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新课标2014届高三上学期第4次月考数学文试题


2013—2014 学年度上学期高三一轮复习 数学(文)单元验收试题(4) 【新课标】
命题范围:解析几何 说明:本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 150 分;答题时间 120 分钟。 第Ⅰ卷 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后的 括号内(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) 。 1.如果命题“曲线 C 上的点的坐标都是方程 f ( x, y) ? 0 的解”是正确的,则下列命题中正确的是( ) A.曲线 C 是方程 f ( x, y) ? 0 的曲线; B.方程 f ( x, y) ? 0 的每一组解对应的点都在曲线 C 上; C.不满足方程 f ( x, y) ? 0 的点 ( x, y ) 不在曲线 C 上; D.方程 f ( x, y) ? 0 是曲线 C 的方程. 2.过点 (1,0) 且与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行的直线方程是( A. x ? 2 y ? 1 ? 0 B. x ? 2 y ? 1 ? 0 ) D. x ? 2 y ? 1 ? 0

C. 2 x ? y ? 2 ? 0

3.设抛物线 y 2 ? 8 x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4,则点 P 到该抛物线焦点的距离是( ) A.4 B.6 C.8 D.12 π x2 y2 y2 x2 4. (2013 年高考湖北卷(文) )已知 0 ? ? ? ,则双曲线 C1 : 2 ? ? 1 与 C2 : ? 2 ?1的 4 sin ? cos2 ? cos2 ? sin ? ( ) A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 5.曲线 x 2 ? y 2 ? 6x ? 0( y ? 0) 与直线 y ? k ( x ? 2) 有公共点的充要条件是( ) A. k ? ??

? 3 ? ,0 ? ? 4 ?
2

B. k ? ? 0, ? 3

? ?

4? ?

C. k ? ? 0, ? 4

? ?

3? ?
2

D. k ? ??

? 3 3? , ? 4 4? ?


6.圆心在抛物线 y 2 ? 2 x 上,且与该抛物线的准线和 x 轴都相切的圆的方程是(

? A? ? x ? ?
?

1? 2 ? ? ? y ? 1? ? 1 2?
2 2

? B?? x ? ?
?

1? 2 ? ? ? y ? 1? ? 1 2?
2

1 1 1 1 2 ?C ? ? x ? ? ? ? y ? ? ? ? D ? ? x ? ? ? ? y ? 1? ? 1 ? ? ? ? ? ? 2? ? 2? 4 2? ? ? 2 2 7. 2013 年高考重庆卷 ( (文) 设 P 是圆 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 4 上的动点, Q 是直线 x ? ?3 上的动点,则 PQ )
的最小值为( ) A.6 B. 4 C.3 D.2 2= 8.2013 年高考课标Ⅱ卷 ( (文)设抛物线 C:y 4x 的焦点为 F,直线 L 过 F 且与 C 交于 A, B 两点.若|AF|=3|BF|, ) 则 L 的方程为( ) A.y=x-1 或 y=-x+1 B. y=错误! 未找到引用源。 (X-1)或 y=错误! 未找到引用源。 -错误!未找到引用源。(x-1) C.y=错误!未找到引用源。(x-1)或 y=-错误!未找到引用源。(x-1) D.y=错误! 未找到引用源。(x-1)或 y=-错误!未找到引用源。(x-1) 9.直线 y ? x ? 3 与曲线 A.1

y2 x x ? ? 1 的公共点的个数是( ) 9 4
B.2 C.3
2 2

D.4 )

10.已知 x,y 满足 ( x ? y ? 1)(x ? y) ? 0 ,则 ( x ? 1) ? ( y ? 1) 的最小值是(
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1 2 C. D.2 2 2 x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点,点 P 在双曲线 C 上,∠ F1 PF2 = 60 ? ,则 P 到 x 11.若 F1 、 F2 为双曲线 C : 4
A.0 B. 轴的距离为( A. ) B.

