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推理与证明周末练习题(文科)(教师版)


推理与证明周末练习题(文科)
一、选择题 1.下列说法中正确的是( A.合情推理是正确的推理 D ) B.合情推理就是归纳推理

C.归纳推理是从一般到特殊的推理 D.类比推理是从特殊到特殊的推理 2. 下面几种推理是合情推理的是( ①由圆的性质类比出球的有关性质; ②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是 180° ,归纳出所有三角形的内角

和都 是 180° ; ③张军某次考试成绩是 100 分,由此推出全班同学的成绩都是 100 分; ④三角形内角和是 180° ,四边形内角和是 360° ,五边形内角和是 540° , 由此得凸多边形内角和是(n-2)· 180° . A.①② B.①③ C.①②④ D.②④ C )

3.我们把 4,9,16,25,…这些数称做正方形数,这是因为这些数目的点子可以排成一个正方形 (如下图),

则第 n-1 个正方形数是( C ) A.n(n-1) B.n(n+1) C.n2 D.(n+1)2

4.把 3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点子可以排成一个正 三角形(如下图),

试求第六个三角形数是( B A.27 B.28

) C.29 D.30

5.一同学在电脑中打出如下若干个圈 :○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律 继续下去,得到一系列的圈,那么在前 120 个圈中的●的个数是( C ) A.12 B.13 C.14 D.15

6.在某次考试中甲、乙、丙三人成绩互不相等,且满足:①如果乙的成绩不是最高,那么甲的 成绩最低;②如果丙的成绩不是最低,那么甲的成绩最高,则三人中成绩最低的是( C )

1

A.甲

B.乙

C.丙
n

D.不能确定 ( D )

7.当 n ? 1,2,3,4,5,6 时,比较 2 和 n 的大小并猜想
2

A. n ? 1 时,2 ? n
n

2

n 2 n 2 B. n ? 3 时,2 ? n C. n ? 4 时,2 ? n

n 2 D. n ? 5 时,2 ? n

8.如果 f (a ? b) ? f (a) f (b)且f (1) ? 2, 则

f (2) f (4) f (6) ? ? ?( f (1) f (3) f (5)
D.8

C

)

A.

12 5

B.

37 5

C.6

9.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文 ?密文(加密) ,接受方由密文 ?明文 (解密) ,已知加密规则为:明文 a, b, c, d 对应密文 a ? 2b,2b ? c,2c ? 3d ,4d ,例如,明文

1, 2,3, 4 对应密文 5,7,18,16 . 当接受方收到密文 14,9, 23, 28 时, 则解密得到的明文为 (
A. 4,6,1,7 B. 7,6,1,4 C. 6,4,1,7 D. 1,6,4,7

) .

?a ? 2b ? 5 ?a ? 6 ?2b ? c ? 7 ?b ? 4 ? ? [解析] 由 ? 得? ,选 C ?2c ? 3d ? 18 ?c ? 1 ? ? ?4d ? 16 ?d ? 7
10. 设 a,b∈R ,且 a≠b,a+b=2,则必有( B ) a2+b2 A.1≤ab≤ 2 二、填空题 11. 如图所示,图(a)是棱长为 1 的小正方体,图(b)、图(c)是由这样的小正方体摆放而成.按 照这样的方法继续摆放,自上而下分别叫第 1 层,第 2 层,…,第 n 层.第 n 层的小正 方体的个数记为 Sn.解答下列问题: a2+b2 B.ab<1< 2 a2+b2 C.ab< <1 2 a2+b2 D. <ab<1 2


(1)按照要求填表: n Sn 1 1 2 3 3 6 4 10 … …

n?n+1? (2)S10=_55_. (3)Sn=__ ____. 2

2

12.对大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次方幂有如下分解方式: 22=1+3 23=3+5 32=1+3+5 33=7+9+11 42=1+3+5+7 43=13+15+17+19

根据上述分解规律,则 52=________,若 m3(m∈N*)的分解中最小的数是 21,则 m 的值为 ________. 解析:第一空易得;从 23 起,k3 的分解规律恰为数列 3,5,7,9,…若干连续项之和,23 为前两 项和,33 为接下来三项和,…,21 是 53 的分解中最小的数,∴m=5. 答案:1+3+5+7+9 5

13.在求函数 y= log2x-2的定义域时,第一步推理中大前提是当 a有意义时,a≥0;小前提 是 log2x-2有意义;结论是__ y= log2x-2的定义域是[4,+∞)________. 14.当 a ? 0, b ? 0 时,① ? a ? b ? ? ③

?1 1? ? ? ? 4 ;② a 2 ? b2 ? 2 ? 2a ? 2b ?a b?
.

2ab ? ab ,以上 3 个不等式恒成立的是 a?b

解析:①②;① ? a ? b ? ?

b a ? 1 1? ? ? ? 2 ? ? ? 4 ;故成立; a b ?a b?
2 2

2 2 ② a ? b ? 2 ? 2a ? 2b ? ? a ? 1? ? ? b ? 1? ? 0 ,故成立;③

2ab ? ab ,则可得 a?b

2 ab ? 1 ,从而 a ? b ? 2 ab ,显然是错误的。 a?b
三、解答题 1 15. 已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn= (an+1)2,且 an>0(n∈N+),求出 a1,a2,a3,并归 4 纳这个数列的通项公式. 解析:n=1 时,a1=1;n=2 时,a2=3;n=3 时,a3=5.综上归纳,可得 an=2n-1.
o s s A i n 16. 在 △ ABC 中, 已知 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? 3ab , 且 2c B s i n? C . 判断 △ ABC 的形状.

