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揭阳市2010届高三第二次高考模拟考试(数学理)


揭阳市 2010 年高中毕业班第二次高考模拟考试题
数学(理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座 位号填写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑, 如需改动,用橡皮擦干净后,

再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须填写在答题卡各题目指定区 域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和 涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集 U ? R ,则正确表示集合 M ? {x | x( x ? 1) ? 0} 和 N ? {a | ax ? 1, x ? M } 的关
2

系的韦恩(Venn)图是
U N M U M N U N M U N M

A.

B.

C.

D.

2.已知 {an } 是等差数列, a6 ? a7 ? 20 , a7 ? a8 ? 28 ,则该数列前 13 项和 S13 等于 A.156 3.已知 f ( x) ? A. ?1 ? 2i B.132 C.110 D.100

2x ?1 的导函数为 f '( x) ,则 f '(i) ? ( i 为虚数单位) x2 B. ?2 ? 2i C. ?2 ? 2i D. 2 ? 2i
A1

C1 B1

4. 如图, 三棱柱的侧棱长为 2, 底面是边长为 1 的正三角形,AA1 ? 面A1 B1C1 , 正视图是长为 2,宽为 1 的矩形,则该三棱柱的侧视图(或左视图)的面积为 A. 3 B. 2 3 C. 1 D.

3 2
3 2.5

C A B

x 5.右表提供了某厂节能降耗技术改造后生产 A 产品过程中记录 y 的产量 x(吨)与相应的生产能耗 y(吨标准煤)的几组对应数据.
?

4 t

5 4

6 4.5

根据右表提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程为 y ? 0.7 x ? 0.35 ,那么表中 t 的值为 A.3 B.3.15 C.3.5 D.4.5

6.已知正数 x 、 y 满足 ?

?2 x ? y ? 0 1 ,则 z ? 4? x ? ( ) y 的最小值为. 2 ?x ? 3 y ? 5 ? 0
13 2 4
C.

A.1

B.

1 16

D.

1 32

7. 若椭圆

x2 y 2 则椭圆的离心率 e 的 ? ? 1 (m ? 0, n ? 0) 与曲线 x 2 ? y 2 ?| m ? n | 无交点, m n

取值范围是

A. (

3 , 1) 2

B. (0,

3 ) 2

C. (

2 , 1) 2

D. (0,
?x

2 ) 2

8.若函数 f ( x), g ( x) 分别是 R 上的奇函数、偶函数,且满足 f ( x) ? g ( x) ? e ,则有 A. g (1) ? g (2) ? f (0) C. g (1) ? f (0) ? g (2) B. f (0) ? g (2) ? g (1) D. f (0) ? g (1) ? g (2)

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.
(一)必做题(9~13 题) 9.已知向量 a 、 b 的夹角为 120°,且 | a |=| b |? 2 ,则 a ? (2a - b) 的值为
x



10. 在同一平面直角坐标系中, 已知函数 y ? f ( x) 的图象与 y ? e 的图象关于直线 y ? x 对 称,则函数 y ? f ( x) 对应的曲线在点( e, f (e) )处的切线方程为
4 ( 11 . 设 ( x ? 1 ) x ? 8



2 a 1x 2 1 a 1x ? ?) ? ? 1 0

1

? ? a , 1 则 a 0 ? a2 ? x 2 ? 1

? a1

0

?a

1

2





12.有下列各式: 1 ?

1 1 1 1 3 1 1 1 ? ? 1 , 1 ? ? ? ? ? , 1 ? ? ? ? ? ? 2 ,?? 2 3 2 7 2 2 3 15

则按此规律可猜想此类不等式的一般形式 为: .