15 20 x2 y 2 12 .( 2013 年 高 考 辽 宁 卷 ( 文 )) 已 知 椭 圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 左 焦 点 为 a b 4 F F , C与过原点的直线相交于 A, B 两点,连接了 AF , BF ,若 AB ? 10, B F ? 8, cos ? ABF ? ,则 C 5
C. D. 的离心率为( A. ) B.

5 5

15 5

2 15 5

3 5

5 7

C.

4 5

D.

6 7

第Ⅱ卷 二、填空题:请把答案填在题中横线上(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分) 。 13.点 M 是曲线 y ? _____________。 14. (2013 年高考湖南(文) )设 F1,F2 是双曲线 C,

1 2 x ? 1 上的一个动点,且点 M 为线段 OP 的中点,则动点 P 的轨迹方程为 2

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两个焦点.若在 C 上存在一点 a 2 b2

P.使 PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°,则 C 的离心率为 . 15. (201 3 年高考四川卷(文) )在平面直角坐标系内,到点 A(1, 2) , B(1,5) , C (3, 6) , D(7, ?1) 的距离之 和最小的点的坐标是 . 16. (2013 年高考湖北卷 (文) 在平面直角坐标系中,若点 P( x, y ) 的坐标 x , y 均 为整数,则称点 P 为格点. ) 若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形. 格点多边形的面积记为 S ,其内部的格点数 记为 N ,边界上的格点数记为 L . 例如图中△ ABC 是格点三角形,对应的 S ? 1 , N ? 0 , L ? 4 . (Ⅰ)图中格点四边形 DEFG 对应的 S , N , L 分别是
N ? 71 , L ? 18 , 则 S ?



(Ⅱ)已知格点多边形的面积可表示为 S ? aN ? bL ? c ,其中 a,b,c 为常数. 若某格点多边形对应的 (用数值作答).

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 个大题,共 76 分)。 2 2 17. (12 分)已知直角坐标平面上点 Q(2,0)和圆 C:x +y =1,动点 M 到圆 C 的切线长与|MQ|的比等于常 数λ (λ >0).求动点 M 的轨迹方程,说明它表示什么曲线。
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? 6 x2 y2 3? ? 两点,过原点的直线 l 与 , ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )经过 (1 , 1) 与 ? ? 2 2 ? a2 b ? ? C 交于 A 、 B 两点,椭圆 C 上一点 M 满足 | MA |?| MB | . 椭圆 (1)求椭圆 C 的方程; y 1 1 2 M (2)求证: 为定值 ? ? A | OA | 2 | OB | 2 | OM | 2
18. (12 分)已知椭圆 C : O B x

19. (12 分) 已知圆 C 的方程为 x2 ? ( y ? 4)2 ? 4 ,点 O 是坐标原点.直线 l : y ? kx 与圆 C 交于 M , N 两点. (Ⅰ)求 k 的取值范围; (Ⅱ)设 Q(m, n) 是线段 MN 上的点,且

2 1 1 ,请将 n 表示为 m 的函数. ? ? 2 2 | OQ | | OM | | ON |2

20. (12 分) 2010 年 10 月 1 日 18 时 59 分 57 秒“嫦娥二号”探月卫星由长征三号丙运载火箭送入近地点 高度约 200 公里、远地点高度约 38 万公里的直接奔月椭圆(地球球心 O 为一个焦点)轨道Ⅰ飞行.当卫 星到达月球附近的特定位置时,实施近月制动及轨道调整,卫星变轨进入远月面 100 公里、近月面 15 公里 (月球球心 F 为一个焦点)的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,之后卫星再次择机变轨进入以 F 为圆心、距月面 100 公 里的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,并开展相关技术试验和科学探测.已知地球半径约为 6370 公里,月球半径约为 1730 公里. Ⅰ、比较椭圆轨道Ⅰ与椭圆轨道Ⅱ的离心率的大小; Ⅱ、以 F 为右焦点,求椭圆轨道Ⅱ的标准方程.

