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高中奥林匹克物理竞赛解题方法 八 作图法


八,作图法
方法简介 作图法是根据题意把抽象复杂的物理过程有针对性的表示成物理图像, 将物理问题转化 成一个几何问题,通过几何知识求解,作图法的优点是直观形象,便于定性分析,也可定性 计算,灵活应用作图法会给解题带来很大方便. 赛题精析 例 1 如图 8—1 所示,细绳跨过定滑轮,系住一个 质量为 m 的球,球靠在光滑竖直墙上,当拉动细绳使球 匀速上升时,球对墙的压力将( ) A.增大 B.先增大后减小 C.减小 D.先减小后增大 图 8—1 解析 球在三个力的作用下处于平衡,如图 8—1—甲所示.当球上升时,θ角增大,可 用动态的三角形定性分析,作出圆球的受力图(如图 8—1—甲).从图可见,当球上升时, θ角增大,墙对球的支持力增大,从而球对墙的压力也增大. 故选 A 正确.

图 8—1—甲

图 8—2

图 8—2—甲 )

例 2 用两根绳子系住一重物,如图 8—2 所示.绳 OA 与天花板间夹角θ不变,当用手 拉住绳子 OB,使绳 OB 由水平方向转向竖直方向的过程中,OB 绳所受的拉力将( A.始终减小 C.先减小后增大 B.始终增大 D.先增大后减小

解析 因物体所受重力的大小,方向始终不变,绳 OA 拉力的方向始终不变,又因为物 体始终处于平衡状态,所受的力必然构成一个三角形,如图 8—2—甲所示,由图可知 OB 绳受的拉力是先减小后增大. 可知答案选 C 例 3 如图 8—3 所示,质量为 m 的小球 A 用细绳拴在天花板上, 悬点为 O,小球靠在光滑的大球上,处于静止状态.已知:大球的球心 O′在悬点的正下方,其中绳长为 l,大球的半径为 R,悬点到大球最 高点的距离为 h.求对小球的拉力 T 和小球对大球的压力. 解析 力的三角形图和几何三角形有联系,若两个三角形相似, 则可以将力的三角形与几何三角形联系起来,通过边边对应成比例求解. 以小球为研究对象,进行受力分析,如图 8—3—甲所示,小球 受重力 mg,绳的拉力 T,大球的支持力 FN,其中重力 mg 与拉力 T 的 合力与支持力 FN 平衡.观察图中的特点,可以看出力的矢量三角形 ABC 与几何三角形 AOO′相似,即: 图 8—3

T mg = l h+R

FN mg = R h+R
图 8—3—甲

所以绳的拉力:T=

l mg h+R R mg h+R

′ 小球对大球的压力 FN = FN =

例 4 如图 8—4 所示,质点自倾角为α的斜面上方定点 O 沿 光滑的斜槽从静止开始下滑,为使质点在最短时间内从 O 点到达 斜面,斜槽与竖直方向的夹角β应等于多少? 解析 如图 8—4—甲所示,以经过 O 点的竖直线上的一点 O′ 为圆心,OO′为半径作圆,并使该圆与斜面恰好相切于 A 点,与 OO′延长线交于 B 点.已知从 O 点由静止出发沿倾角不同的光滑斜 图 8—4 面下滑的质点,到达圆周上不同点所需时间相等,显然,质点沿 OA 方向从静止开始滑到斜 面上所需时间比沿其他方向滑到斜面上所需时间短. 连接 O′A,由几何关系得: ∠AO′B=α 所以所用时间最短时,斜槽与竖直方向的夹角 β=α/2 所题也可用极限法求解,读者可试试. 图 8—4—甲 例 5 一条小河,河水以 v1=5m./s 的速度匀速流动, 一条小船在静水中的速度为 v2=4m/s.欲使小船渡河的航 程最短,小船的船头应指向何方向? 解析 若 v1< v2,可垂直渡河,船程最短.但本题 v1> v2,小船就不能垂直渡河.但欲使航程最短,则应 使合速度方向与河岸夹角最大. 图 8—5 根据矢量合成的三角形法,v1,v2,v 合 ,构成封闭三角形,作图如 8—5 所示,作有向 线段 OA 表示河水流速 v1,以表示 v2 的有向长度为半径,以 A 为圆心画圆,过 O 该圆的切 线,切点为 B,作有向线段 AB,有向线段 AB 的方向就是所求的方向.由直角三角形 AOB, 得: cosθ = v 2 = 4 v1 5 所以θ=37° 即小船的船头应指向上游并沿与上游的河岸成 37°角的方向. 例 6 一木箱重为 G,与地面动摩擦因数为μ,现用斜向 上的力 F 拉木箱使之沿水平地面匀速前进,如图 8—6 所示. 求拉力 F 与水平方向夹角为何值时拉力最小?这个最小值多大? 解析 木箱受重力 G,弹力 N,摩擦力 f 及拉力 F 四个力 的作用,但此题也可以把木箱看做只受三个力作用,即重力 G, 拉力 F 和摩擦力 f 与支持力 N 的合力 F′,设 F′与 N 的夹角 为 ,则 tan = 图 8—6

