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上海高考解析几何大题整理


(2012)21.海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向 为y轴 正方向建立平面直角坐标系(以 1 海里为单位长度) ,则救援船恰在失事船的正南方向 12 海 y P 里 A 处,如图. 现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线

y ? 12 x2 ;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救 49 援船出发 t 小时后,失事船所

在位置的横坐标为. (1)当 t ? 0.5 时,写出失事船所在位置 P 的纵坐标. 若此时
两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向; 分) (6 (2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?(8 分) [解](1) t ? 0.5 时,P 的横坐标 xP= 7t ? 中,得 P 的纵坐标 yP=3. 由|AP|=
949 2
7 2

O A

x

,代入抛物线方程 y ?

12 49

x2
……2 分 ……4 分

,得救援船速度的大小为 949 海里/时.
7 2

由 tan∠OAP= 3 ?12 ?

7 30

7 ,得∠OAP=arctan 30 ,故救援船速度的方向

7 为北偏东 arctan 30 弧度.

……6 分

(2)设救援船的时速为 v 海里,经过 t 小时追上失事船,此时位置为 (7t , 12t 2 ) . 由 vt ? 因为 t 2 ?
2

(7t ) 2 ? (12t 2 ? 12) 2 ,整理得 v 2 ? 144(t 2 ? 12 ) ? 337 .……10 分 t
1 t2

? 2 ,当且仅当 t =1 时等号成立,
2

所以 v ? 144? 2 ? 337 ? 25 ,即 v ? 25 . 因此,救援船的时速至少是 25 海里才能追上失事船. (2012)22.在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C1 : 2 x 2 ? y 2 ? 1 .

……14 分

(1)过 C1 的左顶点引 C1 的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及 x 轴围 成 的三角形的面积; 分) (4 (2)设斜率为 1 的直线 l 交 C1 于 P、Q 两点,若 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 1相切,求证: OP⊥OQ; 分) (6 (3)设椭圆 C2 : 4 x 2 ? y 2 ? 1. 若 M、N 分别是 C1 、 C2 上的动点,且 OM⊥ON, 求证:O 到直线 MN 的距离是定值.(6 分) [解](1)双曲线 C1 :
x2
1 2

? y 2 ? 1,左顶点 A(?

2 2

, 0) ,渐近线方程: y ? ? 2 x . 2 (x ?
2 2

过点 A 与渐近线 y ? 2 x 平行的直线方程为 y ? 解方程组 ?

即 ) , y ? 2 x ? 1. ……2 分

?x ? ? ? y?? 2 x ? ,得 ? ?y ? 1 ?y ? 2 x ?1 2 ?

2 4

.
2 8

(2)设直线 PQ 的方程是 y ? x ? b .因直线与已知圆相切, 故
|b| 2

所以所求三角形的面积 1 为 S ? 1 | OA || y |? 2

.

……4 分 ……6 分

? 1 ,即 b2 ? 2 .

由?

? y ? x?b 2 2 ,得 x ? 2bx ? b ? 1 ? 0 . 2 2 ?2 x ? y ? 1
? x1 ? x2 ? 2b . 2 ? x1 x2 ? ?b ? 1

设 P(x1, y1)、Q(x2, y2),则 ? 又 2,所以

OP ? OQ ? x1x2 ? y1 y2 ? 2x1x2 ? b( x1 ? x2 ) ? b2 ? 2(?b2 ? 1) ? b ? 2b ? b2 ? b2 ? 2 ? 0 ,
故 OP⊥OQ. (3)当直线 ON 垂直于 x 轴时, |ON|=1,|OM|=
2 2

……10 分
3 3

,则 O 到直线 MN 的距离为
2 2

.

当直线 ON 不垂直于 x 轴时, 设直线 ON 的方程为 y ? kx (显然 | k |? ) ,则直线 OM 的方程为 y ? ? 1 x . k
1? k 2 4? k 2

? x2 ? ? y ? kx ? 由? 2 ,得 ? 2 2 ?y ? ?4 x ? y ? 1 ?
2 同理 | OM | ? 1? k 2 2 k 2 ?1

1 4? k 2 k2 4? k 2

2 ,所以 | ON | ?

. ……13 分

.
3k 2 ? 3 k 2 ?1

设 O 到直线 MN 的距离为 d,因为 (| OM |2 ? | ON |2 )d 2 ?| OM |2 | ON |2 , 所以 d12 ?
1 |OM | 2 1 ? |ON | 2 ?

? 3 ,即 d=

3 3

. ……16 分

综上,O 到直线 MN 的距离是定值.

【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系、椭圆 的标准方程和圆的有关性质.特别要注意直线与双曲线的关系问题,在双曲线当中,最特殊 的为等轴双曲线,它的渐近线为 y ? ? x ,并且相互垂直,这些性质的运用可以大大节省解 题时间,本题属于中档题 . (2012 春)21. (本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知双曲线 C1 : x ?
2

y2 ? 1. 4

(1)求与双曲线 C1 有相同的焦点,且过点 P (4, 3) 的双曲线 C 2 的标准方程; (2)直线 l : y ? x ? m 分别交双曲线 C1 的两条渐近线于 A、B 两点.当 OA? OB ? 3 时, 求 实数 m 的值.

??? ??? ? ?

23、 (18 分)已知平面上的线段 l 及点 P ,在 l 上任取一点 Q ,线段 PQ 长度的最小值称为 点 P 到线段 l 的距离,记作 d ( P, l ) 。 ⑴ 求点 P(1,1) 到线段 l : x ? y ? 3 ? 0(3 ? x ? 5) 的距离 d ( P, l ) ; ⑵ 设 l 是长为 2 的线段,求点集 D ? {P | d ( P, l ) ? 1} 所表示图形的面积; ⑶ 写 出 到 两 条 线 段 l1 , l2 距 离 相 等 的 点 的 集 合 ? ? {P | d ( P, l1 ) ? d ( P, l2 )} , 其 中

l1 ? AB, l2 ? CD ,
A, B, C , D 是下列三组点中的一组。对于下列三组点只需选做一种,满分分别是①2 分,②
6 分,③8 分;若选择了多于一种的情形,则按照序号较小的解答计分。 ① A(1,3), B(1,0), C (?1,3), D(?1,0) 。 ② A(1,3), B(1,0), C (?1,3), D(?1, ?2) 。 ③

A( 0 , 1 ) , B

( 0 ,C ) , 0

( D , 0 )。 ( 2 , 0 ) 0 ,

23、解:⑴ 设 Q( x, x ? 3) 是线段 l : x ? y ? 3 ? 0(3 ? x ? 5) 上一点,则

5 9 | PQ |? ( x ? 1)2 ? ( x ? 4)2 ? 2( x ? )2 ? (3 ? x ? 5) 2 2





x?3





d(

P, ?

