? ?cos x, (? ? x ? 0) , 3.设 f ( x) 是定义域为 R ,最小正周期为 的函数,若 f ( x) ? ? 2 2 ? sin x, (0 ? x ? ? ) ?
则 f (?

15? ) 等于( 4
B.



A. 1

2 2

C. 0

D. ?

2 2

4.已知 A1 , A2 ,… An 为凸多边形的内角,且 lg sin A1 ? lg sin A2 ? ..... ? lg sin An ? 0 , 则这个多边形是( ) A.正六边形 B.梯形 C.矩形
2

D.含锐角菱形 )

5.函数 y ? cos x ? 3 cos x ? 2 的最小值为( A. 2 B. 0 C. 1 D. 6

6.曲线 y ? A sin ? x ? a( A ? 0, ? ? 0) 在区间 [0,

2?

?

] 上截直线 y ? 2 及 y ? ?1


所得的弦长相等且不为 0 ,则下列对 A, a 的描述正确的是( A. a ?

1 3 ,A? 2 2

B. a ?

1 3 ,A? 2 2

C. a ? 1, A ? 1

D. a ? 1, A ? 1

二、填空题
1.已知函数 y ? 2a ? b sin x 的最大值为 3 ,最小值为1 ,则函数 y ? ?4a sin

b x的 2
11

最小正周期为_____________,值域为_________________. 2. x ? ? 当

? ? 7? ? 2 时, 函数 y ? 3 ? sin x ? 2cos x 的最小值是_______, 最大值是________。 , 6 6 ? ? ?

3.函数 f ( x) ? ( )

1 3

cos x

在 ? ?? , ? ? 上的单调减区间为_________。

4.若函数 f ( x) ? a sin 2 x ? b tan x ? 1,且 f (?3) ? 5, 则 f (? ? 3) ? ___________。 5.已知函数 y ? f (x) 的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的 4 倍,横坐标扩大到原来的 然后把所得的图象沿 x 轴向左平移 2 倍,

? , 这样得到的曲线和 y ? 2 sin x 的图象相同, 2

则已知函数 y ? f (x) 的解析式为_______________________________. 三、解答题 1.求 ? 使函数 y ? 3 cos(3 x ? ?) ? sin(3 x ? ?) 是奇函数。

2.已知函数 y ? cos x ? a sin x ? a ? 2a ? 5 有最大值 2 ,试求实数 a 的值。
2 2

3.求函数 y ? sin x ? cos x ? sin x cos x, x ? ?0, ? ? 的最大值和最小值。

4.已知定义在区间 [ ? ? 当 x ?[ ?

? 2

2 ? , ? ] 上的函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? ? 对称, 6 3
y

? ? , ? ] 时,函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ? ? ? ) , 2 2 6 3
2 ? ] 的表达式; 3
? ?

其图象如图所示. (1)求函数 y ? f (x) 在 [ ? ? ,
1

2 (2)求方程 f ( x) ? 的解. 2



x??

?
6

o

? 6

2? 3

?

x

新课程高中数学训练题组
(数学 4 必修)第二章 平面向量
12

[基础训练 A 组] 一、选择题
1.化简 AC ? BD ? CD ? AB 得(

????

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ? A. AB B. DA C. BC D. 0 ?? ?? ? ? ? ? 2.设 a0 , b0 分别是与 a, b 向的单位向量,则下列结论中正确的是( ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? A. a0 ? b0 B. a ? b ? 1 0 0 ?? ? ?? ? ?? ?? ? ? C. | a0 | ? | b0 |? 2 D. | a0 ? b0 |? 2
3.已知下列命题中: (1)若 k ? R ,且 kb ? 0 ,则 k ? 0 或 b ? 0 ,





? ? ? ? ? ? ? ? ? (2)若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 (3)若不平行的两个非零向量 a, b ,满足 | a |?| b | ,则 (a ? b) ? (a ? b) ? 0 ? ? b (4)若 a 与 b 平行,则 a? ?| a | ? | b | 其中真命题的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
4.下列命题中正确的是( ) A.若 a?b=0,则 a=0 或 b=0 B.若 a?b=0,则 a∥b C.若 a∥b,则 a 在 b 上的投影为|a| D.若 a⊥b,则 a?b=(a?b)2 5.已知平面向量 a ? (3,1) , b ? ( x, ?3) ,且 a ? b ,则 x ? ( A. ?3 B. ?1 C. 1 D. 3

?

?

?

?

?



6.已知向量 a ? (cos? , sin ? ) ,向量 b ? ( 3 ,?1) 则 | 2a ? b | 的最大值, 最小值分别是( A. 4 2 ,0 ) C. 16, 0 D. 4, 0

B. 4, 4 2

二、填空题
1 AB =_________ 3 ? ? ? ? ? 2.平面向量 a, b 中,若 a ? (4, ?3) , b =1,且 a ? b ? 5 ,则向量 b =____。
1.若 OA = (2,8) , OB = (?7,2) ,则
0 3.若 a ? 3 , b ? 2 ,且 a 与 b 的夹角为 60 ,则 a ? b ?

?

?

?

?



4.把平面上一切单位向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点 所构成的图形是___________。 5.已知 a ? (2,1) 与 b ? (1,2) ,要使 a ? tb 最小,则实数 t 的值为___________。

?

?

?

?

13

三、解答题 1.如图, ? ABCD 中, E , F 分别是 BC , DC 的中点, G 为交点,若 AB = a , AD = b , 试以 a , b 为基底表示 DE 、 BF 、 CG .

??? ? ?

?

?

?

??? ?

??? ?

D

F G E B

C

A

2.已知向量 a与b 的夹角为 60 , | b |? 4, (a ? 2b).(a ? 3b) ? ?72 ,求向量 a 的模。
?

? ?

?

?

?

?

?

?

3.已知点 B(2, ?1) ,且原点 O 分 AB 的比为 ?3 ,又 b ? (1, 3) ,求 b 在 AB 上的投影。

?

?

?

?

4.已知 a ? (1, 2) , b ? (?3,2) ,当 k 为何值时, (1) ka ? b 与 a ? 3b 垂直?

?

?

?

?

?

(2) k a ? b 与 a ? 3 b 平行?平行时它们是同向还是反向?

?

?

新课程高中数学训练题组
(数学 4 必修)第二章 平面向量 [综合训练 B 组]

14

一、选择题
1.下列命题中正确的是(

??? ??? ? ? ??? ??? ??? ???? ? ? ? D. AB ? BC ? CD ? AD ???? ???? 2.设点 A(2,0) , B(4, 2) ,若点 P 在直线 AB 上,且 AB ? 2 AP ,
B. AB ? BA ? 0 则点 P 的坐标为( A. (3,1) C. (3,1) 或 (1, ?1) ) B. (1, ?1) D.无数多个 )

??? ??? ??? ? ? ? A. OA ? OB ? AB ? ??? ? ? C. 0 ? AB ? 0



o 3.若平面向量 b 与向量 a ? (1,?2) 的夹角是 180 ,且 | b |? 3 5 ,则 b ? (

A. (?3,6)

B. (3,?6)

C. (6,?3)

D. (?6,3)

4.向量 a ? (2,3) , b ? (?1, 2) ,若 ma ? b 与 a ? 2b 平行,则 m 等于

?

?

? ?

?

?

1 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5.若 a, b 是非零向量且满足 (a ? 2b) ? a , (b ? 2a) ? b ,则 a 与 b 的夹角是(
A. ?2 B. 2 C.

1 2

D. ?



5? 6 ? 1 ? 3 ? ? 6.设 a ? ( ,sin ? ) , b ? (cos ? , ) ,且 a // b ,则锐角 ? 为( 2 3
A.

? 6

B.

? 3

C.

2? 3

D.



A. 30

0

B. 60

0

C. 75

0

D. 45

0

二、填空题
1.若 | a |? 1,| b |? 2, c ? a ? b ,且 c ? a ,则向量 a 与 b 的夹角为
? ? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?


? ?

2.已知向量 a ? (1, 2) , b ? ( ?2, 3) , c ? (4,1) ,若用 a 和 b 表示 c ,则 c =____。
0 a 3. a ? 1 , b ? 2 , 与 b 的夹角为 60 , (3a ? 5b) ? ( ma ? b) , m 的值为 若 若 则

?

?

?

?

?

?

? ?



4.若菱形 ABCD 的边长为 2 ,则 AB ? CB ? CD ? __________。
? ? ? ?

??? ??? ??? ? ? ?

5.若 a = (2,3) , b = (?4,7) ,则 a 在 b 上的投影为________________。

三、解答题
1.求与向量 a ? (1, 2) , b ? (2,1) 夹角相等的单位向量 c 的坐标.

?

?

?

15

2.试证明:平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和.

c b 3.设非零向量 a , b , c , d ,满足 d ? (a ? )b ? (a ? )c ,求证: a ? d

? ? ? ?

?

? ? ?

? ? ?

?

?

4.已知 a ? (cos ? ,sin ? ) , b ? (cos ? ,sin ? ) ,其中 0 ? ? ? ? ? ? . (1)求证: a ? b 与 a ? b 互相垂直;

?

?

?

?

?

?

(2)若 ka ? b 与 a ? k b 的长度相等,求 ? ? ? 的值( k 为非零的常数).

?

?

?

?