解:∵ A ? B ? C ? 180° ,∴ sin C ? sin( A ? B) .又 2 cos A sin B ? sin C ,
∴ 2 cos A sin B ? sin A cos B ? cos A sin B ,∴sin( A ? B) ? 0 .

又 A 与 B 均为 △ ABC 的内角,∴A ? B .又由 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? 3ab , 得 (a ? b)2 ? c2 ? 3ab , a 2 ? b2 ? c 2 ? ab ,又由余弦定理 c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C , 得 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2ab cos C ,∴ 2ab cos C ? ab , cos C ?

1 ,∴ C ? 60° . 2

3

又∵A ? B ,∴ △ ABC 为等边三角形. 17.已知正数 a, b, c 成等差数列,且公差 d ? 0 ,求证: 证明:假设

1 1 1 , , 不可能是等差数列。 a b c

1 1 1 , , 为等差数列,则 2/b=1/a+1/c,∴ a b c

2ac=b(c+a)=2
2

b

2

,∴

ac=

b

2

∴ (b-d)(b+d)=

b

2

,∴

b

2

+bd-bd- d

2

=

b

2

,∴ d

=0 即 d=0 这与已知 d ? 0 矛盾

故 假设错误,原命题成立。 18. 已知△ABC 中,角 A、B、C 成等差数列,求证: 证明:要证 1 1 3 + = a+b b+c a+b+c

1 1 3 a+b+c a+b+c + = 需证: + =3,即证:c(b+c)+a(a+b)= (a+b) (b+c), a+b b+c a+b+c a+b b+c

即证 :c2+a2=ac+b2 ,因为△ABC 中,角 A 、 B 、 C 成等差数列 , 所以 B=600, 由余弦定理 b2= c2+a2-2cacosB, 即 b2= c2+a2-ca 所以 c2+a2=ac+b2,因此 1 1 3 + = a+b b+c a+b+c

19. (1)求证:当 a、b、c 为正数时, (a ? b ? c)( (1)证明:左边= 3 ? ?

1 1 1 ? ? ) ? 9. a b c

?a b? ?c b? ?a c ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 因为:a、b、c 为正数 ?b a? ?b c? ? c a?

所以:左边 ? 3 ? 2

a b c b a c ? ?2 ? ?2 ? ? 3? 2? 2? 2 ? 9 b a b c c a

? 1 1 1? ? ?a ? b ? c ?? ? ? ? ? 9 ?a b c?
(2)已知 n ? 0, 试用分析法证明 : n ? 2 ? n ?1 ?

n ?1 ? n

(2) 证明: 要证上式成立, 需证 n ? 2 ? n ? 2 n ? 1 , 需证 ( n ? 2 ? n ) 2 ? (2 n ? 1) 2 需证 n ? 1 ?

n 2 ? 2n ,需证 (n ? 1) 2 ? n 2 ? 2n ,需证 n 2 ? 2n ? 1 ? n 2 ? 2n ,

只需证 1>0, 因为 1>0 显然成立,所以原命题成立 20.在△ABC 中,证明:

cos 2 A cos 2 B 1 1 ? ? 2 ? 2 。 2 2 a b a b

? sin 2 A sin 2 B ? cos 2 A cos 2 B 1 ? 2 sin 2 A 1 ? 2 sin 2 B 1 1 ? ? ? 证明: ? 2 ? 2 ? 2? ? a2 ? b2 ? ? a2 b2 a2 b2 a b ? ?

4

sin 2 A sin 2 B ? ? 由正弦定理得: a2 b2

cos 2 A cos 2 B 1 1 ? ? 2 ? 2 2 2 a b a b

1 1 1 21.已知 a、b、c∈R,且 a+b+c=1,求证:( -1)( -1)· ( -1)≥8. a b c a+b+c a+b+c a+b+c b+c a+c a+b 1 1 1 证明: ( -1)( -1)( -1)=( -1)( -1)( -1)= · · a b c a b c a b c = ?b+c? ? a+c? ? a+b? 2 bc· 2 ac· 2 ab ≥ =8, abc abc

当且仅当 a=b=c 时取等号,所以原不等式成立. a+b b+c a+c 22.已知 a、b、c 是不全相等的正数,且 0<x<1.求证:logx +logx +logx <logxa+ 2 2 2 logxb+logxc. 证 明 : 要 证 logx a+b b+c a+c + logx + logx <logxa + logxb + logxc , 只 需 证 2 2 2

a+b b+c a+c logx( · · )<logx(abc). 2 2 2 a+b b+c a+c a+b b+c 由已知 0<x<1,得只需证 · · >abc.由公式 ≥ ab>0, ≥ bc>0, 2 2 2 2 2 a+c a+b b+c a+c ≥ ac>0.又∵a,b,c 是不全相等的正数,∴ · · > a2b2c2=abc. 2 2 2 2 即 a+b b+c a+c a+b b+c a+c · · >abc 成立.∴logx +logx +logx <logxa+logxb+logxc 成立. 2 2 2 2 2 2

5


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