l )m ? i | P。 Q | n

5

⑵ 设线段 l 的端点分别为 A, B ,以直线 AB 为 x 轴, AB 的中点为原点建立直角坐标系, 则 A(?1,0), B(1,0) ,点集 D 由如下曲线围成
y 1

l1 : y ? 1(| x |? 1), l2 : y ? ?1(| x |? 1)

C1 : ( x ?1)2 ? y2 ? 1( x ? ?1), C2 : ( x ?1)2 ? y2 ? 1( x ? 1)
其面积为 S ? 4 ? ? 。

A -1


O -1 B 1 x

1,0) , ? ? {( x, y) | x ? 0} ⑶ ① 选择 A(1,3), B(1,0), C( ?1,3), D( ? 1, 2) ② 选择 A(1,3), B(1,0), C( ?1,3), D( ? ? 。

? ? {( x, y) | x ? 0, y ? 0} ?{( x, y) | y 2 ? 4 x, ?2 ? y ? 0} ?{( x, y) | x ? y ?1 ? 0, x ? 1}
③ 选择 A(0,1), B(0,0), C(0,0), D(2,0) 。

? ? {( x, y) | x ? 0, y ? 0} ? {( x, y) | y ? x,0 ? x ? 1}

?{( x, y) | x2 ? 2 y ?1,1 ? x ? 2} ?{( x, y) | 4 x ? 2 y ? 3 ? 0, x ? 2}

y

y C 3 A

C

3

A
y 2.5

B -1 O 1 x
A D

D -1 O

B 1 x
D
B=C 1 2

-2

x

www.zxsx.co m

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 10 分. 已知抛物线 F : x2 ? 4 y . (1) ?ABC 的三个顶点在抛物线 F 上,记 ?ABC 的三边 AB, BC , CA 所在直线的斜率 分别为 k AB , kBC , kCA ,若点 A 在坐标原点,求 k AB ? kBC ? kCA 的值; (2) 请你给出一个以 P ? 2,1? 为顶点,且其余各顶点均为抛物线 F 上的动点的多边形, 写出多边形各边所在直线的斜率之间的关系式,并说明理由. 说明:第(2)题将根据结论的一般性程度给与不同的评分. 【解】(1) 设 B ? xB , yB ? , C ? xC , yC ? .则

k AB ? kBC ? kCA ?

yB yB ? yC yC ? ? xB xB ? xC xC

?
?

2 x2 ? x2 x2 xB ? B C ? C 4 xB 4 ? xB ? xC ? 4 xC

1 ? xB ? ? xB ? xC ? ? xC ? ? 0 . ? 4?

(2) ① 研究 ?PBC .

kPB ? kBC ? kCP ?

yB ? yP yB ? yC yC ? yP ? ? xB ? xP xB ? xC xC ? xP

?
?

2 2 x2 ? x2 x2 ? x2 xB ? xP ? B C ? C P 4 ? xB ? xP ? 4 ? xB ? xC ? 4 ? xC ? xP ?

1 ?? xB ? xP ? ? ? xB ? xC ? ? ? xC ? xP ? ? . ? 4? x ? P ? 1. 2 ② 研究四边形 PBCD . x ? xP xB ? xC xC ? xD xD ? xP k PB ? k BC ? kCD ? k DP ? B ? ? ? 4 4 4 4 ? 0. ③ 研究五边形 PBCDE .

kPB ? kBC ? kCD ? kDE ? kEP
xB ? xP xB ? xC xC ? xD xD ? xE xE ? xP ? ? ? ? 4 4 4 4 4 xP ? ? 1. 2 ?

④ 研究 n ? 2k 边形 PP ? P ? k ? N? , k ? 2? ,其中 P ? P . 1 1 2 2k

kP1P2 ? kP2 P3 ? kP3P4 ? ? ? ? ?1?

2 k ?1

kP2 k P1
2 k ?1

?

xP1 ? xP2 4 xP1

?

xP2 ? xP3 4

?

xP3 ? xP4 4

? ? ? ? ?1?

xP2 k ? xP1 4

?

?1 ? ? ?1?2 k ?1 ? ? 0 . ? 4 ?

⑤ 研究 n ? 2k ? 1 边形 PP ? P k ?1 ? k ? N? , k ? 2? ,其中 P ? P . 1 2 2 1

kP1P2 ? kP2 P3 ? kP3P4 ? ? ? ? ?1?

2 k ?1?1

kP2 k ?1P1
2 k ?1?1

?

xP1 ? xP2 4 xP1

?

xP2 ? xP3 4

?

xP3 ? xP4 4

? ? ? ? ?1?

xP2 k ?1 ? xP1 4

?

?1 ? ? ?1?2 k ?1?1 ? ? 1. ? 4 ?

⑥研究 n 边形 PP ? P ? k ? N? , n ? 3? ,其中 P ? P . 1 1 2 n

kP1P2 ? kP2 P3 ? kP3P4 ? ? ? ? ?1?

n ?1

kPn P1

?

xP1 ? xP2 4

?

xP2 ? xP3 4
n ?1

?

xP3 ? xP4 4
n ?1

? ? ? ? ?1?

n ?1

xPn ? xP1 4

?

xP1

?1 ? ? ?1? 4 ?

1 ? ?1 ?? ? ? ? 2



23(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 9 分. 已知椭圆 ? 的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,点 P 的坐标为(-a,b). a 2 b2
? ? 1 ? ( PA + PB) ,求点 M 的坐标; 2

(1)若直角坐标平面上的点 M、A(0,-b),B(a,0)满足 PM =

( 2 ) 设 直 线 l1 : y ? k1 x ? p 交 椭 圆 ? 于 C 、 D 两 点 , 交 直 线 l2 : y ? k2 x 于 点 E . 若

b2 k1 ? k2 ? ? 2 ,证明: E 为 CD 的中点; a
(3)对于椭圆 ? 上的点 Q(a cosθ ,b sinθ ) (0<θ <π ) ,如果椭圆 ? 上存在不同的两

?

?

?