f = ,再应用矢量三角形求解 N

图 8—6—甲 图 8—6—乙 木箱受力情况如图 8—6—甲所示,已知 G 的大小和方向,F′的方向,显然,要使封 闭的矢量三角形中 F 值最小,只有由 G 的端点作 F′的作用线的垂线时,F 值最小,如图 8 —6—乙所示,此时 F 的最小值为 Fmin=Gsin( ) 其中 = arctan ,所以最小的拉力 F 与水平方向的夹角为 θ = = arctan . 例 7 如图 8—7 所示,一带电质点,质量为 m,电量为 q, 以平行于 Ox 轴的速度 v 从 y 轴上的 a 点射入图中第一象限所示 的区域,为了使该质点能从 x 轴上的 b 点以垂直于 Ox 轴的速度

v 射出,可在适当的地方加一个垂直于 xy 平面,磁感应强度为
B 的匀强磁场.若此磁场仅分布在一个圆形区域内,试求这圆形 磁场区域的最小半径.重力忽略不计. 图 8—7 解析 当带电质点以垂直于磁场方向的速度 v 进入磁场,在磁场中将做匀速圆周运动, 由此要从 a 点进入从 b 点射出其圆轨道为

1 圆弧,因而可用作图法求解. 4 1 圆轨 4

过 a 点作平行 Ox 轴的直线,过 b 作平行 Oy 的直线,两直线相 交于 c 点,如图 8—7—甲所示,可见只要能保证带电质点的

道处在匀强磁场中,即可使带电质点从 b 点射出,由此可知,磁场 区域有一最小值,其最小半径为
2

1 圆形轨道两个端点连线的一半,即: 图 8—7—甲 4

由 Bqv = m v 可得粒子在磁场中的偏转半径为 r = mv r Bq 所加磁场的最小半径为 R =
2 2 mv r= 2 2 qB

例 8 图 8—8 中 AB 表示一横放的平面镜,P1P2 是水平放 置的米尺(有刻度的一面朝着平面镜) MN 是屏,三者互相平 , 行,屏 MN 上的 ab 表示一条直缝(即 a,b 之间是透光的).某 人眼睛紧贴米尺上的小孔 S(其位置见图) ,可通过平面镜看到 米尺上的一部分刻度.试在本题的图上用三角板作图求出可看到 的部分,并在 P1P2 上把这部分涂以标志 . 解析 根据物像位置镜面对称可知:人眼通过平面镜看到 的米尺刻度范围,好像人眼在平面镜中的像直接去看刻度范围, 不过要受到挡板 MN 的像 M′N′的阻挡,所以先将眼睛在平面 图 8—8—甲 镜中成像点 S′作出, 再作出挡板 MN 在平面镜中的像 M′N′, 如图 8—8—甲, 其中 a ′b ′ 是 连接 S ′a ′ 并延长交 AB, 1P2 于 c ,d 两点, P 再作 S ′ 和 b 的 挡板上的缝 ab 在平面镜中的像, 连线交 AB 于 E 点, 并延长后交 P1P2 于 F 点, dF 即为人眼通过平面镜和挡板后能看到的 则 图 8—8

刻度范围. 例 9 光线透过空气中的平行平面厚玻璃板,问下图 9—9 所示四种情形中哪一种是正 确的? 解析 根据光的折射定律, 光由光疏介质进入光密介质时, 光线要向着法线的方向偏析, 相反时,向远离法线的方向偏折,且在传播中光路是可逆的. 由上分析可知, (2)图是正确的.

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i<r 图 8—9

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