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2014年重庆一中高2015级高三上期第四次月考文科数学试题


秘密★启用前

2014 年重庆一中高 2015 级高三上期第四次月考

数 学 试 题 卷(文科)

2014.12

一.选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分)
1.设集合 A ? ?? 3, ?2, ?1, 0, 1?,集合 B ? ? x x 2 ? 4 ?

0? ,则 A B = ( A. {?2} B. {2} C. {?2, 2} ) D.-2

? 2. 函数 y ? 3sin(3 x ? ) ? 3 的最小正周期为( ) 3 ? 2? A. B. C. 3? 3 3 2 2 3.圆 x +y +2x-4y=0 的圆心坐标和半径分别是(
A.(1,-2),5 C.(-1,2),5

D. )

3? 2

B.(1,-2), 5 D.(-1,2), 5 )

4. 已知 a ? R ,则“ a ? ?1 ”是“ a 2 ? 1 ? (a ? 1)i 为纯虚数”的( A.充分不必要条件 C.充要条件
1 2

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )
3 2
1 2

5.已知数列{an}是等差数列,若 a1+a5+a9=π ,则 cos(a2+a8)=( A.- B.- C. D.
3 2

6.登山族为了了解某山高 y (km) 与气温 x( C ) 之间的关系,随机统计了 4 次山高与 相应的气温,并制作了对照表: 由表中数据, 得到线性回归方程为 y ? ?2 x ? a (a ? R ) , 由此估计山高为 72(km) 处气温的度数为( )
气温

x( ?C )
山高

18 24

13 34

10 38

-1 64

A. -10

B. -8

C. -6

D. -4

y (km)

7. 已知 0 ? a ? 1 ,则 a 2 、 2a 、 log 2 a 的大小关系是 ( ) A. a 2 ? 2a ? log 2 a C. log 2 a ? a 2 ? 2a B. 2a ? a 2 ? log 2 a D. 2a ? log 2 a ? a 2

-1-

8.下面的程序框图表示求式子 23×53×113×233×473×953 的值,则判断框内可以

填的条件为( A. i ? 90 ?

) B. i ? 100 ? C. i ? 200 ? D. i ? 300 ?

9.已知平面向量 m, n 的夹角为

?
6

,且 m ? 3, n ? 2 ,在 ?ABC 中, )

AB ? 2m ? 2n, AC ? 2m ? 6n ,D 为 BC 的中点,则 | AD |? (

A.2 10.已知椭圆 C1 :

B.4

C.6

D.8

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与圆 C2 : x 2 ? y 2 ? b 2 ,若在椭圆 C1 上 不 存 在 2 ? ? ? a b

点 P,使得由点 P 所作的圆 C2 的两条切线互相垂直,则椭圆 C1 的离心率的取值 范围是(
? 2? A. ? 0, ? 2 ? ? ? ?


? 3? B. ? 0, ? 2 ? ? ? ?

C. [

2 ,1) 2

D. [

3 ,1) 2

二.填空题(本大题共 5 个小题,每题 5 分,共 25 分)
11.设 x ? ? 0, 4? ,则 x 2 ? 4 的概率是__________. 12.已知抛物线 y2=2px(p>0)的准线与圆 x2+y2-6x-7=相切,则 p 的值为 __________. 13.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 3,则正视图中的 的值是

_____ 14.已知 b ? 0 ,直线 (b 2 ? 1) x ? ay ? 2 ? 0 与直线 x ? b 2 y ? 1 ? 0 互相垂直,则 最小值为__________. 的

-2-

15. 已知函数 f ( x) ? ax 3 ? 3x 2 ? 1 ,若 f ( x) 在 R 上存在唯一的零点 x0 ,且 x0 ? 0 , 则 的取值范围是__________

三.解答题(6 道大题,共 75 分)
16.(13 分)已知函数 f ( x) ? x ? 1 ? 2 ln x (Ⅰ)求曲线 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间。

17.(13 分)某中学共有学生 2000 人,各年级男、女生人数如下表: 女生 男生 一年级 373 377 二年级 x 370 三年级 y z

已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到高二年级女生的概率是 0.19. (Ⅰ)现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生,问应在高三年级抽取多少名? (Ⅱ)已知 y≥245,z≥245,求高三年级中女生比男生多的概率.