个交点 P1 、 P2 满足 PP1 + PP2 = PQ ,写出求作点 P1 、 P2 的步骤,并求出使 P1 、 P2 存在的θ 的取值范围.
a b 解析:(1) M ( , ? ) ; 2 2
? y ? k1 x ? p ? (2) 由方程组 ? x 2 y 2 ,消 y 得方程 (a2 k12 ? b2 ) x2 ? 2a2 k1 px ? a2 ( p2 ? b2 ) ? 0 , ? 2 ? 2 ?1 b ?a

因为直线 l1 : y ? k1 x ? p 交椭圆 ? 于 C 、 D 两点, 所以?>0,即 a2 k12 ? b2 ? p2 ? 0 , 设 C(x1,y1)、D(x2,y2),CD 中点坐标为(x0,y0),
? x1 ? x2 a2k p ?? 2 21 2 ? x0 ? 2 a k1 ? b ? 则? , 2 ?y ? k x ? p ? b p 1 0 ? 0 a 2 k12 ? b 2 ?

? y ? k1 x ? p 由方程组 ? ,消 y 得方程(k2?k1)x?p, ? y ? k2 x
? a2k p p ? ? 2 2 1 2 ? x0 ?x ? k2 ? k1 a k1 ? b b2 ? 又因为 k2 ? ? 2 ,所以 ? , 2 a k1 ?y ? k x ? b p ? y 2 0 ? a 2 k12 ? b 2 ?

故 E 为 CD 的中点; (3) 求作点 P1、P2 的步骤:1?求出 PQ 的中点 E(? 2?求出直线 OE 的斜率 k2 ? ?
b(1 ? sin ? ) , a (1 ? cos ? )

a(1 ? cos? ) b(1 ? sin ? ) , ), 2 2

??? ???? ??? ? ? b2 b(1 ? cos ? ) 3?由 PP ? PP2 ? PQ 知 E 为 CD 的中点, 根据(2)可得 CD 的斜率 k1 ? ? 2 ? , 1 a k2 a(1 ? sin ? )
4?从而得直线 CD 的方程: y ?
b(1 ? sin ? ) b(1 ? cos ? ) a(1 ? cos ? ) ? (x ? ), 2 a (1 ? sin ? ) 2

5?将直线 CD 与椭圆 Γ 的方程联立,方程组的解即为点 P1、P2 的坐标. 欲使 P1、P2 存在,必须点 E 在椭圆内,

? 2 (1 ? cos? )2 (1 ? sin ? )2 1 , ? ? 1,化简得 sin ? ? cos? ? , sin(? ? ) ? 4 4 2 4 4 ? ? 2 ? ? 3? 又 0<? <?,即 ? ? ? ? ? ,所以 ? ? ? ? ? arcsin , 4 4 4 4 4 4
所以

故? 的取值范围是 (0,

?
4

? arcsin

2 ). 4

21. (本题满分 16 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 8 分。 已知双曲线 c :

v x2 ? y 2 ? 1, 设过点 A(?3 2,0) 的直线 l 的方向向量 e ? (1, k ) 2

(1) 当直线 l 与双曲线 C 的一条渐近线 m 平行时,求直线 l 的方程及 l 与 m 的距离; (2) 证明:当 k >

2 时,在双曲线 C 的右支上不存在点 Q,使之到直线 l 的距离为 6 。 2

21.(1)双曲线 C 的渐近线 m :

x ? 2 y ? 0............2分 2
w.w.w. k.s .5.u.c.o.m

? 直线 l 的方程 x ? 2 y ? 3 2 ? 0 ………………..6 分
直线 l 与 m 的距离 d ?

3 2 ? 6 ……….8 分 1? 2

(2)设过原点且平行与 l 的直线 b : kx ? y ? 0 则直线 l 与 b 的距离 d ?

3 2k 1? k 2

当k ?

2 时,d ? 6 2

w.w.w. k.s.5.u.c.o.m

又双曲线 C 的渐近线为 x ? 2 y ? 0

? 双曲线 C 的右支在直线 b 的右下方,

? 双曲线 C 右支上的任意点到直线 l 的距离为 6 。
故在双曲线 C 的右支上不存在点 Q ,使之到直线 l 的距离为 6 。 [ 证法二] 双曲线 C 的右支上存在点 Q ( x0 , y0 ) 到直线 l 的距离为 6 ,

? kx0 ? y0 ? 3 2 ? ? 6, (1) 则? 1? k 2 ? ? x0 ? 2 y0 ? 2, (2)
2 由(1)得 y0 ? kx0 ? 3 2k ? 6 ? 1 ? k ,

设 t ? 3 2k ? 6 ? 1 ? k 2

当k ?

2 , t ? 3 2k ? 6 ? 1 ? k 2 ? 0………………………………..13 分 2
2 代入(2)得 (1 ? 2k 2 ) x0 ? 4ktx0 ? 2(t 2 ? 1) ? 0

将 y0 ? kx0 ? t

(*)

?k ?

2 , t ? 0,?1 ? 2k 2 ? 0, ?4kt ? 0, ?2(t 2 ? 1) ? 0 2
w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

? 方程(*)不存在正根,即假设不成立

故在双曲线 C 的右支上不存在 Q,使之到直线 l 的距离为 6 …………….16 分 18. (本题满分 14 分) 我国计划发射火星探测器,该探测器的运行轨道是以火星(其半径 R ? 34 百公里)的 中心 F 为一个焦点的椭圆. 如图,已知 y 探测器的近火星点(轨道上离火星表面 最近的点) A 到火星表面的距离为 8 百 公里,远火星点(轨道上离火星表面最 远的点) B 到火星表面的距离为 800 百 | 公里. 假定探测器由近火星点 A 第一次 F A x O B 逆时针运行到与轨道中心 O 的距离为

ab 百公里时进行变轨,其中 a 、 b 分
别为椭圆的长半轴、短半轴的长,求此 时探测器与火星表面的距离(精确到 1 百公里). 解: 设所求轨道方程为

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) , c ? a 2 ? b 2 . 显现的知识与方法需求 a2 b2 (椭圆的标准方程) ? a ? c ? 8 0 0 3 4 a ? c ? 8 ? 3 4,? a ? 438, c ? 396 . ? , 能力需求(计算能力)
潜在的知识与方法需求(椭圆方程中 a ? b ? c )
2 2 2

于是 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 35028 .

? 所求轨道方程为

y2 x2 ? ?1. 191844 35028

设变轨时,探测器位于 P( x0 , y 0 ) ,则
2 2 x0 ? y0 ? ab ? 8 1 9 71 , .5
2 2 x0 y0 ? ? 1 , 潜在的知识与方法需求(方程与曲线 191844 35028 的关系)

解得 x0 ? 239.7 , y0 ? 156.7 (由题意).

能力需求(解二元二次方程组)

? 探测器在变轨时与火星表面的距离为
2 ( x0 ? c) 2 ? y 0 ? R ? 187.3 .

