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2015年罗田一中高二(18)班测试题(4)


2015 年罗田一中高二实验 A 班数学滚动测试题(四)
时间:120 分钟 满分:150 分+30 分 命题人:陈清华

一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1. 设 a ? 0.7 , b ? 0.8 , c ? log3 0.7 ,则 a, b, c 之间的大小关系是( )


A. c ? b ? a B. c ? a ? b C. a ? b ? c D. b ? a ? c
1 2 1 2

2. 在函数 y ? sin x 、 y ? sin( x ?
的个数为( ) A.1 B.2

2? 2? x x ) 、 y ? cos( 2 x ? ) 、 y ? sin 2 ? cos 2 中,最小正周期为 ? 的函数 3 3 2 2
C.3 D.4

3.已知角 ? 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴正半轴重合,终边在直线 3 x ? y ? 0 上,则 3? sin( ? ? ) ? 2 cos(? ? ? ) 2 等于 ( )

sin( ? ? ) ? sin(? ? ? ) 2
A. ?

?

3 2

B.

3 2

C. 0

D.

2 3

4.将函数 f ( x) ? cos 2 x ( x ? R )的图象沿向量 a 平移后,所得曲线对应的函数在区间 [
增,且在该区间的最大值为 1 ,则向量 a 可能是( ) A. (?

?
3

,

2? ] 内单调递 3

?
6

,

1 ) 2

B. (

?
6

,

1 ) 2

C. (

?
3

,

3 ) 2

D. (?

?
3

,

3 ) 2

5.已知角 ? 的终边经过点 (?1, 3) ,则对函数 f ( x ) ? sin ? cos 2 x ? cos ? cos( 2 x ?
A.对称中心为 (

?
2

) 的表述正确的是( )

11 ? , 0) 12

B.函数 y ? sin 2 x 向左平移

?
3

个单位 可得到 f ( x )

C. f ( x ) 在区间 ( ?

? ?

, ) 上递增 3 6

D. 方程f ( x ) ? 0在 ?- ? , 0? 上有三个零点

? 5 ? 6

? ?

6.已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx 满足:对于实数 a 的某些值,可以找到相应正数 b ,使得 f ? x ? 的定义域与值域相
同,那么符合条件的实数 a 的个数是( A.1 个 B. 2 个 ) C. 3 个 D.不存在

7.已知定义域为 R 的函数 f ( x) ?
为 6,则 a ? ( ) A.1 B.2

2a ? a cos x ? 3sin x (a ? R) 有最大值和最小值,且最大值与最小值的和 2 ? cos x
C.3
1

D.4

8.阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为 (

)

A.7

B.9

C.10

D.11

9.某工厂产生的废气经过过滤后排放,过滤过程中废气的污染物数量 Pmg / L 与时间 th 间的关系为 ? kt .若在前 5 个小时消除了 10% 的污染物,则污染物减少 50% 所需要的时间约为( )小时.(已 P?P 0e 知 lg 2 =0.3010, lg 3 =0.4771)
A.26 B.33 C.36 D.42

10.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下 周八尺,高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分 之一),米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧度为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆 放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放斛的米约有( )

A.14 斛

B.22 斛

C.36 斛

D.66 斛

?n( A) ? n( B),当n( A) ? n( B) 11.用 n( A) 表示非空集合 A 中的元素个数,定义 A ? B ? ? ,若 ?n( B) ? n( A),当n( A) ? n( B) A ? {x | x2 ? ax ?14 ? 0, a ? R}, B ? {x || x2 ? bx ? 2014 |? 2013, b ? R} ,设 S ? {b | A ? B ? 1} ,则 n( S ) 等于( )
A.4 B.3 C.2 D.1

1 2 12.函数 g ( x) ? log2 x ( x ? ) ,关于 x 的方程 g ( x) ? m g ( x) ? 2m ? 3 ? 0 恰有三个不同实数解,则实数 2

m 的取值范围为( )
A. (??, 4 ? 2 7) ? (4 ? 2 7, ??) B. (4 ? 2 7, 4 ? 2 7) C. ( ? , ? )

3 2

4 3

D. ? ? , ? ? 2 3

? 3 ?

4? ?

2

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 13.已知 f ?x ? ? log2 x 2 ? 2 x ? 3 的单调增区间为

?

?



14.某同学在借助计算器求“方程 lg x ? 2 ? x 的近似解(精确到 0. 1)”时,设 f ? x ? ? lg x ? 2 ? x ,算得

f ?1? ? 0, f ? 2? ? 0 ;在以下过程中,他用“二分法”又取了 4 个 x 的值,计算了其函数值的正负,并得出判 断:方程的近似解是 x ? 1.8 .那么他又取的 x 的 4 个值分别依次
是 .
2

15.已知函数 f ( x) ? 2 x

? 2 ax ? a

? 1 .当 a ? 1 时不等式 f ( x) ? 1 的解集是


;若函数 f ( x) 的定义域为

R ,则实数 a 的取值范围是

16. 在平面四边形 ABCD 中, ?A ? ?B ? ?C ? 75?, BC ? 2, 则 AB 的取值范围是 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

.

