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2013数学新课标人教版教学案 3.2 导数的应用(教师版)


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【考纲解读】 1. 了解函数的单调性与导数的关系; 能利用导数研究函数的单调性, 会求函数的单调区间 (其 中多项式函数一般不超过三次). 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其 中多项式函数一般不超过三次),会求在闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数 一般不超过三次). 3.生活中的优化问题:会利用导数解决某些实际问题. 4.定积分与微积分基本定理(理科) (1)了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念. (2)了解微积分基本定理的含义. 【考点预测】 高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为: 1.导数是历年来高考重点内容之一,导数的应用的考查,选择题、填空题与解答题的形式都有 可能出现,在考查导数知识的同时,又考查函数思想、数形结合思想和分类讨论思想解决问题 的能力;对理科考生,高考还会以选择题或填空题的形式考查定积分与微积分基本定理. 2.2013 年的高考将会继续保持稳定,坚持考查导数的应用,理科还会考查定积分与微积分基本 定理,命题形式会更加灵活. 【要点梳理】 1.(函数单调性的充分条件)设函数 y=f(x)在某个区间内可导,如果 f /(x)>0,则 f(x)为增函数;如果 f /(x)<0,则 f(x)为减函数. 2.(函数单调性的必要条件) 设函数 y=f (x)在某个区间内可导,如果 f(x)在该区间上单调递增(或递 减),则在该区间内 f /(x)≥0(或 f /(x)≤0). 3.利用导数判断函数单调性的一般步骤: (1)求导数 ;(2)在定义域内解不等式 或 ;(3)确定单调区间.

4.如果一个函数在某一范围内导数的绝对值越大,那么函数在这个范围内变化越快,这时,函数 的图象就越陡峭. 5.(1)函数的极值的概念: 函数 y=f(x)在点 x=a 的函数值 f(a)比它在 x=a 附近的其他点的函数值都小, f/ (a)=0;而且在点 在 x=a 附近的左侧 ,右侧 ,点 a 叫做函数 y=f(x)的极小值点, f(a)叫做函数 y=f(x)

的极小值. 函数 y=f(x)在点 x=b 的函数值 f(b)比它在 x=b 附近的其他点的函数值都大, f/ (b)=0;而且在点在 x=b 附近的左侧 ,右侧 ,点 b 叫做函数 y=f(x)的极大值点, f(b)叫做函数 y=f(x)

的极大值.极小值点,极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值. (2)求函数极值的步骤: ①求导数 ;②求方程 的根;

③检查 f/ (x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在这个根处取极大值,如果左负右 正, 那么 f(x)在这个根处取极小值. 6.函数的最大值与最小值
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在闭区间[a,b]上连续,在(a,b)内可导.f(x)在[a,b]上,求最大值和最小值的步骤: (1)求 (2)将 在区间 的各极值与 内的极值; 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.

7.生活中的优化问题(即利用导数解决实际问题中的最值问题) (1)在求实际问题的最大(小)值时,一定要注意考虑实际问题的意义,不符合实际问题的值应舍去. (2)在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使 f/ (x)=0 的情形,那么不与端点值比较, 也可以知道这就是最大(小)值. (3)在解决实际优化问题中,不仅要注意将问题中涉及的自变量的函数关系式给予表示,还应确 定函数关系式中自变量的定义区间. 8.(理科)(1)函数定积分的定义:设函数 y=f(x)定义在区间[a,b]上,用分点 a=x0<x1<x2…xn=b.把区间 [a,b]分为 n 个小区间,其长度依次为 者,当 = ,i=0,1,2,…n-1.记 为这些小区间长度的最大 ,作和式

趋近于 0 时,所有的小区间长度都趋近于 0.在每个小区间内任取一点

.当

0 时,如果和式的极限存在,我们把和式

的极限叫做函数 f(x)在

区间[a,b]上的定积分,记作

,即

=

,其中 f(x)叫做被积函

数,a 叫做积分下限,b 叫积分上限,f(x)dx 叫做被积式. (2)根据定积分的定义,曲边梯形的面积 S 等于其曲边所对应函数 y=f(x)在区间[a,b]上的定积分, 即 S= . = . = , 其中 F(x)叫做

(3)求定积分与导数互为逆运算;公式

微积分基本定理:如果 F/(x)=f(x),且 f(x)在[a,b]上可积,则 f(x)的一个原函数.

【例题精析】 考点一 利用导数研究函数的单调性 例 1. (2012 年高考浙江卷文科 21 第 1 问)已知 a∈R,函数 求 f(x)的单调区间

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【名师点睛】本题是导数中常规的考查类型主要利用三次函数的求导判定函数的单调区间, 并考查了学生的分析问题的能力. 【变式训练】 1.(2010 年高考辽宁卷文科 21 第 1 问) 已知函数 的单调性。 .讨论函数

考点二

利用导数求函数的极值、最值 在

例 2. (2012 年高考重庆卷文科 17)(本小题满分 13 分)已知函数 处取得极值为 (1)求 a、b 的值;(2)若 有极大值 28,求 在 上的最大值.