显现的知识与方法需求(两点间的距离公式)

答:探测器在变轨时与火星表面的距离约为 187 百公里. 19. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小

题满分 7 分. 如图, 在直角坐标系 xOy 中, 有一组对角线长为 a n 的正方形 An BnCn Dn ( n ? 1, 2, ? ) , ... 其对角线 B n Dn 依次放置在 x 轴上(相邻顶点重合). 设 ? a n ?是首项为 a ,公差为 d ( d ? 0 ) 的等差数列,点 B1 的坐标为 ( d , 0 ) . (1)当 a ? 8,

y
A2 B2 D1
C1

d ? 4 时,证明:顶点

A3 B3 D2 D3 C3

A1、A2、A3 不在同一条直线上;
(2)在(1)的条件下,证明:所有顶 点 An 均落在抛物线 y ? 2x 上;
2

O

B1

A1

x

C2

(3)为使所有顶点 An 均落在抛物线

y 2 ? 2 px ( p ? 0 ) 上,求 a 与 d 之间
所应满足的关系式. 证明: (1)由题意可知, A1 ? 8, 4 ?,

A2 ? 18, 6 ?,

A3 ? 32, 8 ?,
显现的知识与方法需求(求直线的斜率)

? kA A ?
1 2
1 2

6?4 1 8?6 1 ? , kA A ? ? . 18 ? 8 5 32 ? 18 7
2 3
2 3

? kA A ? kA A ,

? 顶点 A1 , A2 , A3 不在同一条直线上.

数学模式识别能力(三点共线的充分条件)

(2)由题意可知,顶点 An 的横坐标 xn ? d ? a1 ? a2 ? ? ? an?1 ? 顶点 An 的纵坐标 y n ?

1 an ? 2(n ? 1) 2 , 2

1 an ? 2(n ? 1) . 2

观察能力(坐标的表示形式)

? 对任意正整数 n ,点 An ? x n , y n ? 的坐标满足方程 y 2 ? 2x , 计算能力(消参求
轨迹方程)

? 所有顶点 An 均落在抛物线 y 2 ? 2x 上.

潜在的知识与方法需求(方程 与曲线的关系)

(3)由题意可知,顶点 An 的横、纵坐标分别是

xn ? d ?

1 1 a ? (n ? 1)a ? (n ? 1) 2 d , 2 2

yn ?

1 ? a ? (n ? 1)d ? 2

观察能力(坐标的表示 形式)

a(d ? a) 2 2 消去 n ? 1 ,可得 xn ? y n ? d ? . 计算能力(消参求轨迹方程) d 2d 为使得所有顶点 An 均落在抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 ) 上,则有

?d ? 2 ? 2 p, 解之,得 d ? 4 p, a ? 8 p . ? a(d ? a) ?d ? ? 0. 2d ? ? a、d 所应满足的关系式是:a ? 2d .

数学模式识别能力(等式恒成立) 计算能力 (消参求 a, d 的数量关系)

20. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 8 分。 设 P(a, b)(b ? 0) 是平面直角坐标系 xOy 中的点,l 是经过原点与点 (1, b) 的直线,记 Q 是直线 l 与抛物线 x2 ? 2 py ( p ≠0)的异于原点的交点. (1)已知 a ? 1, b ? 2, p ? 2 .,求点 Q 的坐标; ( 2 ) 已 知 点 P(a, b)(ab ? 0) 在 椭 圆

x2 1 ? y 2 ? 1上, p ? . 求证:点 Q 落在双曲线 4 2ab

4x2 ? 4 y 2 =1 上;
(3)已知动点 P (a, b) 满足 ab ? 0 , p ?

1 ,若点 Q 始终落在一条关于 x 轴对称的抛物 2ab

线上,试问动点 P 的轨迹落在哪条双曲线上,并说明理由.

18. (本题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, A 、 B 分别为直线 x ? y ? 2 与 x 、 y 轴的交点,C 为 AB 的中点。若抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 过点 C ,求焦点 F 到直线 AB 的距离。
2

[解] 18.[解]由已知可得 A(2,0), B(0,2),C (1,1) ,??3 分 解得抛物线方程为 y ? x ,??6 分
2

于是焦点 F ? ,0 ? 。??9 分

?1 ? ?4 ?

1 ?0?2 7 2 4 ? ∴点 F 到直线 AB 的距离为 。??12 分 8 2
22. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分。 已知 z 是实系数方程 x ? 2bx ? c ? 0 的虚根,记它在直角坐标平面上的对应点为
2

Pz ? (Rez, Imz) 。
(1)若 (b, c ) 在直线 2 x ? y ? 0 上,求证: Pz 在圆 C1 : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 上; (2)给定圆 C : ( x ? m)2 ? y 2 ? r 2 (m、r ? R, r ? 0) ,则存在唯一的线段 s 满足:① 若 Pz 在圆 C 上, (b, c ) 在线段 s 上; 则 ②若 (b, c ) 是线段 s 上一点 (非端点) 则 Pz 在圆 C 上。 , 写出线段 s 的表达式,并说明理由; (3)由(2)知线段 s 与圆 C 之间确定了一种对应关系,通过这种对应关系的研究, 填写表一(表中 s1 是(1)中圆 C1 的对应线段) 。 线段 s 与线段 s1 的关系

m 、 r 的取值或表达式

s 所在直线平行于 s1 所在直线
s 所在直线平分线段 s1
线段 s 与线段 s1 长度相等 22.[证明](1)由题意可得 2b ? c ? 0 ,解方程 x ? 2bx ? 2b ? 0 ,得
2

z ? ?b ? ? 2b ? b 2 i ,
∴点 Pz (?b, ? 2b ? b 2 ) 或 Pz (?b,? ? 2b ? b 2 ) , 将点 Pz 代入圆 C1 的方程,等号成立,

? Pz 在圆 C1 : ( x ?1) 2 ? y 2 ? 1 上。??4 分
2 (2)[解法一]当 ? ? 0 ,即 b ? c 时,解得 z ? ?b ? c ? b2 i ,

∴点 Pz (?b, c ? b 2 ) 或 Pz (?b,? c ? b 2 ) ,
2 2 2 由题意可得 (?b ? m) ? c ? b ? r ,整理后得 c ? ?2mb? r ? m ,??6 分
2 2

? ? ? 4(b2 ? c) ? 0, (b ? m) 2 ? c ? b2 ? r 2 ,
?b ? (?m ? r,?m ? r ) 。
∴线段 s 为: c ? ?2mb? r 2 ? m2 , b ?[?m ? r,?m ? r ] 。 若 (b, c ) 是线段 s 上一点(非端点) ,则实系数方程为

x 2 ? 2bx ? 2mb ? r 2 ? m2 ? 0, b ? (?m ? r,?m ? r ) 。
2 2 2 2 此 时 ? ? 0 , 且 点 Pz ? b, r ? (b ? m) 、Pz ? b,? r ? (b ? m) 在 圆 C

?