17. (本题满分 10 分)某厂家拟在 2015 年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产 k 量) x 万件与年促销费用 m 万元 ? m ? 0? 满足 x ? 3 ? ( k 为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年 m ?1
销售量只能是 1 万件.已知 2015 年生产该产品的固定投入为 8 万元.每生产一万件该产品需要再投入 16 万 元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分 资金). (1)将 2015 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数; (2)该厂家 2015 年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?

18. (本题满分 12 分)如图,有一直径为 8 米的半圆形空地,现计划种植甲、乙两
种水果,已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的 5 倍,但种 植甲水果需要有辅助光照.半圆周上的 C 处恰有一可旋转光源满足甲水果生长的 ? ? 需要,该光源照射范围是 ?ECF ? ,点 E , F 在直径 AB 上,且 ?ABC ? .
6 6

C

(1)若 CE ? 13 ,求 AE 的长; (2)设 ?ACE ? ? ,求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积.

A

E

F

B

19. (本题满分 12 分)在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 A? B 3 2 cos 2 cos B ? sin(A ? B) sinB? cos(A ? C) ? ? . 2 5 uur uuu r (1)求 cos A 的值;(2)若 a ? 4 2, b ? 5 ,求向量 BA在BC 方向上的投影.

3

2 20. (本题满分 12 分) S n 为数列{ an }的前 n 项和.已知 an >0, an ? 2an = 4 S n ? 3 .

(Ⅰ)求{ an }的通项公式: (Ⅱ)设 bn ?
1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 an an?1

21 (本题满分 12 分)如图,,四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=120° ,E,F 是平面 ABCD 同一侧的 两点,BE⊥平面 ABCD,DF⊥平面 ABCD,BE=2DF,AE⊥EC。 (1)证明:平面 AEC⊥平面 AFC (2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值

22. (本题满分 12 分)已知椭圆 C: 9 x2 ? y 2 ? m2 (m ? 0) ,直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴, l 与
C 有两个交点 A, B ,线段 AB 的中点为 M .

(1)证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值.

?m ? (2)若 l 过点 ? , m ? ,延长线段 OM 与 C 交于 P 点,四边形 OAPB 能否为平行四边形?若能,求此时 ?3 ?
l 的斜率;若不能,说明理由.

4

2015 年罗田一中高二实验 A 班数学滚动测试题(四) 附加题
23.(本题满分 10 分)已知过点 A(0,1) 且斜率为 k 的直线 l 与圆 C : ( x ? 2) 2 ? ? y ? 3? ? 1 交于 M , N 两点
2

(1)求 k 的取值范围; ???? ? ???? (2)若 OM ? ON ? 12 ,其中 O 为坐标原点,求 MN

5

24.(本题满分 20 分)在椭圆中定义:过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦,叫做椭圆的通径.如 x2 y 2 1 图,已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,其离心率为 ,通径长为 3. 2 a b
(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点, I1、I 2 分别为 ?F1BF2、?F1 AF2 的内心,延长 BF2 交椭圆于点 M . (ⅰ)求四边形 F1I 2 F2 I1 与 ?AF2 B 的面积的比值 p ;

y

B

???? ? ??? ? (ⅱ)在 x 轴上是否存在定点 C ,使 CM ? CB 为常数?
若存在,求出点 C 的坐标;若不存在,说明理由.

F1 I2
A

I o1 F2
M

x

6

竞赛题选编 2
1. 设 ?ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,且 2a cos C ? 2b ? c . (Ⅰ)求角 A 的大小;(Ⅱ)若 a ? 1 ,求 b ? c 的取值范围.

D 在棱 B1C1 上,且 2 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?BAC ? 90? , AB ? a , AC ? 2 , AA 1 ? 1 .点

.

B1D : DC1 ? 1: 3 .
? (Ⅰ)证明: BD ? AC 1 ; (Ⅱ)当 ? 为何值时,二面角 B ? A 1D ? B 1 的大小为 60 ?

A1 B1
D A

C1

C
B

7

8

2015 年罗田一中高二实验 A 班数学滚动测试题(四)
时间:120 分钟 满分:150 分 命题人:陈清华

二. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1. 设 a ? 0.7 , b ? 0.8 , c ? log3 0.7 ,则 a, b, c 之间的大小关系是( )
A. c ? b ? a 【答案】B 【解析】 y ? x 2 是增函数,所以 0 ? a ? b ? 1, c ? 0 ,所以 c ? a ? b . 考点:1.幂函数;2.对数.
1
1 2 1 2

B. c ? a ? b

C. a ? b ? c

D. b ? a ? c

2. 在函数 y ? sin x 、 y ? sin( x ?
的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4

2? 2? x x ) 、 y ? cos( 2 x ? ) 、 y ? sin 2 ? cos 2 中,最小正周期为 ? 的函数 3 3 2 2

【答案】B 【解析】 y ? sin x 不是周期函数, y ? sin( x ?

2? 2? ) 的周期为 2? , y ? cos( 2 x ? ) 的周期为 ? , 3 3

y ? sin 2

x x ? cos 2 ? cos x 周期为 ? 2 2

考点:三角函数周期性

3.已知角 ? 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴正半轴重合,终边在直线 3 x ? y ? 0 上,则 3? sin( ? ? ) ? 2 cos(? ? ? ) 2 等于 ( )

sin( ? ? ) ? sin(? ? ? ) 2
A. ?