新课程高中数学训练题组
(数学 4 必修)第二章 [提高训练 C 组]
16

平面向量

一、选择题 1.若三点 A(2,3), B(3, a), C(4, b) 共线,则有( A. a ? 3, b ? ?5 B. a ? b ? 1 ? 0 ) D. a ? 2b ? 0

C. 2a ? b ? 3

2.设 0 ? ? ? 2? ,已知两个向量 OP1 ? ?cos? , sin? ? ,

OP2 ? ?2 ? sin ? , 2 ? cos? ? ,则向量 P1 P2 长度的最大值是(
A. 2 B. 3 C. 3 2 3.下列命题正确的是( ) A.单位向量都相等 D. 2 3



? ? C. | a ? b | ?| a ? b | ,则 a ? b ? 0 ? ? D.若 a 0 与 b0 是单位向量,则 a0 ? b0 ? 1 ? ? ? ? 0 4.已知 a , b 均为单位向量,它们的夹角为 60 ,那么 a ? 3b ? (
A. 7 B. 10 C. 13 D. 4

B.若 a 与 b 是共线向量, b 与 c 是共线向量,则 a 与 c 是共线向量(





5.已知向量 a , b 满足 a ? 1, b ? 4, 且 a ? b ? 2 , 则 a 与 b 的夹角为 A.

?

?

?

?

? ?

?

?

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2
) D. (4,2) 或 (?4,?2)

6.若平面向量 b 与向量 a ? ( 2,1) 平行,且 | b |? 2 5 ,则 b ? ( A. (4,2) B. (?4,?2) C. (6,?3)

二、填空题
1.已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ) ,向量 b ? ( 3, ?1) ,则 2a ? b 的最大值是

?

?

?

?



2.若 A(1, 2), B(2,3), C (?2,5) ,试判断则△ABC 的形状_________. 3.若 a ? (2, ?2) ,则与 a 垂直的单位向量的坐标为__________。 4.若向量 | a |? 1,| b |? 2,| a ? b |? 2, 则 | a ? b |?

?

?

?

?

? ? ?

?

?



b 5.平面向量 a, b 中,已知 a ? (4, ?3) , b ? 1 ,且 a? ? 5 ,则向量 b ? ______。
三、解答题

?

? ?

1.已知 a , b , c 是三个向量,试判断下列各命题的真假.

? ? ?

17

(1)若 a ? b ? a ? c 且 a ? 0 ,则 b ? c

? ?

? ?

?

?

?

? ? ?

(2)向量 a 在 b 的方向上的投影是一模等于 a cos ? ( ? 是 a 与 b 的夹角),方向与 a 在 b 相同或相反的一个向量.

?

?

?

?

?

2.证明:对于任意的 a, b, c, d ? R ,恒有不等式 (ac ? bd ) ? (a ? b )(c ? d )
2 2 2 2 2

3.平面向量 a ? ( 3, ?1), b ? ( ,

?

?

1 3 ) ,若存在不同时为 0 的实数 k 和 t ,使 2 2

? ? ? ? ? ? ? ? x ? a ? (t 2 ? 3)b , y ? ?ka ? tb , 且 x ? y ,试求函数关系式 k ? f (t ) 。

4. 如图, 在直角△ABC 中, 已知 BC ? a , 若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点, PQ与BC 问 的夹角 ? 取何值时 BP ? CQ 的值最大?并求出这个最大值。

新课程高中数学训练题组
(数学 4 必修)第三章 三角恒等变换
18

[基础训练 A 组] 一、选择题
1.已知 x ? (? A.
7 24

?
2

, 0) , cos x ?
7 24

4 ,则 tan 2 x ? ( 5
24 7



B. ?

C.

D. ?

24 7

2.函数 y ? 3sin x ? 4cos x ? 5 的最小正周期是( A.



? C. ? D. 2? 2 3.在△ABC 中, cos Acos B ? sin Asin B ,则△ABC 为(
B. A.锐角三角形
0

? 5

) D.无法判定

B.直角三角形
0 0

C.钝角三角形
0

4.设 a ? sin14 ? cos14 , b ? sin16 ? cos16 , c ? 则 a, b, c 大小关系( A. a ? b ? c C. c ? b ? a 5.函数 y ? A.周期为 )

6 , 2

B. b ? a ? c D. a ? c ? b )

2 sin(2 x ? ? ) cos[2( x ? ? )] 是(
B.周期为

? 的奇函数 4 ? C.周期为 的奇函数 2
6.已知 cos 2? ?

? 的偶函数 4 ? D.周期为 的偶函数 2


2 4 4 ,则 sin ? ? cos ? 的值为( 3
11 18
C.

A.

13 18

B.

7 9

D. ?1

二、填空题
1.求值: tan 20 ? tan 40 ? 3 tan 20 tan 40 ? _____________。
0 0 0 0

2.若

1 ? tan ? 1 ? 2008, 则 ? tan 2? ? 1 ? tan ? cos 2?



3.函数 f ( x ) ? cos 2 x ? 2 3 sin x cos x 的最小正周期是___________。

4.已知 sin

?
2

? cos

?
2

?

2 3 , 那么 sin ? 的值为 3

, cos 2? 的值为



19

5. ?ABC 的三个内角为 A 、 B 、 C ,当 A 为 值,且这个最大值为 。

时, cos A ? 2cos

B?C 取得最大 2

三、解答题
1.已知 sin ? ? sin ? ? sin ? ? 0,cos ? ? cos ? ? cos ? ? 0, 求 cos( ? ? ? ) 的值.

2.若 sin ? ? sin ? ?

2 , 求 cos? ? cos ? 的取值范围。 2

3.求值:

1 ? cos 200 ? sin100 (tan ?1 50 ? tan 50 ) 2sin 200

4.已知函数 y ? sin

x x ? 3 cos , x ? R. 2 2 (1)求 y 取最大值时相应的 x 的集合;

(2)该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到 y ? sin x( x ? R) 的图象.

新课程高中数学训练题组
(数学 4 必修)第三章 [综合训练 B 组]
20

三角恒等变换

一、选择题
1.设 a ?

1 3 2 tan13? 1 ? cos 50? cos 6? ? sin 6? , b ? ,c ? , 则有( 2 2 1 ? tan 2 13? 2
B. a ? b ? c C. a ? c ? b ) D. b ? c ? a



A. a ? b ? c 2.函数 y ?

1 ? tan 2 2 x 的最小正周期是( 1 ? tan 2 2 x
B.

A.

? 4
?

? 2
?

C. ?
?

D. 2?
?

3. sin163 sin 223 ? sin 253 sin 313 ? ( A. ?



3 3 1 C. ? D. 2 2 2 ? 3 4.已知 sin( ? x) ? , 则 sin 2x 的值为( ) 4 5 19 16 14 7 A. B. C. D. 25 25 25 25 1 5.若 ? ? (0, ? ) ,且 cos ? ? sin ? ? ? ,则 cos 2? ? ( 3

1 2

B.

)

A.

17 9

B. ?

17 9
17 3
2

C. ?

17 9
4

D.

6.函数 y ? sin x ? cos x 的最小正周期为( A.



? 4

B.

? 2

C. ?

D. 2?

二、填空题
1.已知在 ?ABC 中, 3sin A ? 4cos B ? 6, 4sin B ? 3cos A ? 1, 则角 C 的大小为 .

2.计算:

sin 65 o +sin 15 o sin 10 o 的值为_______. sin 25 o - cos 15 o cos 80 o

2x 2x ? . ? cos( ? ) 的图象中相邻两对称轴的距离是 3 3 6 1 4.函数 f ( x) ? cos x ? cos 2 x( x ? R) 的最大值等于 . 2 π 5.已知 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) 在同一个周期内,当 x ? 时, f (x) 取得最大值为 2 ,当 3
3.函数 y ? sin

x ? 0 时, f (x) 取得最小值为 ? 2 ,则函数 f (x) 的一个表达式为______________.
21

三、解答题 1. 求值: (1) sin 6 sin 42 sin 66 sin 78 ; (2) sin 20 ? cos 50 ? sin 20 cos50 。
0 0 0 0 2 0 2 0 0 0

2.已知 A ? B ?

?
4

,求证: (1 ? tan A)(1 ? tan B) ? 2

3.求值: log 2 cos

?
9

? log 2 cos

2? 4? 。 ? log 2 cos 9 9

4.已知函数 f ( x) ? a(cos x ? sin x cos x) ? b
2

(1)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的单调递增区间;

(2)当 a ? 0 且 x ? [0,

?
2

] 时, f ( x) 的值域是 [3, 4], 求 a, b 的值.

新课程高中数学训练题组
(数学 4 必修)第三章 一、选择题
1.求值

三角恒等变换[提高训练 C 组]

cos 200 cos 350 1 ? sin 200

?(



22

A. 1 C. 2

B. 2 D. 3

2.函数 y ? 2 sin( A. ?3 C. ?1

?

? x) ? cos( ? x)( x ? R) 的最小值等于( 3 6

?



B. ?2 D. ? 5
2

3.函数 y ? sin x cos x ? 3 cos x ? 3 的图象的一个对称中心是(



A. (

2? 3 ,? ) 3 2 2? 3 , ) 3 2

B. (

5? 3 ,? ) 6 2

C. ( ?

D. (

?
3

, ? 3)
2

4.△ABC 中, ?C ? 90 ,则函数 y ? sin A ? 2sin B 的值的情况(
0



A.有最大值,无最小值 B.无最大值,有最小值 C.有最大值且有最小值 D.无最大值且无最小值 5. (1 ? tan 21 )(1 ? tan 22 )(1 ? tan 23 )(1 ? tan 24 ) 的值是(
0 0 0 0

)

A. 16 C. 4

B. 8 D. 2

cos 2 x 6.当 0 ? x ? 时,函数 f ( x) ? 的最小值是( cos x sin x ? sin 2 x 4
A. 4 C. 2

?



