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《高代与解几》第二章 行列式专题练习参考答案


《高等代数与解析几何》第二章 行列式专题练习 ----参考答案

gqz

第二章 行列式专题练习—参考答案
一、选择题

1.D, 2.D, 3.C, 4.AD, 5.A; 11.D,12.B,13.B,14.B, 15.C
二、填空题 1、 1 ; 6. x ? ?1, x ? ? 3 ; 11.

? 0 ; 三、计算题 1.5; 6. ( ?1)
n ( n ?1 ) 2

6.BC,7.D,8.C,9.C,10.D;

2. 13 7. 5

; ; ;

3. 8.



;

4. 2 9.

, 1

;

5.

-3 10. ? 2

;

-6

0



-66

12. 16

13. ? 24 ;

2.18;

3. ? 2( x 3 ? y 3 ) ;

4.1; 7. 0

5. (?1) n?1 n!

a 1 n a 2 , n ? 1 ? a n1 ;

1 2 8 . 3 4

2 3 4 1

3 4 1 2

4 1 1 2 ? 10 2 3 3 4 1 0 ? 10 0 0

1 3 4 1

1 4 1 2

1 1 1 1 1 1 1 0 1 2 ?1 0 ? 10 ? 10 2 0 1 ? 2 ?1 0 3 0 ? 3 ? 2 ?1 0

1 1 1 1 2 ?1 0 ?4 0 0 4 ?4

1 1 1 1 2 ?1 =160 0 ?4 0 0 0 ?4
1 1 1 1 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 a 0 0 1

3 1 9. 1 1

1 3 1 1

1 1 3 1

1 1 1 1 =6? 1 1 3 1
a

1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3
1 a ?1 0 0 1 a ?1

=6?

= 6 ? 2 3 ? 48.
0 ar ? r ? 1 a 1 2 0 0 1? a2

0 0 1 a

r1 ? r2 ? 1 a

1 0

1 a

0 0

10. 方法 1:

?1 0 0

?

?1 a 1 0 ?1 a

?
1 a

0 0

?1 0

a 1 ?1 a

r2 ? r3 ? 1

a ?1 1? a 0
2

1 a

?

0 0 0

0 (1? a 2 ) r ? r ? 1 a 2 3 1 0 ?1

0 1

a 0 ?1 a

?

0 0

0 0

a ? 2a 1 ? a 2 ?1 a
3

1

《高等代数与解析几何》第二章 行列式专题练习 ----参考答案

gqz

=

a 3 ? 2a 1 ? a 2 = a(a3 ? 2a) ? (1 ? a 2 ) ? a 4 ? 3a 2 ? 1. ?1 a

方法 2:将行列式按第一行展开,有:
a ?1 0 0 1 a ?1 0 0 1 a ?1

a 1 0 ?1 1 0 0 = a ?1 a 0 ? 0 ?1 a 1 0 ?1 a 0 ?1 a 1
0 a

= a[a ?

a 1 ?1 1 ? ] ? a2 ?1 ?1 a 0 a

= a[a(a 2 ? 1) ? a] ? a 2 ? 1 ? a 4 ? 3a 2 ? 1.
11.
a1 0 0 b4

将行列式按第一行展开,有:
0 a2 b3 0 0 b2 a3 0

a2 = a1 ? b3 0 a4

b1 0 0

b2 a3 0

0 0 0 ? b1 ? 0 a4 b4

a2 b3 0

b2 a2 a3 = a1a4 b3 0

b2 a ? b1b4 2 a3 b3

b2 a3

= a1a4 (a2 a3 ? b2b3 ) ? b1b4 (a2 a3 ? b2b3 ) = (a2 a3 ? b2b3 )(a1a4 ? b1b4 ).
1 2 3 ? 2 3 4 ? 12. 3 4 5 ? ? ? ? n 1 2 ?
1 2 1 2 1 2 1 2

n(n ? 1) 2 3 ? n(n ? 1) 3 4 ? ? ? ?

n 1 2 ?

1 2 3 ? 1 3 4 ? ? 1 n(n ? 1) 1 4 5 ? 2 ? ? ?

n 1 2 ?

? n(n ? 1) 4 5 ?

n 1 2 ? n?1

n(n ? 1) 1 2 ? n ? 1

1 1 2 ? n ?1
1 ? 1 ? 1 1? n 1 ? 1

1 0 ? 1 n(n ? 1) 0 2 ?

2 1 1 ?