?

3 2

B.

3 2

C. 0

D.

2 3

【答案】B

3? ? ? ) ? 2cos(? ? ? ) ? cos ? ? 2cos ? ?3 3 2 【解析】由角的定义可知 tan ? ? 3 , ? ? ? ? cos ? ? sin ? 1 ? tan ? 2 sin( ? ? ) ? sin(? ? ? ) 2 sin(
考点:1.三角函数定义;2.诱导公式;3.同角间的三角函数关系

9

4.将函数 f ( x) ? cos 2 x ( x ? R )的图象沿向量 a 平移后,所得曲线对应的函数在区间 [
增,且在该区间的最大值为 1 ,则向量 a 可能是( ) A. (?

?
3

,

2? ] 内单调递 3

?
6

,

1 ) 2

B. (

?
6

,

1 ) 2

C. (

?
3

,

3 ) 2

D. (?

?
3

,

3 ) 2

【答案】D

1 ? 2? ?? 1 ? ) 平移后得 f ? x ? ? cos ? 2 x ? ? ? ,在 [ , ] 上只有增 6 2 3 3 3? 2 ? ? 1 ? 2? ?? 1 ? ] 上只有减区间,按 C 区间,最大值不是 1,按 B 项 ( , ) 平移后得 f ? x ? ? cos ? 2 x ? ? ? ,在 [ , 6 2 3 3 3? 2 ? ? 3 ? 2? ? 3 2? ? 3 ? ] 上只有减区间,按 D 项 (? , ) 平移后得 项 ( , ) 平移后得 f ? x ? ? cos ? 2 x ? ? ,在 [ , ? 3 2 3 3 3 2 3 ? 2 ? ? 2? 2? ? 3 ? f ? x ? ? cos ? 2 x ? ? ? ,在 [ 3 , 3 ] 上只有增区间,最大值为 1 3 ? 2 ?
【解析】将四个选项依次代入:按 A 项 (?

?

,

考点:三角函数图像平移与性质

5.已知角 ? 的终边经过点 (?1, 3) ,则对函数 f ( x ) ? sin ? cos 2 x ? cos ? cos( 2 x ?
A.对称中心为 (

?
2

) 的表述正确的是( )

11 ? , 0) 12

B.函数 y ? sin 2 x 向左平移 C. f ( x ) 在区间 ( ?

?
3

个单位 可得到 f ( x )

? ?

, ) 上递增 3 6

D. 方程f ( x ) ? 0在 ?- ? , 0? 上有三个零点 【答案】B 【解析】由题可知,将 f(x)化简得, f ( x ) ? cos( 2 x ?

? 5 ? 6

? ?

?
6

) ,由三角函数的性质知,其对称中心应满足

k? ? ,0) ,故 A 错误,递增区间为 ? ? ? 2k? ? 2 x ? ? 2k? ,解得递 6 2 6 2 6 7? ? 5 ? k? , k? ? ] ,故 C 错误,方程 f ( x) ? 0 在 [ ? ? ,0] 上有两个零点,根据图像移动的原则, 增区间为 [? 6 12 12 2x ?

?

?

?

? k? ,解得对称中心为 (

?

?

只有 B 成立。 考点:三角函数的性质

6.已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx 满足:对于实数 a 的某些值,可以找到相应正数 b ,使得 f ? x ? 的定义域与值域相
同,那么符合条件的实数 a 的个数是( A.1 个 B. 2 个 C. 3 个 ) D.不存在
10

【答案】B 【解析】当 a ? 0 时 f ? x ? 的定义域与值域均为 ?0, ??? ,符合题意;,当 a ? 0 时定义域为

?b2 b b? ? a ? 0 [0, ? ] ,值域为 ,不符合题意; , 当 时 , 定义域为 , 值域为 [0, ] ,由 0, ?? ?? , ? ? 0, ?? ? ? f x ? ? ? ? ? a a? 4a ? ? b ?b2 可得 a ? ?4 ,故选 B. ? ? a 4a
7.已知定义域为 R 的函数 f ( x) ?
为 6,则 a ? ( ) A.1 【答案】C 【解析】 f ( x) ? B.2 C.3

2a ? a cos x ? 3sin x (a ? R) 有最大值和最小值,且最大值与最小值的和 2 ? cos x
D.4

2a ? a cos x ? 3 sin x 3 sin x 3 sin x ?a? ,构造函数 h( x ) ? ,因为 2 ? cos x 2 ? cos x 2 ? cos x 3 sin(? x) 3 sin x h( ? x ) ? ?? ? ?h( x) ,所以 h(x)为奇函数,所以 h( x) max ? ?h( x) min ,所以 2 ? cos(? x) 2 ? cos x f ( x) max ? f ( x) min ? a ? h( x) max ? a ? f ( x) min ? 2a ? 6 ,因此 a ? 3 ,答案选 C.

