当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及答案


2014 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题 (4 月 20 日 8:00 至 10:00)

一.填空题(本大题共 10 小题,每小题 7 分,共 70 分) 1.若 x ≥ 2 ,则函数 f ( x ) ? x ?

1 的最小值是 x ?1



2.已知函数 f ( x) ? e x .若

f (a ? b) ? 2 ,则 f (3a) ? f (3b) 的值是



3. 已知数列 ?an ? 是各项均不为 0 的等差数列, 公差为 d , 且满足 an 2 ? S2n?1 , Sn 为前 n 项和,

n ? N* ,则数列 ?an ? 的通项 an ?



4.若函数 f ( x) ? ?

2 ? ?2 x ? 3x, x ≥ 0, 是奇函数,则实数 a 的值是 2 ? 2 x ? ax , x ? 0 ? ?



5. 已知函数 f ( x) ? lg | x ? 则 f ( m) 的值是

10 | .若关于 x 的方程 f 2 ( x) ? 5 f ( x) ? 6 ? 0 的实根之和为 m , 3


6.设 ? 、 ? 都是锐角,且 cos ? ?

3 5 , sin(? ? ? ) ? ,则 cos ? 等于 5 5



7. 四面体 ABCD 中,AB ? 3 ,CD ? 5 , 异面直线 AB 和 CD 之间的距离为 4, 夹角为 60 , 则四面体 ABCD 的体积为 .
o

8 .若满足 ?ABC ? 是 .

?
3

, AC ? 3 , BC ? m 的 △ ABC 恰有一解,则实数 m 的取值范围

9.设集合 S ? ?1, 2,?,8? , A , B 是 S 的两个非空子集,且 A 中的最大数小于 B 中的最小 数,则这样的集合对 ( A, B) 的个数是 .

10. 如果正整数 m 可以表示为 x 2 ? 4 y 2 ( x , y ? Z ), 那么称 m 为 “好数” . 问 1, 2, 3, ?, 2014 中“好数”的个数为 .

二.解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) 11.已知 a , b , c 为正实数, a ? b ? c ,
x y z

1 1 1 ? ? ? 0 ,求 abc 的值. x y z

12 .已知 F 1 , F2 分别是双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点,点 B 的坐标为 a 2 b2 (0, b) ,直线 F1B 与双曲线 C 的两条渐近线分别交于 P ,Q 两点,线段 PQ 的垂直平分 1 线与 x 轴交于点 M .若 MF2 ? F1F2 ,求双曲线 C 的离心率. 2

13.如图,已知 ?ABC 是锐角三角形,以 AB 为直径的圆交边 AC 于点 D ,交边 AB 上的 高 CH 于点 E .以 AC 为直径的半圆交 BD 的延长线于点 G .求证: AG ? AE .

14. (1)正六边形被 3 条互不交叉(端点可以重合)的对角线分割成 4 个三角形.将每个三 角形区域涂上红、蓝两种颜色之一,使得有公共边的三角形涂的颜色不同.怎样分割并 涂色可以使红色三角形个数与蓝色三角形个数的差最大? (2)凸 2016 边形被 2013 条互不交叉(端点可以重合)的对角线分割成 2014 个三角 形.将每个三角形区域涂上红、栏两种颜色之一,使得有公共边的三角形涂的颜色不 同. 在上述分割并涂色的所有情形中, 红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最大值 是多少?证明你的结论.

2014 年全国高中数学联赛江苏赛区 初赛参考答案与评分细则
一. 填空题(本大题每小题 7 分,共 70 分) 1 2 8 3 2n-1 4 -3 5 1 6 7 8 9 10 881

7/3

2 5 25

5 3 (0,3]U 2 3

?

?

769

说明:第 6 题若学生得出

2 5 2 5 2 5 或 , ,本题得 4 分 5 25 5

第 7 题、AC=4,AB=3,CD=5,∠A'AB=60,AC 垂直于平面 CDD'C' S-ACD=0.5*4*5=10 H=AB*sin60=1.5 3 V=S*H/3= 5 3

第 9 题、A 中最大元素为 1,这样的 A 只有 1 个,此时 B 的最小元素至少为 2,则 B 可为 {2345678}的真子集,共有 2^7-1=127 个; 当 A 中最大元素为 2,另外的元素为{1}的子集,这样的 A 只有 2^1=2 个,此时 B 的最小元 素至少为 3,则 B 可为{345678}的真子集,共有 2^6-1=63 个; . 当 A 中最大元素为 7,另外的元素为{123456}的子集,这样的 A 只有 2^6=64 个,此时 B 的 最小元素至少为 8,则 B 为{8}的真子集,共 1 个 因此 A,B 的总数为: (2^7-1)+2(2^6-1)+2^2(2^5-1)+...+2^6(2^1-1) =7*2^7-(1+2+2^2+..2^6) =7*2^7-(2^7-1) =6*2^7+1 =769 第 10 题解析:

二. 解答题(本大题每小题 20 分,共 80 分) 11、 证明:设 a ? b ? c ? p ? 0 ,则 a ? p , b ? p , c ? p ---------10 分
x y z
1 x

1 y

1 z

所以 因为 所以

abc ?p p p? p
1 1 1 ? ? ? 0 x y z

1 x

1 y

1 z

1 1 ? ? x y

1 z

--------------15 分

abc ? p0 ? 1

--------20 分

x2 y 2 12、 设 双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的半焦距长为 c, a b
则点 F , (c,0) 1 , F2 的坐标分别为(-c,0) 从而直线 F1B 的方程为

x y x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 ,双曲线 C : 2 ? 2 ? 1 的渐近线方程为 2 ? 2 ? 0 ?c b a b a b