1 2 1 D. 4
B.

二、填空题
1.给出下列命题:①存在实数 x ,使 sin x ? cos x ?

3 ; 2 ②若 ? , ? 是第一象限角,且 ? ? ? ,则 cos ? ? cos ? ; 2 ? ③函数 y ? sin( x ? ) 是偶函数; 3 2
④函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移

? ? 个单位,得到函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象. 4 4

其中正确命题的序号是____________. (把正确命题的序号都填上)

23

x 1 的最小正周期是___________________。 ? 2 sin x 1 1 3.已知 sin ? ? cos ? ? , sin ? ? cos ? ? ,则 sin(? ? ? ) =__________。 3 2
2.函数 y ? tan 4.函数 y ? sin x ?

? ?? 3 cos x 在区间 ?0, ? 上的最小值为 ? 2?



5.函数 y ? (a cos x ? b sin x)cos x 有最大值 2 ,最小值 ?1 ,则实数 a ? ____, b ? ___。

三、解答题

1.已知函数 f ( x) ? sin( x ? ? ) ? cos( x ? ? ) 的定义域为 R ,

(1)当 ? ? 0 时,求 f ( x) 的单调区间;

(2)若 ? ? (0, ? ) ,且 sin x ? 0 ,当 ? 为何值时, f ( x) 为偶函数.

2. 已知△ABC 的内角 B 满足 2cos 2B ? 8cos B ? 5 ? 0, , B ? ,CA ? b 且 a , b 满足: 若 C a

?? ? ?

? ? ???

?

? ?

? ? ? ? ? ? a ? ? ?9 , a ? 3, b ? 5 , ? 为 a, b 的夹角.求 sin( B ? ? ) 。 b

3.已知 0 ? x ?

?

? 5 , sin( ? x) ? , 求 4 4 13

cos 2 x cos( ? x) 4

?

的值。

4.已知函数 f ( x) ? a sin x ? cos x ? 3a cos x ?
2

3 a ? b (a ? 0) 2

(1)写出函数的单调递减区间; (2)设 x ?[0, ] , f ( x) 的最小值是 ?2 ,最大值是 3 ,求实数 a, b 的值. 2

?

数学 4(必修)第一章
一、选择题 1.C

三角函数(上) [基础训练 A 组]
?
4 ?

2k? ?

?
2

? ? ? 2k? ? ? , (k ? Z ), k? ?

?
2

? k? ?

?
2

, (k ? Z ),

当 k ? 2n,(n ? Z ) 时,

? ? 在第一象限;当 k ? 2n ? 1,(n ? Z ) 时, 在第三象限; 2 2
?
2 ? 0 ,?

而 cos

?
2

? ? cos

?
2

? cos

? 在第三象限; 2

24

2.C

sin(?10000 ) ? sin 800 ? 0 ; cos(?22000 ) ? cos(?400 ) ? cos 400 ? 0

tan(?10) ? tan(3? ? 10) ? 0 ;

sin

7? 7? cos ? ? sin 10 10 ,sin 7? ? 0, tan 17? ? 0 ? 17? 17? 10 9 tan tan 9 9

3.B

sin 2 1200 ? sin1200 ?

3 2

4.A 5.C 6.A

4 3 sin ? 4 sin ? ? , cos ? ? ? , tan ? ? ?? 5 5 cos ? 3

? ? ? ? ?? ? ? ,若 ? 是第四象限的角,则 ?? 是第一象限的角,再逆时针旋转1800
?
2 ? 2 ? ? ,sin 2 ? 0;

?
2

? 3 ? ? , cos3 ? 0; ? ? 4 ?

3? , tan 4 ? 0;sin 2cos3tan 4 ? 0 2

二、填空题 1.四、三、二 当 ? 是第二象限角时, sin? ? 0, cos ? 0 ;当 ? 是第三象限角时, ?

sin ? ? 0,cos ? ? 0 ;当 ? 是第四象限角时, sin ? ? 0,cos ? ? 0 ;
2.②

sin

17? 17? ? MP ? 0, cos ? OM ? 0 18 18

3. ? ? ? ? 2k? ? ? 4. 2 5. 158
0

? 与 ? ? ? 关于 x 轴对称
l ,? 2? l 4,? r ?
6)

1 S ? ( 8 ? 2 ) ? 42r ? 4 ? 4 0 , ? r r , r ? r 2
?2 0 0 02 ? ? 2 1 0 0 6 ?

2

0 1 5 8 , ( 02 ? 6 0 0 ? 3 6 0 1

三、解答题 1. 解:? tan ? ?

1 1 7 ? k 2 ? 3 ? 1,? k ? ?2 ,而 3? ? ? ? ? ,则 tan ? ? ? k ? 2, 2 tan ? tan ?
2 ,? cos ? ? sin ? ? ? 2 。 2

得 tan ? ? 1,则 sin ? ? cos ? ? ?

2.解:

cos x ? sin x 1 ? tan x 1 ? 2 ? ? ? ?3 cos x ? sin x 1 ? tan x 1 ? 2

sin(1800 ? x) 1 cos x ? ? 3.解:原式 ? 0 0 tan(? x) tan(90 ? x) tan(90 ? x) sin(? x)

?

sin x 1 ? tan x ? tan x(? ) ? sin x ? tan x tan x
2

4.解:由 sin x ? cos x ? m, 得 1 ? 2sin x cos x ? m , 即 sin x cos x ?

m2 ? 1 , 2

25

(1) sin x ? cos x ? (sin x ? cos x)(1 ? sin x cos x) ? m(1 ?
3 3

m2 ? 1 3m ? m3 )? 2 2

(2) sin x ? cos x ? 1 ? 2sin x cos x ? 1 ? 2(
4 4 2 2

m 2 ? 1 2 ? m 4 ? 2m 2 ? 1 ) ? 2 2

数学 4(必修)第一章
一、选择题 1.B

三角函数(上) [综合训练 B 组]

tan 6000 ?

a , a ? ?4 tan 6000 ? ?4 tan 600 ? ?4 3 ?4

2.C 当 x 是第一象限角时, y ? 3 ;当 x 是第二象限角时, y ? ?1 ; 当 x 是第三象限角时, y ? ?1 ;当 x 是第四象限角时, y ? ?1 3.A

2k? ? k? ?

?
2

? ? ? 2k? ? ? , (k ? Z ), 4k? ? ? ? 2? ? 4k? ? 2? , (k ? Z ),

, (k ? Z ), 2? 在第三、或四象限, sin 2? ? 0 , 2 ? ? cos 2? 可正可负; 在第一、或三象限, cos 可正可负 2 2 4 ? 2 ? k? ?
4.B

?

?

?

cos ? ? ? 1 ? m2 , tan ? ?
sin ? 1 ? sin 2 ?

sin ? m ?? cos ? 1 ? m2

5.D

?

sin ? 1 ? cos 2 ? sin ? ? ? , cos ? cos ? cos ?

当 ? 是第二象限角时,

sin ? sin ? ? ? ? tan ? ? tan ? ? 0 ; cos ? cos ? sin ? sin ? ? ? tan ? ? tan ? ? 0 cos ? cos ?

当 ? 是第四象限角时,

6.B

??

4? 1 3 ?1 ? 3 , cos ? ? sin ? ? ? ? ? 3 2 2 2

二、填空题 1.二, ?2 3

cos ? ? ?

3 ? ,则 ? 是第二、或三象限角,而 Py ? 2 ? 0 0 2 1 2 3 , tan ? ? ? ? , x ? ?2 3 2 x 3

得 ? 是第二象限角,则 sin ? ? 2. ? ? ? ? (2k ? 1)?

26

3.一、二

0 ? 7.412 ? 2? ?

?
2

, 得 ?1 是第一象限角;

?
2
4. ?202 5. 0
0

? ?9.99 ? 4? ? ? , 得 ? 2 是第二象限角

?2 0 0 02 ? ? 5? 3 0 0? ? 0 0 2 ) 6 ( 2 0, co0 ? 0 s9 0 , s0i ? 1 8 0 n
0 0 ,? o s 2 7 0 0 ? 0 , s i n 3 6 0 c

t a n 00?

0

三、解答题 1.解: ?900 ? ? ? ? 900 , ?450 ? ?

?
2

? 450 , ?900 ? ? ? 900 ,

? ? ? (? ) , ?1350 ? ? ? ? 1350 2 2 2 1 ? 1 4 1 1 2.解:? f ( ) ? cos ? , f ( ) ? f ( ) ? 1 ? ? 3 3 2 3 3 2 1 4 ? f ( )? f ( ) ?0 3 3 2 2 1 2 1 sin x ? cos 2 x tan 2 x ? 2 2 1 4 4? 7 3.解: (1) sin x ? cos 2 x ? 3 ?3 2 2 2 3 4 sin x ? cos x tan x ? 1 12 ?? ?
(2) 2sin x ? sin x cos x ? cos x ?
2 2

?

?

?

2sin 2 x ? sin x cos x ? cos 2 x sin 2 x ? cos 2 x

?

2 tan 2 x ? tan x ? 1 7 ? tan x ? 1 5
2

4.证明:右边 ? (1 ? sin ? ? cos ? ) ? 2 ? 2sin ? ? 2cos ? ? 2sin ?cos ?

? 2 ( 1 s i n? ? ?

c? ?s o

? i n ?c o s ) s
)

? 2 ( 1 s i n ? ( 1 ?c o s ? ? )

? 2(1 ? sin ? )(1 ? cos ? ) ? (1 ? sin ? ? cos ? ) 2

数学 4(必修)第一章
一、选择题 1.D

三角函数(上) [提高训练 C 组]

sin 6000 ? sin 2400 ? sin(1800 ? 600 ) ? ? sin 600 ? ?