考点:函数性质的应用

8.阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为 (

)

A.7 【答案】B

B.9

C.10

D.11

【解析】 i ? 1, s ? 0 运行第一次, s ? lg

1 , s ? ?1 不成立; 3

1 3 1 i ? 3 , 运行第二次, s ? lg ? lg ? lg , s ? ?1 不成立; 3 5 5 1 5 1 i ? 5 ,运行第三次, s ? lg ? lg ? lg , s ? ?1 不成立; 5 7 7

1 7 1 i ? 7 ,运行第四次, s ? lg ? lg ? lg , s ? ?1 不成立; 7 9 9
1 9 1 i ? 9 ,运行第五次, s ? lg ? lg ? lg , s ? ?1 成立; 9 11 11

输出 i 的值 9,结束
11

故选 B. 考点:1、对数的运算;2、循环结构. 9.某工厂产生的废气经过过滤后排放,过滤过程中废气的污染物数量 Pmg / L 与时间 t 小时之间的关系为 ? kt .若在前 5 个小时消除了 10% 的污染物,则污染物减少 50% 所需要的时间约为( )小时.(已 P?P 0e 知 lg 2 =0.3010, lg 3 =0.4771)
A.26 【答案】B
? kt ?5k 【解析】由题意。前 5 个小时消除了 10%的污染物,? P ? Pe ,? k ? ? ln 0.9 , ,??1?10%? P 0 0 ? Pe 0

B.33

C.36

D.42

1 5

所以 P ? P 0e

t ln 0.9 5

,当 P ? 50% P 0 ? P 0e 0 时,有 50% P

t ln 0.9 5

t 5ln 0.5 ,? ln 0.9 ? ln 0.5,? t ? ? 33 ,即污染物减 5 ln 0.9

少 50%需要花 33 h ,故选 B。 考点:函数模型的选择与应用

10.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下 周八尺,高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分 之一),米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧度为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆 放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放斛的米约有( )

A.14 斛 【答案】B

B.22 斛

C.36 斛

D.66 斛

12

?n( A) ? n( B),当n( A) ? n( B) 11.用 n( A) 表示非空集合 A 中的元素个数,定义 A ? B ? ? ,若 ?n( B) ? n( A),当n( A) ? n( B) A ? {x | x2 ? ax ?14 ? 0, a ? R}, B ? {x || x2 ? bx ? 2014 |? 2013, b ? R} ,设 S ? {b | A ? B ? 1} ,则 n( S ) 等于( )
A.4 B.3 C.2 D.1

【答案】A 【解析】 x2 ? ax ?14 ? 0 中 ? ? a 2 ? 56 ? 0 ,有两个根,? S ? {b | A ? B ? 1}? B 中有 1 个或 3 个根,

| x2 ? bx ? 2014 |? 2013 化为 x2 ? bx ? 1 ? 0, x2 ? bx ? 4027 ? 0 ,当 B 中有 1 个元素时 b ? 2, b ? ?2 ,当 B 中
有 3 个元素时 ? ? b2 ? 4 ? 4027 ? 0?b ? ?2 4027 ? S ? {b | A ? B ? 1} ? ?2, ?2 4027 ? n( S ) ? 4 考点:1.集合新定义;2.二次方程的根;3.分情况讨论思想

?

?

1 2 12.函数 g ( x) ? log2 x ( x ? ) ,关于 x 的方程 g ( x) ? m g ( x) ? 2m ? 3 ? 0 恰有三个不同实数解,则实数 2

m 的取值范围为( )
A. (??, 4 ? 2 7) ? (4 ? 2 7, ??) C. ( ? , ? ) 【答案】D 【解析】设 g ?x ? ? t ? 0 ,方程为: t 2 ? mt ? 2m ? 3 ? 0 ,方程有两个不等实根 t1 和 t 2 ,根据 g ?x ? ? t ? 0 的 B. (4 ? 2 7, 4 ? 2 7)

3 2

4 3

D. ? ? , ? ? 2 3

? 3 ?

4? ?

, ? ?? , 图像,可得 g?x? ? t1 ,和 g ?x? ? t 2 有三个不同交点,所以,根据数形结合分析, t1 ? ?0,1? , t 2 ? ?1
所以设函数 y ? t 2 ? mt ? 2m ? 3 , ?

? f ?0? ? 2m ? 3 ? 0 3 4 ,解得 - ? m ? ? 2 3 ? f ?1? ? 3m ? 4 ? 0

考点:1.函数的图像;2.数形结合解决方程实根问题.

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 13.已知 f ?x ? ? log2 x 2 ? 2 x ? 3 的单调增区间为
【答案】 ?3,???
13

?

?



【解析】本函数的定义域由不等式 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 来确定,解得为 ?? ?,?1? ? ?3,??? ;本函数是由函数 间 ?3,??? ,综上函数 f ?x ? ? log2 x 2 ? 2 x ? 3 的单调增区间为 ?3,??? . 考点:1.复合函数的单调性;

? ? x2 ? 2x ? 3 和 y ? log2 ? 复合而成.因为 y ? log2 ? 为定义域上的增函数, ? ? x2 ? 2x ? 3 的增区间是区

?

?