13. 2009 年 8 月 15 日晚 8 时开始某市交警一队在该市一交通岗前设点对过往的车辆进行抽 查, 经过两个小时共查出酒后驾车者 60 名, 图甲是对这 60 名酒后驾车者血液中酒精浓度进 行检测后依所得结果画出的频率分布直方图,则其中酒精浓度在 70 mg /100ml (含 70)以 上人数约为 ,统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,图乙的程 序框图是对这 60 名酒后驾车者血液的酒精含量做进一步的统计,则图乙输出的 S 值 为 . (图甲中每组包括左端点,不包括右端点,图乙中数据 mi 与 f i 分别表示图甲

中各组的组中值及频率)

开始 S=0 i =1

频率/组距
0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 0 20 30 40 50 60 70 80 90

输入m i,fi S=S+m i×f i i =i+1 否

酒精含量 (单位:mg/100ml)

i >=7? 是 输出S 结束

图甲

图乙

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选做题)如图,在 ?ABC 中, DE // BC , EF // CD ,若

A F D E

BC ? 3, DE ? 2, DF ? 1 ,则 AB 的长为___________.
15.(坐标系与参数方程选做题) 如果曲线 ?

? x ? a ? 2 cos ? ( ? 为参数)上有且仅有两个点到原点的距 ? y ? a ? 2sin ?

B

C

离为 2,则实数 a 的取值范围是_________.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明,证明过程或 演算步骤.
16. (本题满分 12 分) 设向量 m ? cos x , x) x ? (0, ? ) , n ? (1, ( sin , (1)若 | m ? n |? 5 ,求 x 的值; (2)设 f ( x) ? (m ? n) ? n ,求函数 f ( x) 的值域. 17. (本题满分 12 分) 某射击运动员为争取获得 2010 年广州亚运会的参赛资格正在加紧训练.已知在某次训 练中他射击了 n 枪, 每一枪的射击结果相互独立, 每枪成绩不低于 10 环的概率为 p , ? 为 设 本次训练中成绩不低于 10 环的射击次数, ? 的数学期望 E? ? (1)求 n, p 的值; (2)训练中教练要求:若有 5 枪或 5 枪以上成绩低于 10 环,则需要补射,求该运动员 在本次训练中需要补射的概率. (结果用分数表示.已知: 410 ? 1048576 , 120 ? 33 ? 210 ? 34 ? 252 ? 35 ? 81486 )

?

?

3) .

?

?

?? ? ?

15 15 ,方差 D? ? . 2 8

18. (本题满分 14 分) 如图,△ABC 内接于圆 O,AB 是圆 O 的直径,四边形 DCBE 为平行 四边形,DC ? 平面 ABC , AB ? 2 ,已知 AE 与平面 ABC 所成的角为 ? , 且 tan ? ?

3 . 2

(1)证明:平面 ACD ? 平面 ADE ; (2)记 AC ? x , V ( x ) 表示三棱锥 A-CBE 的体积,求 V ( x ) 的表达式; (3)当 V ( x ) 取得最大值时,求二面角 D-AB-C 的大小.

19. (本题满分 14 分) 已知点 C(1,0) ,点 A、B 是⊙O: x ? y ? 9 上任意两个不同的点,
2 2

y A P B x
O

???? ??? ? 且满足 AC ? BC ? 0 ,设 P 为弦 AB 的中点.
(1)求点 P 的轨迹 T 的方程; (2)试探究在轨迹 T 上是否存在这样的点:它到直线 x ? ?1 的 距离恰好等于到点 C 的距离?若存在,求出这样的点的坐标;若不存在, 说明理由.

C

20. (本题满分 14 分)
2 x 设函数 f ( x) ? ( x ? ax ? b)e ( x ? R) .

(1)若 x ? 1 是函数 f ( x) 的一个极值点,试求出 a 关于 b 的关系式(用 a 表示 b ) ,并 确定 f ( x) 的单调区间; (2)在(1)的条件下,设 a ? 0 ,函数 g ( x) ? (a ? 14)e
2 x?4

.若存在 ?1 , ? 2 ? [0, 4] 使

得 f (?1 ) ? g (? 2 ) ? 1 成立,求 a 的取值范围.