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21. (12 分) (2013 年高考福建卷 (文) 如图,在抛物线 E : y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,准线 l 与 x 轴的交点为 A . ) 点 C 在抛物线 E 上,以 C 为圆心 OC 为半径作圆,设圆 C 与准线 l 的交于不同的两点 M , N . (1)若点 C 的纵坐标为 2,求 MN ; (2)若 AF
2

? AM ? AN ,求圆 C 的半径.

22. (14 分) (2013 年高考湖北卷(文) )如图,已知椭圆 C1 与 C2 的中心在坐标原点 O ,长轴均为 MN 且在 x 轴上,短轴长分别为 2m , 2n (m ? n) ,过原点且不与 x 轴重合的直线 l 与 C1 , C2 的四个交点按纵坐标从大到 小依次为 A,B,C,D.记 ? ?

m ,△ BDM 和△ ABN 的面积分别为 S1 和 S 2 . n

(Ⅰ)当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1 ? ? S2 ,求 ? 的值; (Ⅱ)当 ? 变化时,是否存在与坐标轴不重合 的直线 l,使得 S1 ? ? S2 ?并说明理由.

y A B

M

O C
D
第 22 题图

N x

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参考答案 一、选择题 1.C;2.D;3.B;4.D;5.C;6.B;7.B;8.C;9.C;10.B;11.B;12.B; 二、填空题 13. y ?

1 2 x ? 2 ;14. 3 ? 1 ;15.(2,4);16.(Ⅰ)3, 1, 6 (Ⅱ)79。 4

三、解答题 17.解:设点 P 的坐标为(x,y) ,由题设有 整理得 x +y -6x+1=0. ① 因为点 N 到 PM 的距离为 1,|MN|=2, 所以∠PMN=30°,直线 PM 的斜率为± 直线 PM 的方程为 y=±
2 2

| PM | ? 2 ,即 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2 ? ( x ? 1) 2 ? y 2 . | PN |

3 , 3

3 (x+1) .② 3
2

将②式代入①式整理得 x -4x+1=0.解得 x=2+

3 ,x=2- 3 . 代入②式得点 P 的坐标为(2+ 3 ,1+ 3 )或(2- 3 ,-1+ 3 )(2+ 3 ,-1- 3 )或(2 ; - 3 ,1- 3 ) .
直线 PN 的方程为 y=x-1 或 y=-x+1.

1 ?1 ?a2 ? b2 ? 1 ? 6 3? ? ? 18.解: (1)将 (1 , 1) 与 ? , ? 2 , 2 ? 代入椭圆 C 的方程,得 ? 3 3 ? ? ? ? ?1 ? 2a 2 4b 2 ? 3 2 2 解得 a ? 3 , b ? . y 2 2 2 M x 2y A ? ? 1. 所以椭圆 C 的方程为 3 3 (2)由 | MA |?| MB | ,知 M 在线段 AB 的垂直平分线上, O 由椭圆的对称性知 A 、 B 关于原点对称. B ①若点 A 、 B 在椭圆的短轴顶点上,则点 M 在椭圆的长轴顶点上,此时 1 1 2 1 1 2 1? ? 1 ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 2? 2 ? 2 ? ? 2 . 2 2 2 | OA | | OB | | OM | b b a b ? ?a 同理,若点 A 、 B 在椭圆的长轴顶点上,则点 M 在椭圆的短轴顶点上,此时 1 1 2 1 1 2 1 ? ? 1 ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 2? 2 ? 2 ? ? 2 . 2 2 2 | OA | | OB | | OM | a a b b ? ?a ②若点 A 、 B 、 M 不是椭圆的顶点,设直线 l 的方程为 y ? kx ( k ? 0 ) , 1 则直线 OM 的方程为 y ? ? x .设 A( x1 , y1 ) , M ( x2 , y 2 ) , k ? y ? kx 3 3k 2 ? 2 2 由 ? x2 2y2 ,解得 x1 ? , y1 ? , 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ? ?1 ? 3 ?3 3(1 ? k 2 ) 3(1 ? k 2 ) | OM | 2 ? | OA | 2 ?| OB | 2 ? x12 ? y12 ? 所以 ,同理可得 , 2? k2 1 ? 2k 2
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x