14.某同学在借助计算器求“方程 lg x ? 2 ? x 的近似解(精确到 0. 1)”时,设 f ? x ? ? lg x ? 2 ? x ,算得

f ?1? ? 0, f ? 2? ? 0 ;在以下过程中,他用“二分法”又取了 4 个 x 的值,计算了其函数值的正负,并得出判 断:方程的近似解是 x ? 1.8 .那么他又取的 x 的 4 个值分别依次
是 【答案】1.5, 1.75, 1.875, 1.8125 【解析】根据“二分法”的定义,最初确定的区间是 ?1, 2 ? ,又方程的近似解是 x ? 1.8 ,故后 4 个区间分别是 .

?1.5,2? , ?1.75,2? , ?1.75,1.875? , ?1.75,1.8125? ,故它去的 4 个值分别为 1.5, 1.75, 1.875, 1.8125.
考点:二分法的定义
2

15.已知函数 f ( x) ? 2 x

? 2 ax ? a

? 1 .当 a ? 1 时不等式 f ( x) ? 1 的解集是


;若函数 f ( x) 的定义域为

R ,则实数 a 的取值范围是

【答案】 ?? ?,0? ? ?2,??? ; 0 ? a ? 1 . 【解析】当 a ? 1 时, f ( x) ? 2 x
2

? 2 x ?1

? 1 ? 1 ,即 2x

2

?2 x ?1

? 1 ? 1 ,所以 x 2 ? 2 x ? 1 ? 1 ,即 x ? 2 或 x ? 0 ,即
2

其解集为 ?? ?,0? ? ?2,??? ;因为函数 f ( x) 的定义域为 R ,所以 2x

?2 ax ?a

?1 ? 0 在 R 上恒成立,即

x 2 ? 2ax ? a ? 0 在 R 上恒成立,即 ? ? (?2a)2 ? 4a ? 0 ,解得 0 ? a ? 1 .故应填 ?? ?,0? ? ?2,??? ; 0 ? a ? 1.
考点:1、函数的定义域;2、指数不等式;3、函数恒成立问题;

16. 在平面四边形 ABCD 中, ?A ? ?B ? ?C ? 75?, BC ? 2, 则 AB 的取值范围是 16.

.

?

6 ? 2, 6 ? 2 (2015 年全国卷 1 第 16 题)

?

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本题满分 10 分)某厂家拟在 2015 年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产 k 量) x 万件与年促销费用 m 万元 ? m ? 0? 满足 x ? 3 ? ( k 为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年 m ?1
销售量只能是 1 万件.已知 2015 年生产该产品的固定投入为 8 万元.每生产一万件该产品需要再投入 16 万 元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分 资金). (1)将 2015 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数; (2)该厂家 2015 年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?

14

【答案】(1) y=- ? 润最大为 21 万元.

? 16 ? (2)该厂家 2015 年的促销费用投入 3 万元时,厂家的利 ? (m ? 1) ? +29(m ? 0). ? m ?1 ?

试题分析:(1)本题考察的是函数的实际应用问题,根据题目条件确定产品的年销售量 x 万件与年促销费用 m 万元的函数关系式,根据每件产品的销售价格,即可得到结论. (2)本题考察的是函数的最大值问题,利用基本不等式,求出最大值即可. 试题解析:(1)由题意知,当 m ? 0 时, x ? 1 (万件),

?1 ? 3 ? k ? k ? 2 ,? x ? 3 ?
每件产品的销售价格为 1.5 ? ∴2015 年的利润 y ? 1.5 x ?

2 , m ?1

8 ? 16 x (元), x

8 ? 16 x ? 8 ? 16 x ? m x

=-?

? 16 ? ? (m ? 1) ? +29(m ? 0). ? m ?1 ?
16 ? ? m ? 1? ? 2 16 ? 8 m ?1

(2)? m ? 0,

? y ? ?8 ? 29 ? 21
当且仅当

16 ? m ? 1 ? m ? 3 (万元)时, ymax ? 21 (万元). m ?1

故该厂家 2015 年的促销费用投入 3 万元时,厂家的利润最大为 21 万元 考点:函数的实际应用

18. (本题满分 12 分)如图,有一直径为 8 米的半圆形空地,现计划种植甲、乙两种水果,已知单位面积
种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的 5 倍,但种植甲水果需要有辅助光照.半圆周上的 C 处恰有 ? ? 一可旋转光源满足甲水果生长的需要,该光源照射范围是 ?ECF ? ,点 E , F 在直径 AB 上,且 ?ABC ? .
6 6

C

A

E

F

B

(1)若 CE ? 13 ,求 AE 的长; (2)设 ?ACE ? ? ,求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积.
15

【答案】(1) AE ? 1 或 AE ? 3 ;(2)该地块产生的经济价值最大时种植甲种水果的面积为 4 3 试题分析:(1)在 ?ACE 中,因为 CE ? 13 , AC ? 4 , ?BAC ?

?