3 ? n 1 ? 1? n 1 ? ? 1 ? 1
? 1 n(n ? 1) 2

1

? 1? n

0 1? n 1 ?

? 1? n ?

1 ? 1 n(n ? 1) 2 0

?

1 ? 0

?1 0 ? 0 ? (?1)
n ( n ?1) 2

? ?n

? ?n ?

1 2

n n ?1 (n ? 1)

2

《高等代数与解析几何》第二章 行列式专题练习 ----参考答案

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13.

1 1 1 2

1 3

1 4

1 4 9 16 1 8 27 64

? (2 ? 1)(3 ? 1)(4 ? 1)(3 ? 2)(4 ? 2)(4 ? 3) ? 12

14、 ? 6.

15、 b1b2 b3 ;

16. [ x ? (n ? 1)a]( x ? a)n?1

1 ? a1 1 ? 1 1 ? a2 ? 17. Dn ? ? ? 1 1

1 1 ?

?

1 ? a1 1 ? 1 1 ? a2 ? ? 1 ? 1
n

? 1 ? an

1 ? a1 1 ? 1 1 1 ? a2 ? 1 ? ? ? ? ? ? an 1 1 ? 1
0 0

? an Dn?1 ? a1a2 ?an?1 ? a1 a 2 ?a n (1 ? ?
18、解方程

1 ). i ?1 a i

x ? b1 , b2 ,?, bn?1
2
2

1

1

3

1

1
2

2 0

3 0
= (1 ? x 2 ) ?

1 1 0 1

2 0

3 0

19.

1 2?x 2 3 2 3

0 1? x 2 3 = 1 5 0 1 1 9 ? x2 0 1 1 1 2 0 3 0

? 3 ?1 ? 3 3 ? x2

0 1 ? 3 ?1 0 1 ? 3 3 ? x2 3 0
= (1 ? x 2 )(4 ? x 2 )

1 1
= (1 ? x 2 ) ?

2 0

= (1 ? x 2 ) ?

0 1

0 1

0 0 ? 3 ?1 0 0 ? 3 3 ? x2

0 0 ? 3 ?1 0 0 0 4 ? x2

? x ? ?1,?2.
1 2 1 1 1 1 1 1 ( p ?1) r2 ? r3 1 1 1 1 0 0 1 0 =1-p 20. A ? 1 2 1 ? p r ? r 0 1 3 p 1 1 0 1? p 1? p 0 0 1? p

?r ?r

?

?

?当p ? 1时, ? 0,则原方程组有非零解 ; A ?当p ? 1时, ? 0,则原方程组仅有零解 。 A
1 2 2 1 1 c1 ? c 2 1 2 1 1 2 1 ? 2 5 2 ? 5 r ? r ? 0 1 0 =1. 21. D ? 5 2 2 1 3 10 5 4 5 10 4 0 0 -1

?2 r ? r

?

?

3

《高等代数与解析几何》第二章 行列式专题练习 ----参考答案

gqz

1 2 28 1 1 c1 ? c 2 1 28 1 1 28 1 1 1 ? 2 66 2 ? 5 r ? r ? 0 10 0 = - 10 =10. D1 ? 66 2 2 1 3 0 -1 5 137 4 137 5 4 0 - 3 -1

?2 r ? r

?

?

2 28 1 2 1 28 类似的,可计算出 D2 ? 5 66 2 =5; D3 ? 5 2 66 =3. 10 137 4 10 5 137
D1 ? ? x1 ? D ? 10 ? D ? 所以原方程组的解为: ? x 2 ? 2 ? 5 D ? D3 ?x ? ?3 ? 3 D ?

四、证明题 已知:向量组, ?1 , ? 2 , ? 3 线性无关,证明: ?1 ,?1 ? ? 2 ,?1 ? ? 2 ? ? 3 线性无关。 证明:设有数 k1 , k2 , k3 ,使得 k1?1 ? k2 (?1 ? ? 2 ) ? k3 (?1 ? ? 2 ? ? 3 ) ? 0 即有: (k1 ? k2 ? k3 )?1 ? (k2 ? k3 )? 2 ? k3? 3 ? 0

? ?1 ,? 2 ,? 3 线性无关
? k1 ? k 2 ? k 3 ? 0 ? ? 有? k2 ? k3 ? 0 ? k3 ? 0 ?
1 1 1 ?0 1 1 ?1?0 0 0 1

k ? 该方程有唯一解:1 ? k2 ? k3 ? 0 ? ?1 ,?1 ? ?2 ,?1 ? ?2 ? ?3 线性无关

4


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