21. (本题满分 14 分) 已知数列 {an } 和 {bn } 满足 a1 ? 2, an ? 1 ? an (an ?1 ? 1) ,bn ? an ? 1 ,数列 {bn } 的前 n 和 为 Sn . (1)求数列 {bn } 的通项公式; (2)设 Tn ? S 2n ? Sn ,求证: Tn ?1 ? Tn ; (3)求证:对任意的 n ? N ? 有 1 ?

n 1 ? S2n ? ? n 成立. 2 2

揭阳市 2010 年高中毕业班第二次高考模拟考 数学试题(理科)参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的 主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后 续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题不给中间分,填空题视具体情况而定. 一.选择题:DADA ACDD

解析:1.由 M ? {1,0, ?1} , N ? {1, ?1} ,知选 D; 2.由 a6 ? a7 ? 20 , a7 ? a8 ? 28 知 4a7 ? 48 ,∴ a7 ? 12 ,故 S13 =13 a7 ? 156 ,选 A; 3.? f '( x) ?

2 x 2 ? 2 x(2 x ? 1) ?2 x 2 ? 2 x ? x4 x4

∴ f '(i) ? 2 ? 2i ,故选 D.

4.根据正视图与左视图的高度相等,俯视图与左视图宽度一样,易知左视图的面积为

2?

3 ? 3 ,故选 A. 2

5.因 a ? y ? bx 由回归方程知 0.35 ? y ? 0.7 x =

2.5 ? t ? 4 ? 4.5 3? 4?5? 6 , ? 0.7 ? 4 4 y
2x-y=0 x-3y+5=0
(1,2)

o

x

解得

t ? 3 ,故选 A.
6.如图易得 2x ? y 的最大值为 4,从而 z ? 4? x ? ( ) y ? ? 最小值为

1 2

?1? ? ?2?

2 x? y



1 选 C. 16
c 2 , ? a 2

7.易知以半焦距 c 为半径的圆在椭圆内部,故 b ? c ? b2 ? c2 ,即 a 2 ? 2c 2 ? 选 D;

8. ? x 代换 x 得: f (? x) ? g (? x) ? e ,即 f ( x) ? g ( x) ? ?e , 用 解得: f ( x) ?
x x

e? x ? e x , 2

g ( x) ?

e x ? e? x , 而 g ( x) 单调递增且 g (1) ? f (0) ,选 D. 2
1 1 1 1 n ?1 ( n? N? ) ; x ; 11.8;12.1 ? ? ? ? ? n ?1 ? e 2 3 2 ?1 2

二. 填空题: 10; 10. y ? 9. 13.9、47;14.



9 ;15. 0 ? a ? 2 2 或 ?2 2 ? a ? 0 . 2
2 ?

解析: 9. a ? (2a - b) ? 2a - ab ? 8 ? 4 ? cos120 ? 10 10.依题意知 f ( x) ? ln x , f '( x) ?

1 1 ,故所求的切线方程为: y ? x . x e

11.令 x ? 1 得 a0 ? a1 ? ? ? a11 ? a12 ? 0 ,令 x ? ?1 得

a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a10 ? a11 ? a12 ? 16
∴ a0 ? a2 ? ? ? a10 ? a12 =8 13.酒精浓度在 70 mg /100ml (含 70)以上人数约为: (0.10 ? 0.05) ? 60 ? 9 , 由图乙知输出的 S ? 0 ? m1 f1 ? m2 f 2 ? ? ? m7 f 7 = 25 ? 0.25 ? 35 ? 0.15 ? 45 ? 0.2 ? 55 ? 0.15 ? 65 ? 0.1 ? 75 ? 0.1 ? 85 ? 0.05 (mg/100ml) = 47 A F E

FD DE 3 ? ? BD ? DB BC 2 AE DE 2 AE AF 9 由 ? ? ? ?2? ? AF ? 2 ,所以 AB ? D AC BC 3 EC FD 2 AD DE AE AF 3 3 3 或由 ? ? ? ? AB ? AD, AD ? AF ? ( AD ? DF ) , AB BC AC AD 2 2 2
14.易知△FDE∽△DBC ? B

C

故 AD ? 3DF ? 3 , AB ?