3 2 2 2 CE ? AC ? AE ? 2 ACAE cos A ,且 CE ? 13 , AC ? 4 ,所以 13 ? 16 ? AE 2 ? 4 AE ,解得 AE ? 1 或 AE ? 3

,所以由余弦定理

(2)该空地产生最大经济价值等价于种植甲种水果的面积最大,所以用 ?ACE ? ? 表示出 1 3 12 S?ECF ? CE ? CF sin ?ECF ? ? ,再利用三角函数求最值得 S?ECF ? 4 3 ? ? 2 sin( ? ? ) cos ? 2sin(2? ? ) ? 3 3 3 试题解析:(1)连结 AC ,已知点 C 在以 AB 为直径的半圆周上,所以 ?ABC 为直角三角形, 因为 AB ? 8 , ?ABC ?

?
6

,所以 ?BAC ?

?
3

, AC ? 4 ,

在 ?ACE 中由余弦定理 CE 2 ? AC 2 ? AE 2 ? 2 ACAE cos A ,且 CE ? 13 , 所以 13 ? 16 ? AE 2 ? 4 AE , 解得 AE ? 1 或 AE ? 3 ,

C

A

E

F

B
?
6

(2)因为 ?ACB ?

?
2

, ?ECF ?



? 所以 ?ACE ? ? ? [0, ] ,
3

所以 ?AFC ? ? ? ?A ? ?ACF ? ? ? 在 ?ACF 中由正弦定理得:

?

?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? , 3 ? 6? 2

CF AC AC AC ? ? ? sin A sin ?CFA sin( ? ? ? ) cos ? 2

所以 CF ?

2 3 , cos ?

在 ?ACE 中,由正弦定理得:

CE AC AC ? ? sin A sin ?AEC sin( ? ? ? ) 3

所以 CE ?

2 3 sin(

?
3



??)

若产生最大经济效益,则 ? ECF 的面积最大,
16

1 3 12 S?ECF ? CE ? CF sin ?ECF ? ? , ? ? 2 sin( ? ? ) cos ? 2sin(2? ? ) ? 3 3 3

? ? 因为 ? ? [0, ] ,所以 0 ≤ sin(2? ? ) ≤1
3

3

所以当 ? =

?
3

时, S?ECF 取最大值为 4 3 ,此时该地块产生的经济价值最大.

考点:①解三角形及正弦定理的应用②三角函数求最值

19. (本题满分 12 分)在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 A? B 3 2 cos 2 cos B ? sin(A ? B) sinB? cos(A ? C) ? ? . 2 5
(1)求 cos A 的值; (2)若 a ? 4 2, b ? 5 ,求向量 BA在BC 方向上的投影. 【答案】(1) cos A ? ?

uur

uuu r

3 2 (2) 5 2 A? B ,这就是一个切入 2

试题分析:(1)根据 A ? B ? C ? ? 、二倍角公式以及两角和与差的三角函数公式化简即可,三角函数化简 无非就是应用二倍角公式、降幂公式以及两角和与差公式,例如本题中出现 2 cos 2 点;(2)由正弦定理以及余弦定理先求出需要的值,再根据投影的定义求解 试题解析:(1)由 2 cos 2

A? B 3 cos B ? sin( A ? B) sin B ? cos( A ? C ) ? ? ,得 2 5

3 [cos( A ? B) ? 1] cos B ? sin( A ? B) sin B ? cos B ? ? , 5
即 cos( A ? B ) cos B ? sin( A ? B ) sin B ? ? , 则 cos( A ? B ? B ) ? ? ,即 cos A ? ? (2)由 cos A ? ?

3 5

3 5

3 . 5

3 4 , 0 ? A ? ? ,得 sin A ? . 5 5

由正弦定理,有

a b b sin A 2 ? ,所以 sin B ? . ? sin A sin B a 2

由题意知 a ? b ,则 A ? B ,故 B ?

?
4



依余弦定理,有 (4 2 ) 2 ? 5 2 ? c 2 ? 2 ? 5 ? c ? (? ) ,
17

3 5

解得 c ? 1 或 c ? ?7 (舍去). 故向量 BA 在 BC 方向上的投影为 | BA | cos B ?

uur

2 . 2

考点:1.二倍角公式;2.两角和与差的三角函数公式;3.正、余弦定理;4.投影的概念
2 20. (本题满分 12 分) S n 为数列{ an }的前 n 项和.已知 an >0, an ? 2an = 4 S n ? 3 .

(Ⅰ)求{ an }的通项公式: (Ⅱ)设 bn ?
1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 an an?1

1 1 【答案】(Ⅰ) 2n ? 1 (Ⅱ) ? 6 4n ? 6

【解析】 试题分析:(Ⅰ)先用数列第 n 项与前 n 项和的关系求出数列{ an }的递推公式,可以判断数列{ an }是等差
数列,利用等差数列的通项公式即可写出数列{ an }的通项公式;(Ⅱ)根据(Ⅰ)数列{ bn }的通项公式,再 用拆项消去法求其前 n 项和.

