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第4届罗马尼亚大师杯数学竞赛(试题)


第 4 届罗马尼亚大师杯数学竞赛
第一天:2011 年 2 月 25 日,星期五,布加勒斯特 语言:中文

1. 证明:存在两个函数 f , g : R ? R ,使得函数 f ( g ( x )) 在 R 上是严格递减的,而
g ( f ( x ))

在 R 上是严格递增的.

2. 求所有的正整数 n,使得存在一个实系数多项式 f(x),满足下面的两个性质: (1) 对任意整数 k,数 f(k)为整数的充要条件是 k 不能被 n 整除; (2) 多项式 f(x)的次数小于 n. 3. 设?是△ABC 的外接圆,一条平行于 BC 的动直线 l 分别交线段 AB,AC 于点 D,E,交圆?于点 K,L(点 D 介于 K 和 E 之间),?1 是与线段 KD,BD 和圆?都相切 的圆,?2 是与线段 LE,CE 和圆?都相切的圆.求 l 变化时,圆?1 和?2 的内公切线的 交点的轨迹.

每题 7 分 共 4 小时 30 分钟

第 4 届罗马尼亚大师杯数学竞赛
第二天:2011 年 2 月 26 日,星期六,布加勒斯特 语言:中文 4. 对正整数 n ?

?
i ?1

s

pi

?i

,设 ? ( n ) ?

? ? 是 n 所有素因数的个数,这里的素因数依
i i ?1

s

重数求和得到,定义 ? ( n ) ? ( ? 1) ? ( n ) (例如 ? (12 ) ? ? ( 2 2 ? 3 ) ? ( ? 1) 2 ? 1 ? ? 1 ).证明: (1) 存在无穷多个正整数 n,使得 ? ( n ) ? ? ( n ? 1) ? ? 1 ; (2) 存在无穷多个正整数 n,使得 ? ( n ) ? ? ( n ? 1) ? ? 1 . 5. 对每个正整数 n?3,试确定平面上具有下述性质的 n 个不同的点 X1,X2,…,Xn 之间的关系:对任意一对不同的点 Xi,Xj,都存在{1,2,…,n}的一个排列?,使得对 所有 1?k?n,都有 d(Xi,Xk)=d(Xj,X?(k)).这里 d(X,Y)表示点 X 和 Y 之间的距离. 6. 一个 2011?2011 的方格表的每个小方格都被标上整数 1,2,…,20112 中的某个数, 使得其中的每个数都恰好用了一次.现在将表格的左右边界视为相同, 上下边 界也视为相同, 依通常的方式得到一个圆环面(可视为一个 “甜甜圈” 的表面). 求最大的正整数 M,使得对任意标数方式,都存在两个相邻的小方格(指有公共 边的小方格),它们中所填写的数之差(大的减小的)至少为 M.

注: 用坐标表示,小方格(x,y)和(x?,y?)相邻是指:x=x?,y-y???1(mod 2011) 或者 y=y?,x-x???1(mod 2011).

每题 7 分 共 4 小时 30 分钟


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