3 9 AD ? . 2 2
2 2

15.问题转化为以原点为圆心,以 2 为半径的圆与圆 ( x ? a) ? ( y ? a) ? 4 总相交,根据 两圆相交的充要条件得 0 ? 三.解答题: 16.解: (1)? m ? n ? (cos x ? 1, sin x ? 3), 由 | m ? n |? 5 得

2a 2 ? 4 ? 0 ? a 2 ? 8 ? 0 ? a ? 2 2 或 ?2 2 ? a ? 0 .

?? ?

----------------------------1 分

?

?

cos2 x ? 2cos x ? 1 ? sin 2 x ? 2 3 sin x ? 3 ? 5 ------------------------3 分
整理得 cos x ? ? 3 sin x 显然 cos x ? 0 ∴ tan x ? ? ∵ x ? (0, ? ) ,∴ x ?

3 ------------------------------------------------------5 分 3

(2)? m ? n ? (cos x ? 1, sin x ? 3), ---------------------------------------------------7 分 ∴ f ( x) ? (m ? n) ? n = (cos x ? 1, sin x ? 3)(1, 3) ? cos x ? 1 ? 3 sin x ? 3

?? ?

5? -------------------------------------------6 分 6

?? ? ?

= 2( ∵0? x ??

3 1 ? sin x ? cos x) ? 4 = 2sin( x ? ) ? 4 ---------------------------9 分 2 2 6


?

6 6 1 ? ? ∴ ? ? sin( x ? ) ? 1 ? ?1 ? 2sin( x ? ) ? 2 2 6 6
∴ 3 ? 2sin( x ?

? x?

?

?

7? 6

?

6

) ? 4 ? 6 ----------------------------------------------------------11 分

即函数 f ( x) 的值域为 (3, 6] .-------------------------------------------------------12 分 17.解: (1)依题意知, ? 服从二项分布 ? ? B(n, p)

15 --------------------------①------------------------------2 分 2 15 又 D? ? np(1 ? p) ? -----------------②------------------------------4 分 8 3 由①②联立解得: n ? 10, p ? -----------------------------------6 分 4
∴ E? ? np ?

(2)依题意知 ? 的可能取值为:0,1,?,10
k ∵ P(? ? k ) ? Cn p k (1 ? p) n ?k ( k ? 0,1,?,10 )------------------------------7 分

∴ P(? ? 5) ? P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? P(? ? 2) ? ? ? P(? ? 5)
0 1 = C10 ( )10 ? C10

1 4

3 1 9 1 5 3 ( ) ? ? ? C10 ( )5 ( )5 -------------------------9 分 4 4 4 4

1 4 1 10 = ( ) (1 ? 30 ? 405 ? 81486) 4 81922 40961 = = . 1048576 524288

= ( )10 (1 ? 10 ? 3 ? 45 ? 32 ? 120 ? 33 ? 210 ? 34 ? 252 ? 35 ) -----------10 分

40961 .---------------------12 分 524288 18.解: (1)证明:∵四边形 DCBE 为平行四边形 ∴ CD // BE , BC // DE ---------1 分 ∵ DC ? 平面 ABC , BC ? 平面 ABC ∴ DC ? BC . ----------2 分 ∵AB 是圆 O 的直径 ∴ BC ? AC 且 DC ? AC ? C ∴ BC ? 平面 ADC. ∵DE//BC ∴ DE ? 平面 ADC ---------------------------------------3 分 又∵ DE ? 平面 ADE ∴平面 ACD ? 平面 ADE ----------------4 分
∴该运动员在本次训练中需要补射的概率为 (2)∵ DC ? 平面 ABC ∴ BE ? 平面 ABC ∴ ?EAB 为 AE 与平面 ABC 所成的角,即 ?EAB = ? -------------------5 分 在 Rt△ABE 中,由 tan ? ? 在 Rt△ABC 中 ∵ AC ? ∴ S?ABC ?