试题解析:(Ⅰ)当 n ? 1 时, a12 ? 2a1 ? 4 S1 ? 3 ? 4a1 +3 ,因为 an ? 0 ,所以 a1 =3,
2 2 当 n ? 2 时, an ? an ? an ?1 ? an ?1 = 4 S n ? 3 ? 4 S n ?1 ? 3 = 4an ,即 ( an ? an ?1 )( an ? an ?1 ) ? 2( an ? an ?1 ) ,因为

an ? 0 ,所以 an ? an ?1 =2,
所以数列{ an }是首项为 3,公差为 2 的等差数列, 所以 an = 2n ? 1 ; (Ⅱ)由(Ⅰ)知, bn =

1 1 1 1 ? ( ? ), (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3

1 1 1 1 1 1 1 1 1 所以数列{ bn }前 n 项和为 b1 ? b2 ? ? ? bn = [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( . ? )] = ? 2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 3 6 4n ? 6
考点:数列前 n 项和与第 n 项的关系;等差数列定义与通项公式;拆项消去法

18

21 (本题满分 12 分)如图,,四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=120° ,E,F 是平面 ABCD 同一侧的 两点,BE⊥平面 ABCD,DF⊥平面 ABCD,BE=2DF,AE⊥EC。 (1)证明:平面 AEC⊥平面 AFC (2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值

19


EG 2 ? FG 2 ? EF 2 ,∴EG⊥FG,

∵AC∩FG=G,∴EG⊥平面 AFC, ∵EG ? 面 AEC,∴平面 AFC⊥平面 AEC. ……6 分

??? ? ???? ??? ? (Ⅱ)如图,以 G 为坐标原点,分别以 GB, GC 的方向为 x 轴,y 轴正方向, | GB| 为单位长度,建立

空间直角坐标系 G-xyz,由(Ⅰ)可得 A(0,- 3 ,0),E(1,0,

2 ),F(-1,0,

2 ),C(0, 2

??? ? ??? ? 2 3 ,0),∴ AE =(1, 3 , 2 ), CF =(-1,- 3 , ).…10 分 2
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AE ? CF 3 ? ??? ? ?? 故 cos ? AE , CF ?? ??? . 3 | AE || CF |
3 . 3
20

所以直线 AE 与 CF 所成的角的余弦值为

……12 分

考点:空间垂直判定与性质;异面直线所成角的计算;空间想象能力,推理论证能力

22. (本题满分 12 分)已知椭圆 C: 9 x2 ? y 2 ? m2 (m ? 0) ,直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴, l 与
C 有两个交点 A, B ,线段 AB 的中点为 M .

(1)证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值.
?m ? (2)若 l 过点 ? , m ? ,延长线段 OM 与 C 交于 P 点,四边形 OAPB 能否为平行四边形?若能,求此时 ?3 ?
l 的斜率;若不能,说明理由.

21

2015 年罗田一中高二实验 A 班数学滚动测试题(三) 附加题
23.(本题满分 10 分)已知过点 A(0,1) 且斜率为 k 的直线 l 与圆 C : ( x ? 2) 2 ? ? y ? 3? ? 1 交于 M , N 两点
2

(1)求 k 的取值范围; ???? ? ???? (2)若 OM ? ON ? 12 ,其中 O 为坐标原点,求 MN (2015 年全国卷 1 第 20 题)

22

24.(本题满分 20 分)在椭圆中定义:过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦,叫做椭圆的通径.如 x2 y 2 1 图,已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,其离心率为 ,通径长为 3. 2 a b
(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点, I1、I 2 分别为 ?F1BF2、?F1 AF2 的内心,延长 BF2 交椭圆于点 M . (ⅰ)求四边形 F1I 2 F2 I1 与 ?AF2 B 的面积的比值 p ;

y

B

???? ? ??? ? (ⅱ)在 x 轴上是否存在定点 C ,使 CM ? CB 为常数?
若存在,求出点 C 的坐标;若不存在,说明理由.

F1 I2
A

I o1 F2

x

M 4 2 y2 b c 1 2b (1)由 ? ,得: a =2 c ,又通径长为 3,由 x ? c 代入椭圆方程得 = ,则 =3,解得 a 2 a a2 a ? 2, b ? 3 .椭圆的方程为

x2 y ? ? 1. 4 3
x2 y (2) (ⅰ) 椭圆的方程为 ? ? 1 , c ? 1 ,设 ? F1 BF2 的内切圆的半径为 r ,则 4 3
2

2

S ?F1BF2

=

1 ( BF1 ? BF2 ? F1 F2 ? r ? 3r , 2

y B

S ?F1I1F2


=

1 ? F1 F2 ? r ? r . 2

F1 I2
A

I o1 F2
M

x

S ?F1I1F2



S ?F1BF2

? 1 :3.

(ⅱ)假设在 x 轴上存在定点 C ?n,0? ,使 CM ? CB 为常数,设直线 BM

?

: x ? my ? 1,

联立方程

x?my ?9?0 3 x2 ?4 y 2 ?12?0

得 3m 2 ? 4 y 2 ? 6my ? 9 ? 0.

?

?

① 设

6m 9 , y1 y 2 ? ? , 所以 2 2 3m ? 4 3m ? 4 ?x1 ? n? ?x2 ? n? ? ?my1 ? 1 ? n? ?my2 ? 1 ? n?

B?x1 , y1 ? , M ?x2 , y 2 ? ,则 y1 ? y 2 ? ?