? ?

?

上??10 分 [解法二]设 z ? x ? yi 是原方程的虚根,则 ( x ? yi) 2 ? 2b( x ? yi) ? c ? 0 , 解得 ?

? x ? ?b,
2 2 ? y ? x ? 2bx ? c.

① ②

由题意可得, ( x ? m) 2 ? y 2 ? r 2 。③ 解①、②、③得 c ? ?2m b ? r ? m 。??6 分
2 2

以下同解法一。 [解](3)表一 线段 s 与线段 s1 的关系

m 、 r 的取值或表达式
m ? 1, r ? 1

得分 12 分

s 所在直线平行于 s1 所在直线
s 所在直线平分线段 s1
线段 s 与线段 s1 长度相等

r 2 ? (m ? 1) 2 ? 1, m ? 1 15 分

?1 ? 4m ?r
2

2

?5

18 分

21、 已知半椭圆
2 2

x2 y 2 y 2 x2 ? 2 ? 1? x ? 0 ? 与半椭圆 2 ? 2 ? 1? x ? 0 ? 组成的曲线称为 “果圆” , a2 b b c
2

其中 a ? b ? c , a ? 0, b ? c ? 0 。如图,设点 F0 , F1 , F2 是相应椭圆的焦点, A1 , A2 和 B1 , B2 是“果圆” 与 x , y 轴的交点, (1)若三角形 F0 F1 F2 是边长为 1 的等边三角形,求“果圆”的方程; (2)若 A A ? B1 B ,求 1

b 的取值范围; a

(3)一条直线与果圆交于两点,两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数 k ,使得斜率 为 k 的直线交果圆于两点, 得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上?若存在, 求出所有 k 的值;若不存在,说明理由。 【解析】 (1)? F0 ( c, , F1 0, b2 ? c2 , F2 0,b2 ? c2 , 0) ?
? F0 F2 ?
2

?

?

?

?

y
B2

?b

2

?c

2

??c

2

? b ? 1, F1 F2 ? 2 b ? c ? 1 ,
2 2

3 7 于是 c ? , a2 ? b2 ? c2 ? ,所求“果圆”方程为 4 4 4 2 4 x ? y 2 ? 1 ( x ≥ 0) , y 2 ? x2 ? 1 ( x ≤ 0) 7 3
(2)由题意,得

.F
A1

2

O M

.

.

F0

A2

x

F1 B1

a ? c ? 2b ,即 a 2 ? b 2 ? 2b ? a .

? ( 2b)2 ? b2 ? c2 ? a2 ,? a 2 ? b 2 ? (2b ? a) 2 ,得
b2 1 b ? 2 4? ? . ? ?? , ? . 又b ? c ? a ? b , ? 2 a ? 2 5? 2 a ? ?
2 2 2 2

b 4 ? . a 5

(3)设“果圆” C 的方程为 记平行弦的斜率为 k .

x2 y 2 y 2 x2 ? 2 ? 1 ( x ≥ 0) , 2 ? 2 ? 1 ( x ≤ 0) . 2 a b b c x2 y 2 ? ? 1 ( x ≥ 0) 的交点是 a 2 b2
? t2 ? t ? ? c 1? 2 ,? . ? ? b ? ?

当 k ? 0 时,直线 y ? t ( ? b ≤ t ≤ b ) 与半椭圆

P ? a 1?
? ?

?

t2 ? y 2 x2 , ? ,与半椭圆 2 ? 2 ? 1 ( x ≤ 0) 的交点是 Q t b2 ? b c ?

? a?c t2 x2 y2 ?x ? ? 1? 2 , y 得 ? 2 ? 1. ? P,Q 的中点 M ( x, ) 满足 ? 2 b 2 b ? y ? t, ? a?c ? ? ? ?

?

2

?

a?c ? a ? c ? 2b a ? c ? 2b 2 ? ?0. ? a ? 2b ,? ? ? ? ?b ?
2

?

2

?

2

2

综上所述,当 k ? 0 时, “果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上. 当 k ? 0 时 , 以 k 为 斜 率 过 B1 的 直 线 l 与 半 椭 圆
? 2ka 2b k 2 a 2b ? b3 ? ,2 2 . ? 2 2 2 2 ? ?k a ?b k a ?b ?

x2 y 2 ? ? 1 ( x ≥ 0) 的 交 点 是 a 2 b2

由此,在直线 l 右侧,以 k 为斜率的平行弦的中点轨迹在直线 y ? ? 即不在某一椭圆上.

b2 x 上, ka 2

当 k ? 0 时,可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上. 17. (本题满分 14 分) 求出一个数学问题的正确结论后,将其作为条件之一,提出与原来问题有关的新问题, 我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题. 例如,原来问题是“若正四棱锥底面边长为 4,侧棱长为 3,求该正四棱锥的体积”.求

16 16 后,它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为 4,体积为 ,求侧棱 3 3 16 长”;也可以是“若正四棱锥的体积为 ,求所有侧面面积之和的最小值”. 3
出体积 试给出问题“在平面直角坐标系 xoy 中,求点 P ( 2,1) 到直线 3x ? 4 y ? 0 的距离.”的一 个有意义的“逆向”问题,并解答你所给出的“逆向”问题. 17. 点 ( 2,1) 到直线 3x ? 4 y ? 0 的距离为 “逆向”问题可以是: (1)求到直线 3x ? 4 y ? 0 的距离为 2 的点的轨迹方程. 设所求轨迹上任意一点为 P( x, y ) ,则 ????10 分

| 3 ? 2 ? 4 ?1| 32 ? 42

?2.

????4 分

| 3x ? 4 y | ? 2, 5 所求轨迹为 3x ? 4 y ? 10 ? 0 或 3x ? 4 y ? 10 ? 0 . ????14 分 (2)若点 P ( 2,1) 到直线 l : ax ? by ? 0 的距离为 2,求直线 l 的方程.????10 分 | 2a ? b | 由 ? 2 ,化简得 4ab ? 3b2 ? 0 , b ? 0 或 4a ? 3b , 2 2 a ?b 所以,直线 l 的方程为 x ? 0 或 3x ? 4 y ? 0 . ????14 分
意义不大的“逆向”问题可能是: (3)点 P ( 2,1) 是不是到直线 3x ? 4 y ? 0 的距离为 2 的一个点?????6 分

?2, 32 ? 42 所以点 P ( 2,1) 是到直线 3x ? 4 y ? 0 的距离为 2 的一个点.????10 分
因为 (4)点 Q(1,1) 是不是到直线 3x ? 4 y ? 0 的距离为 2 的一个点?????6 分

| 3 ? 2 ? 4 ?1|

因为

| 3 ?1 ? 4 ?1| 32 ? 42

?

