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高中数学2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征课件


第二章
2.2.2 用样本的数字 特征估计总体的数字特征

思路方法技巧

命题方向
[例1] 位)如下:
职务 人数 工资 董事长 1 5 500

中位数、众数、平均数的应用

据报道,某公司的33名职工的月工资(以元为单

副董事长 1 5 000

董事 2 3 500

总经理 1 3 000

经理 5 2 500

管理员 3 2 000

职员 20 1 500

(1)求该公司的职工月工资的平均数、中位数、众数. (2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元,董事 长的工资从5 500元提升到30 000元,那么新的平均数、中位 数、众数又是什么?(精确到1元) (3)你认为哪个统计量更能反映这个公司职工的工资水 平?结合此问题谈一谈你的看法. [分析] 利用平均数、中位数、众数的定义求解即可.

[解析]

(1)平均数是

x =1 500+ 4 000+3 500+2 000×2+1 500+1 000×5+500×3+0×20 33 ≈1 500+591=2 091(元). 中位数是1 500元,众数是1 500元.

(2)平均数是 x ′=1 500+ 28 500+18 500+2 000×2+1 500+1 000×5+500×3+0×20 33 ≈1 500+1 788=3 288(元). 中位数是1 500元,众数是1 500元.

(3)在这个问题中,中位数或众数均能反映该公司职工的 工资水平.因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额 差别较大,这样导致平均数与中位数偏差较大,所以平均数 不能反映这个公司职工的工资水平.

规律总结:深刻理解和把握平均数、中位数、众数在 反映样本数据上的特点,结合实际情况,灵活运用.

(1)某校有甲乙两个数学兴趣班,其中甲班有40人,乙班 有50人,现分析两个班的一次考试成绩,算得甲班的平均分 为90分,乙班的平均分为81分,则这两个班的总平均分为 ________.

[答案] 85

[解析]

90×40+81×50 x= =85. 90

(2)(2011~2012· 福建漳州模拟)如图是某赛季甲、乙两名 篮球运动员每场比赛得分的茎叶图,则甲、乙两人这几场比 赛得分的中位数之和是( )

A.62

B.63

C.64

D.65

[答案] C

[解析]

甲的中位数为28,乙的中位数为36,所以甲、

乙两人得分中位数之和为64.

命题方向
[例2]

方差的计算及应用

甲、乙两名战士在相同条件下各打靶10次,每

次命中的环数分别是: 甲:8,6,7,8,6,5,9,10,4,7; 乙:6,7,7,8,6,7,8,7,9,5. (1)分别计算以上两组数据的平均数; (2)分别求出两组数据的方差;

(3)根据计算结果,估计两名战士的射击情况.若要从 这两人中选一人参加射击比赛,选谁去合适? [分析] 求平均数 ? 求方差 ? 估计情况

[解析] 7(环),

1 (1) x 甲= (8+6+7+8+6+5+9+10+4+7)= 10

1 x 乙= ×(6+7+7+8+6+7+8+7+9+5)=7(环). 10

1 (2)解法一:由方差公式s = [(x1- x )2+(x2- x )2+?+ n
2 2 (xn- x )2],得s2 甲=3,s乙=1.2.

1 2 2 解法二:由方差公式s = [(x′ 2 1 +x′ 2 +?+x′ n )-n x n
2

1n ′ ],计算s甲,s乙 ,其中s′i=xi-a, x ′= ?x ′i.由于两组 n i=1
2 2 2

原始数据都在数字7附近且平均数都是7,所以选取a=7.

x′i甲=xi甲-7
2 x′2 i甲=(xi甲-7)

1 1 -1 1

-1 1 0 0

0 0 0 0

1 1 1 1

-1 -2 1 -1 1 4 0 0

2 4 1 1

3 9 0 0

-3 9 2 4

0 0 -2 4

x′i乙=xi乙-7
2 x′2 i乙=(xi乙-7)

1 2 2 2 所以,s甲= [(x′2 + x ′ + ? + x ′ ) - 10 x x ′ ] 甲 甲 甲 甲 1 2 10 10
2

1 =10×(1+1+0+1+1+4+4+9+9+0-10×0) 1 =10×30=3. 同理,s2 乙=1.2.

(3) x 甲= x 乙,说明甲、乙两战士的平均水平相当.
2 又s2 甲>s乙,说明甲战士射击情况波动大.

因此,乙战士比甲战士射击情况稳定.从成绩的稳定性 考虑,应选择乙参加比赛.

规律总结:(1)在实际问题中,仅靠平均数不能完全反 映问题,还要研究数据偏离平均数的离散程度(即方差或标准 差).标准差越大,说明数据的离散性越大;标准差越小,说 明数据的离散性越小或数据越集中、稳定. (2)在本例第二问的解法二中,运用了计算方差的常用技 巧,通过化简数据,减少了计算量.其计算原理是:若x1, x2,?,xn的平均数是 x ,方差是s2,则x1+b,x2+b,?,xn +b的平均数是 x +b,方差仍是s2.