【答案】(Ⅰ)

(Ⅱ)

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【变式训练】

2. (2012 年高考陕西卷文科 9)设函数 f(x)=

+lnx 则





A.x=

为 f(x)的极大值点

B.x=

为 f(x)的极小值点

C.x=2 为 f(x)的极大值点 【答案】D

D.x=2 为 f(x)的极小值点

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考点三

利用导数解决实际问题

例 3. (2012 年高考江苏卷 17)如图,建立平面直角坐标系 xOy,x 轴在地平面上,y 轴垂直于 地平面,单位长度为 1 千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程

表示的曲线上,其中 k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点 的横坐标.(1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a 不超 过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.

【变式训练】 3.(2010 年高考山东卷文科 8)已知某生产厂家的年利润 (单位:万元)与年产量 (单

位:万件)的函数关系式为 量为( ) (A)13 万件 (C) 9 万件

,则使该生产厂家获得最大年利润的年产 (B)11 万件 (D)7 万件
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【答案】C 【解析】令导数 ,解得 ;令导数 ,解得 ,

所以函数 在

在区间

上是增函数,在区间

上是减函数,所以

处取极大值,也是最大值,故选 C。 (理科)考点四 定积分 的图象是折线段 ,其中 、

例 4. (2012 年高考上海卷理科 13)已知函数

、 为 .

,函数



)的图象与

轴围成的图形的面积

4.(2012 年高考山东卷理科 15)设 a>0.若曲线 积为 a,则 a=______.

与直线 x=a,y=0 所围成封闭图形的面

【答案】

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【解析】 【易错专区】 问题:求单调区间时,忽视定义域 例.函数 的单调递减区间为

,解得

.

.

【答案】

1.(2009 年高考广东卷 A 文科第 8 题)函数 A. B.(0,3) C.(1,4) D.

的单调递增区间是(

)

w.w.w..c.o. m

2.(2010 年高考江西卷文科 4)若函数 A. B. C.2 D.0

满足

,则

(

)

【答案】B 【解析】 则此函数为奇函数,所以 ,则( (B) (D) 为 为 ) 的极小值点 的极小值点 。

3. (2012 年高考陕西卷理科 7)设函数 (A) (C) 为 为 的极大值点 的极大值点

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4.(2012 年高考新课标全国卷理科 12)设点 则 最小值为( )

在曲线

上,点

在曲线

上,

5. (福建省福州市 2012 年 3 月高中毕业班质量检查)函数 极值,则曲线 在原点处的切线方程是 _____。



处有

(理科)6. (2012 年高考江西卷理科 11)计算定积分

___________

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(理

科)7.(2011 年高考陕西卷理科 11)设 _________ 【答案】1 【解析】

,若

,则

8.(2010 年高考天津卷文科 20)已知函数 f(x)= (Ⅰ)若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;

,其中 a>0.

(Ⅱ)若在区间

上,f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围.

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若 a>2,则

.当 x 变化时,f’(x),f(x)的变化情况如下表:

X f’(x) f(x) +

0 0 极大值 0 极小值 +



等价于

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解不等式组得-5<a<5.因此

.

9. (2011 年高考山东卷 21)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其

中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为

立方米,且

.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千 元,半球形部分每平方米建造费用为 (Ⅰ)写出 .设该容器的建造费用为 千元.

关于 的函数表达式,并求该函数的定义域;

(Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的 .

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【考题回放】

1..(2012 年高考辽宁卷文科 8)函数 y= (A)( 1,1]

x2 ㏑ x 的单调递减区间为( (D)(0,+∞)

)

(B)(0,1] (C.)[1,+∞)

2.(2012 年 高 考 重 庆 卷 理 科 8) 设 函 数

在 R 上可导,其导函数为 )

,且函数

的图像如题(8)图所示,则下列结论中一定成立的是( (A)函数 (B)函数 (C)函数 (D)函数 有极大值 有极大值 有极大值 有极大值 和极小值 和极小值 和极小值 和极小值

函数

有极大值

和极小值

.

3.(2012 年高考重庆卷文科 8)设函数 处取得极小值,则函数



上可导,其导函数 )

,且函数



的图象可能是(

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(理 科)4. (2011 年高考全国新课标卷理科 9)由曲线 的面积为( ) , 直线 及 轴所围成的图形

(A)

(B)4

(C)

(D)6

(

理科)5. (2011 年高考湖南卷理科 6)由直线 封闭图形的面积为( )

与曲线

所围成的

A.

B. 1

C.

D.

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(理科)6.(2011 年高考福建卷理科 5) A.1 B.e-1 C.e 【答案】C 【解析】由定积分的定义容易求得答案.

(e2+2x)dx 等于( D.e+1

)

7.(2012 年高考江苏卷 18 题前 2 问)已知 a,b 是实数,1 和 的两个极值点. (1)求 a 和 b 的值;(2)设函数 的导函数

是函数

,求

的极值点;

8.(2012 年高考山东卷文科 22) 已知函数 底数),曲线 (Ⅰ)求 k 的值;(Ⅱ)求 (Ⅲ)设 ,其中 在点 处的切线与 x 轴平行. 的单调区间; 为

为常数,e=2.71828…是自然对数的

的导函数.证明:对任意

.

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