7 ? 2, 5

所以点 Q(1,1) 不是到直线 3x ? 4 y ? 0 的距离为 2 的一个点.????10 分 (5)点 P ( 2,1) 是不是到直线 5 x ? 12 y ? 0 的距离为 2 的一个点?????6 分

因为

| 5 ? 2 ? 12 ?1| 52 ? 122

?

22 ?2, 13

所以点 P ( 2,1) 不是到直线 5 x ? 12 y ? 0 的距离为 2 的一个点.????10 分

18. (本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 如图,在直角坐标系 xoy 中,设椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右两个焦点分别为 a 2 b2

F1、F2 .过右焦点 F2 且与 x 轴垂直的直线 l 与椭圆 C 相交,其中一个交点为 M
(1)求椭圆 C 的方程; (2)设椭圆 C 的一个顶点为 B( 0, ? b ) , 直线 BF2 交椭圆 C 于另一点 N ,求△ F1 BN 的面积. 18. (1) 解法一:? l ? x 轴,∴ F2 的坐标为

?

2, 1 .
l M

?y

F1

O

F2

x

?

2, 0 . ????2 分

?

?2 1 ? a 2 ? 4, ? 2 ? 2 ? 1, 由题意可知 ? a 得 ? 2 b ? b ? 2. ? a 2 ? b2 ? 2, ?
x2 y 2 ? ? 1. ∴所求椭圆方程为 4 2
???? 6 分

解法二:由椭圆定义可知 MF ? MF2 ? 2a . 1 由题意 MF2 ? 1 ,∴ MF ? 2a ?1. 1 又由 Rt △ MF1 F2 可知 (2a ? 1)2 ? 2 2 又 a ? b ? 2 ,得 b ? 2 .
2 2 2

????2 分
2

?

?

? 1 , a ? 0 ,∴ a ? 2 ,

∴椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 2

????6 分

(2) 直线 BF2 的方程为 y ? x ? 2 .

????8 分

? y ? x ? 2, 2 ? 由 ? x2 y 2 得点 N 的纵坐标为 . ????10 分 3 ? 1, ? ? ?4 2
又 F1F2 ? 2 2 ,∴ S ?F1BN ?

1 ? 2? 8 ?? 2 ? ? ? 2 2 ? .????14 分 2 ? 3 ? 3 ? ?
2

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 在平面直角坐标系 x O y 中,直线 l 与抛物线 y =2 x 相交于 A、B 两点.

(1)求证: “如果直线 l 过点 T(3,0) ,那么 OA ? OB =3”是真命题; (2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由. [解](1)设过点 T(3,0)的直线 l 交抛物线 y2=2x 于点 A(x1,y1)、B(x2,y2). 当直线 l 的钭率不存在时,直线 l 的方程为 x=3,此时,直线 l 与抛物线相交于点 A(3, 6 )、B(3,- 6 ). ∴OA? OB =3;

?? ?

?? ?

当直线 l 的钭率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 3) ,其中 k ? 0 ,

由?

? y2 ? 2x 得 ky 2 ? 2 y ? 6k ? 0 ? y1 y2 ??6 ? y ? k ( x ? 3)

2 2 ??? ??? ? ? ∴OA? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 1 ( y1 y2 ) 2 ? y1 y2 ? 3 , 4
综上所述,命题“如果直线 l 过点 T(3,0),那么 OA? OB =3”是真命题; (2)逆命题是:设直线 l 交抛物线 y2=2x 于 A、B 两点,如果 OA? OB =3,那么该直线过点 T(3,0).该命题是假命题. 例如:取抛物线上的点 A(2,2),B(

又 ∵ x1 ? 1 y12 , x2 ? 1 y2 2 ,

??? ??? ? ? 1 ,1),此时 OA? OB =3, 2

直线 AB 的方程为: y ? 2 ( x ?1) ,而 T(3,0)不在直线 AB 上;

3

说明:由抛物线 y =2x 上的点 A (x1,y1)、B (x2,y2) 满足 OA? OB =3,可得 y1y2=-6, 或 y1y2=2,如果 y1y2=-6,可证得直线 AB 过点(3,0);如果 y1y2=2,可证得 直线 AB 过点(-1,0),而不过点(3,0). 20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图:航天器运行(按顺

2

y2 x2 ? ? 1 ,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返 100 25 64 ? ? 回的轨迹是以 y 轴为对称轴、M ? 0, ? 为顶点的抛物线的实线部分,降落点为 D( 8, 0 ) . 7 ? ? 观测点 A( 4, 0 )、B( 6, 0 ) 同时跟踪航天器.
时针方向)的轨迹方程为 (1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程; (2) 试问: 当航天器在 x 轴上方时, 观测点 A、 B 测 得离航天器的距离分别为多少时, 应向航天器发出变 轨指令?

20. [ 解 ] ( 1 ) 设 曲 线 方 程 为 y ? ax 2 ?

64 , 7

由 题 意 可 知 , 0 ? a ? 64 ?

64 . 7

1 ? a?? . 7

??4 分 ??6 分

1 64 . ? 曲线方程为 y ? ? x 2 ? 7 7 (2)设变轨点为 C ( x, y ) ,根据题意可知
? x2 y2 ? ? ?100 25 ? 1, ? ? y ? ? 1 x 2 ? 64 , ? 7 7 ? (1) (2)


4 y 2 ? 7 y ? 36 ? 0 ,

9 y ? 4 或 y ? ? (不合题意,舍去). 4
? y ? 4. 得 ( 6, 4 ) ,
??9 分 C 点 的 坐 标 为

x ? 6 或 x ? ?6 ( 不 合 题 意 , 舍 去 ) . ??11 分

?

| AC |? 2 5 , | BC |? 4 .
答:当观测点 A、 B 测得 AC、BC 距离分别为 2 5、 4 时,应向航天器发出变轨指令. 19. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 如图,点 A、B 分别是椭圆

x2 y2 ? ? 1 长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右焦点,点 36 20

P 在椭圆上,且位于 x 轴上方, PA ? PF . (1)求点 P 的坐标; (2)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点,M 到直线 AP 的距离等于 | MB | ,求椭圆上的点 到点 M 的距离 d 的最小值.