从甲、乙两种玉米的苗中各抽10株,分别测它们的株高 如下:(单位:cm) 甲:25 41 40 37 22 14 19 39 21 42 乙:27 16 44 27 44 16 40 40 16 40 问:(1)哪种玉米的苗长得高? (2)哪种玉米的苗长得齐?

[分析]

看哪种玉米的苗长得高,只要比较甲、乙两种

玉米的苗的平均高即可;要比较哪种玉米的苗长得整齐,只 要看两种玉米的苗高的方差即可,因为方差是体现一组数据 波动大小的特征数.

[解析]

1 (1) x 甲= (25+41+40+37+22+14+19+39 10

1 +21+42)=10×300=30(cm), 1 x 乙= 10 (27+16+44+27+44+16+40+40+16+40)= 1 ×310=31(cm). 10 ∴ x 甲< x 乙.

1 (2)s 甲=10[(25-30)2+(41-30)2+(40-30)2+(37-30)2+
2

(22-30)2+(14-30)2+(19-30)2+(39-30)2+(21-30)2+(42 -30)2] 1 = 10 (25+121+100+49+64+256+121+81+81+144) 1 =10×1 042=104.2(cm2), 1 s 乙 = [(2×272+3×162+3×402+2×442)-10×312]= 10
2

1 2 × 1 288 = 128.8(cm ). 10

2 ∴s2 甲<s乙.

答:乙种玉米的苗长得高,甲种玉米的苗长得整齐.

规律总结:特别要注意本题两问中说法的不同,这就 意味着计算方式不一样.

探索延拓创新

命题方向

频率分布直方图与数字特征的综合应用

[例3]

(2009· 海南/宁夏高考)某工厂有工人1 000名,其

中250名工人参加过短期培训(称为A类工人),另外750名工 人参加过长期培训(称为B类工人).现用分层抽样方法(按A 类、B类分两层)从该工厂的工人中共抽查100名工人,调查 他们的生产能力(生产能力指一天加工的零件数). (1)A类工人中B类工人中各抽查多少人? (2)从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽查结果 分别如表1和表2所示.

表1: 生产能力分 组 人数 表2: 生产能力 分组 人数 [110,120) [120,130) [130,140) [140,150) 6 y 36 18 [100,11 [110,12 [120,13 [130,14 [140,15 0) 4 0) 8 0) x 0) 5 0) 3

①先确定x,y,再完成下图的频率分布直方图.就生产 能力而言,A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间 的差异程度哪个更小(不用计算,可通过观察直方图直接回答 结论)?

②分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数,并估 计该工厂工人的生产能力的平均数(同一组中的数据用该组区 间的中点值作代表).

[解析] 名.

(1)A类工人中和B类工人中分别抽查25名和75

(2)①由4+8+x+5+3=25,得x=5;由6+y+36+18 =75,得y=15.频率分布直方图如下图所示.

从直方图可以判断,A类工人中个体间的差异程度更 小.

4 8 5 5 3 ② x A= 25 ×105+ 25 ×115+ 25 ×125+ 25 ×135+ 25 ×145=123, 6 15 36 18 x B=75×115+75×125+75×135+75×145=133.8, 25 75 x =100×123+100×133.8=131.1. A类工人生产能力的平均数、B类工人生产能力的平均数 以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123,133.8和 131.1.

规律总结:利用频率分布直方图或频率分布表估计样 本的平均数时,可利用“组中值×频率”求和.由此求得的 平均数是近似值,往往与由实际数据得出的不一致.

从高三年级中抽出50名学生参加数学竞赛,由成绩得到 如下的频率分布直方图,如下图.

试利用频率分布直方图求: (1)这50名学生成绩的众数与中位数; (2)这50名学生的平均成绩.

[解析]

(1)由众数的概念可知,众数是出现次数最多的

数.在频率分布直方图中最高的小矩形框的中点的横坐标即 为所求,所以众数应为75. 由于中位数是所有数据中的中间值,故在频率分布直方 图中体现的是中位数左边和右边的频数应相等,即频率也相 等,从而小矩形的面积和相等.因此,在频率分布直方图中 将所有小矩形的面积一分为二的直线所对应的成绩即为所 求.

∵0.004×10+0.006×10+0.02×10=0.04+0.06+0.2= 0.3, ∴前三个小矩形的面积和为0.3. 而第四个小矩形的面积为0.03×10=0.3,且0.3+ 0.3>0.5, ∴中位数应位于第四个小矩形内. 设中位数的值为x,又第四个小矩形的高为0.03,令 0.03(x-70)=0.2得x≈76.7, 故中位数为76.7.

(2)样本平均值应是频率分布直方图的“重心”,即所有 数据的平均值,取每个小矩形底边的中点值乘以每个小矩形 的面积即可. 故平均成绩为45×(0.004×10)+55×(0.006×10)+ 65×(0.02×10)+75×(0.03×10)+85×(0.024×10)+ 95×(0.016×10)=76.2.


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