3 2

2.A

cos x ? 0,1 ? a x ? 0, x ? a ? 0,

x (a ? x) 2 cos x 1 ? a ? ? x ? 1 ? (?1) ? (?1) ? 1 x?a cos x a ? 1

3.B

log3 sin ? ? 0,3

log3 sin ?

? 3? log3 sin ? ? 3

log3

1 sin ?

?

1 sin ?
27

4.A 作出图形得

1 1 1 ? sin 0.5, r ? ,l ? ? ?r ? r sin 0.5 sin 0.5

5.D 画出单位圆中的三角函数线 6.A

(cos ? ? cos ?1 ? )2 ? (cos ? ? cos ?1 ? )2 ? 4 ? 8, cos ? ? cos ?1 ? ? 2 2

二、填空题 1. ?

77 13

在角 ? 的终边上取点 P(?12,5), r ? 13, cos ? ? ?

2.一、或三

2k1? ? ? ? ? ? 2 1 ? k?

(k1 ? k2 ) ? ?
3. 17.3

?

4 2 h ? t a n 30 0h , ? 30

?

?? ?

3? ? ,k( 1 Z )k ?2 ? ? ? ? k ?2? ? k ?2( ? ,2 2 ,Z 2 2 2

12 5 5 , tan ? ? ? ,sin ? ? 13 12 13 ),

? (k1 k2 ) ? ? ? 10 3

?

2

4.二

tan ? sin ? ?

sin 2 ? ? 0, cos ? ? 0,sin ? ? 0 cos ?

5. [?2, 0] ? [ 三、解答题

?
3

, 2]

? 2? ? ? A ? ? x| k ? ? x ? ? ?, ? ? Z . ?. ? [ ? ? k k ? . 3 3 ? ?
?b a ?b
2 2

?0 ] ,

?
3

[?? , ]

...

1.解: P(a, ?b),sin ? ?

, cos ? ?

a a ?b
2 2

, tan ? ? ? a b

b a

Q( b, a) , s ? n i ?

a a ?b
2 2

, ?o s c ?

b a? b
2 2

? t?a n ,

sin ? tan ? 1 b2 a 2 ? b 2 ? ? ? ? ?1 ? 2 ? ?0。 cos ? tan ? cos ? sin ? a a2
2. 解:设扇形的半径为 r ,则

1 S ? (20 ? 2r )r ? ?r 2 ? 10r 2
当 r ? 5 时, S 取最大值,此时 l ? 10, ? ?

l ?2 r

3.解:

1 ? sin 6 ? ? cos6 ? 1 ? (sin 2 ? ? cos 2 ? )(sin 4 ? ? sin 2 ? cos 2 ? ? cos 4 ? ) ? 1 ? sin 4 ? ? cos 4 ? 1 ? (1 ? 2sin 2 ? cos 2 ? ) 1 ? (1 ? 3sin 2 ? cos 2 ? ) 3 ? 1 ? (1 ? 2sin 2 ? cos 2 ? ) 2

?

4.证明:由 sin ? ? a sin ? , tan? ? b tan? , 得

sin ? a sin ? ? , 即 a cos ? ? b cos? tan ? b tan ?

28

而 a sin ? ? sin ? ,得 a ? b cos ? ? sin ? ,即 a ? b cos ? ? 1 ? cos ? ,
2 2 2 2
2 2 2 2

得 cos ? ?
2

a2 ?1 a2 ?1 , 而 ? 为锐角,? cos ? ? b2 ? 1 b2 ? 1

数学 4(必修)第一章
一、选择题 1.C 当 ? ? 2.C

三角函数(下) [基础训练 A 组]
?

) ? cos 2 x ,而 y ? cos 2 x 是偶函数 2 ? 1 ? 1 ? ? 1 ? y ? sin( x ? ) ? y ? sin( x ? ) ? y ? sin[ ( x ? ) ? ] ? y ? sin( x ? ) 3 2 3 2 3 3 2 6 2

?

时, y ? sin(2 x ?

3.B

5? ?? ?4 ?? ? 4 ?sin ? ? cos ? ? 0 ? ? ? 5? ?? ? ? ? ( , ) ? (? , ) ? 4 2 4 ? tan ? ? 0 ?0 ? ? ? ? , 或? ? ? ? 5? ? ? 2 4
tan ? ? 1,cos ? ? sin ? ? 1, tan? ? sin? ? cos?

4.D 5.D

T?

2? ? 5? 2 5

6.C 由 y ? sin x 的图象知,它是非周期函数 二、填空题 1.① 0 此时 f ( x) ? cos x 为偶函数

2. 3

y ( 2? c oxs ?) ? 2

2y ? 2 2? 2 y x o s x, ? o s c c ?? ? 1 ? y ?1 y? 1

1 ? y?, 1 3

3

3. 2, 或3

T?

?
k

, 1?

?

? 2 , ? k? ? 而 k N , ? ? ? k k 2

?

或, 2

3

4. ? x | x ? 2k? ?

? ?

?
3

, 或2 k ? ?

?

? ,k ?Z? 3 ?

5.

3 4

x ?[ 0 , ] , ? x ? 0 3 3
f ( x)max ? 2sin

?

?

,? x ? ? 0

??
3

? 3

?

,

??
3

? 2,sin

??
3

?

2 ?? ? 3 , ? ,? ? 2 3 4 4

三、解答题 1.解:将函数 y ? sin x, x ? ? 0, 2? ? 的图象关于 x 轴对称,得函数 y ? ? sin x, x ? ? 0, 2? ? 的图象,再将函数 y ? ? sin x, x ? ? 0, 2? ? 的图象向上平移一个单位即可。
29

2.解: (1) sin110 ? sin 70 ,sin150 ? sin 30 , 而sin 70 ? sin 30 ,?sin110 ? sin150
0 0 0 0 0 0 0

0

(2) tan 220 ? tan 40 , tan 200 ? tan 20 , 而 tan 40 ? tan 20 ,? tan 220 ? tan 200
0 0 0 0 0 0 0

0

3.解: (1) log 2

1 1 1 1 ? 1 ? 0, log 2 ? 1, ? 2, 0 ? sin x ? sin x sin x sin x 2 ? 5? 2k? ? x ? 2k? ? , 或 2k? ? ? x ? 2k? ? ? , k ? Z 6 6 ? 5? (2k? , 2k? ? ] ? [2k? ? , 2k? ), (k ? Z ) 为所求。 6 6

(2) 当0 ? x ? ?时, ?1 ? cos x ? 1 ,而 [?11] 是 f (t ) ? sin t 的递增区间 , 当 cos x ? ?1 时, f ( x)min ? sin(?1) ? ? sin1 ; 当 cos x ? 1 时, f ( x) max ? sin1 。 4.解:令 sin x ? t , t ?[?1,1] , y ? 1 ? sin x ? 2 p sin x ? q
2

y ? ?(sin x ? p)2 ? p 2 ? q ? 1 ? ?(t ? p)2 ? p 2 ? q ? 1 y ? ?(t ? p)2 ? p 2 ? q ? 1 对称轴为 t ? p
当 p ? ?1 时, [?1,1] 是函数 y 的递减区间, ymax ? y |t ??1 ? ?2 p ? q ? 9

3 15 ymin ? y |t ?1 ? 2 p ? q ? 6 ,得 p ? ? , q ? ,与 p ? ?1 矛盾; 4 2
当 p ? 1 时, [?1,1] 是函数 y 的递增区间, ymax ? y |t ?1 ? 2 p ? q ? 9

3 15 ymin ? y |t ??1 ? ?2 p ? q ? 6 ,得 p ? , q ? ,与 p ? 1 矛盾; 4 2
当 ?1 ? p ? 1 时, ymax ? y |t ? p ? p ? q ? 1 ? 9 ,再当 p ? 0 ,
2

ymin ? y |t ??1 ? ?2 p ? q ? 6 ,得 p ? 3 ? 1, q ? 4 ? 2 3 ;
当 p ? 0 , ymin ? y |t ?1 ? 2 p ? q ? 6 ,得 p ? ? 3 ? 1, q ? 4 ? 2 3

? p ? ?( 3? 1 ) ,? ?4 q

2 3

数学 4(必修)第一章
一、选择题 1.C

三角函数(下) [综合训练 B 组]
1 x 的图象,左边三个交点, 4

在同一坐标系中分别作出函数 y1 ? sin ? x, y2 ? 右边三个交点,再加上原点,共计 7 个

30

2.C 在同一坐标系中分别作出函数 y1 ? sin x, y2 ? cos x, x ? (0, 2? ) 的图象,观察: 刚刚开始即 x ? (0,

) 时, cos x ? sin x ; 4 ? 5? 到了中间即 x ? ( , ) 时, sin x ? cos x ; 4 4 5? 最后阶段即 x ? ( , 2? ) 时, cos x ? sin x 4
3.C 对称轴经过最高点或最低点,

?

f ( ) ? ?1,sin(2 ? ? ? ) ? ?1 ? 2 ? ? ? ? k? ? 8 8 8 2

?

?

?

?

? ? k? ?
4.B

?

A? B ?

?

4

,k ?Z

2

,A?

?
2

? B ? sin A ? cos B; B ?

?
2

? A ? sin B ? cos A

?sin A ? sin B ? cos A ? cos B, P ? Q
5.A

T?

2?

?