19.[解](1)由已知可得点 A(-6,0) ,F(4,0) 设点 P 的坐标是 ( x, y),则AP ? {x ? 6, y}, FP ? {x ? 4, y} ,由已知得

? x2 y2 ?1 3 ? ? 则2 x 2 ? 9 x ? 18 ? 0, x ? 或x ? ?6. ? 36 20 2 ?( x ? 6)(x ? 4) ? y 2 ? 0 ?

由于 y ? 0, 只能 x ?

3 5 3 5 , 于是 y ? 3,? 点P的坐标是 ( , 3 ). 2 2 2 2

(2)直线 AP 的方程是 x ? 3 y ? 6 ? 0. 设点 M 的坐标是(m,0) ,则 M 到直线 AP 的距离是 于是

|m?6| ?| m ? 6 |,又 ? 6 ? m ? 6, 解得 m ? 2, 2

|m?6| , 2

椭圆上的点 ( x, y ) 到点 M 的距离 d 有

d 2 ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? x 2 ? 4 x ? 4 ? 20 ?
由于 ? 6 ? x ? 6,?当x ?

5 2 4 9 x ? ( x ? ) 2 ? 15, 9 9 2

9 时, d取得最小值 15 . 2

21. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 7 分。

2 a 的定义域为 ( 0 , ? ? ) , f ( 2) ? 2 ? 且 . 设点 P 是函数图象上的 2 x N 任意一点,过点 P 分别作直线 y ? x 和 y 轴的垂线,垂足分别为 M 、 . (1)求 a 的值; (2)问: | PM | ? | PN | 是否为定值?若是,
已知函数 f ( x) ? x ? 则求出该定值,若不是,则说明理由; (3) O 为坐标原点, 设 求四边形 OMPN 面 积的最小值. [解](1) (2) (3)

21. [解](1)∵ f (2) ? 2 ?

a 2 ?2? ,∴ a ? 2 . 2 2

?? 3 分

(2)设点 P 的坐标为 ( x0 ,

y 0 ) ,则有 y 0 ? x0 ?
| x0 ? y 0 | 2

2 x0

, x0 ? 0 ,

由点到直线的距离公式可知: | PM |?

?

1 , | PN |? x0 , x0
?? 9 分

故有 | PM | ? | PN |? 1 ,即 | PM | ? | PN | 为定值,这个值为 1. (3)由题意可设 M (t , t ) ,可知 N (0,

y0 ) .

∵ PM 与直线 y ? x 垂直,∴ k PM ? 1 ? ?1 ,即

y0 ? t ? ?1 ,解得 x0 ? t

2 2 1 ,∴ t ? x0 ? . t ? ( x0 ? y0 ) ,又 y 0 ? x0 ? x0 2 x0 2
∴ S ?OPM ?

1 2 2 1 2 , S ?OPN ? x 0 ? , ? 2 2 2 2 2 x0

∴ S OMPN ? S ?OPM ? S ?OPN ? 当且仅当 x 0 ? 1 时,等号成立.

1 2 1 ( x0 ? 2 ) ? 2 ? 1 ? 2 , 2 x0

∴ 此时四边形 OMPN 面积有最小值 1 ? 2 .

?? 16 分

22. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 8 分. 第 3 小 题满分 5 分。 (1)求右焦点坐标是 ( 2 , 0 ) ,且经过点 ( ? 2 , ? 2 ) 的椭圆的标准方程;

(2) 已知椭圆 C 的方程是

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) . 设斜率为 k 的直线 l , B 交椭圆 C 于 A 、 a2 b2

两点, AB 的中点为 M . 证明:当直线 l 平行移动时,动点 M 在一条过原点的定直线上; (3)利用(2)所揭示的椭圆几何性质,用作图方法找出下面给定椭圆的中心,简要写出作 图步骤,并在图中标出椭圆的中心. [解](1) [证明](2) [解](3)

22. [解](1)设椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ?1, a ? b ? 0 , a2 b2 y2 x2 ? 2 ?1, b2 ? 4 b

∴ a 2 ? b 2 ? 4 ,即椭圆的方程为

∵ 点( ? 2,? 2 )在椭圆上,∴ 解得 b 2 ? 4 或 b 2 ? ?2 (舍) ,

4 2 ? 2 ? 1, b ?4 b
2

由此得 a 2 ? 8 ,即椭圆的标准方程为 (2)设直线 l 的方程为 y ? kx ? m , 与椭圆 C 的交点 A ( x1 , 则有 ? x 2

x2 y2 ? ?1. 8 4

?? 5 分 ?? 6 分

y1 )、 B ( x2 ,

y 2 ),

? y ? kx ? m ? , y2 ? 2 ?1 ?a2 b ?

解得 (b 2 ? a 2 k 2 ) x 2 ? 2a 2 kmx ? a 2 m 2 ? a 2 b 2 ? 0 , ∵ ? ? 0 ,∴ m 2 ? b 2 ? a 2 k 2 ,即 ? b 2 ? a 2 k 2 ? m ? b 2 ? a 2 k 2 . 则 x1 ? x 2 ? ?

2a 2 km , b2 ? a2k 2

y1 ? y 2 ? kx1 ? m ? kx 2 ? m ?

2b 2 m , b2 ? a2k 2
?? 11 分

? a 2 km ∴ AB 中点 M 的坐标为 ? ? 2 ? b ? a2k 2 , ?

b2m ? ?. b2 ? a2k 2 ? ?

∴ 线段 AB 的中点 M 在过原点的直线 b 2 x ? a 2 k y ? 0 上. (3)如图,作两条平行直线分别交椭圆于 A 、 B 和 C、D ,并分 别取 AB 、 CD 的中点 M、N ,连接直线 MN ;又作两条平行直线(与 前两条直线不平行)分别交椭圆于 A1 、 B1 和 C1、D1 ,并分别取 A1 B1 、

?? 13 分

C1 D1 的中点 M 1、N1 ,连接直线 M 1 N 1 ,那么直线 MN 和 M 1 N 1 的交点
O 即为椭圆中心.
?? 18 分

22、(本题满分 18 分) 第 1 小题满分 6 分, 第 2 小题满分 4 分, 第 3 小题满分 8 分 设 P ( x1 , y1 ) , P ( x2 , y2 ) ,…, P ( xn , yn ) ( n ? 3, n ? N ) 是 二 次 曲 线 C 上 的 点 , 且 1 2 n

a1 ? OP1 , a2 ? OP2 , …, an ? OPn 构成了一个公差为 d ( d ? 0 ) 的等差数列, 其
2 2 2

中 O 是坐标原点. 记 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an .