联立

? x y ? ?1 ? ? ?c b 2 2 2 2 2 ,消去 y 得: b x ? 2a cx ? a c ? 0 ? 2 2 ?x ? y ? 0 ? ? a 2 b2
a 2c c 2 , ) b2 b
------10 分

由韦达定理得:线段 PQ 的中点的坐标为 (

因此,PQ 中垂线的方程是: y ?

c2 c a 2c ? ? (x ? 2 ) b b b
--------------------------------------15 分

上式中,令 y=0,得 M (c ? 另一方面,由 MF2 ?

a 2c , 0) b2

1 F1F2 , 则 M(2c,0) ,或 M(0,0) (舍去) 2
---------------------20 分

a 2c 由此可得: c ? 2 ? 2c ,即 a=b,故 e ? 2 b
13、 证明; 联结 BE,CG
0 因为 AB 为直径,所以 ?AEB ? 90 , BG ? AC

又 EH ? AB 在 ?AEB 中,由射影定理得: AE ? AH ? AB
2

因为 AC 为直径,所以 ?AGC ? 90

0

在 ?AGC 中,由射影定理得: AG ? AD ? AC
2

---------------10 分

因为 ?BDC ? ?BHC ? 90

0

所以 B,C,D,H 四点共圆, 从而由割线定理, AH ? AB ? AD ? AC 所以, AE ? AG ,AE=AG
2 2

--------------15 分 ---------------20 分

14 解: (1)3 条对角线分得 4 个三角形,相邻的两个涂色相异,则既有红色三角形,又有蓝色 三角形。 设红色三角形多于蓝色三角形,则蓝色三角形至少有 1 个,红色三角形最多 3 个,红色 三角形个数与蓝色三角形个数之差不超过 3-1=2 个 如图连接 AC,CE,EA, 三角形 ACE 涂蓝色,其余 3 个三角形涂红色,差为 2 故红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最大值为 2, -------------------------5 分

(2)2013 条互不交叉(端点可以重合)的对角线分割成 2014 个三角形,每个三角形区 域涂红、蓝两种颜色之一,使得有公共边的三角形涂的颜色不同。 设红色三角形多余蓝色三角形,每个蓝色三角形三条边中至少有一条对角线,即三条边 中对角线的条数只能为 1,2 或 3, 每条对角线只属于一个蓝色三角形, 设边中恰含 k (k=1,2,3) 条对角线的蓝色三角形个数为 mk,则对角线条数

m1 ? 2m2 ? 3m3 ? 2013
3m1 ? 3m2 ? 3m3 m1 ? 2m2 ? 3m3 2013 ? ? ? 671 3 3 3 红色三角形个数 ? 2013 ? 671 ? 1343
蓝色三角形个数 m1 ? m2 ? m3 ? 红色三角形个数与蓝色三角形个数之差 ? 1343-671=672 -------------10 分 注意到凸 6 边形中红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最大值为 2,此时 6 边形的 边均为红色 假定凸 3k 边形中,红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最大值为 k 且凸 3k 边形的 边均为红色, 则凸 3 (k+1) 边形 A 1 A2 A 3 ...... A 3k A 3k +1 A 3k+2 A 3k ?3 中的凸 3k 边形 A 1 A2 A 3 ...... A 3k 按假定涂色,红色三角形个数与蓝色三角形个数之差最大值为 k 且边 A1 A3k 为红色。

如图,则 ?A 1A 3k A 3k+2 区域涂蓝色, ?A 1A 3k ?2 A 3k+3 区域涂 3k A 3k ?1 A 3k+2 区域涂红色, ?A 红色,凸 3(3k+1)边形中红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的值为 k+2-1=k+1 即按上述方法涂色,凸 2016 边形中红色三角形的个数与蓝色三角形个数之差为

2016 ? 672 3
所以凸 2016 边形中红色三角形的个数与蓝色三角形个数之差的最大值为 672. ---------------------------------------20 分


相关文章:
2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及答案
证明你的结论. 2014 年全国高中数学联赛江苏赛区 初赛参考答案与评分细则一. 填空题(本大题每小题 7 分,共 70 分) 1 2 8 3 2n-1 4 -3 5 1 6 7 ...
2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析
2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析_学科竞赛_高中教育_教育专区。2005-2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析整理 高一数学竞赛训练试题(3)一.填空题(...
2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及答案
2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。 文档贡献者 透明的海草 贡献于2014-04-26 1/2 相关文档推荐 ...
2012-2014高中数学联赛江苏赛区初赛试卷及答案(word版本)
2012-2014高中数学联赛江苏赛区初赛试卷及答案(word版本)_学科竞赛_高中教育_教育...cd ? 0 的两个根.证明:存在边 2013 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题 一...
2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题
2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题_学科竞赛_高中教育_教育专区。2014 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题 一.填空题(本大题共 10 小题,每小题 7 分,共...
2014年全国高中数学联赛(江苏赛区)初赛试题真题
2014年全国高中数学联赛(江苏赛区)初赛试题真题_学科竞赛_高中教育_教育专区。2014 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 一、填空题(本题共 10 小题,满分 70 分,...
2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题 Word版含答案
2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题 Word版含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题 Word版含答案2014...
2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷及答案
2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷及答案_学科竞赛_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载 2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷及答案_学科竞赛_高中...
2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷(含答案)
2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷(含答案)_学科竞赛_高中教育_教育专区。...如图,在平面直角坐标系 xOy 中,圆 O1、圆 O2 都与直线 l:y=kx 及 x ...
更多相关标签:
华杯赛初赛试题及答案 | 创联赛海外赛区确认 | 2016数学建模江苏赛区 | 富联赛西南赛区 | 中乙联赛山东赛区 | 2016乒超联赛安徽赛区 | 中国女排联赛云南赛区 | lol高校联赛长沙赛区 |