? 2, f (2) ? sin(2? ? ? ) ? 1, ? 可以等于

? 2

6.D

?0,sin x ? 0 y ? sin x ? sin x ? ? ? ?2 ? y ? 0 ?2sin x,sin x ? 0

二、填空题

1. (?1, )

3 2

? 2a ? 3 ? 4?a ? 0 2a ? 3 3 ? ?1 ? cos x ? 0, ?1 ? ? 0, ? , ?1 ? a ? 4?a 2 ? 2a ? 3 ? ?1 ? 4?a ?

2. [? ,1]

6 2? 8? 3. [4k? ? , 4k? ? ], k ? Z 3 3 3 ? ? ? ? ? ? 4. [ , 2] 令 ? ? ?x ? , ? ?x? , 则 [? , ] 是函数的关于 2 2 2 2? 2? 2? 2?
原点对称的递增区间中范围最大的,即 [?

1 2

2k? ?

?

? x ? 2 k? ?

2? 1 , ? ? cos x ? 1 3 2 x ? x ? 函数 y ? cos( ? ) 递减时, 2k? ? ? ? 2k? ? ? 2 3 2 3

? ?

, ] ? [? , ], 3 4 2? 2?

?

?

? ?? ? 4 ? 2? 3 ? ? ?? ? 2 则? 2 ?? ? ? ? ? ? 3 2? ?
5. (2k? ?

?

, 2k? ? ), (k ? Z ) 2 2

?

s i n ( c x s? ) 而0? ? 1 x c? s ? 1 , o , o ?

x ? os 0 c

1,

31

2 k? ?
三、解答题

?
2

? x ? 2k? ?

?
2

,k ?Z

?2 ? log 1 x ? 0 ?0 ? x ? 4 ? ? 2 1.解: (1) ? ?? ? ? tan x ? 0 ? k? ? x ? k ? ? 2 ? ?
得0 ? x ?

?

? x ? (0, ) ? [? , 4] 2
(2) 当0 ? x ? ? 时, 0 ? sin x ? 1,而 [0, 是 f (t ) ? cos t 的递减区间 1] 当 sin x ? 1时, f ( x) min ? cos1 ; 当 sin x ? 0 时, f ( x)max ? cos 0 ? 1 。
? 2? tan tan 2? 3 2.解: (1)? tan ? tan ,? 2 ?2 3 ; 3 3

?

2

,或 ? ? x ? 4

?

(2)? 3.解:当 x ?

?
?
4 2

?1?

?
2

,? sin1 ? cos1

时, f ( ) ? 1 有意义;而当 x ? ?

?

?
2

2

时, f ( ?

?
2

) 无意义,

? f ( x) 为非奇非偶函数。
4.解:令 cos x ? t , t ?[?1,1] ,则 y ? 2t ? 2at ? (2a ? 1) ,对称轴 t ?
2

a , 2 a 1 当 ? ?1 ,即 a ? ?2 时, [?1,1] 是函数 y 的递增区间, ymin ? 1 ? ; 2 2 1 a 当 ? 1 ,即 a ? 2 时, [?1,1] 是函数 y 的递减区间, ymin ? ?4a ? 1 ? , 2 2 1 得 a ? ,与 a ? 2 矛盾; 8
当 ?1 ?

a2 1 a ? 1 ,即 ?2 ? a ? 2 时, ymin ? ? ? 2a ? 1 ? , a 2 ? 4a ? 3 ? 0 2 2 2

得 a ? ?1, 或 a ? ?3 ,? a ? ?1,此时 ymax ? ?4a ? 1 ? 5 。

数学 4(必修)第一章
一、选择题 1.D

三角函数(下) [提高训练 C 组]
?
2 ? 2 x ? 2k? ? 3? 2
32

sin 2 x ? cos 2 x ? 0, ? cos 2 x ? 0, cos 2 x ? 0, 2k? ?

2.B

对称轴 x ?

?

, f ( ) ? ?2 6 6

?

3.B

f (?

15? 15? 3? 3? 3? 2 ) ? f (? ? ? 3) ? f ( ) ? sin ? 4 4 2 4 4 2

4.C

sin A1 sin A2 ...sin An ? 1, 而0 ? sin Ai ? 1 ? sin Ai ? 1, Ai ? 900
2

5.B 令 cos x ? t , t ?[?1,1] ,则 y ? t ? 3t ? 2 ,对称轴 t ? ? 是函数 y 的递增区间,当 t ? ?1 时 ymin ? 0 ; [? 1 , 1 ] 6.A 图象的上下部分的分界线为 y ?

3 , 2

2 ? (?1) 1 1 3 ? , 得a ? , 且2 A ? 3, A ? 2 2 2 2

二、填空题 1. 4?, [? 4 4 ] ? ,

? 2a ? b ? 3 ? a ? 1 ? 2? ? ?? ,T ? ? 4? , ?4 ? y ? 4 b ? 2a ? b ? 1 ? b ? 1 ? ? 2
1,

2.

7 ,2 8

? ? 7? ? 1 n n x ? ? , ? , ? ? sin x ? 1, y ? 2 s i 2 x ? s i x ? ?6 6 ? 2
当 sin x ?

3. [?

?

,, , ? ] 令 u ? cos x ,必须找 u 的增区间,画出 u ? cos x 的图象即可 0] [ 2 2
显然 T ? ? , f (? ? 3) ? f (3) ,令 F ( x) ? f ( x) ? 1 ? a sin 2 x ? tan x 为奇函数

?

1 7 1 时, ymin ? ;当 sin x ? 1, 或 ? 时, ymax ? 2 ; 4 8 2

4. ?3

F (?3) ? f (?3) ? 1 ? 4, F (3) ? f (3) ? 1 ? ?4, f (3) ? ?3

1 ? 5. y ? sin(2 x ? ) 2 2

y?2 sin ????? x ? y

右移 个单位 2

?

? sin( ? 2 x 2

?

横坐标缩小到原来的2倍

) ? ? ? ? ? ? ??

? 1 ? 总坐标缩小到原来的4倍 y ? 2sin(2 x ? ) ??????? y ? sin(2 x ? ) ? 2 2 2
三、解答题 1.解: y ? 2[sin

?
3

cos(3x ? ? ) ? cos

?
3

sin(3x ? ? )]

? 2sin( ? ? ? 3x) ,为奇函数,则 3

?

??

?

3

? k? , ? ? k? ?
2

?

3

,k ?Z 。

2.解: y ? ? sin x ? a sin x ? a ? 2a ? 6, 令 sin x ? t , t ? [?1,1]
2

33

y ? ?t 2 ? at ? a 2 ? 2a ? 6 ,对称轴为 t ?


a , 2

a 即 [ ? ?1 , a ? ?2 时, ?1,1] 是函数 y 的递减区间,ymax ? y |t ??1 ? ?a 2 ? a ? 5 ? 2 2
2

得 a ? a ? 3 ? 0, a ? 当

1 ? 13 , 与 a ? ?2 矛盾; 2

a ? 1 ,即 a ? 2 时,[?1,1] 是函数 y 的递增区间, ymax ? y |t ?1 ? ?a 2 ? 3a ? 5 ? 2 2
2

得 a ? 3a ? 3 ? 0, a ?

3 ? 21 3 ? 21 , 而a ? 2,即a ? ; 2 2

当 ?1 ?

3 a ? 1 ,即 ?2 ? a ? 2 时, ymax ? y | a ? ? a 2 ? 2a ? 6 ? 2 t? 4 2 2

得 3a ? 8a ? 16 ? 0, a ? 4, 或 ?
2

4 4 ,而-2 ? a ? 2, 即a ? ? ; 3 3

4 3 ? 21 ?a ? ? ,或 3 2
3.解:令 sin x ? cos x ? t , t ?

? ? ? 3? 2 ? 2 sin( x ? ), ? ? x ? ? ,? ? sin( x ? ) ? 1 4 4 4 4 2 4
1? t2 1? t2 1 1 ? ? t2 ? t ? ,y ?t? 2 2 2 2

得 t ? [?1, 2] , sin x cos x ?

对称轴 t ? 1,当 t ? 1时, ymax ? 1;当 t ? ?1 时, ymin ? ?1 。 4.解: (1) x ? [ ?

T 2? ? , ? ] , A ? 1, ? ? , T ? 2? , ? ? 1 6 3 4 3 6 2? 2? ? ? 且 f ( x) ? sin( x ? ? ) 过 ( , 0) ,则 ? ? ? ? , ? ? , f ( x) ? sin( x ? ) 3 3 3 3 ? ? ? 2? ? ? ? 当 ?? ? x ? ? 时, ? ? ? x ? ? , f (? x ? ) ? sin(? x ? ? ) 6 6 3 3 3 3 3 ? ? 而函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? ? 对称,则 f ( x) ? f (? x ? ) 6 3

? 2

即 f ( x) ? sin(? x ?

?

? ) ? ? sin x , ?? ? x ? ? 3 3 6

?

?

? ? 2? ? sin( x ? ), x ? [? , ] ? ? 3 6 3 ? f ( x) ? ? ?? sin x, x ? [?? , ? ? ) ? 6 ?

34

(2)当 ?

?
6

?x?

? 2 2? ? ? 时, ? x ? ? ? , f ( x) ? sin( x ? ) ? 3 2 3 6 3
3? ? 5? , x ? ? ,或 4 12 12
时, f ( x) ? ? sin x ?

x?

?
3

?

?
4

,或

当 ?? ? x ? ?

?
6

2 2 ,sin x ? ? 2 2

x??

?
4

,或 ? ,?

?x ? ?