1 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 2(2 ? k 2 ) ? ? ? ? ? ? 2. | OA | 2 | OB | 2 | OM | 2 3(1 ? k 2 ) 3(1 ? k 2 ) 3(1 ? k 2 ) 1 1 2 综上, 为定值 2 . ? ? 2 2 | OA | | OB | | OM | 2
所以 19.解:(Ⅰ)将 y ? k x 代入 x2 ? ( y ? 4)2 ? 4 得 则 (1 ? k 2 ) x 2 ? 8k x ? 12 ? 0 ,(*) 由 ? ? (?8k ) 2 ? 4(1 ? k 2 ) ? 12 ? 0 得 k 2 ? 3 . 所以 k 的取值范围是 (??, ? 3) ? ( 3, ??) (Ⅱ)因为 M、N 在直线 l 上,可设点 M、N 的坐标分别为 ( x1 , kx1 ) , ( x 2 , kx 2 ) ,则

OM ? (1 ? k 2 ) x1 , ON ? (1 ? k 2 ) x2 ,又 OQ ? m2 ? n 2 ? (1 ? k 2 ) m2 , 2 1 1 2 1 1 ? ? 由 得, , ? ? 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 ? k ) m (1 ? k ) x1 (1 ? k 2 ) x 2 OQ OM ON
2 2

2

2

2

( x1 ? x 2 ) 2 ? 2 x1 x 2 2 1 1 所以 2 ? 2 ? 2 ? 2 2 m x1 x2 x1 x 2 8k 12 36 由(*)知 x1 ? x 2 ? , x1 x 2 ? , 所以 m 2 ? 2 , 2 2 1? k 1? k 5k ? 3 36 n 因为点 Q 在直线 l 上,所以 k ? ,代入 m 2 ? 2 可得 5n 2 ? 3m 2 ? 36 , 5k ? 3 m 36 2 由m ? 2 及 k 2 ? 3 得 0 ? m 2 ? 3 ,即 m ? (? 3, 0) ? (0, 3) . 5k ? 3
依题意,点 Q 在圆 C 内,则 n ? 0 ,所以 n ? 于是, n 与 m 的函数关系为 n ?

36 ? 3m 2 15m 2 ? 180 , ? 5 5

15m 2 ? 180 ( m ? (? 3, 0) ? (0, 3) ) 5 ?a1 ? c1 ? 200 ? 6370 ? 6570 20.解析:(Ⅰ)设椭圆轨道Ⅰ的半焦距为 c1 ,半长轴的长为 a1 ,则 ? ,解得 ?a1 ? c1 ? 380000 ? 6370 ? 386370
2a1 ? 392940 , 2c1 ? 379840 ,∴ e1 ?
379840 392940

? 0.967 .

?a2 ? c2 ? 15 ? 1730 ? 1745 设椭圆轨道Ⅱ的半焦距为 c 2 ,半长轴的长为 a2 ,则 ? , ?a2 ? c2 ? 100 ? 1730 ? 1830
解得 2a1 ? 3575 , 2c1 ? 85 ,∴ e2 ?
85 3575

? 0.024 .故 e1 ? e2 .
x a
2 2

(Ⅱ)依题意设椭圆轨道Ⅱ的标准方程为

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0) ,则由⑴知 a 2 ?
4x
2 2

3575 4

2

,

b2 ? a 2 ? c 2 ? 1745 ? 1830 ,故所求椭圆轨道Ⅱ的标准方程为

3575

?