BE 3 , AB ? 2 得 BE ? 3 ------------6 分 ? AB 2

AB 2 ? BC 2 ? 4 ? x 2 ( 0 ? x ? 2 )

1 1 AC ? BC ? x 4 ? x 2 ------------------------------------7 分 2 2
3 1 x 4 ? x 2 ( 0 ? x ? 2 ) -------8 S?ABC ? BE ? 6 3

∴ V ( x) ? VC ? ABE ? VE ? ABC ? 分 (3)由(2)知 0 ? x ? 2

2 要 V ( x ) 取得最大值,当且仅当 x 4 ? x ?

x 2 (4 ? x 2 ) 取得最大值,

x2 ? 4 ? x2 2 ) ? 4 ---------------------------------------------------------9 分 ∵ x (4 ? x ) ? ( 2
2 2

当且仅当 x 2 ? 4 ? x 2 ,即 x ? 2 时, “=”成立,

∴当 V ( x ) 取得最大值时 AC ? 分 解法 1:连结 CO,DO ∵AC=BC,DC=DC ∴ Rt ?DCA ≌ Rt ?DCB

2 ,这时△ACB 为等腰直角三角形----------------10

D

E

∴AD=DB

C

又∵O 为 AB 的中点 ∴ CO ? AB, DO ? AB ∴ ?DOC 为二面角 D-AB-C 的平面角------------12 分 在 Rt ?DCO 中 ∴ tan ?DOC ? ∵ CO ?
A
O

B

1 AB ? 1, DC ? BE ? 3 2

DC ? 3 , ∴ ?DOC = 60? CO

即当 V ( x ) 取得最大值时,二面角 D-AB-C 为 60°.--------------------------------14 分 解法 2:以点 O 为坐标原定,OB 为 x 轴建立空间直角坐标系如图示: 则 B(1,0,0),C(0,1,0),D(0,1, 3 ), ∴ OD ? (0,1, 3), OB ? (1, 0, 0) , 平面 ABC 的法向量 CD ? (0, 0, 3) ,---------------------11 分

????

??? ?

z

D

??? ?

?? 设平面 ABD 的法向量为 m ? (a, b, c)
由 m ? OB, m ? OD 得 a ? 0, b ? 3c ? 0

y

E

C

??

??? ?? ?

????

A

x O

B

令 c ? 1 ,则 b ? ? 3 ∴ m ? (0, ? 3,1) -------------12 分

??

?? ??? ? m ? CD 3 1 ? ? 设二面角 D-AB-C 的大小为 ? ,则 cos ? ? ?? ??? ? | m | ? | CD | 2 ? 3 2
∴ ? ? 60? ,即二面角 D-AB-C 的大小为 60°.------------------------------------14 分 19.解: (1)法一:连结 CP,由 AC ? BC ? 0 ,知 AC⊥BC ∴|CP|=|AP|=|BP|=
2 2

???? ??? ?