?
4

3? ? 5? 为所求。 , ? ,或 4 12 12

3? 4

数学 4(必修)第二章
一、选择题 1.D

平面向量

[基础训练 A 组]

???? ??? ??? ???? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? AD ? BD ? AB ? AD ? DB ? AB ? AB ? AB ? 0
?? ? ?? ?

2.C 因为是单位向量, | a0 |? 1,| b0 |? 1 3.C (1)是对的; (2)仅得 a ? b ; (3) (a ? b ) ? (a ? b ) ? a 2 ? b 2 ? a ? b ? 0
0 0 b (4)平行时分 0 和 180 两种, a ? ? a ? b cos ? ? ? a ? b

?

?

?

?

? ?

?

?

?2

?2

? ?

? ?

? ? ?

4.D 若 AB ? DC ,则 A, B, C, D 四点构成平行四边形; a ? b ? a ? b

??? ?
?

????

?

?

?

0 0 若 a // b ,则 a 在 b 上的投影为 a 或 ? a ,平行时分 0 和 180 两种

?

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? a ? b ? a ? ? 0, (a ? )2 ? 0 b b
5.C 6.D

3x ? 1? (?3) ? 0, x ? 1
? ? ? ? 2a ? b ? (2 cos ? ? 3, 2sin ? ? 1),| 2a ? b |? (2 cos ? ? 3) 2 ? (2sin ? ? 1) 2

? 8 ? 4sin ? ? 4 3 cos ? ? 8 ? 8sin(? ? ) ,最大值为 4 ,最小值为 0 3
二、填空题 1. (?3, ?2) 2. ( , ? )

?

4 5

3 5

? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? A B? O B O A( ? , ? ) ? ? 9 6 ? ? ? 1? 4 3 a? b ? ? ? ? ? a ? 5 , c o? a b ,?? ? ? ? a1b 方向相同, b ? a ? ( , ? ) s , , 5 5 5 a b

3. 7

? ? ? ? a ? b ? ( a ? b2 )

?

?2 ?? ? a ? a b? 2 b ? 9 2

1 ? ? 3 ? 2 2 ? 2

4 ?

?7
35

4.圆 5. ?

以共同的始点为圆心,以单位 1 为半径的圆

4 5

? 4 ? ? ? ? ? ?? a ? tb ? (a ? tb )2 ? a 2 ? 2tab ? t 2b 2 ? 5t 2 ? 8t ? 5 ,当 t ? ? 时即可 5
??? ???? ? ??? ??? ???? ? ?

三、解答题

? 1? ? ? 1? b ?b ? a ? b 2 2 ??? ??? ??? ???? ???? ??? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? BF ? AF ? AB ? AD ? DF ? AB ? b ? a ? a ? b ? a 2 2 ??? 1 ??? ? ? ???? 1 1 ? ? G 是△ CBD 的重心, CG ? CA ? ? AC ? ? (a ? b ) 3 3 3 ? ? ? ? ? ?2 ?2 ? ( b 2.解: (a ? 2b)? a ? 3b) ? a ? a ? ? 6b ? ?72
1.解: DE ? AE ? AD ? AB ? BE ? AD ? a ?

????

?2 ?2 ? ? ?2 ? a ? a b cos 600 ? 6 b ? ?72, a ? 2 a ? 24 ? 0,
? ? ? ( a ? 4)( a ? 2) ? 0, a ? 4
3.解:设 A( x, y ) ,

???? ??? ? AO ? ?3 ,得 AO ? ?3OB ,即 (? x, ? y) ? ?3(2, ?1), x ? 6, y ? ?3 OB ? ??? ? ? ??? ? ??? ? b ?AB 5 得 A(6, ?3) , AB ? (?4, 2), AB ? 20 , b cos ? ? ??? ? ? 10 AB
? ?

4.解: ka ? b ? k (1, 2) ? (?3, 2) ? (k ? 3, 2k ? 2)

? ? a ? 3b ? (1, 2) ? 3(?3, 2) ? (10, ?4)
(1) ( k a ? b ) ? ( a ? 3b ) , 得 (ka ? b )? (a ? 3b ) ? 10(k ? 3) ? 4(2k ? 2) ? 2k ? 38 ? 0, k ? 19 (2) (ka ? b ) // ( a ? 3b ) ,得 ?4(k ? 3) ? 10(2k ? 2), k ? ? 此时 ka ? b ? (?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

1 3

10 4 1 , ) ? ? (10, ?4) ,所以方向相反。 3 3 3

数学 4(必修) 第二章
一、选择题

平面向量

[综合训练 B 组]
??? ??? ? ? ??? ?

1.D 起点相同的向量相减,则取终点,并指向被减向量, OA ? OB ? BA ;

??? ??? ? ? ? ??? ??? ? ? AB, BA 是一对相反向量,它们的和应该为零向量, AB ? BA ? 0
2.C 设 P( x, y ) ,由 AB ? 2 AP 得 AB ? 2 AP ,或 AB ? ?2 AP ,

????

????

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? AB ? (2, 2), AP ? ( x ? 2, y) ,即 (2, 2) ? 2( x ? 2, y), x ? 3, y ? 1, P(3,1) ;

36

(2, 2) ? ?2( x ? 2, y), x ? 1, y ? ?1, P(1, ?1)
3.A 4.D 设 b ? ka ? (k , ?2k ), k ? 0 ,而 | b |? 3 5 ,则 5k ? 3 5, k ? ?3, b ? (?3, 6)
2

?

?

?

? ? m a? b?( 2 m 3 m) ? 1 , 2 ) m 2 , ? ( ? (?

m,?3 1

2)

? ? 1 a ? 2b ? (2,3) ? (?2, 4) ? (4, ?1) ,则 ?2m ? 1 ? 12m ? 8, m ? ? 2

5.B

1 ?2 ? ? a ?2 a? b 1 ?2 ? ? ? ? ?2 ?2 ? ? a ? 2a ? ? 0, b ? 2a ? ? 0, a ? b , a ? b , cos ? ? ? ? ? 2? 2 ? b b 2 a b a

6.D

3 1 ? ? sin ? cos ? ,sin 2? ? 1, 2? ? 900 , ? ? 450 2 3
0

二、填空题 1. 120

? ? a ?b ? ? ? ?2 ? ? (a ? b ) a ? 0 , a ? ? b? 0 , c o s ? ? ? a ? ? a b
?

?2 ? a ? ? ? a b

1 ? ,或画图来做 ? 2

2. (2, ?1)

设 c ? xa ? yb ,则 ( x, 2 x) ? (?2 y,3 y) ? ( x ? 2 y, 2 x ? 3 y) ? (4,1)

?

?

x ? 2 y ? 4, 2 x ? 3 y ? 1, x ? 2, y ? ?1
3.

23 8

? ? ? ? ? ? ? ? b ( 3 ? 5 ? (ma ? b) ? 3ma 2 ? (5m ? 3)a ? ? 5b 2 ? 0 a b )

3m ? (5m ? 3) ? 2 ? cos 600 ? 5 ? 4 ? 0,8m ? 23
4. 2

? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? A B? C B C D ? ? A ? B? B C C? D AC ?

? ? ?? ? ? ?? CD 2 ? D ? A

? ? ??

65 5. 5
三、解答题

? ? a? b 13 ? a cos ? ? ? ? 65 b
?
? ? ? ?

1.解:设 c ? ( x, y) ,则 cos ? a , c ?? cos ? b , c ?,

? 2 ? ?x ? ?x ? ? ?x ? 2 y ? 2x ? y ? ? 2 得? 2 ,即 ? 或? 2 ?x ? y ? 1 ?y ? 2 ?y ? ? ? ? ? ? 2

2 2 2 2

2 2 2 2 ? c ?( , ) 或 (? ,? ) 2 2 2 2
2.证明:记 AB ? a, AD ? b , 则 AC ? a ? b , DB ? a ? b ,

??? ?

? ????

?

????

?

? ? ???

?

?

37

??? 2 ??? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? AC ? DB ? (a ? b )2 ? (a ? b )2 ? 2a 2 ? 2b 2 ??? 2 ??? 2 ? ? ?2 ?2 ? AC ? DB ? 2 a ? 2 b
d [( c b c b b a 3.证明:? a ? ? a ? a ? )b ? (a ? )c ] ? (a ? )(a ? ) ? (a ? )c ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (a ? )(a ? ) ? (a ? )(a ? ) ? 0 c b c b ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ?a ? d
( 4.(1)证明:? (a ? b )? a ? b ) ? a ? b ? (cos ? ? sin ? ) ? (cos ? ? sin ? ) ? 0
2 2 2 2

?

?

?

?

?2

?2

? ? ? ? ? a ? b 与 a ? b 互相垂直
(2) k a ? b ? ( k cos ? ? cos ? , k sin ? ? sin ? ) ;
?
?

?

a ? k b ? (cos ? ? k cos ? ,sin ? ? k sin ? )
? ? k a ? b ? k 2 ? 1 ? 2k cos( ? ? ? )

?

?

? a ? kb ? k 2 ? 1 ? 2k cos( ? ? ? )
k 2 ? 1 ? 2k cos( ? ? ? )

2 而 k ? 1 ? 2k cos( ? ? ? ) ?

cos( ? ? ? ) ? 0 , ? ? ? ?

?
2

数学 4(必修) 第二章
一、选择题 1.C

平面向量

[提高训练 C 组]

??? ? ???? ??? ???? ? AB ? (1, a ? 3), AC ? (2, b ? 3), AB // AC ? b ? 3 ? 2a ? 6, 2a ? b ? 3

2.C

???? ? PP2 ? (2 ? sin ? ? cos ? , 2 ? cos ? ? sin ? ), 1

???? ? PP2 ? 2(2 ? cos? )2 ? 2sin 2 ? ? 10 ? 8cos? ? 18 ? 3 2 1
3.C 单位向量仅仅长度相等而已,方向也许不同;当 b ? 0 时, a 与 c 可以为任意向量;

?