18.(13 分) 已知数列

满足 a1 ? 4 , an?1 ? 3an ? 2 ( n ? N ? )

a n ?的通项公式; (Ⅰ)求证:数列 ?an ? 1? 为等比数列,并求出数列 ?
(Ⅱ) 令 b n ? log 3(a1 ? 1) ? log 3(a 2 ? 1) ? ? ? log 3(a n ? 1), 求数列 项和 . 的前

19.(12 分)已知在 锐 角Δ ABC 中,角 A , B ,C 所对的边分别为 a ,b ,c ,且
? ?

sin C ab ? 2 cos C a ? b 2 ? c 2

(Ⅰ)求角 (Ⅱ)当

大小; 时,求 的取值范围.
-3-

20. (12 分) 如下图所示四棱锥 E-ABCD 中, 四边形 且 , . 平面 ;

为正方形,

平面



(Ⅰ)求证:

(Ⅱ)求四棱锥 E-ABCD 的体积.

21(12 分). 设椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F 2 ,上顶点 a 2 b2

为 A,在 轴负半轴上有一点 B,满足 BF1 ? F1 F 2 ,且 AB ? AF 2 .

(Ⅰ)求椭圆

的离心率; 的方程; 交于 两点,

(Ⅱ)若过 A, B, F2 三点的圆与直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 相切,求椭圆 (Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下, 过右焦点 F 2 作斜率为 的直线 与椭圆 线段 MN 的中垂线与 轴相交于 P(m, 0) ,求实数 的取值范围.

命题人:关毓维 审题人:张志华

-4-

2014 年重庆一中高 2015 级高三上期第四次月考

数 学 答 案(文科)
一.选择题
1-5 A B D B A 6-10 C B B A A

2014.12

二.填空题
11.

1 2

12. 2

13. 3

14. 2

15.

三.解答题
16.略 解:(Ⅰ) (Ⅱ) f ,(x ) ?

x ?2 ,(x ? 0) x

单增区间为:(2, ??),单减区间为:(0,2)

17. 解:(1)

∴应在高三年级抽取的人数为: (2)∵ ∴ 的可能性是

若女生比男生多,则 ∴符合条件的有



∴所求的概率为:

(a n ?1). 18. 解析:(Ⅰ) a n ? 1 ? 3a n ? 2 ? a n ? 1 ? 1 ? 3
从而数列 数列 为等比数列,公比为 3. 的首项 a1 ? 1 ? 3 ,? a n ? 1 ? 3 ? 3 n ? 1 ? 3 n .
-5-

? a n ? 3n ? 1

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, log 3

(a n ? 1)

? n





19:解:(Ⅰ)由已知及余弦定理,得 所以

因为

为锐角,

(Ⅱ)由正弦定理,得







20(Ⅰ)证明:∵ ∴ ∵

平面

, 中,

平面 ,



. 在正方形 ,∴ △ 平面

,∵ AB//CD,∴ , 作 ,∴
-6-

平面



(Ⅱ)解法 1:在 ∴ ∵ 平面 ,

中, .过点 平面

, 于点 . ,



,∴

平面









.又正方形

的面积



∴ 解法 2:在 连接 △ 中, , ,∴

.故所求体积为

. .

,则四棱锥 E-ABCD 分割为三棱锥

和三棱锥



由(1)知, 又 AB//CD 平面

.∴ , 平面 ,∴AB//平面 CDE.



∴点

到平面

的距离为

的长度. ∴

∵ ∴

平面

,∴ .故所求体积为 ,由 , ,得到

. .

21. 解:(1)连接

, 即

, 确 定 得 到 椭 圆 的 离 心 率 为



-7-

(2)由

,得





的外接圆圆心为



半径 因为过

, 三点的圆与直线 相切,

, 解 得

, 所 以 所 求 椭 圆 方 程 为

. (3)由(2)知 ,设直线 的方程为:

由 因为直线 过

得: 点,所以 恒成立.





,由韦达定理得:

















. 当 时, 为长轴,中点为原点,则 ;



时,

中垂线方程为





,得

.因为

所以



综上可得实数

的取值范围是


-8-

-9-


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