y

2

1745 ? 1830

?1

21.解:(Ⅰ)抛物线 y 2 ? 4 x 的准线 l 的方程为 x ? ?1 , 由点 C 的纵坐标为 2 ,得点 C 的坐标为 (1, 2) 所以点 C 到准线 l 的距离 d ? 2 ,又 | CO |? 5 . 所以 | MN |? 2 | CO |2 ? d 2 ? 2 5 ? 4 ? 2 .
2 y0 y2 y4 y2 2 , y0 ) ,则圆 C 的方程为 ( x ? 0 ) 2 ? ( y ? y0 ) 2 ? 0 ? y0 , 即 x 2 ? 0 x ? y 2 ? 2 y0 y ? 0 . 4 4 16 2 2 y0 由 x ? ?1 ,得 y 2 ? 2 y0 y ? 1 ? ?0 2

(Ⅱ)设 C (

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2 ? y0 2 2 ?? ? 4 y0 ? 4(1 ? ) ? 2 y0 ? 4 ? 0 ? 2 设 M (?1, y1 ) , N (?1, y2 ) ,则: ? 2 ? y y ? y0 ? 1 1 2 ? 2 ? 2 由 | AF | ?| AM | ? | AN | ,得 | y1 y2 |? 4

2 y0 ? 1 ? 4 ,解得 y0 ? ? 6 ,此时 ? ? 0 2 3 3 所以圆心 C 的坐标为 ( , 6) 或 ( , ? 6) 2 2 33 33 33 从而 | CO |2 ? , | CO |? ,即圆 C 的半径为 。 4 2 2 22.解:依题意可设椭圆 C1 和 C2 的方程 分别为

所以

x2 y 2 x2 y 2 m ? 2 ? 1 , C2 : 2 ? 2 ? 1 . 其中 a ? m ? n ? 0 , ? ? ? 1. 2 n a m a n (Ⅰ)解法 1:如图 1,若直线 l 与 y 轴重合,即直线 l 的方程为 x ? 0 ,则 S | BD | 1 1 1 1 . S1 ? | BD | ? | OM | ? a | BD | , S2 ? | AB | ? | ON | ? a | AB | ,所以 1 ? S 2 | AB | 2 2 2 2
C1 :

在 C1 和 C2 的方程中分别令 x ? 0 ,可得 y A ? m , yB ? n , yD ? ?m , | BD | | yB ? yD | m ? n ? ? 1 ? ? ? 于是 . | AB | | y A ? yB | m ? n ? ? 1 S ? ?1 若 1 ? ? ,则 ? ? ,化简得 ? 2 ? 2? ? 1 ? 0 . 由 ? ? 1 ,可解得 ? ? 2 ? 1. ? ?1 S2 故当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1 ? ? S2 ,则 ? ? 2 ? 1. 解法 2:如图 1,若直线 l 与 y 轴重合 ,则 | BD | ? | OB | ? | OD | ? m ? n , | AB | ? | OA | ? | OB | ? m ? n ; 1 1 1 1 S1 ? | BD | ? | OM |? a | BD | , S2 ? | AB | ? | ON |? a | AB | . 2 2 2 2 S1 | BD | m ? n ? ? 1 ? ? 所以 ? . S2 | AB | m ? n ? ? 1 S ? ?1 若 1 ? ? ,则 ? ? ,化简得 ? 2 ? 2? ? 1 ? 0 . 由 ? ? 1 ,可解得 ? ? 2 ? 1. ? ?1 S2 故当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1 ? ? S2 ,则 ? ? 2 ? 1.