1 | AB | ,由垂径定理知 | OP |2 ? | AP |2 ?| OA |2 2
--------------------------4 分

y A P B x
O

即 | OP | ? | CP | ? 9

C

设点 P(x,y) ,有 ( x ? y ) ? [( x ? 1) ? y ] ? 9
2 2 2 2

化简,得到 x ? x ? y ? 4
2 2

----------------------8 分

法二:设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,P ( x, y ) , 根据题意,知 x12 ? y12 ? 9, x2 2 ? y2 2 ? 9 , 2 x ? x1 ? x2 , 2 y ? y1 ? y2 , ∴ 4 x 2 ? x12 ? 2 x1 x2 ? x2 2 , 4 y 2 ? y12 ? 2 y1 y2 ? y2 2 故 4 x 2 ? 4 y 2 ? ( x12 ? y12 ) ? (2 x1 x2 ? 2 y1 y2 ) ? ( x2 2 ? y2 2 ) ? 18 ? 2( x1 x2 ? y1 y2 ) ----4 分 又 AC ? BC ? 0 ,有 (1 ? x1 , ? y1 ) ? (1 ? x2 , ? y2 ) ? 0 ∴ (1 ? x1 ) ? (1 ? x2 ) ? y1 y2 ? 0 ,故 x1 x2 ? y1 y2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 2 x ? 1 代入①式,得到 4 x ? 4 y ? 18 ? 2(2 x ? 1)
2 2

??①

???? ??? ?

化简,得到 x ? x ? y ? 4
2 2

--------------------------8 分

(2)根据抛物线的定义,到直线 x ? ?1 的距离等于到点 C(1,0)的距离的点都在抛 物线

y 2 ? 2 px 上,其中
分 由方程组 ? 分

p ? 1 ,∴ p ? 2 ,故抛物线方程为 y 2 ? 4 x 2

----------------10

? y2 ? 4x ? 得 x 2 ? 3x ? 4 ? 0 ,解得 x1 ? 1, x2 ? ?4 2 2 ?x ? x ? y ? 4 ?

----------------12

由于 x ? 0 ,故取 x ? 1 ,此时 y ? ?2 故满足条件的点存在的,其坐标为 (1, ?2) 和 (1, 2)
x 2 x

---------------------14 分
2 x

20.解: (1)∵ f ?( x) ? (2 x ? a)e ? ( x ? ax ? b)e = [ x ? (2 ? a) x ? (a ? b)]e -------1 分 且 x ? 1 是函数 f ( x) 的一个极值点 分 即 e[1 ? (2 ? a) ? (a ? b)] ? 0 ,解得 b ? ?3 ? 2a -----------------------------3 分 则 f ?( x) ? e [ x ? (2 ? a) x ? (?3 ? a)] = e ( x ? 1)[ x ? (3 ? a)]
x 2 x

∴ f ?(1) ? 0 -------------------------------------------2

令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? 1 或 x2 ? ?3 ? a -----------------------------------------------------------4 分 ∵ x ? 1 是极值点,∴ ?3 ? a ? 1 ,即 a ? ?4 当 ?3 ? a ? 1 即 a ? ?4 时,由 f ?( x) ? 0 得 x ? (?3 ? a, ??) 或 x ? (??, 1) 由 f ?( x) ? 0 得 x ? (1, ?3 ? a) ------------------------------------------------------------------5 分 当 ?3 ? a ? 1 即 a ? ?4 时,由 f ?( x) ? 0 得 x ? (1, ??) 或 x ? (??, ?3 ? a) 由 f ?( x) ? 0 得 x ? (?3 ? a, 1) ------------------------------------------------------------------6 分 综上可知:当 a ? ?4 时,函数 f ( x) 的单调递增区间为 ( ??, 1) 和 (?3 ? a, ??) ,单调递减 区间为 (1, ?3 ? a ) ;当 a ? ?4 时,函数 f ( x) 单调递增区间为 (??, ?3 ? a) 和 (1, ??) , 单 调 递 减 区 间 为

(?3 ? a, 1) -----------------------------------------------------------------8 分
(2)由(1)知,当 a>0 时, f ( x) 在区间(0,1)上的单调递减,在区间(1,4)上单调 递增, ∴函数 f ( x) 在区间 [0, 4] 上的最小值为 f (1) ? ?(a ? 2)e ----------------------------------9 分 又∵ f (0) ? be ? ?(2a ? 3) ? 0 , f (4) ? (2a ? 13)e ? 0 ,
x 4

e ?) ∴函数 f ( x) 在区间[0, 4]上的值域是 [ f (1), f (4)] ,即 [?( a?2) ,(2 a13 ]e
分 又 g ( x) ? (a ? 14)e
2 x?4