?

| a ? b | ?| a ? b | ,即对角线相等,此时为矩形,邻边垂直;还要考虑夹角
4.C

? ? ? ? ? ? a ? 3b ? a 2 ? 6a ? ? 9b 2 ? 1 ? 6cos 600 ? 9 ? 13 b

38

5.C

? ? a? b 2 1 ? cos ? ? ? ? ? ? ,? ? 3 a b 4 2
? ?

6.D 设 b ? ka ? (2k , k ), ,而 | b |? 2 5 ,则 5k ? 2 5, k ? ?, b ? (4, 2), 或(?4, ?2)
2

?

?

二、填空题 1. 4

? ? 2a ? b ? ( 2 c o s ??

3 , 2?s i n ?

? ? a1 ) ,b 2 ? ?

?

8 ? 8 s? n ( ? ? i 3

?

)

16

4

2.直角三角形

? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? A B? ( 1 , 1 )A C? ?( 3 , 3?B A C , A) , ? 0? A,B A C

3. (

2 2 2 2 , ), 或(? ,? ) 2 2 2 2
设所求的向量为 ( x, y ), 2 x ? 2 y ? 0, x ? y ? 1, x ? y ? ?
2 2

2 2

4.

6

由平行四边形中对角线的平方和等于四边的平方和得

?2 ?2 ? ?2 ? ?2 ? ?2 ?2 ? ?2 ?2 a ? b ? a ? b ? 2 a ? 2 b ? a ? b ? 2 a ? 2 b ? a ? b ? 2 ? 2? 4 ? 4 ? 6
5. ( , ? ) 三、解答题 1.解: (1)若 a ? b ? a ? c 且 a ? 0 ,则 b ? c ,这是一个假命题

4 5

3 5

设 b ? ( x, y ), 4 x ? 3 y ? 5, x ? y ? 1, x ?
2 2

?

4 3 ,y?? 5 5

? ?

? ?

?

?

?

?

因为 a ? b ? a ? c , a ? (b ? c ) ? 0 ,仅得 a ? (b ? c )

? ?

? ? ? ? ?

?

?

?

(2)向量 a 在 b 的方向上的投影是一模等于 a cos ? ( ? 是 a 与 b 的夹角),方向与 a 在 b 相同或相反的一个向量.这是一个假命题

?

?

?

?

?

?

?

因为向量 a 在 b 的方向上的投影是个数量,而非向量。

?

?

2.证明:设 x ? (a, b), y ? (c, d ) ,则 x ?y ? ac ? bd , x ? 而 x ?y ? x y cos ? , x ?y ? x y cos ? ? x y 即 x ?y ? x y ,得 ac ? bd ?

?

?

? ?

?

? a 2 ? b2 , y ? c2 ? d 2

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

a 2 ? b2 c2 ? d 2

39

? (ac ? bd )2 ? (a 2 ? b 2 )(c 2 ? d 2 )
3.解:由 a ? ( 3, ?1), b ? ( ,

?

?

? ? ? ? 1 3 b ) 得 a ? ? 0, a ? 2, b ? 1 2 2

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [a ? (t 2 ? 3)b ]? ?ka ? tb ) ? 0, ?ka 2 ? ta ? ? k (t 2 ? 3)a ? ? t (t 2 ? 3)b 2 ? 0 ( b b

1 1 ?4k ? t 3 ? 3t ? 0, k ? (t 3 ? 3t ), f (t ) ? (t 3 ? 3t ) 4 4 ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? 4. 解:? AB ? AC ,? AB ? AC ? 0.
??? ? ???? ??? ??? ??? ??? ???? ???? ? ? ? ? ? AP ? ? AQ, BP ? AP ? AB , CQ ? AQ ? AC , ??? ??? ? ? ??? ??? ???? ???? ? ? ? BP ? CQ ? ( AP ? AB ) ? ( AQ ? AC )

? AP ? AQ ? AP ? AC ? AB ? AQ ? AB ? AC ? ? a 2 ? AP ? AC ? AB ? AP ? ? a 2 ? AP ? ( AB ? AC ) 1 PQ ? BC 2 1 ? ? a 2 ? PQ ? BC 2 2 ? ? a ? a 2 cos? . ? ?a 2 ?
故当cos? ? 1,即? ? 0( PQ与BC方向相同)时, BP ? CQ最大.其最大值为0.

数学 4(必修)第三章
一、选择题 1.D 2.D 3.C 4.D

三角恒等变换 [基础训练 A 组]

x ? (?

4 3 3 2 tan x 24 , 0) , cos x ? ,sin x ? ? , tan x ? ? , tan 2 x ? ?? 2 2 5 5 4 1 ? tan x 7 2? y ? 5sin( x ? ? ) ? 5, T ? ? 2? 1

?

cos A cos B ? sin A sin B ? cos( A ? B) ? 0, ? cos C ? 0,cos C ? 0, C 为钝角
a ? 2 sin 590 , b ? 2 sin 610 , c ? 2 sin 600
y ? ? 2 sin 2 x cos 2 x ? ? 2 2? ? sin 4 x ,为奇函数, T ? ? 2 4 2

5.C

6.B

1 sin 4 ? ? cos 4 ? ? (sin 2 ? ? cos 2 ? ) 2 ? 2sin 2 ? cos 2 ? ? 1 ? sin 2 2? 2 1 11 2 ? 1 ? ( 1 ? c o s? 2 ? ) 2 18
40

二、填空题 1. 3

tan 600 ? tan(200 ? 400 ) ?

tan 200 ? tan 400 ? 3 1 ? tan 200 tan 400

3 ? 3 tan 200 tan 400 ? tan 200 ? tan 400
2. 2008

1 ?t an? ? 2 c o s? 2

1 s i n 2 ? 1 s? n 2 ? i ? ? c o? 2 s cos 2 ? ?c o s 2

(cos ? ? sin ? )2 cos ? ? sin ? 1 ? tan ? ? ? ? ? 2008 cos 2 ? ? sin 2 ? cos ? ? sin ? 1 ? tan ?

? 2? 2 c x?s (, T ? ) ? ? o 2 3 2 ? ? 2 4 1 7 1 7 4. , (sin ? cos ) ? 1 ? sin ? ? ,sin ? ? , cos 2? ? 1 ? 2sin 2 ? ? 2 2 3 3 9 3 9 B? C A A A 0 3 2 5. 60 , cos ? 2 cos ? A cos A? 2 ?i n s ? 1 2 sin ? 2 sin 2 2 2 2 2 A A A 1 3 ? ?2sin 2 ? 2sin ? 1 ? ?2(sin ? ) 2 ? 2 2 2 2 2 A 1 B?C 3 0 当 sin ? ,即 A ? 60 时,得 (cos A ? 2cos )max ? 2 2 2 2
3. ?

f ( x)? c o s x? 2

3 s i x?2 n

三、解答题 1.解: sin ? ? sin ? ? ? sin ? ,cos ? ? cos ? ? ? cos ? ,

(sin ? ? sin ? )2 ? (cos ? ? cos ? )2 ? 1,

1 2 ? 2cos( ? ? ? ) ? 1, cos( ? ? ? ) ? ? 。 2
2.解:令 cos ? ? cos ? ? t ,则 (sin ? ? sin ? ) ? (cos ? ? cos ? ) ? t ?
2 2 2

1 , 2

1 3 2 ? 2cos(? ? ? ) ? t 2 ? , 2cos(? ? ? ) ? t 2 ? 2 2
?2 ? t 2 ? 3 1 7 14 14 ? 2, ? ? t 2 ? , ? ?t? 2 2 2 2 2

3.解:原式 ?

2 cos 2 100 cos 50 sin 50 ? sin100 ( ? ) 4sin100 cos100 sin 50 cos 50

cos100 cos100 ? 2sin 200 0 ? ? 2 cos10 ? 2sin100 2sin100 ? cos100 ? 2sin(300 ? 100 ) cos100 ? 2sin 300 cos100 ? 2cos 30 0 sin100 ? 2sin100 2sin100

41

? cos 300 ?
4.解: y ? sin

3 2

x x x ? ? 3 cos ? 2sin( ? ) 2 2 2 3 x ? ? ? (1)当 ? ? 2k? ? ,即 x ? 4k? ? , k ? Z 时, y 取得最大值 2 3 2 3

? ? ? ? x | x ? 4k? ? , k ? Z ? 为所求 3 ? ?
(2) y ? 2sin( ?
? 右移 个单位 x ? x 横坐标缩小到原来的2倍 3 ) ????? y ? 2sin ??????? y ? 2sin x ? ? 2 3 2

纵坐标缩小到原来的2倍 ??????? y ? sin x ?

数学 4(必修)第三章
一、选择题 1.C

三角恒等变换

[综合训练 B 组]

a ? sin 300 cos 6? ? cos300 sin 6? ? sin 240 , b ? sin 260 , c ? sin 250 ,

2.B

y?