(1)若 C 的方程为 写出一个) (2)若 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 , n ? 3 . 点 P (3, 0) 及 S3 ? 255 , 求点 P 的坐标; (只需 1 3 100 25

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0). 点 P (a,0) , 对于给定的自然数 n, 当公差 d 变化 1 a2 b2

时, 求 Sn 的最小值; (3)请选定一条除椭圆外的二次曲线 C 及 C 上的一点 P1,对于给定的自然数 n,写出符合条 件的点 P , P ,?, P 存在的充要条件,并说明理由. 1 2 n

22、 【解】(1) a1 ? OP 1

2

? 100 ,由 S3 ?

3 2 (a1 ? a3 ) ? 255 ,得 a3 ? OP3 ? 70 . 2

? x2 y 2 2 ? x3 ? 60 ? ?1 ? ? 由 ?100 25 ,得 ? 2 ? y3 ? 10 ? ? x 2 ? y 2 ? 70 3 ? 3
∴点 P 的坐标可以为 (2 15, 10) . 3 (2) 【解法一】原点 O 到二次曲线 C : 最大距离为 a .
2 ∵ a1 ? OP ? a , ∴ d ? 0 ,且 an ? OPn 1 2 2

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )上各点的最小距离为 b , a 2 b2

? a 2 ? (n ? 1)d ? b 2 ,



n( n ? 1) b2 ? a 2 ? d ? 0. ∵n ? 3, >0 2 n ?1
2

∴ S n ? na ?

n(n ? 1) b2 ? a2 d 在[ ,0)上递增, 2 n ?1
2

故 Sn 的最小值为 na ?

n(n ? 1) b 2 ? a 2 n(a 2 ? b 2 ) · = . 2 n ?1 2

【解法二】对每个自然数 k (2 ? k ? n) ,
2 2 ? xk ? yk ? a 2 ? (k ? 1)d ?b 2 (k ? 1)d ? 2 由 ? x2 y 2 ,解得 yk ? k k a 2 ? b2 ? 2 ? 2 ?1 ?a b

2 ∵ 0 ? yk ? b2 ,得

b2 ? a 2 ?d ?0 k ?1



b2 ? a 2 ?d ?0 n ?1

以下与解法一相同. (3) 【解法一】若双曲线 C :

x2 y2 - 2 =1,点 P (a,0) , 1 a2 b

则对于给定的 n , 点 P , P ,?, P 存在的充要条件是 d ? 0 . 1 2 n ∵原点 O 到双曲线 C 上各点的距离 h ?[| a |, ??) ,且 OP ? a , 1
2

∴点 P , P ,?, P 存在当且仅当 OPn 2> OP 2,即 d>0. 1 2 n 1 【解法二】若抛物线 C : y ? 2x ,点 P (0, 0) , 1
2

则对于给定的 n , 点 P , P ,?, P 存在的充要条件是 d ? 0 .理由同上 1 2 n
2 2 【解法三】若圆 C : ( x ? a) ? y ? a ( a ? 0 ), P (0, 0) , 1

则对于给定的 n, 点 P , P ,?, P 存在的充要条件是 0 ? d ? 1 2 n ∵原点 O 到圆 C 上各点的最小距离为 0,最大距离为 2 a ,
2

4a 2 . n ?1

且 OP =0, ∴d>0 且 OPn 1

? (n ? 1)d ? 4a 2 .即 0 ? d ?

4a 2 . n ?1

22.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分, 3 小题满分 第 8 分. 已知倾斜角为 45 ? 的直线 l 过点 A(1 , ? 2) 和点 B , B 在第一象限, | AB |? 3 2 . (1) 求点 B 的坐标;

x2 ? y 2 ? 1 (a ? 0) 相交于 E 、 F 两点,且线段 EF 的中点坐 a2 标为 ( 4 , 1) ,求 a 的值; (3) 对于平面上任一点 P ,当点 Q 在线段 AB 上运动时,称 | PQ | 的最小值为 P 与线段 AB 的距离. 已知点 P 在 x 轴上运动,写出点 P (t , 0) 到线段 AB 的距离 h 关于 t 的函 数关系式.
(2) 若直线 l 与双曲线 C : 22. (1) 直线 AB 方程为 y ? x ? 3 , 设点 B( x , y ) , ? 由
y ? 1 ,点 B 的坐标为 ( 4 , 1)

?y ? x ? 3 及 x ? 0 ,y ? 0 得 x ? 4 , 2 2 ? ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 18

(2)由 ? x 2 ? y 2 ? 1 得 ( 12 ? 1) x 2 ? 6x ? 10 ? 0 ,设 E ( x1 , y1 ) , F ( x 2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? ? 6a 2 ? 4 ,得 ? a 1?a ? 2
2

? y ? x ?3 ?a

a?2

(3)(解法一)设线段 AB 上任意一点 Q 坐标为 Q ( x , x ? 3) , | PQ |? (t ? x) 2 ? ( x ? 3) 2 , 记 f ( x) ? (t ? x) 2 ? ( x ? 3) 2 ? 2( x ? t ?3 ) 2 ? (t ?23) (1 ? t ? 4) , 2
2

当 1 ? t ?3 ? 4 时,即 ?1 ? t ? 5 时, | PQ | min ? f ( t ?3 ) ? |t ?3| , 2 2 2 当 t ?3 ? 4 ,即 t ? 5 时, f (x) 在 [1 , 4] 上单调递减,∴ | PQ |min ? f (4) ? (t ? 4)2 ? 1 ; 2 当 t ?3 ? 1 ,即 t ? ?1 时, f (x) 在 [1 , 4] 上单调递增, | PQ | min ? f (1) ? (t ? 1) 2 ? 4 2
? 2 t ? ?1 ; ? (t ? 1) ? 4 ? |t ?3| 综上所述, h(t ) ? ? 2 ?1 ? t ? 5 ; ? 2 t ?5 . ? (t ? 4) ? 1 ?
y

B
A' B' 5

x

?1

O

1

3

?2

A

(解法二) 过 A 、 B 两点分别作线段 AB 的垂线,交 x 轴于 A (?1 , 0) 、 B' (5 , 0) ,
'

当点 P 在线段 A B' 上,即 ?1 ? t ? 5 时,由点到直线的距离公式得: | PQ |min ? |t ?3| ;
2

当点 P 的点在点 A 的左边, t ? ?1 时, | PQ |min ?| PA |? (t ? 1) ? 4 ;
'

2

当点 P 的点在点 A ' 的右边, t ? 5 时, | PQ |min ?| PB |? (t ? 4)2 ? 1
? 2 t ? ?1 ; ? (t ? 1) ? 4 ? |t ?3| 综上所述, h(t ) ? ? 2 ?1 ? t ? 5 ; ? 2 t ?5 . ? (t ? 4) ? 1 ?

王新敞
奎屯

新疆


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