? m 2 y1 y2 ? m?1 ? n? ? y1 ? y2 ? ? ?1 ? n?
?? 9m 2 6m 2 ?1 ? n ? 2 ? ? ?1 ? n ? 2 2 3m ? 4 3m ? 4

2

3m 2 n 3 ? 12m 2 ? 4n 2 ? 8n ? 4 ? . 3m 2 ? 4

23

所以

135 ? 11? CM ? CB ? ? ? ? 4 ? ? . 64 ?8?
? 11 ? ,0 ? ,使 CM ? CB 为常数. ?8 ?

2

故在 x 轴上存在定点 C ?

竞赛题选编 2
1. 设 ?ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,且 2a cos C ? 2b ? c . (Ⅰ)求角 A 的大小;(Ⅱ)若 a ? 1 ,求 b ? c 的取值范围.

D 在棱 B1C1 上,且 2 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?BAC ? 90? , AB ? a , AC ? 2 , AA 1 ? 1 .点

.

B1D : DC1 ? 1: 3 .
? (Ⅰ)证明: BD ? AC 1 ; (Ⅱ)当 ? 为何值时,二面角 B ? A 1D ? B 1 的大小为 60 ?

A1 B1
D A

C1

C
B

24

1.(1)由 2a cosC=2b-c 得 sinAcosC+

1 sinC=sinB. 2

又 sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,所以

1 sinC=cosAsinC. 2
因为 sinC≠0 ,所以 cosA=

1 ? ,又因为 0<A<π , 所以· A= . 2 3

(2)由正弦定理得:b= b+c=

2 (sinB+sinC)= [sinB+sin(A+B)] 3 3 2 1 ? sinB+ cosB)=2sin(B+ ). 2 6 3

2 a sin B 2 = sinB , c= sinC. sin A 3 3 2

=2(

因为 A=

? 2? ? ? 5? ,所以 B?(0, ),所以 B+ ?( , ),所以 3 3 6 6 6

sin(B+

? 1 )?( ,1]. 6 2

故 b+c 的取值范围为(1,2]. 另解 由(1)及余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA,所以 b2+c2=bc+1 所以(b+c)2 =1+3bc ≦ 1+3( 故 b+c 的取值范围为(1,2]. 2.解法一(1)作 DE∥A1B1 交 A1C1 于 E,DE⊥A1C1 .因为 ABC-A1B1C1 为直三棱柱,所以平面 A1B1C1⊥平 面 A1C. 所以 DE ? 平面 A1C 连结 AE ,则 AE ,为 BD 在平面 A1C 的射影,在矩形 A1C1CA 中,计算可得 AE ? A1C , 由三条垂线定理得 BD ? A1C . ⑵作 B1 F ? A1 D ,垂足为 F ,连结 BF, 则 BF ? A1 D, ?BFB 1 为二面角 B ? A 1 D ? B1 的平面角,所以

b?c 2 ) ,b+c≦ 2,又 b+c>a=1. 2

?BFB1 ? 60?, B1 F ?

3 . 3

A1 D ? A1 E 2 ? DE 2 ?
因为 S ?A1B1D ?

9a 2 ? 4 . 4

1 a S ?A1B1C1 ? ,所以 4 4

1 1 9a 2 ? 4 3 a ? A1 D ? B1 F ? ? ? ? 2 2 4 3 4
25

所以 a ?

2 3 . 3 2 3 时,二面角 B ? A1 D ? B1 为 60? . 3

所以当 a ?

解法二 ⑴ 以 A 为坐标原点,分别以 AB 、 AC 、 AA 1 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立在空间直角坐标 系,则

?3 1 ? ? a 1 ? D? a, ,1? ? BD ? ? ? , ,1? . ?4 2 ? ? 4 2 ?

A1C ? ?0,2,?1?
a 1 因为 BD ? A1C ? (? , ,1) ? (0,2,?1) ? 0 , 4 2
所以 BD ? A1C ,即 BD ? A1C
B

A 1 B1
D
A

C1

C

?3 1 ? ⑵ A1 D ? ? a, ,1? , A1 B ? ?a,0,?1? ?4 2 ?
设 n ? ?x, y,1? 为平面 A1 BD 的一个法向量,则 n ? A1 D, n ? A1 B

? ? ?


3 1 ? ? x , y ,1??? ? a , , 0 ? ?0 ?4 2 ? ? x , y ,1?? ? a.0, ?1??0

? ? ?

3 y ax ? ?0 , 4 2 ax ?1?0 ,

? ? 所以 ?

1 x? . a 3 y ?? . 2

故 n ? ? ,? ,1? 又 m ? ?0,0,1? 是平面 A1 B1C1 的一个法向量,

?1 ?a

3 ? 2 ?

26

cos ? m, n ??

m?n ? m?n

1 3 ? ?0,0,1? ? ? ? ,? ,1? ?a 2 ?
2

?1? ? 3? ? ? ? ?? ? ?1 ?a? ? 2?

2

?

1 1 13 ? a2 4
2 3 . 3

? cos60? ?

1 , 2

所以 a ?

所以当 a ?

2 3 时,二面角 B ? A1 D ? B1 为 60? . 3

27


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