4

--------------11

在区间[0,4]上是增函数,
2 4 2 8

且它在区间[0,4]上的值域是 [(a ? 14)e , (a ? 14)e ] --------------------------------------------12 分 ∵ (a ? 14)e - (2a ? 13)e = (a ? 2a ? 1)e = (a ? 1) e ? 0 ,
2 4 4 2 4 2 4

∴存在 ?1 , ? 2 ? [0, 4] 使得 f (?1 ) ? g (? 2 ) ? 1 成立只须仅须

(a 2 ? 14)e 4 (2a ? 13)e 4 <1 ? (a ? 1)2 e4 ? 1 ? (a ? 1)2 ?



1 1 1 ? 1 ? 2 ? a ? 1 ? 2 .--------14 分 4 e e e

21.解: (1)由 bn ? an ? 1 得 an ? bn ? 1 代入 an ? 1 ? an (an ?1 ? 1) 得 bn ? (bn ? 1)bn ?1 整理得 bn ? bn ?1 ? bnbn ?1 ,-----------------------------------------------------1 分

∵ bn ? 0 否则 an ? 1 ,与 a1 ? 2 矛盾 从而得

1 1 ? ? 1 , ----------------------------------------------------------3 分 bn ?1 bn

∵ b1 ? a1 ? 1 ? 1 ∴数列 {

1 } 是首项为 1,公差为 1 的等差数列 bn



1 1 ? n ,即 bn ? .---------------------------------------------------------------4 分 bn n

1 1 1 ? ??? 2 3 n 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ Tn ? S2 n ? Sn = 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? (1 ? ? ? ? ? ) 2 3 n n ?1 2n 2 3 n 1 1 1 = ---------------------------------------------------------6 分 ? ??? n ?1 n ? 2 2n 1 1 1 1 1 1 证法 1:∵ Tn ?1 ? Tn ? ? ??? ?( ? ??? ) n?2 n?3 2n ? 2 n ? 1 n ? 2 2n
(2)∵ Sn ? 1 ? =

1 1 1 1 1 1 = ? ? ?0 ? ? 2n ? 1 2n ? 2 n ? 1 2n ? 1 2n ? 2 (2n ? 1)(2n ? 2)

∴ Tn ?1 ? Tn .--------------------------------------------------------------------------8 分 证法 2:∵ 2n ? 1 ? 2n ? 2 ∴

1 1 ? 2n ? 1 2n ? 2

∴ Tn ?1 ? Tn ?

1 1 1 ? ? ?0 2n ? 2 2n ? 2 n ? 1

∴ Tn ?1 ? Tn .----------------------------------------------------------------------------8 分 (3)用数学归纳法证明: ①当 n ? 1 时 1 ?

n 1 1 1 1 ? 1 ? , S2n ? 1 ? , ? n ? ? 1 ,不等式成立;-----------9 分 2 2 2 2 2

②假设当 n ? k ( k ? 1 , k ? N ? )时,不等式成立,即

1?

k 1 ? S2k ? ? k ,那么当 n ? k ? 1 时 2 2 k 1 1 k 1 1 ? 1? ? k ? ? ? k ?1 ? 1 ? ? k ?1 ? ? ? k ?1 2 2 ?1 2 2 ?? ??? 2 ? 2?
2k 个

? 1?

k 1 k ?1 ----------------------------------------------------------------------12 分 ? ? 1? 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ? ?k ? k ? ? ? k ?1 ? ? k ? k ? ? ? k 2 2 ?1 2 2 2 2 ?????
2k 个

= ∴当 时,不等式成立 ,不等式成立.--------------------------------------------------------14 分

综①②知对任意的


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