y

A B

y A B

M

O C

N x

M

O

N x

C

D D (Ⅱ)解法 1:如图 2,若存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1 ? ? S2 . 根据对称性, 第 22 题解答图 2 y kx (k ? 0) , 不妨设直线 l : 第?22 题解答图 1
点 M (?a, 0) , N (a, 0) 到直线 l 的距离分别为 d 1 , d 2 ,则 | ?ak ? 0 | ak | ak ? 0 | ak ? ? 因为 d1 ? , d2 ? ,所以 d1 ? d2 . 2 2 2 1? k 1? k 1? k 1? k2 S | BD | 1 1 ? ? ,即 | BD |? ? | AB | . 又 S1 ? | BD | d1 , S2 ? | AB | d2 ,所以 1 ? S2 | AB | 2 2
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由对称性可知 | AB | ?| CD | ,所以 | BC | ? | BD | ? | AB | ? (? ? 1) | AB | , | AD | ? | BD | ? | AB | ? (? ? 1) | AB | ,于是 | AD | ? ? 1 ? . ① | BC | ? ? 1 将 l 的方程分别与 C1,C2 的方程联立,可求得 am an xA ? , xB ? . 2 2 2 2 2 a k ?m a k ? n2 根据对称性可知 xC ? ? xB , xD ? ? xA ,于是

1 ? k 2 | xA ? xD | 2 xA m a2 k 2 ? n2 | AD | . ? ? ? 2 2 2 | BC | 1 ? k 2 | xB ? xC | 2 xB n a k ? m 从而由①和②式可得
a 2 k 2 ? n2 ? ?1 ? . 2 2 2 a k ?m ? (? ? 1)





令t ?

? ?1 n 2 (? 2 t 2 ? 1) ,则由 m ? n ,可得 t ? 1 ,于是由③可解得 k 2 ? 2 . ? (? ? 1) a (1 ? t 2 )
n 2 (? 2 t 2 ? 1) ?0, a 2 (1 ? t 2 )

因为 k ? 0 ,所以 k 2 ? 0 . 于是③式关于 k 有解,当且仅当 等价于 (t 2 ? 1)(t 2 ? 即
1

1

?

?

? ?1 ? 1 ,由 ? ? 1 ,解得 ? ? 1 ? 2 ,所以 ? (? ? 1)

?2

) ? 0 . 由 ? ? 1 ,可解得

1

?

? t ?1,

当 1 ? ? ? 1 ? 2 时,不存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1 ? ? S2 ; 当 ? ? 1 ? 2 时,存在与坐标轴不重合的直线 l 使得 S1 ? ? S2 . 解法 2:如图 2,若存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1 ? ? S2 . 根据对称性, 不妨设直线 l : y ? kx (k ? 0) , 点 M (?a, 0) , N (a, 0) 到直线 l 的距离分别为 d 1 , d 2 ,则 | ?ak ? 0 | ak | ak ? 0 | ak ? ? 因为 d1 ? , d2 ? ,所以 d1 ? d2 . 2 2 2 1? k 1? k 1? k 1? k2 S | BD | 1 1 ??. 又 S1 ? | BD | d1 , S2 ? | AB | d2 ,所以 1 ? S2 | AB | 2 2 因为
x ? ?1 1 ? k 2 | xB ? xD | xA ? xB | BD | . ? ? ? ? ,所以 A ? 2 xB ? ? 1 | AB | 1 ? k | xA ? xB | xA ? xB

由点 A( xA , kxA ) , B( xB , kxB ) 分别在 C1,C2 上,可得
xA2 k 2 xA2 x 2 k2x 2 x 2 ? x 2 k 2 ( x A 2 ? ? 2 xB 2 ) ? ? 1 , B2 ? 2B ? 1 ,两式相减可得 A 2 B ? ?0, 2 2 a m a n a m2 m2 ( x 2 ? x 2 ) 依题意 xA ? xB ? 0 ,所以 xA2 ? xB 2 . 所以由上式解得 k 2 ? 2 2 A 2 B 2 . a ( ? xB ? x A )

因为 k 2 ? 0 ,所以由 从而 1 ?

? ?1 ? ? ,解得 ? ? 1 ? 2 ,所以 ? ?1

m 2 ( x A 2 ? xB 2 ) x ? 0 ,可解得 1 ? A ? ? . 2 2 2 2 a ( ? xB ? x A ) xB

当 1 ? ? ? 1 ? 2 时,不存在与坐标 轴不重合的直线 l,使得 S1 ? ? S2 ; 当 ? ? 1 ? 2 时,存在与坐标轴不重合的直线 l 使得 S1 ? ? S2 .
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