1 ? tan 2 2 x 2? ? ? cos 4 x, T ? ? 2 1 ? tan 2 x 4 2

3.B 4.D

sin17? (? sin 43? ) ? (? sin 73? )(? sin 47? ) ? cos17? cos 43? ? sin17? sin 43? ? cos 600

? ? ? 7 sin 2 x ? cos( ? 2 x) ? cos 2( ? x) ? 1 ? 2sin 2 ( ? x) ? 2 4 4 25 1 4 5.A (cos ? ? sin ? )2 ? ,sin ? cos ? ? ? ,而 sin ? ? 0, cos ? ? 0 9 9
cos ? ? sin ? ? ? (cos ? ? sin ? ) 2 ? 4sin ? cos ? ? ? 17 3

1 17 cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? (cos ? ? sin ? )(cos ? ? sin ? ) ? ? ? ( ? ) 3 3
6.B

1 3 y ? (sin 2 x)2 ? cos2 x ? (sin 2 x)2 ? sin 2 x ? 1 ? (sin 2 x ? )2 ? 2 4 1 3 1 3 ? cos 2 2 x ? ? (1 ? cos 4 x) ? 4 4 8 4
(3sin A ? 4cos B)2 ? (4sin B ? 3cos A) 2 ? 37, 25 ? 24sin( A ? B) ? 37

二、填空题 1.

? 6

1 1 ? sin( A ? B) ? ,sin C ? ,事实上 A 为钝角,? C ? 2 2 6
42

2. 2 ? 3

0 0 0 s i n ( 8 ? 01 ? ) s i0 n 1 5 0s i n 1 0 0 s i n 8 0 c o s 1 5 0 5 cos15 ? ?0 ?02 ? 3 0 0 0 0 0 sin(15 ? 10 ) ? cos15 cos80 sin15 cos10 sin15

2x 2x ? 2x ? 2x ? 2x ? y ?sin ? cos cos ? sin s? n i c o s ?c o s sin sin 3 3 6 3 6 3 6 3 6 2x ? 2? ? cos( ? ), T ? ? 3? ,相邻两对称轴的距离是周期的一半 2 3 6 3 3 1 1 3 2 4. f ( x)? ? c o s x ? c oxs? 当 , cx ? 时 os f m,x x ( ? ) a 4 2 2 4 ? T ? 2? 2? ? 5. f ( x) ? 2sin(3x ? ) A ? 2, ? , T ? ? , ? ? 3,sin ? ? ?1, 可取? ? ? 2 2 3 3 ? 2
3.

3? 2

三、解答题 1.解: (1)原式 ? sin 6 cos12 cos 24 cos 48 ?
0 0 0 0

sin 60 cos 60 cos120 cos 240 cos 480 cos 60

1 1 sin120 cos120 cos 240 cos 480 sin 240 cos 240 cos 480 2 4 ? ? cos 60 cos 60 1 1 1 sin 480 cos 480 sin 960 cos 60 1 ?8 ? 16 ? 16 ? 0 0 0 cos 6 cos 6 cos 6 16
(2)原式 ?

1 ? cos 400 1 ? cos1000 1 ? ? (sin 700 ? sin 300 ) 2 2 2

1 1 1 ? 1 ? (cos1000 ? cos 400 ) ? sin 700 ? 2 2 4 3 1 3 ? ? sin 700 sin 300 ? sin 700 ? 4 2 4 ? tan A ? tan B 2.证明:? A ? B ? ,? tan( A ? B) ? ? 1, 4 1 ? tan A tan B
得 tan A ? tan B ? 1 ? tan A tan B,

1 ? tan A ? tan B ? tan A tan B ? 2
? (1 ? tan A)(1 ? tan B) ? 2
3.解:原式 ? log 2 (cos

?
9

cos

2? 4? cos ), 9 9

2? 4? 而 cos cos cos ? 9 9 9
即原式 ? log 2

?

sin

?
9

cos

?

2? 4? cos 9 9 9 ?1 ? 8 sin 9 cos

1 ? ?3 8
43

4.解: f ( x) ? a ? (1) 2k? ?

1 ? cos 2 x 1 2a ? a ? a ? sin 2 x ? b ? sin(2 x ? ) ? ? b 2 2 2 4 2

?
2

? 2x ?

?
4

? 2k? ?

?
2

, k? ?

[k? ?

3? ? , k? ? ], k ? Z 为所求 8 8

3? ? ? x ? k? ? , 8 8

(2) 0 ? x ?

? ?
2 4 ,

? 2x ?

?
4

?

5? 2 ? ,? ? sin(2 x ? ) ? 1, 4 2 4

f ( x) min ?

1? 2 a ? b ? 3, f ( x) max ? b ? 4, 2
4

? a ? 2 ? 2 2b ? ,

数学 4(必修)第三章
一、选择题 1.C

三角恒等变换 [提高训练 C 组]

cos 2 100 ? sin 2 100 cos100 ? sin100 2 sin 550 ? ? ? 2 cos 350 (cos100 ? sin100 ) cos 350 cos 350

2.C

y ? 2cos( ? x) ? cos( ? x) ? cos( ? x) ? ?1 6 6 6
1 3 1 3 3 y ? sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ? 3 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2 2 2

?

?

?

3.B

? 3 ? k? ? 5? ? sin(2 x ? ) ? , 令2 x ? ? k ? , x ? ? , 当k ? 2, x ? 3 2 3 2 6 6
4.D

y ? sin 2 A ? 2sin B ? sin 2 A ? 2cos A ? 1 ? cos2 A ? 2cos A ? ?(cos A ? 1)2 ? 2 ,而 0 ? cos A ? 1,自变量取不到端点值

5.C

(1 ? tan 210 )(1 ? tan 240 ) ? 2, (1 ? tan 220 )(1 ? tan 230 ) ? 2 ,更一般的结论
0 ? ? ? ?4 5 , ( 1 t a n ? ?

) (1 ? a ? ? t n

)

2

6.A

f ( x) ?

1 1 1 ? , 当 tan x ? 时, f ( x) min ? 4 2 tan x ? tan x ?(tan x ? 1 )2 ? 1 2 2 4

二、填空题 1. ③ 对于①, sin x ? cos x ?
0

? 3 2 sin( x ? ) ? 2 ? ; 4 2
0

对于②,反例为 ? ? 30 , ? ? ?330 ,虽然 ? ? ? ,但是 cos ? ? cos ?
44

) ? sin(2 x ? ) 4 2 1? c o x s 1 cx s o 1 2. ? y? ? ?? ?? sin x s ixn sin x xt a n 59 13 59 3. ? (sin ? ? cos ? )2 ? (sin ? ? cos ? ) 2 ? , 2sin(? ? ? ) ? ? 72 36 36 ? ? ? 5? 5? 4. 1 y ? 2sin( x ? ), ? x ? ? , ym i n? 2sin ?1 3 3 3 6 6 b a a 5. 1, ?2 2 y ? ac o 2 x? b s i nx c o x s ? s sin 2 ? x cos 2 ? x 2 2 2
a 2 ? b2 a a 2 ? b2 a a 2 ? b2 a ? sin(2 x ? ? ) ? , ? ? 2, ? ? ? ?1, a ? 1, b ? ?2 2 2 2 2 2 2 2
三、解答题 1. 解: (1)当 ? ? 0 时, f ( x) ? sin x ? cos x ?

对于③, y ? sin 2 x ? y ? sin 2( x ?

?

?

3? ? ? x ? 2k? ? , f ( x) 为递增; 2 4 2 4 4 ? ? 3? ? 5? 2k? ? ? x ? ? 2k? ? , 2k? ? ? x ? 2k? ? , f ( x) 为递减 2 4 2 4 4 3? ? ? f ( x) 为递增区间为 [2k? ? , 2k? ? ], k ? Z ; 4 4 ? 5? f ( x) 为递减区间为 [2k? ? , 2k? ? ], k ? Z 。 4 4 2k? ? ? x? ? 2k? ? , 2k? ?
(2) f ( x) ?

?

?

?

2 sin( x ? ) 4

?

2 cos( x ? 4 ,k ?Z

?

?? ? k? ?
2

?

4

? ? ) 为偶函数,则 ? ?

?

4

? k?

2.解: 2(2cos B ? 1) ? 8cos B ? 5 ? 0, 4cos B ? 8cos B ? 5 ? 0
2

? ? 1 3 a ?b 3 4 得 cos B ? ,sin B ? , cos ? ? ? ? ? ? ,sin ? ? , 2 2 5 5 a?b
sin( B ? ? ) ? sin B cos ? ? cos B sin ? ?
3.解:? (

4?3 3 10

?

? ? ? ? 5 ? x) ? ( ? x) ? ,? cos( ? x) ? sin( ? x) ? , 4 4 2 4 4 13

而 cos 2 x ? sin(

?

? ? ? 120 ? 2 x) ? sin 2( ? x) ? 2sin( ? x) cos( ? x) ? 2 4 4 4 169

45

120 12 ? ? 169 ? 。 ? 5 13 cos( ? x) 4 13 cos 2 x
4.解: f ( x) ?

1 3a 3 a sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ? a?b 2 2 2 a 3a ? sin 2 x ? cos 2 x ? b ? a sin(2 x ? ) ? b 2 2 3

?

(1) 2k? ?

?

2 3 5? 11? ?[k? ? , k? ? ], k ? Z 为所求 12 12

? 2x ?

?

? 2k? ?

3? 5? 11? , k? ? ? x ? k? ? 2 12 12

(2) 0 ? x ?

?
2

,?

?
3

? 2x ?

?
3

?

2? 3 ? ,? ? sin(2 x ? ) ? 1 3 2 3

f ( x)min ? ?

3 a ? b ? ?2, f ( x) max ? a ? b ? 3, 2

? 3 a ? b ? ?2 ? a ? 2 ?? ? ?? 2 ? ?b ? ? 2 ? 3 ? ?a ? b ? 3 ?

46


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